2024年中考数学考试易错题：圆

专题09圆

易错点1:圆中的平行弦

易错点2:垂径定理

易错点3:弧、弦、圆心角关系

易错点4:圆心角

易错点5:圆周角

易错点6:点与圆位置关系

易错点7:直线与圆位置关系

易错点8:三角形的外接圆

易错点9:三角形的内切圆

易错点10：切线的性质与判定

易错点11:圆内接四边形

易错点12:正多边形与圆

易错点13:弧长和扇形面积

易错点14:圆与三角形结合

易错点15:圆与四边形结合

易错点16:圆与一次函数结合

易错点17:圆与反比例函数结合

易错点18:圆与二次函数结合

易错点19:圆与相似结合

V

易错点20:圆与三角函数结合

易错点21:圆的新定义

易错点22:圆的无刻度尺作图

\

易错点23:阿基米德折线定理

易错点24:阿氏圆

易错点25:秦九韶一海伦公式

易错点26:托勒密定理

圆专题

易错点：

1.对圆的定义理解不清：学生可能会混淆圆的定义，认为所有的曲线都是圆，或者认为圆只能由圆心和一

个点确定。实际上，圆是由一个固定点（圆心）和所有到该点距离相等的点组成的集合。

2.对圆的性质理解不透彻：例如，学生可能不理解为什么圆的周长和面积与半径有关，或者为什么直径是

圆内最长的弦。

3.对圆的对称性和旋转性理解不足：学生可能无法正确理解和应用圆的对称性和旋转性，这会影响他们解

决与圆相关的问题。

4.计算错误：在进行圆的周长、面积、圆弧长度等计算时，学生可能会出现计算错误。这可能是由于对公

式理解不清，或者计算技能不熟练导致的。

5.忽视单位：在进行圆的计算时，学生可能会忽视单位的问题，导致计算结果错误。例如，他们可能会将半

径的单位误认为是厘米，而实际上应该是米或毫米。

6.对圆与其他几何图形的关系理解不清：例如，学生可能无法理解为什么圆与直线、其他圆、三角形等几

何图形之间的关系会影响圆的性质。

7.对圆心角与弧长的关系理解不足：学生可能会混淆圆心角与弧长的关系，无法正确地将它们联系起来。

实际上，弧长与圆心角之间的关系是通过圆的半径来建立的，弧长等于圆心角（以弧度为单位）与半径的

乘积。

8.对圆的切线理解不清：切线是与圆只有一个交点的直线。学生可能会对切线的性质感到困惑，例如切线

与半径垂直、切线长定理等。

9.对圆的内接和外接多边形理解不足：在学习多边形与圆的关系时，学生可能会对内接多边形和外接多边

形的概念感到混淆，无法正确理解它们的性质。

10.忽视图形的动态变化：在处理与圆相关的动态问题时，如滚动圆、旋转圆等，学生可能会忽视图形的动

态变化，导致解题错误。

易错点1：圆中的平行弦

例：0。的半径是10,或AB〃CD,/3=16,CD=12,则弦与CD的距离是（）

A.2B.14C.2或14D.7或1

【答案】C

【分析】本题考查了垂径定理的应用.作42于E,OFLCD于F,由垂径定理得

AE=-AB=S,CF=-CD=6,由于/3〃CD,易得E、。、尸三点共线，在Rt^ZOE和RMOC厂中，利

22

用勾股定理分别计算出OE与OF,然后讨论：当圆心O在弦AB与CD之间时，AB与CD的距离=OF+OE；

当圆心。在弦AB与CD的外部时,AB与CD的距离=OF-OE.

【详解】解：如图，作于E,OFLCD于尸,连。4OC,。4=。。=10,

AB//CD,

:.E、0、尸三点共线，

在RtAAOE中，OE=y/OA2-AE2=A/102-82=6，

在RMOC/中，OF=NOC2-CF。=JlO2*=8,

当圆心。在弦48与CD之间时，48与CD的距离Ob+OE=8+6=14；

当圆心。在弦48与CD的外部时，与。的距离。b-0E=8-6=2.

所以与CD的距离是14或2.

故选：C.

变式1：在圆中两条平行弦的长分别6和8,若圆的半径为5,则两条平行弦间的距离为.

