2024-2025学年高考数学一轮复习：面积问题（学生版+教师版）

第71讲面积问题

知识梳理

1、三角形的面积处理方法

⑴以三.底・高(通常选弦长做底，点到直线的距离为高)

⑵％=3.水平宽-铅锤高=小郎层-*或％=¥叩为-九|

(3)在平面直角坐标系xOy中，已知△(?加的顶点分别为0(0,0),％),

NO：2,%)，三角形的面积为5=1y2-%2%|•

2、三角形面积比处理方法

(2)等角、共角模型

1

3、四边形面积处理方法

4、面积的最值问题或者取值范围问题

一般都是利用面积公式表示面积，然后将面积转化为某个变量的一个函数，再求解函数

的最值（一般处理方法有换元，基本不等式，建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有

界性求最值或利用导数法求最值，构造函数求导等等），在算面积的过程中，优先选择长度

为定值的线段参与运算，灵活使用割补法计算面积，尽可能降低计算量.

必考题型全归纳

题型一：三角形的面积问题之•底・高

2

22

例1.(2024•福建漳州•高三统考开学考试)已知椭圆C:=+==l(a>b>0)的左焦点为

ab

F卜品0),且过点

⑴求C的方程；

(2)不过原点。的直线/与C交于P,0两点，且直线OP,PQ,。。的斜率成等比数列.

(i)求/的斜率；

(ii)求△。尸。的面积的取值范围.

例2.(2024•湖南常德•高三常德市一中校考阶段练习)在平面直角坐标系中，已知点

A《,0),点B在直线=上运动，过点B与/垂直的直线和A3的中垂线相交于点

22

⑴求动点M的轨迹E的方程；

(2)设点P是轨迹E上的动点，点氏N在》轴上，圆C:(x-l)2+y2=i内切于△PRN,求

△PRN的面积的最小值.

例3.(2024•浙江•模拟预测)我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难

入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加

以解决，已知曲线C上任意一点尸(尤,y)满足+0)2+以一上一行f+/=2.

(1)化简曲线C的方程；

⑵已知圆O：/+y2=i为坐标原点)，直线/经过点A(〃z,o)(机>1)且与圆。相切，过点

/作直线/的垂线，交C于M,N两点，求△。跖V面积的最小值.

3

22

变式1.（2024•河北秦皇岛•校联考二模）已知双曲线本=1（。>08>0）实轴的一个端点

是P,虚轴的一个端点是Q,直线尸。与双曲线的一条渐近线的交点为14■

⑴求双曲线的方程;

（2）若直线>=丘+：（0<k<1）与曲线C有两个不同的交点A、B,。是坐标原点，求AOAB的

K

面积最小值.

变式2.（2024・四川成都・成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）设椭圆

⑴求椭圆E的方程；

（2）AABC内接于椭圆E,过点汽4.1）和点A的直线/与椭圆E的另一个交点为点。，与

8C交于点Q,满足网匹卜|砌|叫，求面积的最大值.

题型二：三角形的面积问题之分割法

例4.（2024・全国•高三专题练习）设动点M与定点b（c,0）（c>。）的距离和M到定直线/：

/4的距离的比是c?

C2

⑴求动点"的轨迹方程，并说明轨迹的形状；

⑵当c=0时，记动点M的轨迹为Q,动直线机与抛物线「：丁二人相切，且与曲线。

交于点B.求AAOB面积的最大值.

4

例5.(2024•四川成都•高三校联考阶段练习)已知椭圆C的对称中心为坐标原点，对称轴

为坐标轴，焦点在》轴上，离心率e=g,且过点尸(3,2).

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵若直线/与椭圆交于A，8两点，且直线m，PB的倾斜角互补，点M(0,8),求三角形

肱42面积的最大值.

