2024年中考数学押题猜想卷（含答案解析）

影却耳中考账号终极押二笈涮

押题猜想一选填题之几何图形综合问题

押题猜想二选填题之函数综合问题

押题猜想三选填题之规律探索问题

押题猜想四选填题之新定义问题

押题猜想五解答题之函数与实际问题综合问题

押题猜想六解答题之一次函数与反比例函数综合问题

押题猜想七解答题之用三角函数解决实际问题

押题猜想八解答题之几何图形的证明与计算问题

押题猜想九解答题之阅读理解问题

押题猜想十解答题压轴之几何综合

押题猜想十一解答题压轴之二次函数综合

押题猜想一选填题之几何图形综合问摩

终极密押。

：>t工（2024・江苏南京•模拟预测）如图，等边△AB。的边长为3,点。在边AC上，AD=：，线段PQ在

边6人上运动，。Q=；，有下列结论：①CP与QD一定不相等；②△AQD与ABCP可能相似；③四

边形PCDQ面积的最大值为泮善；④四边形PCDQ周长的最小值为3+誓.其中，正确结论的

1b2

C.①②③D.②③④

【答案】。

【分析】①通过分析图形，由线段PQ在边B4上运动，可得出QOVAPWCP,即可判断出CP与QD不可

能相等；②假设与△BCP相似，设AQ=①，利用相似三角形的性质得出AQ=/的值，再与AQ的

取值范围进行比较，即可判断相似是否成立;③过P作PE_LBC于E,过。作DF_LAB于F,利用函数求

：一1），。歹=£*笄=乎，可用函

四边形PCDQ面积的最大值，设AQ=c,可表示出PE=

数表示出S*BC，S皿Q,再根据S.C-SKBC-S^AQ，依据0WtW2.5,即可得到四边形PCDQ面积的最

大值;④作点。关于直线AB的对称点。,作。。2〃PQ,连接CD2交于点P,在射线P4上取PQ'=

PQ,此时四边形PCDQ'的周长为：CP'+DQ'+CD+P'Q'^CD2+CD+PQ,即此时四边形PCDQ周长有

最小值；再由。©'=。。'=。，AD=DD=AD=^-,/功力。可得

2/112AADXD2=120°,=90°,CD2+CD+

PQ的最小值，即可得解.

【详解】解:①线段PQ在边BA上运动，PQ=：,

：.QD<AP<CP,

.♦.CP与QD不可能相等，故①正确；

②设AQ—x,

,•*PQ—1，4B=3,

.•.044。43-/=2.5,即04：1：&2.5,

假设△AQ。〜ABCP相似，

•/乙4=/B=60°,

.AD=AQ_1_:&

"BPBC'3-^-x3'

/.2力2—5力+3=0,解得力=1或°=1.5（经检验是原方程的根）,•••

又・・・04力42.5,

/.解得的力=1或力=1.5符合题意,

即A4Q。与ABCP可能相似，故②正确；

③如图，过P作于E,过。作DF_L4B于F,

设AQ=x,

1I

由PQ=6，AB=3,得0&/Q&3—《=2.5,即0《2《2.5,

PB~3——xr

ZB=60°,

...PE=W(3—十一立)，

•••AD制,乙4=60。，

二上=异乎=乎，

:・S@BC=3BCXPE=士X3

SgAQ=^AQxDF=^-xXx^-=^-x,

.,・四边形PCDQ面积为：SAABC—S^pBC—S^DAQ=x3x3炉—当［得一力)-々弋+5《力,

2/4xZ7ooo

又・・・0＜力＜2.5,

.-.当。=2.5时，四边形PCDQ面积最大，最大值为：赵§+旦乌乂2.5=丝乌

8816

即四边形PCDQ面积最大值为整③，故③正确；

10

④如图，作点。关于直线AB的对称点A,作。。2〃PQ,连接CD.交AB于点P,在射线PA上取PQ'=

PQ,

此时四边形PCDQ的周长为：CP'+DQ'+CD+P'Q'^CD2+CD+PQ,即此时四边形PCDQ周长有最小

值

AAQ-DQ'=D2P,AD产D,D2=AD=y,

且

AADXD2=180°-AD,AB=180°-ADAB=120°,

/。伏。2=NDzADi=.°=30。，尔人。=90°,

在AD1AD2中，30°,A2=。，

AD-2=2AZ?I-COS30°=2xx，

在△AD2。中，

222

由勾股定理可得，CD2=^AC+ADl=^3+(^)=^Y~,

四边形尸CDQ'的周长为：

CP'+DQ'+CD+PQ'=CD代CD+PQ

T+(3-"