【答案】1或7/7或1

【分析】如图，AB//CD,AB=6,CD=8,过。点作OEL43于E,交CD于尸点，连。4OC,根据

垂径定理得AE=BE=；AB=3,由于EFVAB,则成工。，根据垂径定理得

CF=FD=；CD=4,然后利用勾股定理可计算出OE=4,OF=3,再进行讨论即可求解.

过。点作OE_L48于£,交CD于F点、,连。40C,

AE=BE=-AB=3,

2

---AB//CD,EFLAB,

：.EF1CD,

：.CF=FD=LCD=4,

2

在中，04=5

OE=sJo^-AE2=后吁=4，

同理可得。尸=3,

当圆心。在48与CD之间时，AB与CD的距离=。£+。尸=4+3=7；

当圆心。不在AB与CD之间时，AB与CD的距离=OE-OF=4-3=1.

故答案为7或1.

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键.

变式2：如图，在0O中，AB是。O的直径，AC=AD,48交CO于E,直径CM交40于N,连接

⑴求证：AB//DM-,

(2)若。£=4,ON=2,求。。的半径.

【答案】(1)见解析

(2)1+画

2

【分析】(1)根据垂径定理得到/3LCD,根据圆周角定理得到MD，CD,根据平行线的判定定理即可得

到结论；

(2)根据等腰三角形的性质得到CE=O£,根据三角形的中位线定理得到。"=2。£=8,根据相似三角

形的性质即可得到结论.

【详解】(1)证明：：/C=AD,

■■ACAD>

・・Z5是。O的直径,

ABLCD,

〈CM是。。的直径,

JMDVCD,

：.AB//DM；

(2)AC=AD,ABLCD,

：.CE=DE,

OC=OM,

:・DM=2OE=8,

,/AB//DM,

：.VAON:VDMN,

.AOON

DM~~NM'

・AO-2

-8-AO-2,

・"、屈

・・AO=1+--,

2

故。。的半径为1+①.

2

【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的判定，垂径定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角

定理是解题的关键.

易错点2：垂径定理

例：如图，为OO的直径，弦CD交AB于点,E,BC=BD,NCDB=3G,NC=2百，则。£=()

【答案】D

【分析】

本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形.根据垂径定理的推论可得43LCD,再由圆周角

定理可得ZB/C=NCO8=30。，根据锐角三角函数可得/E=3,NB=4,即可求解.

【详解】解：助,

■■BC=BD，

'：为。。的直径，

ABVCD,

VABAC=ZCDB=30°,AC=2^3,

AE=ACxcosZBAC=3,

为。。的直径，

ZACB=90°,

AT

・・.AB=-------------=4,

cos^BAC

：.CM=2,

OE=AE-OA=\.

故选：D

变式1：如图，为OO的弦，C为。。上一点，于点。.若0/=丽，AB=6,则

【答案】叵

10

【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了解直角

三角形.先利用垂径定理得到=3,再利用勾股定理计算出OD,然后根据余弦的定义求解.

【详解】解：AB=6,

：.ZADO=90°,AD=BD=-AB=3,

2

在RtA/OZ）中，OA=sllO,

OD=OD=y/OA2-AD2=1>

cosZAOD=OP_iVio

CM一而一］0

故答案为：巫.

10

变式2：如图，正方形4BCD内接于O。，点E为的中点，连接CE交8。于点尸，延长CE交。。于点G,

G

⑴求证：FB2=FEFG

(2)若48=10,求F5和EG的长.

【答案】(1)详见解析

(2)尸5=41EG=45

【分析】

(1)证明AEEBSAAFG,利用相似三角形性质解答即可;

(2)连接证明A。跖SqC尸，利用相似三角形性质求得EB；利用相交弦定理求EG即可.

【详解】(1)

证明：,•・四边形是正方形,

AD=BC,

:.AD=BC-

■./DBA=NG.

:ZEFB=ZBFG,

*.^EFBs心FG,

FB_EF

'FG-FB'

.FB?=FEFG;

(2)解：连接。£,如图,

G

vAB=AD=10,ZA=90°,

:.BD=>JAD2+AB2=V102+102=10V2•

:.OB=-BD=5y[2.

2

•••点£为/5的中点，

:.OE1AB,

•・•四边形45CD是正方形，

:.BCLABfZDBA=45°,AB=BC,

:.OE//BC,

;.4EFSBCF,

•••OE=BE=-AB.