22

例6.(2024•广东•高三校联考阶段练习)已知双曲线f-斗=l,(a>0,b>0)的离心率为

a'b'

2,右焦点尸到渐近线的距离为

(1)求双曲线的标准方程；

(2)若点P为双曲线右支上一动点，过点P与双曲线相切的直线/,直线/与双曲线的渐近线

分别交于N两点，求AFMN的面积的最小值.

22

变式3.(2024•广东广州•高三中山大学附属中学校考阶段练习)过椭圆上+匕=1的右焦

43

点歹作两条相互垂直的弦A8,CD.AB,。的中点分别为M,N.

(1)证明：直线过定点；

(2)若A8,。的斜率均存在，求△b跖V面积的最大值.

5

题型三：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化

2

例7.（2024・全国•高三专题练习）如图，已知双曲线C:无2一=1的左右焦点分别为耳、

尸2,若点P为双曲线C在第一象限上的一点，且满足|P团+|P段=8,过点P分别作双曲线

C两条渐近线的平行线PA、PB与渐近线的交点分别是A和B.

22

（2）若对于更一般的双曲线=-与=1（。>0,6>0）,点P，为双曲线C'上任意一点，过

ab

点P'分别作双曲线C'两条渐近线的平行线PA、P'B'与渐近线的交点分别是A和B'.请问

四边形OAP?的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用b表示该定值）；若不是

定值，请说明理由.

22

例8.（2024・浙江•高三竞赛）已知直线/与椭圆C：1+与=i（Q〉b〉o）交于A、8两点,

ab

直线AB不经过原点O.

（1）求AOAB面积的最大值；

（2）设M为线段A3的中点，延长O"交椭圆C于点P,若四边形。4P3为平行四边形，

求四边形。APB的面积.

6

例9.(2024・全国•高三专题练习)片，鸟分别是椭圆于二+尸=1的左、右焦点.

4'

(1)若P是该椭圆上的一个动点，求西•恒的取值范围；

(2)设A(2,0),8(0,1)是它的两个顶点，直线了=履(％20)与N8相交于点。，与椭圆相交于

E、尸两点.求四边形/£昉面积的最大值.

变式4.(2024•江苏苏州•模拟预测)如图，在平面直角坐标系xQy中，已知抛物线

C：V=4x的焦点为尸，过歹的直线交C于A,8两点(其中点A在第一象限)，过点A作

C的切线交x轴于点P,直线交C于另一点Q,直线QA交x轴于点7.

⑴求证：\AF\-\AT\=\BF\-\QT\.

(2)记AAOP,AAFT,△BQT的面积分别为E，邑，邑，当点A的横坐标大于2时，求

c'c的最小值及此时点A的坐标.

d2-dl

变式5.(2024•上海浦东新•高三上海市进才中学校考阶段练习)设椭圆E：

7

工+==电>6>0）的一个顶点为4（0,1）,离心率为也，尸为椭圆E的右焦点.

ab2

（1）求椭圆E的方程；

（2）设过/且斜率为左的直线与椭圆E交于O,G两点，若满足ADLAG,求上的值；

（3）过点尸（2,0）的直线与椭圆E交于B,C两点，过点B,C分别作直线/：x=f的垂线

（点8,C在直线/的两侧）.垂足分别为M,N,记△BMP,△MNP,ACNP的面积分

别为S2,&，试问：是否存在常数乙使得s，1s2,邑总成等比数列？若存在，求

出f的值，若不存在，请说明理由.

变式6.（2024•福建泉州•泉州七中校考模拟预测）已知圆C:（x-g）2+/=16,点

G（-A/3,0）,圆周上任一点P,若线段尸G的垂直平分线和CP相交于点。点0的轨迹为

曲线E.

⑴求曲线E的方程；

⑵若过点（1,0）的动直线n与椭圆C相交于N两点，直线/的方程为x=4.过点M作

于点T,过点N作福，/于点R.记△GZRMGTM.ZkGRV的面积分别为S,R,邑.

问是否存在实数彳，使得％府司-s=o成立？若存在，请求出2的值；若不存在，请说

明理由.

