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文档简介
第67讲圆锥曲线离心率题型全归纳
知识梳理
求离心率范围的方法
一、建立不等式法:
1、利用曲线的范围建立不等关系.
2、利用线段长度的大小建立不等关系.用,工为椭圆工+卫=1(°>6>0)的左、右焦
a2b2
22
点,尸为椭圆上的任意一点,4目a-cM+c];耳B为双曲线=-二=1(。>。,)>。)
a2b1
的左、右焦点,尸为双曲线上的任一点,|尸耳|2c-4.
3、利用角度长度的大小建立不等关系.4K为椭圆《+反=1的左、右焦点,尸为
a2b2
椭圆上的动点,若“PF2s则椭圆离心率e的取值范围为singwevl.
4、利用题目不等关系建立不等关系.
5、利用判别式建立不等关系.
6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系.
7、利用基本不等式,建立不等关系.
二、函数法:
1、根据题设条件,如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变,量的函数
关系式;
2、通过确定函数的定义域;
3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围.
三、坐标法:
由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系.
必考题型全归纳
题型一:建立关于a和c的一次或二次方程与不等式
例1.(2024・全国•高三专题练习)在平面直角坐标系中,已知椭圆G与双曲线C2共焦
点,双曲线C?实轴的两顶点将椭圆G的长轴三等分,两曲线的交点与两焦点共圆,则双曲
线C2的离心率为()
1
A.6B.2C.V5D.y/6
22
例2.(2024・湖南•高三校联考阶段练习)已知椭圆C:\+多=l(a>b>0)的左、右焦点分
ab~
别为耳,耳,经过尸2的直线交椭圆C于尸,。两点,。为坐标原点,且
(而+恒)•而=0,至=2Q,则椭圆C的离心率为.
22
例3.(2024•海南海口•高三统考期中)已知双曲线C:-方=l(a>0,b>0)的左顶点为
A,右焦点为歹(。,0),过点/的直线/与圆(x-c『+y2=(c-a)2相切,与C交于另一点
IT
B,且乙&1尸=:,则C的离心率为()
6
53
A.3B.-C.2D.-
22
22
变式1.(2024・贵州•校联考模拟预测)已知右焦点为尸的椭圆E:「+2=1(。>。>0)上
ab
的三点A,B,C满足直线A3过坐标原点,若3P/AC于点b,且忸盟=3|CF|,则E的
离心率是()
A.立B.立C."D.1
2522
变式2.(2024・福建龙岩•福建省龙岩第一中学校考模拟预测)已知双曲线C:
22
^r-3v=1。>0/>0)的右焦点为尸,过b分别作C的两条渐近线的平行线与C交于A,B
两点,若[48|=2同,则C的离心率为
22
变式3.(2024•湖北•高三校联考阶段练习)双曲线C:'-方=1(”)>0)的左焦点为R
直线即与双曲线C的右支交于点。,A,2为线段的两个三等分点,且
\OA\=\OB\=^a(。为坐标原点),则双曲线C的离心率为.
22
变式4.(2024•河南开封・统考模拟预测)已知A是双曲线C:'方=l(a>0,b>0)的右顶
点,点尸(2,3)在C上,F为C的左焦点,若AAPF的面积为I,则C的离心率
为.
变式5.(2024•辽宁沈阳・东北育才学校校考一模)如图,在底面半径为1,高为6的圆柱
内放置两个球,使得两个球与圆柱侧面相切,且分别与圆柱的上下底面相切.一个与两球均
2
相切的平面斜截圆柱侧面,得到的截线是一个椭圆.则该椭圆的离心率为.
22
变式6.(2024•陕西西安•校考三模)已知双曲线C:「一1=1伍>0,。>0)的左焦点为
ab
F,过尸的直线与圆/+/=/相切于点Q,与双曲线的右支交于点P,若
\PQ\=^\QF\,则双曲线C的离心率为.
变式7.(2024•河北•高三校联考期末)双曲线C:=1(。>0力>0)的左焦点为尸,右
顶点为A,过A且垂直于无轴的直线交C的渐近线于点P,尸。恰为的角平分线,则
C的离心率为.