=3+孥^故④错误，

故选：C.

【点睛】本题综合考查等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、利用函数求最值、动点变化问题等知

识.解题关键是熟练掌握数形结合的思想方法，通过用函数求最值、作对称点求最短距离，即可得解.

题目（2024山东济南•模拟预测）如图,在菱形ABCD中,分别以4B为圆心，以大于^AB的长为半径

作弧，两弧相交于N两点，作直线恰好经过点D,与边AB交于点E,连接CE,以下四个结论中:①

AABC=120°；②4sAecE=SWDE；③2BE=AD；④如果CE=,那么DE=2代.其中正确结论的个数

是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】。

【分析】利用基本作图得至IDE垂直平分再根据菱形的性质得到AD=AB,AO〃BC,AB=CD,可

证&ABD是等边三角形，再根据性质即可判定①，根据平行线间的距离和菱形的性质即可判断②和③，由

勾股定理和30°角所对直角边是斜边的一半即可判断④.

【详解】连接BD,

由题意作图可知：OE垂直平分AB,

:.AD—BD,

：.四边形ABCD是菱形，

AD^AB,AD//BC,AB=CD,

:.AD=AB=BD,

：.△ABD是等边三角形，

/DAB=60°,

AZABC=120°,故①正确；

是AB中点，

：.BE=^-AB=^-CD,

：.2sABCE=SACDE,2BE=AD,故②错误，故③正确；

如图，过。作CF_L4B交AB延长线于点F,

易得四边形CDEF是矩形,

：.DE=CF,CD=EF,

：.l\AEDZABFC（HL）,

：.AE—BF—BE,

•：AD//BC,

：./CBF=/A=30°,

设BF=CB=x,

：.CF^V3x,EF^2x,

2222

在RXEF中，由勾股定理得：EF+CF^CE,即（2C）2+（，^C）2=（277）,

DE=CF=2x=2V3,则④正确；

综上可知：①③④正确，

故选：C.

【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质，勾股定理和平行线的性质，全等三角形的判定与性质,

熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

题目回（2023•山东聊城•二模）如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、AABE,ABCF,

且点A在,。尸内部.给出以下结论：

①四边形ADFE是平行四边形；

②当NBAC=130°时，四边形ADFE是矩形；

③当AB=AC时，四边形ADFE是菱形；

④当48=A。，且150°时，四边形ADFE是正方形.

其中正确结论有（填上所有正确结论的序号）.

【答案】①③④

【分析】本题考查了平行四边形及矩形、菱形、正方形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性

质，证明^EFB空AACB和/\CDFgACAB即可判断①；当ABAC=130°时，求出AEAD=110°即可判

断②；由4B=AC得到AE=AD即可判断③;由ZBAC=150°得到ZEAD=90°,得至IADFE是矩形，再

结合③即可判断④；熟练掌握特殊四边形的判定方法和性质是解题的关键.

【详解】解:①：AACD、△ABE、△CBF是等边三角形，

：.BE=AB,BF=CB,NEBA=NFBC,AC=AD,

：.ZEBF=AABC=60°-AABF,

：.AEFB空^ACB（SAS）,

：.EF=AC,

:.EF=AC=AD,

同理由△CDF空△CABX”F=AB=AE,

由AE=DF,AD=EF即可得出四边形ADFE是平行四边形，故结论①正确；

②当/氏4。=130°时，

AEAD=360°-ABAE-ABAC-ACAD=360°-60°-130°-60°=110°,

由①知四边形4DFE是平行四边形，

平行四边形ADFE不是矩形,故结论②错误；

③由①知力B=AE,AC=4D,四边形AEFD是平行四边形，

当=时，AE=AD,

平行四边形ADEE是菱形，故结论③正确；

④当/24。=150°时，

=360°-ABAE-ABAC-/CAD=360°-60°-150°-60°=90°,

•••ADFE是平行四边形，

5

四边形ADFE是矩形，

又由③知四边形ADFE是菱形，

四边形4DFE是正方形，故结论④正确；

故答案为：①③④.