变式7.（2024•上海浦东新•高三上海市洋泾中学校考开学考试）设抛物线「：V=4x的焦

点为尸，经过x轴正半轴上点M（m,0）的直线/交「于不同的两点A和B.

8

⑴若|FA|=3,求A点的坐标;

(2)若加=2,求证：原点。总在以线段A8为直径的圆的内部；

(3)若=且直线4/〃，乙与「有且只有一个公共点E,问：的面积是否存

在最小值？若存在，求出最小值，并求出时点的坐标；若不存在，请说明理由.(三角形

面积公式：在AABC中，设C%=2=(占,%),CB=b=(x2,y2),贝曙43。的面积为

变式8.(2024•四川眉山•高三校考阶段练习)在△尸月耳中，已知点耳卜君,0),

《(百,0),P片边上的中线长与尸层边上的中线长之和为6；记△尸片鸟的重心G的轨迹为

曲线C.

(1)求C的方程；

(2)若圆O：x2+y2=l,£(0,-1),过坐标原点。且与》轴不重合的任意直线/与圆。相交

于点A,B,直线E4,£8与曲线C的另一个交点分别是点M,N,求AEMN面积的最

大值.

9

题型四：三角形的面积比问题之共角、等角模型

例10.(2024•河北•统考模拟预测)已知抛物线C:无2=2py(p>0),过点尸(0,2)的直线/与

C交于A,8两点，当直线/与，轴垂直时，OALOB(其中O为坐标原点).

(1)求C的准线方程；

(2)若点A在第一象限，直线/的倾斜角为锐角，过点A作C的切线与》轴交于点7,连接

交C于另一点为O,直线A£)与旷轴交于点Q,求“尸。与AAOT面积之比的最大值.

例11.(2024•北京东城•高三北京市第十一中学校考阶段练习)已知椭圆

J+丁=l(a>b>0),c=4a2-b1,且过(2,0),1*两点.

(1)求椭圆E的方程和离心率e；

(2)若经过加(1,0)有两条直线它们的斜率互为倒数，1与椭圆£交于48两点，4与

椭圆£交于C,。两点，P,0分别是CD的中点试探究：△OPQ与AMPQ的面积之

比是否为定值？

若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.

22

例12.(2024•江苏徐州•高三校考开学考试)设椭圆T+谷=1(。>6>0)的左右顶点分别为

ab

A，4,右焦点为尸,已知|A尸|=3,|4尸|=L

(1)求椭圆方程及其离心率；

(2)已知点P是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A?尸交，轴于点Q,若三角形4尸。的

面积是三角形4尸产面积的二倍，求直线的方程.

10

变式9.（2024•广东深圳•深圳中学校考模拟预测）已知定点尸（2,0）,关于原点O对称的动

点尸，Q到定直线/:x=4的距离分别为dQ,且竽，记P的轨迹为曲线C.

apaQ

（1）求曲线C的方程，并说明曲线C是什么曲线？

（2）已知点M,N是直线〃z：x=Jy+2与曲线C的两个交点，M,N在x轴上的射影分别

k

为M],MM不同于原点O）,且直线〃户与直线/：X=4相交于点R,求ARMN

与面积的比直

变式10.（2024•河北•高三校联考阶段练习）已知抛物线C：y2=2pMp>0）上一点

A（a,a）（a丰0）到焦点F的距离为].

（1）求抛物线C的方程；

（2）过点尸的直线/与抛物线C交于尸,。两点，直线OPQQ与圆目（》-2）2+丁=4的另一

交点分别为河,N,O为坐标原点，求△OP。与AOMN面积之比的最小值.

变式11.（2024•陕西商洛・陕西省丹凤中学校考模拟预测）已知椭圆

22

C:当+工=1（。>6>0）的左、右顶点分别为AB,长轴长为短轴长的2倍，点P在C上运

ab

动，且AAB尸面积的最大值为8.