题型二:圆锥曲线第一定义
例4.(2024•湖南株洲•高三校考阶段练习)已知耳,耳分别为双曲线
22
E:T-4=l(a>0,6>0)的左、右焦点,过原点。的直线/与E交于A8两点(点/在第
ab~
一象限),延长交E于点C,若忸段=|40/月B耳=[,则双曲线E的离心率
为.
22
例5.(2024・山西大同•高三统考开学考试)已知椭圆G=+多=1(。>6>0)的左、右焦点
ab
分别为耳,工,点尸,。为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQI=I月KI,且四边形
4
PFQF?的面积为5a2,则C的离心率为.
22
例6.(2024•全国•高三专题练习)已知椭圆E:当+a=1("人>0)的上、下焦点分别为
耳、B,焦距为26,与坐标轴不垂直的直线/过耳且与椭圆E交于A、8两点,点P为
线段A耳的中点,若NA88=/月9=90。,则椭圆E的离心率为.
22
变式8.(2024・全国•高三专题练习)耳,外是椭圆E:,方=1(。>匕>0)的左,右焦
3
点,点M为椭圆E上一点,点N在x轴上,满足NF]MN=NF?MN=45:
3|NK|二4|N段,则椭圆E的离心率为.
22
变式9.(2024•四川巴中•高三统考开学考试)已知双曲线C:=-a=1(°>0/>0)的左、右
ab
3
焦点分别为耳耳,过耳斜率为"的直线与C的右支交于点P,若线段尸耳恰被y轴平分,
则c的离心率为()
A.4B.述C.2D.3
23
变式10.(2024•内蒙古赤峰•高三统考开学考试)已知耳,尸2分别为双曲线反
22
会-%=1(。>0,6>0)的左、右焦点,过原点。的直线/与E交于4,3两点(点/在第
一象限),延长A"交E于点C,若忸闾=|AC|,NRBF2=三,则双曲线E的离心率为
()
A.6B.2C.石D.近
22
变式11.(2024•广东•高三校联考阶段练习)已知双曲线C:=-上=1(«>0,。>0),
a
斜率为-6的直线/过原点。且与双曲线C交于尸,0两点,且以P0为直径的圆经过双
曲线的一个焦点,则双曲线。的离心率为()
A.叵口B.V3+1C.273-1D.273-2
2
22
变式12.(2024・河南・统考模拟预测)已知双曲线E:。-2=l(a>0)的上焦点为可,点、P
CL8
在双曲线的下支上,若A(4,0),且|P胤+|的最小值为7,则双曲线E的离心率为
()
A.2或逆史B.3或近生C.2D.3
2525
变式13.(2024•全国•高三专题练习)双曲线具有光学性质,从双曲线一个焦点发出的光线
经过双曲线镜面反射,其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线
22
E:t-与=1(。>0/>0)的左、右焦点分别为片,工,从凡发出的光线经过图中的48两
ab
点反射后,分别经过点c和。,且cos/A4c=-之,瓯丽=0,则E的离心率为()
4
•-----D.石
2
2
变式14.(2024•甘肃酒泉•统考三模)已知双曲线-斗=1(。>0,6>0)的右焦点为
a
F,过点歹的直线/与双曲线E的右支交于B,C两点,且|C司=3|尸身,点B关于原点。
的对称点为点A,若希.乔=0,则双曲线E的离心率为()
273D,巫
A.也
2
Y人1
变式15.(2024•山西吕梁・统考二模)已知双曲线C:/下一1〃〉0,b>0)的左、
右焦点分别为耳,F2,直线y=气与C交于P,Q两点,西•斯=0,且△PgQ的面积
为4/,则C的离心率是()
A.V3B.75C.2D.3
题型三:圆锥曲线第二定义
例7.(2024・全国•高三专题练习)古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲
线的共性,并给出了圆锥曲线的统一定义,他指出,平面内到定点的距离与到定直线的距
离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线;当0<e<l时,轨迹为椭圆;当e=l时,轨迹为
抛物线;当e>l时,轨迹为双曲线.则方程立上半=」表示的圆锥曲线的离心率e等
|25-4x|5
于()
145
A.-B.-C.-D.5
554
22
例8.(2024•北京石景山•高三专题练习)已知双曲线二-1=1(也>0)的左、右焦点分别
ab
为3,尸为左支上一点,p到左准线的距离为d,若d、口片1、I尸BI成等比数列,则其
离心率的取值范围是()
5
A.[V2,+8)B.(1,V2]C.[1+V2,+8)D.(1,1+V2]
例9.(2024•全国•高三专题练习)已知双曲线C:\-2=l(a>0,b>0)的右焦点为尸,过
尸且斜率为6的直线交C于A、B两点,若/=4而,则C的离心率为()
A.2B.9C,2D.2
8555
题型四:圆锥曲线第三定义(斜率之积)
22
例10.(2024•云南曲靖•高三校联考阶段练习)已知双曲线C:鼻-方=1(4>00>0)虚轴
的一个顶点为。,直线x=3a与C交于A,B两点,若△A3。的垂心在C的一条渐近线
上,则C的离心率为.