W7押题解读

几何图形选填压轴题含特殊三角形、特殊平行四边形、圆等综合问题是全国中考的热点内容,更是全

国中考的必考内容，该题型难度较高，以等腰三角形、直角三角形等为基础的多解题，特殊四边形与圆为

载体的几何求解问题是高频考点、必考点，所以必须提高对几何图形性质的理解和掌握，但是每年都有一

些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

寓。押题预测。

^■^（2024山东济南・模拟预测）如图,在矩形488中，人8=6,3。=8,点"，z分别在边40,反7

上.沿着直线AW折叠矩形ABCD,点分别落在点处，且点F在线段CD上（不与两端点重合）,

过点用■作于点连接BF.已知下列判断：

①MN1BF；②4MHN〜4BCF；③^^=之；④6VMNC卑.

BF42

其中正确的是.（填写所有正确结论的序号）

【答案】①②③④

【分析】根据折叠的性质可判定①正确；根据矩形的性质和三角形的内角和定理即可判定②正确；根据AW

最大值和最小值时F的位置可判定③正确；求得tan/FNC的值,可判定④正确；从而求解.

【详解】解:如图1,由折叠可知①正确;

AZBOM=90°,

：.NBHP=90°=NBOM,

VABPH=AOPM,

：.ACBF=ANMH,

•；ZMHN=ZC=90°,

：./\MHN〜ABCF，②正确;

•：AMHN-ABCF,

.MN_MH£=，③正确;

"BF~BCo4

当F与。重合时，皿N=6,此时7W最小,

当F与。重合时，如图，此时MN最大,

由勾股定理得：BD=V62+82=10,

•：OB=OD=5,

•—得嘴,即等号

：.ON=^-,

■：ADIIBC,

：.4MDO=4OBN,

(ZMDO=AOBN

在△MOD和△NOB中，(OD=OB,

[ADOM=ABON

：./\DOM^ABON(ASA),

：.OM=ON,

:.MN=2ON=9,

•.•点F在线段CD上(不与两端点重合)，

折痕AW的长度的取值范围为6〈1W＜号;

综上,①②③④都是正确的，

故答案为：①②③④.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质，解答本题主

要应用了矩形的性质、翻折的性质，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合得到相等的边和角是解题的关

键.

〔题目回（2024・四川达州・二模）如图，在正方形ABCD中，点E是。。边上一点，连接AE与对角线BD交于

点P,过点P作PFLAE交BC于点连接AF交BD于点G,下列四个结论:①AP=PG②DE+BF

=EF；③PB-PD=•©S会".其中正确结论个数为（）.

BFC

A.1B.2C.3D.4

【答案】。

【分析】由题意易得ZAPF=Z.ABC=NADE=ZC=90°,AD=AB,NABD=45°,对于①：易知点?1、

B、F、P四点共圆,然后可得AAFP=AABD=45°,则问题可判定；对于②:把△AED绕点A顺时针旋转

90°得到&ABH，则有DE=BH,4DAE=NBAH，然后易得△AEP笃/\AHF，则有HF1=EF,则可判定；

对于③:连接4。,在BP上截取BM=DP,连接AM■，易得OB=OD,OP=■，然后易证△AOP〜

△ABF，进而问题可求解;对于④，由③可得=挈，进而可得△APG〜AAFE,然后可得相似比为

AF2

=卒，最后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可求解.