⑴求C的方程；

11

⑵若直线/经过点Q(L。)，交C于M,N两点，直线AM.3N分别交直线X=4于。，£两

点，试问△AB。与AAQE的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理

由.

变式12.(2024•福建厦门•厦门一中校考模拟预测)已知A,B分别是椭圆C：

221

二+与=1(。>6>0)的右顶点和上顶点，|AB|=V5,直线42的斜率为一不

ab2

(1)求椭圆的方程；

(2)直线〃443,与x,》轴分别交于点M,N,与椭圆相交于点C,D.

(i)求AOCM的面积与△ODN的面积之比；

(ii)证明：为定值.

题型五：三角形的面积比问题之对顶角模型

22

例13.(2024•安徽黄山吨溪一中校考模拟预测)已知椭圆C：T+==l(a>6>0)的离心

ab

率为孝，且C经过点1,

⑴求椭圆C方程；

(2)直线>=履(4>0)与椭圆C交于点M、N,尸为C的右焦点，直线板、NF分别交C于另

12

s

一点M，记与的面积分别为E、邑，求寸的范围.

32

例14.（2024・全国•高三对口高考）在平面直角坐标系my中，点8与点关于原点

O对称，P是动点，且直线4P与8P的斜率之积等于-：.

（1）求动点尸的轨迹方程；

（2）设直线AP和8尸分别与直线尤=3交于点跖N问：是否存在点P使得APAB与dMN的

面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

例15.（2024•重庆•高三重庆一中校考阶段练习）已知。为坐标原点，抛物线的方程为

22

/=2皿0＞0）,下是抛物线的焦点，椭圆的方程为芯+%=15＞。＞0）,过尸的直线/

与抛物线交于M,N两点，反向延长OAf,ON分别与椭圆交于尸，。两点.

⑴求心乂'k（）N的值；

⑵若「「+|OQ「=5恒成立，求椭圆的方程;

（3）在（2）的条件下，若会”的最小值为1,求抛物线的方程（其中黑。.，凡”。分别

）△OPQ

是AOMN和△OPQ的面积）.

13

22

变式13.(2024・四川•校联考一模)已知点(-2,0)在椭圆c*+1=1(。>6>0)上，点

加］见在椭圆C内.设点以为C的短轴的上、下端点，直线AM,分别

与椭圆C相交于点及尸，且胡，血的斜率之积为

4

(1)求椭圆C的方程；

(2)记入BME，S,AMF分别为ABME,AAMF的面积，若me(-百,求部空的

、ABME

取值范围.

变式14.(2024・贵州贵阳•高三贵阳一中校考开学考试)已知点(-2,0)在椭圆C：

二+4=1(°>6>0)上，点”(〃7,与(机力。)在椭圆C内.设点48为C的短轴的上、下

abI2/

端点，直线/跖分别与椭圆C相交于点E,F,且E4,班的斜率之积为-;

4

⑴求椭圆C的方程；

S1

(2)记S^BME，S'AMF分别为ABME,AAMF的面积，若黄纥=1,求m的值.

,△BME"

变式15.(2024•四川南充•四川省南充高级中学校考三模)已知椭圆

22>

C：2r+Av=l(a>6>0)的左、右焦点为E，居，离心率为g.点P是椭圆C上不同于顶点的

任意一点，射线尸片,尸工分别与椭圆C交于点△尸与8的周长为8.

⑴求椭圆C的标准方程；

14

(2)设△尸片鸟，APFQ,的面积分别为HMM.求证：三义三+三'为定值.

DqD,D]

题型六：四边形的面积问题之对角线垂直模型

22

例16.(2024・河南•襄城高中校联考三模)设双曲线E:宏-1=l(a>0,6>0)的左、右焦

点分别为耳E，|耳剧=2百，且E的渐近线方程为》=±(

⑴求£的方程；

(2)过用作两条相互垂直的直线乙和4,与E的右支分别交于4C两点和8,。两点，求四

边形ABCD面积的最小值.