例11.(2024•陕西西安・西安市大明宫中学校考模拟预测)已知椭圆C:
22
1r+g=1(。>6>0)的焦距为2c,左焦点为尸,直线/与C相交于4,2两点,点尸是线
13
段48的中点,尸的横坐标为若直线/与直线小的斜率之积等于-白,则。的离心
316
率为.
22
例12.(2024•山东济南•高三统考开学考试)已知椭圆C:=+==1(°>6>0)的上顶点
ab
为B,两个焦点为用,F2,线段B居的垂直平分线过点耳,则椭圆的离心率为.
22
变式16.(2024•山东青岛•高三统考期末)已知双曲线E:=-3=1伍>00>0)与直线
y=a-相交于A,B两点,点P为双曲线E上的一个动点,记直线PA,PB的斜率分别为
K,k2,若匕&=;,且双曲线E的右焦点到其一条渐近线的距离为1,则双曲线E的离心
率为•
变式17.(2024•山东•高三校联考开学考试)如图,A,8分别是椭圆
22
C:T+方=1(。>6>0)的左、右顶点,点P在以为直径的圆。上(点尸异于48两
点),线段4尸与椭圆C交于另一点Q,若直线3P的斜率是直线的斜率的4倍,则椭圆
C的离心率为()
6
例13.(2024・广西•模拟预测)如图1所示,双曲线具有光学性质:从双曲线右焦点发出的
光线经过双曲线镜面反射,其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线
22
E:A-与=1(。>0/>0)的左、右焦点分别为片,鸟,从凡发出的光线经过图2中的A,8两
ab
12
点反射后,分别经过点C和。,MtanZC4B=-y,|BD|2=AD®D,则双曲线E的离心
fV2
例14.(2024•河北秦皇岛•高三校联考开学考试)已知耳,旦是椭圆C:=+马=1(“>6>0)
ab
(
的两个焦点,点〃在。上,若。的离心率事6』、,则使为直角三角形的点“
有()个
A.2B.4C.6D.8
例15.(2024・湖北武汉•高三武汉市第六中学校联考阶段练习)过双曲线
22
E:]-与=1(。>0/>0)的左焦点尸作/+丁="的一条切线,设切点为7,该切线与双
ab
曲线£在第一象限交于点a若西=3万,则双曲线片的离心率为()
7
A.6B.V5C.巫D.巫
22
变式18.(2024•云南昆明•高三昆明一中校考阶段练习)已知点?(x。,几)是椭圆
22
c:\+==im>6>o)上的一点,耳,区是c的两个焦点,若西施so,则椭圆c的离
ab"
心率的取值范围是()
J。当B.[I]D.卢,[
I2J12」[2JL2)
题型六:利用正弦定理
22
例16.(2024•全国•高三专题练习)已知耳,瑞分别为椭圆氏与+七=l(a>b>0)的两个
ab
焦点,夕是椭圆£上的点,PFJPF2,且sin/P入耳=3sin/P4工,则椭圆£的离心率为
()
AV10RV10V5nV5
A.---D.---Ur.D.