2

.OF_OE

'FB~BC~2'

OB-BF_1

BF2

5五-BF1

.,.---------------_9

BF2

:.FB=*

3

,・,点E为45的中点,

/.AE=BE=5,

EC=y/BE2+BC2=V52+1023=575•

vAEBE=EGEC,

「.5x5=EGx5^f5，

：.EG=B

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，相似三角形的判定与性质，平

行线的性质，勾股定理，相交弦定理，灵活运用上述定理及性质是解题的关键.

易错点3：弧、弦、圆心角关系

例：如图，在。。中，是。。的直径，ADAC=20°,弦CD=CB,则乙4DC=()

B.110°C.120°D.150°

【答案】B

【分析】本题考查弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理的推论，圆内接四边形的性质.根据弧、弦、圆心

角的关系结合圆周角定理可求出NC48=ND/C=20P,再根据直径所对的圆周角为直角可求出ZB=70。，

最后根据圆内接四边形的性质求解即可.

【详解】解：：弦CD=C3,

ZCAB=ADAC=20P,

是。。的直径，

Z4c8=90°,

，NB=90°-ZCAB=70°,

：.ZZ)=180°-Z5=110°.

故选：B.

变式1：如图，在。。中，48=/C,点F为直径/。上一点，连接CF并延长交于点G,交。。于点E,

若/G=/尸，BG=4,GF=6,则的长为.

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的基本性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的

性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键.设4G=4P=x,则力5=x+4,连接5户，根

据已知条件得到=根据全等三角形的判定和性质得到乙4q=/4尸C,根据等腰三角形的性质

得至IZAGF=ZAFG,根据相似三角形的性质即可得到结论.

【详解】解：设ZG=4F=%,则/3=x+4,连接8尸，

'ABD=ACD，油=比，

；・BD=CD，

：./BAD=/CAD,

在△4BF与△4CF中,

AB=AC

<NBAF=NCAF,

AF=AF

：.AABF^AACF(SAS)

ZAFB=ZAFC,

VAG=AF,

・•・ZAGF=ZAFG,

：./BGF=/AFC,

JZBGF=ZAFB,

ZABF=ZFBG,

/.小ABFs^FBG,

.BGFGBF

••而一万一商，

.46BF

**BFxx+4'

解得尤=12（负值舍去）,

43=12+4=16.

故答案为：16.

变式2：如图，在“BC中，ZC=90°,DM=DE,DEJ.AD交AB于点、E,ZE为。。的直径，DFYAB.

⑵若DM平分一/AC,求/。。的度数；

(3)若40=">=6cm,求图中阴影部分的面积.

【答案】(1)见解析

(2)30°

(3)2万一竽%m?

【分析】(1)根据圆周角，弦，弧的关系证明即可.

(2)运用圆的内接四边形的性质，得到/CW=/尸ED,结合/C=90。，DF±AB,继而得到

ZCDM=ZFDE,结合AE为。。的直径，得到NADE=90°,ZDAE=ZFDE=90°-ZAED；根据

ZCAD=ZDAB,结合三角形的外角性质，计算即可.

(3)连接OD,证明出是等边三角形，求出。尸=FE=go/)=Gcm,根据S阴影=S扇形。。后一^^/，

计算即可.

【详解】(1)，/DM=DE,

•**DM=DE，

/CAD=ZDAB.

(2)•・•四边形是圆的内接四边形，

・•・/CMD=ZFED,

VZC=90°,DF工AB,

：./CDM=ZFDE,

1为。。的直径，

・•・ZADE=90°,

NDAE=ZFDE=90°-NAED；

ACAD=ZDAB,

：.NDAE=ZFDE=ACAD=ZCDM；

•・・QM平分/4DC,

・•・ZADM=ZCDM；

・•・NDAE=ZFDE=/CAD=ZCDM=/ADM；

：.ACAD+ZCDM+ZADM=9。；

・•・3ZCAD=90°

解得/C40=3O。.