22

例17.(2024•山西朔州•高三校联考开学考试)已知椭圆E：1+与=1(〃>6>0)的左、右

ab

焦点分别为耳，F],M为椭圆E的上顶点，西.匹=0,点N(0,-1)在椭圆E上.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)设经过焦点鸟的两条互相垂直的直线分别与椭圆E相交于42两点和C,D两点,求

四边形NCAD的面积的最小值.

例18.(2024•江西•高三统考阶段练习)已知直线/：x-y+l=。与抛物线C:x2=2py(p>0)

交于两点，|AB|=8.

⑴求P;

15

(2)设抛物线C的焦点为尸，过点尸且与/垂直的直线与抛物线C交于瓦G,求四边形

AEBG的面积.

题型七：四边形的面积问题之一般四边形

22

例19.(2024•湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习)已知椭圆C:2+今=1(。>6>0)过

(1)求椭圆C的方程；

(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为4B,当动点M在定直线x=4上运动时，直线

AM,BM分别交椭圆于两点P和Q.

(i)证明：点8在以PQ为直径的圆内；

(ii)求四边形APBQ面积的最大值.

22

例20.(2024•新疆伊犁•高三校考阶段练习)已知椭圆C：=+3=1①>6>0)经过点

ab

尸。为坐标原点，若直线/与椭圆C交于42两点，线段/台的中点为直

线/与直线的斜率乘积为-1.

(1)求椭圆C的标准方程;

16

(2)若四边形OAPB为平行四边形，求四边形OAPB的面积.

例21.(2024•上海黄浦•高三格致中学校考开学考试)定义：若椭圆

22

。:5+马=13>6>0)上的两个点4(%，%)，8(%，%)满足呼+警=。，则称AB为该

abQ匕

椭圆的一个“共轨点对”，记作[4町已知椭圆C的一个焦点坐标为川-2亚,0),且椭圆C

过点A(3,l).

⑴求椭圆C的标准方程；

(2)求“共抽点对”[A叫中点B所在直线/的方程；

(3)设。为坐标原点，点尸，。在椭圆C上，且尸Q〃OA,(2)中的直线/与椭圆C交于两点

稣修，且4点的纵坐标大于0,设四点与2%。在椭圆C上逆时针排列.证明：四边形

耳尸不。的面积小于8g.

22

变式16.(2024・四川成都・高三石室中学校考开学考试)已知椭圆C|：=+[=1

ab

(a>6>0)左、右焦点分别为耳，F2,且8为抛物线G：/=8X的焦点，P(2,夜)为

椭圆G上一点.

⑴求椭圆G的方程；

(2)已知A,B为椭圆C1上不同两点，且都在x轴上方，满足串=；1月瓦

(i)若2=3,求直线4A的斜率；

(ii)若直线片A与抛物线丁=彳无交点，求四边形片8氏4面积的取值范围.

17

22

变式17.（2024・湖北•高三孝感高中校联考开学考试）已知椭圆E：3+}=l（a>6>0）的

离心率e=*,且经过点（夜，-1）.

（1）求椭圆E的方程；

⑵设直线/：丫=履+〃?与椭圆E交于/,B两点,且椭圆E上存在点“，使得四边形。4MB

为平行四边形.试探究：四边形。/儿"的面积是否为定值？若是定值，求出四边形

的面积；若不是定值，请说明理由.

变式18.（2024•浙江•高三浙江省普陀中学校联考开学考试）类似于圆的垂径定理，椭圆

22

c：\+A=l（a>A>0）中有如下性质：不过椭圆中心。的一条弦P2的中点为

ab

h2

M，当PQ,OM斜率均存在时，k-k=~,利用这一结论解决如下问题：已知椭圆

PQOMa

22

E-.土+匕=1,直线。尸与椭圆E交于A,8两点，且砺=3而，其中。为坐标原点.

819

⑴求点P的轨迹方程「；

（2）过点P作直线CD交椭圆E于C,。两点，使定+而=。，求四边形ACBD的面积.