2424
22
例17,(2024•全国•高三专题练习)过椭圆点+讶=1(。〉匕>0)的左、右焦点耳,心作倾
斜角分别为£和1的两条直线4,若两条直线的交点P恰好在椭圆上,则椭圆的离心
63一
率为()
A.1B.V3-1
2
CV3-1DV5—1
•2•2
22
例18.(2024•江苏•扬州中学高三开学考试)已知椭圆A+多=1(。>03>0)的左、右焦点
ab
分别为6(-c,o),鸟(G0),若椭圆上存在点尸(异于长轴的端点),使得
csinZP^F^asinZPF^,则该椭圆离心率e的取值范围是.
变式19.(2024・广西南宁•南宁市武鸣区武鸣高级中学校考二模)设耳、鸟分别为椭圆
22
斗+2=1(。>6>0)的左、右焦点,椭圆上存在点M,ZMFtF2=a,NM尸?片=尸,使得
ab
离心率e=2蛇,则e取值范围为.
smcr
22
变式20.(2024•江西吉安•高三吉安一中校考开学考试)点P是双曲线G:^--4=1
ab
(。>0,b>0)和圆G:/+/=/+廿的一个交点,且2/P耳工=NPK大,其中耳,F2
8
是双曲线C1的两个焦点,则双曲线G的离心率为.
2222
变式21.(2024・全国•高三专题练习)已知椭圆「:3+1=1与双曲线Q:二-1=1共焦
abmn
点,Fi、F2分别为左、右焦点,曲线「与。在第一象限交点为P,且离心率之积为1.若
sinZ^Pf;=2sinN尸片",则该双曲线的离心率为.
题型七:利用余弦定理
例19.(2024•福建福州•高三福建省福州第八中学校考阶段练习)已知双曲线
22
C:♦-方=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为斗鸟,尸是C右支上一点,线段尸耳与C
的左支交于点若/百尸乙=],且1PMi=|尸周,则c的离心率为.
22
例20.(2024•江苏淮安•高三统考开学考试)椭圆。:5+==1(〃>8〉0)的左、右焦点分
ab
别为片,工,上顶点为4直线A耳与椭圆C交于另一点8,若44鸟8=120。,则椭圆。的
离心率为.
22
例21.(2024•河北唐山•模拟预测)已知耳,&是椭圆£:5+当=1(°>6>0)的左,右焦
ab
点,E上两点A8满足3亚=2哥,|4耳|=2|4闾,则E的离心率为.
变式22.(2024•广东湛江•高三校联考阶段练习)已知双曲线。:0-3=1(4>0,。>0)的
离心率为2,左、右顶点分别为4,4,右焦点为b,点P在C的右支上,且满足
PF±FA^,则tan/4尸4=()
A.1B.1C.V3D.2
22
变式23.(2024•河南•校联考二模)已知双曲线C:三-三的左、右焦点分
ab
别是耳,F2,P是双曲线C上的一点,且忸胤=5,|尸刃=3,/可尸&=120。,则双曲线
C的离心率是()
777
A.7B.-C.-D.-
234
22
变式24.(2024•浙江•高三校联考阶段练习)已知椭圆C:A+与=l(a>6>0)的左、右焦
ab
9
点分别为耳,瑞,点P在c上,且尸耳,耳8,直线尸乙与。交于另一点。,与y轴交于
点M,若雄=2硬,则C的离心率为()
A3A/3R4「后nV21
7737
变式25.(2024•江西抚州•高三黎川县第二中学校考开学考试)已知双曲线C:
22
=1(。>“0)的右焦点F的坐标为(c,o),点P在第一象限且在双曲线C的一条渐
Clu
近线上,。为坐标原点,若|OP|=c,p刊=2°,则双曲线C的离心率为()
A.V3B.2C.75D.3
变式26.(2024・广西百色•高三贵港市高级中学校联考阶段练习)已知椭圆C:
捺+/=1(。>1>0)的左、右焦点分别为耳,点尸在C上,若西=口,
\PF\+PF^=3b,则C的离心率为.