A.F2

【详解】解：・・•四边形4BCD是正方形，PF_LAP,

・・.AAPF=AABC=/ADE=AC=90°,AD=AB,/ABD=45°,

・・・ZABC+AAPF=180°,

・・.ZBAF+ZBFF=180°,

・••点四点共圆,

・•.ZAFP=AABD=45°f

：.△APF是等腰直角三角形，

・•.AP=PF,故①正确；

②把4AED绕点A顺时针旋转90°得至UAABH，如图所示:

:・DE=BH,/DAE=/BAH,AHAE=9Q°,AH=AEfZABH=ZADE=AABC=90°,

・・.ZHAF=ZEAF=45°f

・・・/ABH+/ABF=180°,

・・・H、B、F三点共线,

又,/AF=AF,

：.LAEFEAAHF(SAS),

:・HF=EF,/AFE=/AFB

-HF=BH+BF,

・・.DE+BF=EF,故②正确;

③连接4。交8。于O,在BP上截取BA/=OP,连接AM,如图所示:

：.OB=ODfBD.LACf

・・.OP=O河，△AOB是等腰直角三角形，

AB=V2AO,

由①可得点A、B、F、P四点共圆，

・・・AAPO=ZAFB,

・・・ZABF=ZAOF=90°,

・・・AAOF-AABF,

.OP=04=AP=2

：.OP=^-BF,

•；BP—DP=BP—BM=PM=2OP,

：.PB—PD=故③正确；

④由③可得当_=w，

Ar2

NAFB=NAFE=AAPG,NFAE=ZPAG,

：.AAPG〜AAFE,

.GP_AP_42

"~EF~~AF~^T,

.S&AGP_(V2\2_1

•・S入EF_g'

^AAGP=~^~^AAEF)故④正确；

综上所述：以上结论正确的有①②③④；

故选：D.

【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正

方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键.

、题目回（2024.内蒙古乌海.模拟预测）如图，在Rt/XACB中，/ACB=90°,AC=BC，。是上的一个动

点（不与点A,B重合），连接CD,将CD绕点、。顺时针旋转90°得到CE,连接DE,DE与47相交于点F,

连接AE.下列结论：

①4ACE叁"CD；

②若ABCD=25°,则NAED=65°；

③。W=2CF-CA；

④若AB=3V2,AD=2BD,则AF=得.

O

其中正确的结论是.（填写所有正确结论的序号）

【答案】①②③

【分析】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，

相似三角形的判定和性质，勾股定理,判断出△4SE空△BCD是解本题的关键.先判断出2BCD=

NACE,即可判断出①正确；先求出/BDC=110°,进而得出/AEC=110°,即可判断出②正确；先判断出

/CAE=/CEF,进而得出△CEF〜/XCAE,即可得出C®2=CF-47,最后用勾股定理即可得出③正确；

先求出BC=AC=3,再求出打0=传进而求出CE=CD=A/K,求出。歹=得，即可判断出④错误.

【详解】解：・.,乙4cB=90°,

由旋转知，CD=CE,ZDCE=90°=ZACBf

・・・/BCD=/ACE,

（BC=AC

在△BCD和△ACE中，（ZBCD=NAC®,

[CD=CE

：./XBCD丝AACE,故①正确；

・・・ZACB=90°,BC=AC,

・•・ZB=45°

・・・/BCD=25°,

・•.ZBDC=180°-45°-25°=110°,

•・•4BCD注丛ACE,

・•.ZAEC=ZBDC=110°,

・・・ZnCE=90°,CD=CE,

・•・/CEO=45°,

则AAED=AAEC-ACED=650,故②正确；

•••△BCD空△4CE,

・・・/CAE=ACBD=45°=ACEF,

・・・4ECF=/ACE,

：.ACEF〜4CAE,

.CE=CF

"AC-CE，

CE^CF-AC,

在等腰直角三角形COE中，。炉=2。£2=2。？4。,故③正确;

如图，过点。作。G_LBC于G,

-：AB=3V2,

：.AC=BC=3,

・：AD=2BD,

BD=-^AB=A/2^,

o

・•.DG=BG=1,

:,CG=BC-BG=3—、=2,

在Rt/\CDG中，根据勾股定理得，CD=VCG2+DG2=V5,

•:丛BCD咨4ACE,

：.CE=V5,

2

・・•CE=CF-ACf

,CE2_5

AF^AC-CF^3-4=4-故④错误，

oo

故答案为：①②③.