(3)VAD=BD=6cmfDFLAB,

：./BAD=ZB,

连接8,

OA=OD,

：./ADO=ZDAB,

*.•ACAD=ZDAB,

：./ADO=/CAD,

：.OD//AC,

ZC=90°,

・・・ZODB=90°,

：./B+/DOB=9G。,

•・•/DOB=ABAD+/ADO="B,

・•・3N5=90。，

解得/B=30。，

：.ZBOD=60°fZODF=30°,

•OD=OE,

：.△ODE是等边三角形，

ZODE=ZOED=60°,

：.ZODF=NFDE=ZEDB=3。,

DF=—BD=3cm,

2

：.OD=DF=2V3cm

sin60°

・•.OF=FE=-OD=43cm

2

2

60x%x

・*S阴影二S扇形OOE_SgOF=---xV3x3

3602

【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形性质，三角函数，扇形面积公式.解题的关键是掌握以

上知识点.

易错点4：圆心角

例：如图，/BCD是。。的弦，延长/BCD相交于点£,已知NE=30。，ZAOC=100°,则防的度数

C

A.70°B.50°C.40°D.30°

【答案】C

【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，圆心角等知识.明确角度之间的数量关系是解题的

关键.

如图，连接。8、OD、AC,由三角形内角和求NCMC+NOC4=180。-//。。，

NEAO+NECO=180P-/E-(ZOAC+ZOCA),

ZAOB+ZCOD=180P-(AOAB+AOBA>18(P-“CD+NODC),根据

ZBOD=360°-ZAOC-(ZAOB+ZCOD),计算求解即可.

【详解】解：如图，连接05、OD、AC,

ZOAC+ZOCA=18CP-ZAOC=8CP,

AEAO+AECO=180P-Z51-(ZOAC+ZOCA)=70P,

NOAB+AOBA+ZOCD+ZODC=2x70°=140°,

ZAOB+ZCOD=180°-(ZOAB+ZOB^+180°-(ZOCD+ZOD^=220,

:.NBOD=36。°-ZAOC-(ZAOB+NCOj=40c,

；•防的度数为40。,

故选：C.

变式1：已知/4PE,有一量角器如图摆放，中心。在P/边上，6M为0。刻度线，。8为180。刻度线，角

的另一边尸E与量角器半圆交于C,。两点，点C,。对应的刻度分别为160。，68°,则=

【分析】利用点C,。对应的刻度分别为160。，68°,求出/C。。，ZCOP,再根据OC=OD求出NOC。,

利用外角的性质得到NOCD=ZCOP+ZAPE,从而得解.

【详解】解：如图，连接OD,OC,

：.ZCOD=ZAOC-ZAOD=92°,ZCOP=180°-4OC=20°,

'：OC=OD,

ZOCD=ZODC=gx(180。—NCOD)=1x(180°-92°)=44°,

ZOCD=ZCOP+ZAPE,

・•・ZAPE=ZOCD-ZCOP=24°,

故答案为：24.

【点睛】本题考查等边对等角，三角形外角的定义与性质，圆心角等知识，根据刻度找出相应的圆心角并

计算其他角度是解题的关键.

变式2：如图，已知N3是O。的直径，点。是半圆中点，点C是劣弧曲上的一点.

TT

(1)在图①中，/n4c=15。，劣弧3c长为求AB的长；

(2)在图②中，点C是访中点，与/C交于点E,点尸在弦/C上，^.AF=DF,若QC=2,求ZC的

长.

【答案】⑴AB=2；(2)AC=2+2母

【分析】(1)连接0。、OC,如图，利用点。是半圆中点得到90。，再利用圆周角定理得到

ZDOC=30°,则NBOC=60。，然后利用弧长公式可计算出08,从而得到A8的长；

(2)利用圆周角定理得到=90。，再判断为等腰直角三角形，则NB4D=NDA4=45。，接着

判断△/mC为等腰直角三角形，所以。尸=DC=2,利用勾股定理求出C〃=2夜，然后计算/尸+尸C即可.

【详解】解：(1)连接。D、OC,如图，

:点。是半圆中点，

ZBOD=90°,

:NDOC=2NDAC=2x15。=30。，

Z50C=60°,

TT

•・,劣弧5C长为

.60x"xOB_n

一180—

解得03=1,

・•.AB=2OB=2：

(2)・・・/B为直径，

・・・ZADB=90°,

•・•点。是半圆中点，

・•・AD=BD,

・•・为等腰直角三角形，

ABAD=/DBA=45°,

二•点。是五B中点，

.・.ADAC=ABAC=-x45°=225,

2

FA=FD,

：.ZFDA=NFAD=22.5°,

：.ZDFC=ZFDA+ZFAD=45°,

丁ZACD=/ABD=45。,

・・・△加C为等腰直角三角形，

：.DF=DC=2,

根据勾股定理CF=NDF?+DC?=y/2CD=272，

•**AC=AF+FC=2+142-

【点睛】本题考查圆周角定理，弧长公式，等腰三角形，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理应用，掌

握圆周角定理，弧长公式，等腰三角形，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理应用是解题关键.