变式27.(2024•广东深圳•高三校联考期中)设耳,工是双曲线C:
22
会-方=i(a>o,b>o)的左、右焦点,过耳的直线与c的左、右两支分别交于aB两
点,点M在x轴上,4F3=MB,BB平分/RBM,则C的离心率为()
A.—B.毡
33
「后n1
33
变式28.(2024•云南・高三云南师大附中校考阶段练习)已知双曲线C:
22
鼻-斗=1(。>0,6>0)的左、右焦点分别为耳,F2,。为坐标原点,过可作C的一条渐近
ab
线的垂线,垂足为跖且惘工|=3|0叫,则C的离心率为()
A.72B.2C.76D.20
题型八:内切圆问题
22
例22.(2024・四川成都•高三成都七中校考阶段练习)双曲线//:「一当=1(〃力>0)其左、
ab
qr
右焦点分别为百,耳,倾斜角为三的直线P鸟与双曲线〃在第一象限交于点尸,设△与PE
内切圆半径为r,若|Pg|N2也r,则双曲线〃的离心率的取值范围为.
10
22
例23.(2024・全国•高三对口高考)椭圆T+当=l(q>Z,>0)的四个顶点ABCD构成菱形的
ab
内切圆恰好过焦点,则椭圆的离心率6=.
22
例24.(2024・广东深圳•校考二模)已知椭圆f+2=1(。>6>0)的左、右焦点分别为
ab
片(-C,O)、鸟(C,。),尸为椭圆上一点(异于左右顶点),△尸月月的内切圆半径为「,若厂的
最大值为(则椭圆的离心率为.
22
变式29.(2024•湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习)双曲线C:※-方=l(a>0,b>0)的
左,右焦点分别为耳,F2,右支上有一点满足/单眼=90。,△耳明的内切圆与V
轴相切,则双曲线。的离心率为.
22
变式30.(2024・全国•高三专题练习)已知椭圆C:=+当=1(°>6>0)的左、右焦点分别
为耳(-c,0),工(c,0),点M(%,%)(%>c)是C上一点,点A是直线A/工与>轴的交点,
△A叫的内切圆与叫相切于点N,若|阿|=拒由闾,则椭圆C的离心率
e=.
22
变式31.(2024・全国•高三专题练习)已知椭圆C:1r+%=1e>6>0)的左、右焦点分
别是耳,F”斜率为g的直线/经过左焦点耳且交。于4B两点(点/在第一象限),设
△A耳耳的内切圆半径为七48片乙的内切圆半径为马,若二=2,则椭圆的离心率
r2
e=.
22
变式32.(2024•福建泉州•高三校考阶段练习)已知椭圆C:=+二=1。>/7>0)的左、右
焦点分别是耳,F2,斜率为3的直线/经过左焦点耳且交C于A,B两点(点A在第一象
限),设△△£工的内切圆半径为小48打工的内切圆半径为若二=3,则椭圆的离心率
r2
e=.
变式33.(2024•山东聊城•统考一模)片,瑞是椭圆C的两个焦点,P是椭圆C上异于顶点
的一点,/是△尸月耳的内切圆圆心,若耳的面积等于△/£耳的面积的3倍,则椭圆
C的离心率为.
题型九:椭圆与双曲线共焦点
11
例25.(2024・全国•高三专题练习)椭圆与双曲线共焦点耳,F2,它们在第一象限的交点
为P,设/耳尸居=26,椭圆与双曲线的离心率分别为%则()
cos2esin26*sin2ecos2e_
A.—+=1B.—+=1
才e;才
gi2
C.+=1D.+e;=1
cos2esin20sin2ecos2e
例26.(2024・全国•高三专题练习)椭圆与双曲线共焦点耳,F2,它们的交点P对两公共
焦点耳,尸2张的角为/招尸乙=5.椭圆与双曲线的离心率分别为G,%则
C..+4e;=lD.4々+苧=1
22
例27.(多选题)(2024•全国•高三专题练习)如图,P是椭圆C[:=+多=1(〃>6>0)与双
ab
22
曲线C2:二-当=i(加>o,w>O)在第一象限的交点,且G,G共焦点
mn
斗鸟,/耳尸鸟=46工2的离心率分别为6勺,则下列结论不正确的是()
13
B.若。=60。,则丁丁4
qe2
C.若6=90。,则小+4的最小值为2D.tan—=—
2n
22
变式34.(多选题)(2024•全国•高三专题练习)如图,p是椭圆G:I+A=l(a〉b〉0)与
ab
丫2v2
双曲线C2:二-2=1(m>。,">0))在第一象限的交点,且G,G共焦点
mn
^^,/耳”=仇£,。2的离心率分别为外4,则下列结论正确的是()
12
C.若。=90°,则e;+e;的最小值为2
22
变式35.(多选题)(2024•全国•高三专题练习)如图,P是椭圆£:=+当=l(a>b>0)与
ab
22
双曲线c,:工-当=1(〃>0,〃>0)在第一象限的交点,且GC共焦点
mn
6B,/耳因=仇。”。2的离心率分别为华4,则下列结论正确的是()
13
A.|P7^|=a+m,\PF2\^a-mB.若9=60°,则万+7=4
e\02
f)yt
c.若,=90°,则e;+e;的最小值为2D.tan7u:
2b
变式36.(2024・新疆•统考三模)在AABC中,cosA=g,AC=3,AB=1,椭圆G和双
14
曲线G以4,B为公共焦点且都经过点C,则q与c2的离心率之和为.