押题猜想二选填题之函数综合问题

:魅。终极密押。

题目工j（2024.山东临沂.二模）己知二次函数V=瀛+皈+温片0）与3；轴的一个交点为（4,0）,其对称轴为

直线x=1,其部分图象如图所示，有下列5个结论:①abc<0；②4ac<0；③9a+3b+c=0；④8a+c

=0；⑤若关于a?的方程ad+b,+c=-1有两个实数根立卜电,且满足21</2,则2,g>4.其中正确

结论的个数为（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】。

【分析】本题考查了抛物线和c轴交点的问题以及二次函数与系数的关系，灵活运用二次函数的性质，学会

利用函数图象信息解决问题是关键.根据对称轴为直线2=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从

而判断①;根据函数图象与立轴的交点个数，可判断②;可求得图象与2轴的另一个交点坐标为（一2,0）,由

当a;=3时，y>0,可判断③；由当,=—2时，9=0,可判断④：把ax2+bx+c=-1看为y—ax2+bx+c与

y=-1的图象的交点问题，可判断⑤;从而解决问题.

【详解】解：•.•抛物线开口向下，

10

a<0,

抛物线对称轴为直线力=1,

・—2=1

2a，

/.b=-2a>0,

抛物线交g轴的正半轴，

c>0,

abc<0,故①正确；

・.,该函数图象与力轴有两个不同的交点，

・,・方程加2+版+。=0有两个不相等的实数根，

/.b2—4ac>0,故②不正确；

抛物线的对称轴为直线4=1,

.,•点（4,0）关于直线力=1的对称点的坐标为（一2,0）,

当力=3时，g=9a+3b+c>0,故③不正确；

抛物线y—aa?-\-bx+c经过点（一2,0）,

4a—26+c=0,

*.*b=—2a,

上4a+4a+c=0,即8a+c=0,故④正确；

函数图象与力轴的交点坐标分别为（—2,0）和（4,0）,

令y二-1,则aa^+bx+c=—1,

/.直线g=-1与抛物线g=a/2+b/+c的交点的横坐标分别为xlyx2,

：.由图象可知：的V—2,4,故⑤正确；

故正确的有3个，

故选：C.

题目区（2023•广东佛山•一模）如图，点A在双曲线y=>0,c>0）上,点B在直线l：y=mx—26（m

>0,6>0）上，人与B关于加轴对称，直线Z与夕轴交于点。，当四边形AOCB是菱形时，有以下结论:①

A（b,3b）②当b=2时,A;=4，^③=④S四边形A0=2*则所有正确结论的序号是.

OcB

【分析】①根据菱形的性质和勾股定理计算点4的坐标即可判断;②根据①中的坐标,直接将6=2代入即

可判断;③先求出点B的坐标，再代入一次函数的解析式可判断;④根据菱形的面积=底边X高即可可解

答.

【详解】解：如图：①O二小力—2b中，当①=0时，g=—2b,

:.C（0,—2b）,

:.OC-2b,

•.•四边形AOCB是菱形，

,A8=OC=OA=2b,

•••A与B关于力轴对称，

：.AB±OD,AD=BD=b,

：.OD=J(2b)2-J=V3b,

4同6,6);故①不正确；

②当6=2时，点A的坐标为：(2—,2),

k=2V3x2=4V3,故②正确；

③1/A(V3b,fe)，人与B关于c轴对称,

73(V36,—b),

,点B在直线y=mx—26上，

V3bm—2b——b,

：.m=,故③正确；

o

④菱形AOCB的面积=AB•OD=2b•代6=故④不正确；

所以本题结论正确的有：②③.

故答案为：②③.

【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题、坐标与图形性质、勾股定理，关于立轴对称、菱

形的性质等知识点，掌握函数图象上的点满足对应函数的解析式是解本题的关键.