变式19.（2024•浙江•高三舟山中学校联考开学考试）已知抛物线E：>=/与圆加：

+（丁一4）2=/（厂>。）相交于A,B,C,。四个点.

18

(1)当r=2时，求四边形ABC。的面积；

⑵四边形ABCD的对角线交点是否可能为"，若可能，求出此时厂的值，若不可能，请说

明理由；

(3)当四边形ABCQ的面积最大时，求圆M的半径厂的值.

变式20.(2024•四川成都・校联考模拟预测)已知椭圆G：鼻+/=1(”1)与椭圆

a

22

c2：卷+方=1(0＜万＜20)的离心率相同，且椭圆C2的焦距是椭圆CI的焦距的若

倍.

⑴求实数。和6的值；

(2)若梯形A3CD的顶点都在椭圆C］上，AB//CD,CD=2AB,直线BC与直线4D相交

于点P.且点P在椭圆Q上，试探究梯形A3CD的面积是否为定值，若是，请求出该定

值；若不是，请说明理由.

变式21.(2024•广东佛山•统考模拟预测)在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，

N(l,0),。为线段“V上异于的一动点，点尸满足踹=图=2.

(1)求点P的轨迹E的方程；

(2)点AC是曲线E上两点，且在X轴上方，满足AM//NC,求四边形4MNC面积的最大

19

值.

变式22.(2024•广东广州•高三华南师大附中校考阶段练习)已知。为坐标原点，

月(-1,0),工(L。)是椭圆E的两个焦点，斜率为:的直线4与E交于A,B两点,线段

A8的中点坐标为g],直线4过原点且与E交于C,。两点，椭圆E过。的切线为

4，的中点为G.

(1)求椭圆£■的方程.

(2)过G作直线。的平行线乙与椭圆E交于M,N两点，在直线人上取一点0使

CG=GQ,求证：四边形MQNC是平行四边形.

(3)判断四边形VQVC的面积是否为定值，若是定值请求出面积，若不是，请说明理由.

变式23.(2024・全国•高三专题练习)已知抛物线E：丁=工与圆河：

。-4)2+；/=/&>0)相交于4B,C,。四个点.

(1)当厂=2时，求四边形ABCD面积;

(2)当四边形ABQ)的面积最大时，求圆加的半径厂的值.

20

变式24.(2024•浙江•校联考模拟预测)已知椭圆G：与+J=l(q>b>0)的离心率为

ab

―,抛物线G：/=8y的准线与Q相交，所得弦长为2m.

2

(1)求。的方程；

⑵若A(%,％),矶々,女)在Cz上，且占<0<%,分别以为切点，作G的切线相交于点

P,点尸恰好在G上，直线ARBP分别交X轴于M,N两点.求四边形面积的取值范

围.

变式25.(2024•山东潍坊•三模)已知椭圆C：g+，=l(a>b>0)的离心率为孝，且过

点。m

⑴求椭圆。的标准方程；

(2)若动直线/：y=-gx+相(14机<2)与椭圆。交于4,8两点，且在坐标平面内存在两个定

点尸,2,使得七4%=%3=丸(定值)，其中初,左网分别是直线PAPB的斜率，kQA,kQB

分别是直线。AQ8的斜率.

①求2的值；

②求四边形P428面积的最大值

21

第71讲面积问题

知识梳理

1、三角形的面积处理方法

⑴以三.底・高(通常选弦长做底，点到直线的距离为高)

⑵％=3.水平宽-铅锤高=小郎层-*或％=¥叩为-九|

(3)在平面直角坐标系xOy中，已知△(?加的顶点分别为0(0,0),％),

NO：2,%)，三角形的面积为5=1y2-%2%|•

2、三角形面积比处理方法

(2)等角、共角模型

1

3、四边形面积处理方法

4、面积的最值问题或者取值范围问题

一般都是利用面积公式表示面积，然后将面积转化为某个变量的一个函数，再求解函数

的最值（一般处理方法有换元，基本不等式，建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有

界性求最值或利用导数法求最值，构造函数求导等等），在算面积的过程中，优先选择长度

为定值的线段参与运算，灵活使用割补法计算面积，尽可能降低计算量.