题型十:利用最大顶角e
22
例28.(2024・全国•高二课时练习)已知椭圆C:三+当=1(a>6>0),点A,8是长轴的
ab
两个端点,若椭圆上存在点尸,使得NAM=120。,则该椭圆的离心率的取值范围是
)
13
22
例29.(2024・全国•高二专题练习)设48是椭圆C:上+乙=1长轴的两个端点,若C
3m
上存在点〃满足/41勿=120。,则椭圆C的离心率的取值范围是()
22
例30.(2024•全国•模拟预测)已知椭圆C:3+齐=1(。>6>0),点P是C上任意一点,
若圆O:尤2+/=户上存在点M、N,使得NMPN=120。,则C的离心率的取值范围是()
A.R'
变式37.(2024・四川成都•高三树德中学校考开学考试)已知耳、耳是椭圆的两个焦点,
满足丽•丽=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是()
C.(0,1)D.
题型十一:基本不等式
22
例31.(2024・全国•高三专题练习)设椭圆。:鼻+斗=1(。">0)的右焦点为尸,椭圆。
ab
上的两点A,B关于原点对你,且满足丽.丽=0,\FB\<\F^<^3\FB\,则椭圆C的离心率
的取值范围为()
",若TV2V3
A.B.D.
222
设耳、式2分别是椭圆E:4+
例32.(2024•江苏南京•高三阶段练习)
a
左、右焦点,M是椭圆E准线上一点,“MF?的最大值为60。,则椭圆E的离心率为
()
B.8「V2
A.V/.----D,建
2222
14
例33.(2024•山西运城•高三期末)已知点A为椭圆「+南=1(“>6>0)的左顶点,。为
坐标原点,过椭圆的右焦点厂作垂直于x轴的直线/,若直线/上存在点P满足
NAPO=30。,则椭圆离心率的最大值______________.
题型十二:已知所范围
例34.(2024•四川省南充市白塔中学高三开学考试)已知耳、工分别为椭圆
22
c:1y+方=1(“>6>0)的左、右焦点,A为右顶点,B为上顶点,若在线段A3上(不含
端点)存在不同的两点4«=1,2),使得居.而=-,,则椭圆C的离心率的取值范围为
()
7.等C[O,fj-
22
例35.(2024・全国•高二专题练习)已知月(-。,0),用(c,0)是椭圆C:5+1=1(。>6>0)
ab
的左右焦点,若椭圆上存在一点P使得两•阳=。2,则椭圆C的离心率的取值范围为
22
例36.(2024・全国•高三开学考试)设小工分别是椭圆E:3+斗=1(°>6>0)的左、右
ab
2
焦点,若椭圆£上存在点P满足廖•困=券,则椭圆E离心率的取值范围()
题型十三:西=4/
22
例37.(2024•江苏•海安县实验中学高二阶段练习)已知椭圆C:「+二=1(。>6>0)的
ab
左、右焦点分别为E(-c,。),居(c,0),若椭圆C上存在一点P,使得吧彳鬻=£,则
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