易错点5：圆周角

例:如图，已知是。。的直径，点C、D分别在两个半圆上，若过点C的切线与48的延长线交于点£,

则/。与NE的数量关系是（）

c

VXOBE

D

A.ZD+ZE=90°B.ZD+2Z£=180°

C.2ND-NE=90。D.2ZD+ZE=180°

【答案】C

【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键.

连接BC,OC,AC,根据圆周角定理得到N/CB=90。，得至ljZD=9()O-N3NC=，根据切

2

线的性质得到/OCE=90。，求得/<:0£=90。-/£,于是得到结论.

【详解】解：连接8C,OC,AC,

是。。的直径，AZACB=90°,

NABC=ZD=90°-ZBAC,

'：OA=OC,NCOE=ZBAC+ZACO,

：.ABAC=NACO=-ZCOE,

2

ZD=90°-ABAC=90°--ZCO£,

2

•.,。£是。。的切线，；./0。£=90。，

/COE=90°-ZE,：.ZD=90°-1/COE=90。一；(90。-NE),

2/D—/E=9Q。.

故选：C.

变式1：如图，“3C内接于OO,ZABC=70°,过点A的切线与CO的延长线交于点。，则40=

5

，D

C

【答案】50。/50度

【分析】

本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形外角的性质，连接CM,根据圆周角定理得到

4400=2/3=140。，根据切线的性质得到/。4。=90。，根据三角形外角的性质即可得到结论，正确地作

出辅助线是解题的关键.

【详解】

ZAOC=2ZB=14CP,

•.•N。是O。的切线，ZOAD=90°,

ND=ZAOC-ZOAD=140°-90°=50°,

故答案为:50°.

变式2：如图，“3C内接于O。，AB=AC,。是北上一点，过点C作CE交BD于点、E.

(1)求证：DC=DE；

（2）若/8=10,BC=4小,BE=6.

①求4D的长；

②CD的长为.

【答案】（1）证明见解析

⑵①3石；②5

【分析】

（1）利用平行线的性质可得N4D8=NDEC,再利用同弧所对的圆周角相等可得=从而可

得乙4cB=NDEC,然后根据同弧所对的圆周角相等可得NA4C=/ADC,再利用三角形内角和定理可得

ZABC=ZDCE,最后利用等腰三角形的性质可得ZABC=ZACB,从而可得

ZDCE=NDEC=NACB=ZABC,再利用等角对等边即可解答；

（2）①证明ABCESA/CO,根据相似三角形的性质，即可求解.

②过点A作Z尸工8C,垂足为尸，过点A作/G,3。，垂足为G,根据等腰三角形的三线合一性质可得

CF=-BC=2y[5,再根据同弧所对的圆周角相等可得〃CF=NADG,从而可得cos443=cos/ADG,

2

进而可得竺=变，然后求出DG的长，从而在放“DG中，利用勾股定理求出/G的长，再在Rta/BG中，

ACAD

利用勾股定理求出BG的长，从而求出5。的长，最后利用线段的和差关系，进行计算即可解答.

【详解】（1）

证明：vAD//CE,

ZADB=/DEC,

•••ZADB=ZACB,

/.ZACB=/DEC,

NBAC=/BDC,ZBAC+ZABC+ZACB=180°,ZBDC+ZDEC+ZDCE=180°,

/.ZABC=/DCE,

•・・AB=AC,

/.ZABC=ZACB,

ZDCE=ZDEC=ZACB=ZABC,

•・•/DCE=/DEC,

;.DE=DC；

(2)

解：©•/ZACB=ZDCE,

/.ZACB-ZACE=ZDCE-ZACE,

/.NBCE=NACD,

•••ZDBC=ADAC,

..△BCEs小ACD,

BC_BE

,•就一茄’

vAB=AC=10,

.46__6

一!^"-IF'

:.AD=3下，

的长为3VL

②过点A作/尸」3C,垂足为尸，过点A作/G,5。，垂足为G,

A

:.CF=-BC=245f

2

CF

在VA^ACF中，cos/lACF=----,

AC

在Rt^ADG中，cos//Z)G=-----,

AD

•・•ZACF=ZADG,

/.cosZACF=cosZADG,

.CFDG

,就一IK'

.275_DG

「记一亚’

/.DG=3,

AG=yjAD2-DG2=-32=6，

在RtZ\/3G中，AB=10,

BG=dAB?-AG?=V102-62=8，

:.BD=BG+DG=S+3=11,

CD=DE=BD-BE=11-6=5,

故答案为：5.