必考题型全归纳

题型一：三角形的面积问题之•底・高

2

22

例1.（2024•福建漳州•高三统考开学考试）已知椭圆C:=+与=1（。＞。＞0）的左焦点

ab

为£（-6,0）,且过点

⑴求C的方程；

⑵不过原点。的直线/与C交于P,Q两点，且直线。P,PQ,OQ的斜率成等比数列.

⑴求/的斜率；

（ii）求△。尸。的面积的取值范围.

【解析】（1）由题知，

椭圆C的右焦点为骂（道,0）,且过点《石,£|,

所以+百J+：+-4,

所以。=2.

又c=6，所以/?=yja2-c2=1,

所以C的方程为二+y2=i.

4-

（2）（i）由题知，直线/的斜率存在，且不为0.

设/:〉=履+机（〃件0）,尸（国,%）,。（马，%），

ii；；：4=0'所以（1+4/卜？+8kmx+4（m2-l）=0,

则

bt、rSkiTl4（以2—1

所以玉+々=口,%马=△―r

1+47左7121+4产

22

且A=64km-16（1+4朽乂病一°>0,BP4F-7??2+1>O.

因为直线。P,PQ,OQ的斜率成等比数列.

所以乂•&=F,即-也+而心+々）+分=左2,玉

3

―“22

所以*+苏=o,且那力1.

1+4左2

因为MH0,所以公=；,所以左=±g.

（ii）由（i）矢口4左2一〃，+1>0,后=±|>

所以0<根2<2,且加2。］.

设点。到直线PQ的距离为d,所以驾

7k+1

因为尢=土;，所以（占+尤2）2=4〃/,尤=2（苏一1）,

11ImII----

2

所以/0蛇=彳〃|PQ|=-t------rVl+^|再一司

227i+H

=；ImIJ（X]+%2）2-4%1%2-个川（2-m2）

=J—"2—1）+],

又。〈根2V2,且机2±i.所以SA°QW（0,1）

即△。尸Q的面积的取值范围（0』）.

例2.（2024•湖南常德•高三常德市一中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点

4：,0）,点B在直线/“=-；上运动，过点B与/垂直的直线和的中垂线相交于点

⑴求动点M的轨迹E的方程；

（2）设点P是轨迹E上的动点，点R,N在》轴上，圆C:（尤-1）2+/=1内切于△PRN,求

△PRN的面积的最小值.

【解析】（1）设点M（x，y）为轨迹上任意一点，由题意知，1MAi=|MB|,

所以动点M的轨迹E是以A（：,0）为焦点，以//=-；为准线的抛物线，

设其方程为y=2px（0>O）,所以=即P=l,故抛物线方程为V=2x,

所以动点"的轨迹E的方程为V=2x.

（2）设尸（%,%）,R（O,b）,N（O,c）,且2>c,

所以直线PR的方程为（,yo-b）x-xoy+xob=O.

圆C:（x—l）2+y2=i的圆心为（1,0）,半径为1,

因为圆C:（x-1y+V=1内切于△PRN,所以直线产尺与圆C相切，

4

\y-b+xb\

oo=1

则圆心（1,。）到直线PR的距离为1,即+x()2

则2x0Z?(y-6)+¥♦=考①,

2

因为％>2,所以化简①得，（xo-2）b+2yob-x0=0②，

圆。:。-1）2+丁=1内切于△PRN,所以直线PN与圆C相切,

同理可得（尤0-2）。2+2%。-%=。③，

由②③可知，b,c为方程（尤0-2）_?+2%尤-尤0=0的两根，所以1°,

bc=-一

.4一2

又b>c,%=2x0,%>2,

所以|"|=6一c=Jg+c）2-4历=）（-2）2-4（一三）=也片+化-%=三,

,%—2%-2%-2%-2

故△P7W的面积为5=（（6-。）/=工？=（%-2）+/?+4“每一2>」^+4=8,

2/一2%一/'x0-2

c4

等号当且仅当天-2=/工（%>2）,即％=4等号成立，

此时点P的坐标为（4,2a））或（4,-2a）.