押题解读

一次函数、二次函数、反比例函数在中考选择题、填空题考场中是热点内容，更是全国中考的必考

内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分，复习环节重在

提高学生对函数图象和性质理解和掌握的能力.

|^o押题预测。

题目区(2024・贵州遵义•一模)如图，点A在沙=箕侬>0)的图象上，过点A作，轴,垂足为过点

A作轴,垂足为。，交夕=色(,>0)的图象于点H,连接OH.若AE=3CE,四边形。历出的面积

X

为7,则J7Z,71的值正确的是()

A.m=6,n=4B.m=4,n=1C.m=12,n=3D.m=8,n=2

【答案】。

【分析】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义，根据AE=3CE,得至I4CE，进而得到巾=4",

根据四边形OBAE的面积等于小―治=7,进行求解即可.

【详解】解：由图可知：馆＞0,九＞0,

AB_L4轴，AC_Lg轴，点A在g=—{x＞0）的图象上，点E在g=力＞0）的图象上，

xx

••S四边形034。=%,S^OCE=5，

•：AE=3CE9

：.AC=4CE,

/.m=4n,

n

四边形OBAE的面积寺于S四边形OBA（J—S△OCE=M）=~2~7,

/.n=2,

m=8;

故选D

【题目⑷（2024・贵州•模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中有一反比例函数y=一反过第一象限内的点

X

P分别作，轴，夕轴的垂线，与y轴，，轴分别交于A、B两点,与双曲线分别交于C、D两点.则以下结论

中，正确结论的序号是（）

①存在无数个点P使S^oc=SABO。

②存在无数个点P使Saoa=S"OB

③存在无数个点P使四边形OAPB的面积=S&CD

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】。

【分析】本题考查反比例函数与几何的综合，解题的关键是掌握反比例函数图象和性质，三角形的面积，依

次判断，即可.

【详解】设点P（a,b）,

Ss℃=yx|AC|x|AO|=£x|-6|=3,S^OD=y*\BD\xQB|=-x6|=3,

S△noc=S.OD，

・・・①正确;

**S^pOA=]x\AP\x\AO\=]x|Q|x|6|,S^POB=义\OB\x\PB\=^-x|a|x\b\,

$.04=SAPOB；

・•・②正确；

...四边形OAPB的面积为：|4P|x\OA\=\ab\,廿5XmX+6|=3+禺

2IbIIaI\ab\

令\ab\—m,

13

当SAOAPB=SiCD时，巾=3+,

1Am

解得：7711=6,馆2=—3（舍去），

ab—6,

.•.点P在函数y=—时，满足题意,

x

此时P点有无数个，

③正确,

正确的为：①②③.

故选:D.

剧目回（2023・江苏无锡•模拟预测）二次函数y=x2+（2m-1）。+2m（m大方）,有下列结论：

①该函数图象过定点（一1,2）；

②当?71=1时，函数图象与C轴无交点；

③函数图象的对称轴不可能在沙轴的右侧；

④当1告时，点P（叫，佻）,Q（g,纺）是曲线上两点，若一3Vg<—2,—Vrr2Vo，则%>纺.

其中，正确结论的序号为.

【答案】①②④

【分析】本题考查的是二次函数综合题，解题的关键是熟练理解并综合运用二次函数的各个特征.

222

将抛物线整理为y—rr+（2m—l）x+2m—x+2mx-x-\-2m—2m（x+1）+x—xf即可判断①；将m=1

代入并计算62-4ac即可判断②;计算抛物线对称轴并根据可判断③;根据题意确定对称轴的范围

后可确定P、Q的位置，根据增减性可判断④.