故当户的坐标为（4,272）或（4,-2&）时,4PRN的面积取最小值8.

例3.（2024•浙江•模拟预测）我国著名数学家华罗庚曾说："数缺形时少直观，形少数

时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问

题加以解决，已知曲线C上任意一点P（x,y）满足机升夜了+产一］。一&y+y=2.

5

⑴化简曲线c的方程;

⑵已知圆O：f+y2=i(。为坐标原点)，直线/经过点A(皿0)(机＞1)且与圆。相切，过点

A作直线/的垂线，交C于M,N两点，求△(?肱V面积的最小值.

【解析1(1)，(了+收)+^_J(x-后y+L=2=＞«x+卧+y2=血丫+丁+2

n(x+V2)2+y2=(x-V2)2+y2+4IJ(X-A/2)2+y2+4x2-y2=1,由

(x+>/2)2+y2>(无一亚)？+;/得尤>0.

所以曲线C的方程是x2-y2=l(x＞0)；

(2)设A/a，%),N(%,%),直线MN方程是＞=左(工-机)，则直线/方程为y=-1(x-"z),即

k

x+ky—m=0f

\m\

直线/与已知圆相切，所以行\=1,贝b九2=r+1,

＞Jl+k2

x2-y2=l

由y得，(k2-l)x2-2mk2x+m2k2+1=0,

y=k(x-m)

2/221),

由题意△=4利一4伏一1)(„72公+1)=4(根公一犷+1)＞。c：m＞

加2后2+1

2mk2

玉+x>0,=---------->0,.•・左〈一1或左>1,

2k2-la2卜2—1

+12+%)2—41%2=

\MN\=J[卜]-x2\=Jl+/.Ja2"1+k)(：kk,

又原点o到直线MN的距离为d=Ji

Jr+1

・

,•uq^OMN

由左＜一1或左＞1得上2一1＞0，设/=%2_1,

旦旺华3“+5,+1。+5

2

(公一I)?ttP

24=4＞当且仅当好及时等号成立,

+—*2—>2

5r+y>2^5?—=1072,

当且仅当t=0时等号成立,

6

・"=及时，加焉=14+100,

：.F-1=6,即％=±J0+1时，(5^)^=714+1072.

22

变式1.（2024•河北秦皇岛•校联考二模）已知双曲线多-2=1（。＞0力＞0）实轴的一个端

ab

点是P,虚轴的一个端点是。，直线P。与双曲线的一条渐近线的交点为

⑴求双曲线的方程；

⑵若直线＞=履+!（0〈左＜1）与曲线C有两个不同的交点4民。是坐标原点，求AOAB的

面积最小值.

【解析】（1）设点尸（凡0），点。（0力），则直线P2的方程为二+；=1,

ab

a

"=1x=—

与渐近线y=?bx联立，得a?,解之得＜2

abb，

y=­x7=

a2

即直线PQ与双曲线的一条渐近线交点为

又直线P2与双曲线的一条渐近线的交点为

a

所以:即〃=8=1,因此双曲线方程为必―y2=i.

b

32

(2)

7

设把尸质+：代入xf

得（1_42-2苫-,_1=0,

则A=4+4（l-阴1*+j=4（l；+左）>0,占+%=占，%马=

=Jl+廿J（%+々）2_4%王=Jl+'2,[][2]-4.;

|A同=J1+左之|石—

j_

k-+\-k"

2F+1-fc4kr+1一/

S=^\AB\d=^x2^1+k