222

【详解】解：y=a?-F（2m—1）力+2m—x+2mx—力+2m—2m（x+1）+x—xf

当x=-l时，g=2,

・・・该函数图象过定点（一1,2）,故①正确，符合题意；

当Tn=1时，g=x2-\-x+2,

令g=0,则x2-\-x+2=0,

vA=l2-4xlx2=-7<0,

当771=1时，函数图象与N轴无交点，故②正确,符合题意；

抛物线的对称轴为直线x=--^-=--”色=弓■—m,

•…4，

1

当m■时，对称轴在g轴左侧，当m.V■时，对称轴在y右侧，故③错误,不符合题意；

Vl<m<y,

11

1<——m<--—,

22

-3VgV-2,—V力2V0,

/.P（g,gi）在对称轴左侧，。（力2,纺）在对称轴右侧，

*.*a=1>0,

・•・抛物线开口向上，在对称轴左侧，沙随力增大而减小，在对称轴右侧，沙随力增大而增大，

.

当x=—2时，阴最小=U=4—4m+2+2m=—2m+6,

当2=0时，加最大=2小，

此时，y1—y2=—^m+6,

Vl<m<y,

—47TI+6>0,

yi>y2,故④正确，符合题意；

综上所述,正确的是①②④，

故答案为：①②④.

题目(2024.青海西宁.一模)二次函数y=ax-\-bx+c(a0)的g与/的部分对应值如下表:

X-1013

y0-1.5-20

根据表格中的信息，得到了如下的结论：

①abc<0

②二次函数9=。/2+瓶+。可改写为g=aQ—I/—2的形式

③关于力的一元二次方程a/2+b/+c=—1.5的根为力1=0,力2=2

④若g>0,则力>3

⑤当。>2时，g有最小值是—1.5

其中所有正确结论的序号是()

A.①②④B.②③⑤C.①③⑤D.②③④⑤

【答案】B

【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据表格数据，确定抛物线的对称轴和顶点坐标，开口方向与g轴

的交点坐标，判断①②,对称性以及抛物线与一元二次方程的关系，判断③,增减性，判断④⑤，解题的关键

是确定抛物线的对称轴.

【详解】解：由表格可知：力=—1和力=3的函数值相同，

/.抛物线的对称轴为直线：/=一了3=1,

・・・顶点坐标为：(1,一2);

当力=0时，g=c=—1.5V0,

在对称轴的左边"随着x的增大而减小，在对称轴的右边g随着力的增大而增大，

抛物线的开口向上，

a>0,

对称轴为直线/=--^—=1>0,

2a

b<0,

/.abc>0,故①错误，

・・,顶点坐标为(1,-2),

2

・••二次函数g=a/+b力+°可改写为y—a(^x_l)—2的形式；故②正确；

,/当力=0时，g=-1.5,对称轴为x—1,

/.当力=2时，g=—1.5,

关于I的一^二次方程a^?-\-bx+c=—1.5的根为力产0,62=2;故③正确；

x=—1时g=0,N=3时，g=0,在对称轴的左边y随着x的增大而减小，在对称轴的右边g随着力的增

大而增大，

・,.若g＞0,则力＞3或力＜—1,故④错误；

当力＞2时，g随着力的增大而增大，

上当力=2时，g有最小值是一1.5;故⑤正确；

故选R

押题猜想三选填题之规律探索问题

：®O终极密押。

Mi』（2023•重庆九龙坡•一模）己知了”（力）［㈤=力（乃+f2（x）+力3）+…+九3）（九为正整数）,

下列说法:①/“（2023）+力（盛•）―②小丑+耳+--+-

力什）力⑶力田于代）

gr；④若?/=中九⑴一Z（t）+3,则?/的最小值为3.其中正确选项的个数是（）

n+1t

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】根据新定义得出盒3）=彳/，。（工）=£—,进而判断①②;根据新定义得出北㈤=

1+力'力，1+力

2（：：九）2，进而根据分式的性质化简判断③，根据已知条件化简0,得出夕=_X（t_iy+［，根据二次函

XIX//

数的性质即可求解.

【详解】解:•./（,）=吊

力_n

1+61+力

“”(2023)+川盛)=+1T—一故①正确;

•・W，心=?

.以(6)nxv1+a;

f1+力n

x)

...，(?+力(?+'3(?二九(：)=i+2+3H\-n=gn(n+1)=-^-(n2+n),故②不正确;

力田力田附)"22

・"(，)=?,*=力㈤+*)+W+-F(M=Tf7+2+-+?=l^^

1)]，=3―2,+1+八_]=以"_])=_<q,故③不正确

北3)y(n2+n)a;n2+nn(n+1)n+1n+1

若U=[力。)一Z«)+3

今（廿+力）力

1+tt2

即沙=X+3

t1+t1+力

16

=力-抨+3

Av的最大值为日，没有最小值,故④不正确，

故选：B.

【点睛】本题考查了新定义运算，分式的混合运算，二次函数的性质求最值，熟练掌握分式的化简求值，理解

新定义是解题的关键.

目jJ（2023•山东烟台•模拟预测）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为

（1,0），点。的坐标为（0,2），延长CB交c轴于点4,做第1个正方形45GC；延长CiBi交，轴于点4,做

第2个正方形4B2。2G…，按这样的规律进行下去，第2023个正方形的面积为（）

20033\20220\4044

C.5xD.5x,

【答案】A

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，点的坐标规律.解此题的关键是计算前三个

正方形的面积，从中找出规律&=5X既广.根据相似三角形的判定原理，得出ZkAAiB〜△44A,继

而得知ZBAA=利用勾股定理计算出正方形的边长；最后利用正方形的面积公式计算前三个正

方形的面积，从中找出规律.数形结合找出规律是解决问题的关键.

【详解】解：设正方形的面积分别为S,Si,S2---,Sn,

根据题意得40//BC〃QA//C2B2,

/.Z.BAAX—Z.B1A1A2—Z.B2A2X（同位角相等）.

Z.ABAi=Z.A2B2X

Z.AXBXA2—=90°,

在RtAADO中,根据勾股定理得AD=y/O^+OD=V5,tanZADO=会鲁=-y,

•/tan—tan/ADO,

AB

••.BA产呆B=亨，

CAy=V5+=-yV5,

同理，得G4=(|-V5)x(1+»

由正方形的面积公式，得S=(V5)2=5,

222

S1=(V5)X(1+^)=5X(1),

S?=(西)2x(l+»=5x居『，

Sa=(V5)2X(1+^-)6=5X(1)6,

2

由此可得Sn=(V5)X(1+］广=5x怎厂.

4046

/.第2023个正方形的面积为5x居广智=5x(I),

故选：A.

题目①(2023•广东东莞•三模)如图,正方形ABCD的边长为2，其面积标记为J,以CD为斜边作等腰直角

三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为52,…按照此规律继续下去,

则S2023的值为()

A.(孚广。B.悟广C.(1)2020D.(1)2021

【答案】。

【分析】根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理以及三角形的面积公式可得出部分S1、52、S3、S4的值,

根据面积的变化即可找出变化规律&=4x依此规律即可解决问题.

【详解】解：•・•△CDE是等腰直角三角形，

:.DE=CE,ZCED=90°,

：.亦=DE'2+CE2^2DE2,

：.DE^~CD,

即等腰直角三角形的直角边为斜边的三倍，

8=22=4=4

S2=(2〉％=2=4X(打,

S；产(V2x^)=l=4x(1)2,

-4x(打，

.2=4x(4口

­,•<q52023—4xX(1V022-(1V020.

故选：C.

【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面

18

积的变化找出变化规律'&=4x］广是解题的关键.

自押题解读

规律探索问题在各地市的中考试卷中有五种常见类型：（1）数式规律；（2）图形个数规律；（3）图形的递变

规律；（4）图形的循环规律；（5）图形的递变加循环规律.规律探索问题是中考考试中经常出现的一个问

题，它通常以“数式”或“图形”为设计问题的蓝本，以考查学生解决问题的全面性、辩证性、流畅性及建模

思想。这类问题最大的特点在于“有规律”上，即在数式或图形分布中,从简单到复杂，让学生寻找各个数

式或图形之间的内在的，本质的,稳定的、反复出现的形态,从而利用数学建模的思想解决此类问题。

■。押题预测。

题目@（2023•宁夏银川•三模）如图,在平面直角坐标系中，点A在V轴的正半轴上，。4=1,将绕点。