【点睛】

本题考查了三角形外接圆与外心，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，根据题目的已知

条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

易错点6：点与圆位置关系

例：如图，在Rt448C中，N8=90°,^5=4,8C=7,点。在边3c上，且8。=3,连接/D.以点。为

圆心，以r为半径画圆，若点/,B,C中只有1个点在圆内，则r的值可能为（）

A

【答案】B

【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点到圆心距离为d,半径为r,当d>r时,

点在圆外；当d=7•时，点在圆上；当时，点在圆内.先根据勾股定理求出AD7AB。+BD°=5，再

得出CD=BC-BD=4,根据点4,B,C中只有1个点在圆内，推出3<r《4,即可解答.

【详解】解：,:NB=90o,AB=4,BD=3,BC=7,

AD=ylAB2+BD2=5>CD=BC-BD=7-3=4,

♦.•点/,B,C中只有1个点在圆内，BD<CD<AD,

...在圆内的点为点B,

3<r<4,

故选：B.

变式1:在平面直角坐标系尤Oy中，我们定义点/（xj）的“关联点”为B（x+y,x7）.如果已知点A在直线

>=x+3上，点3在O。的内部，。。的半径长为3万（如图所示），那么点A的横坐标x的取值范围

是.

【答案】-3<x<0

【分析】根据点A在直线尸x+3上，可求得点/（尤））的“关联点”为3（2x+3,-3）,根据点与圆的位置关系

可得08<3啦，根据勾股定理即可得答案.

【详解】解：：点/在直线V=x+3上，

4（x,x+3）,

x+y=x+x+3=2x+3,x-y=x-（x+3）=-3,

/.点/（x,田的“关联点”为8（2x+3,-3）,

当03=3收时，（2X+3）2+（-3）2=（3^）2,此时点8在。。上，

整理得x（尤+3）=0,

解得：西=一3户2=0,

•.•点3在。。的内部，0B，

••—3<x<0,

故答案为：-3<x<0.

【点睛】本题考查了坐标与图形，点与圆的位置关系及解一元二次方程，点在圆内，“<r；点在圆上，d=r,

点在圆外，d>r,正确得出点8坐标，熟练掌握点与圆点位置关系是解题关键.

变式2：在平面直角坐标系xOy中，。为原点，对于两个图形x,y和直线>=相，若在图形x上存在点/,

在图形y上存在点3,使得点/和点8关于直线>=机对称，就称图形X和Y互为加关联图形.

⑴已知点尸的坐标为（0,3）,

①点P与点0互为-1关联图形，则点。的坐标为二

②若。。的半径为1,点尸与。。互为他关联图形，则他的值为」

⑵已知点/（3,4）,射线04与线段/：y=-2（T4x42）互为/关联图形，求f的取值范围.

（3）已知O。的半径为2,直线y=gx-l与x轴，y轴分别交于C,D,若。。关于了=加对称的图形S与点

C互为2机关联图形，直接写出机的值及点。与图形S的位置关系.

【答案】⑴①（0,-5）；②1或2；

（2）-1<f<|；

111

（3）m=±-,m=-,。在S上，m=一一，。在S内部.

222

【分析】本题考查了轴对称的性质，与圆有关的位置关系等知识，解决问题的关键是理解题意，求对称点.

（1）①求出点P关于夕=-1的对称点即可；②求点P和（0/）以及点P和（0,-1）对称得加的值；

（2）求出。（0,0）和点（0,-2）对称时的，的值，以及（0,-2）和，,|）对称时,的值，从而确定范围；

（3）圆心。关于》=加的对称点是/（0,2间，设图形S上的点/与C点关于y=对称，设J（x,y）,由〃=2

得/+（了-2加）2=4,将J（百,4〃，代入得（6了+（4机一2%『=4,求出机的值，进而求出。个图形S的位

置关系.

【详解】（1）解：①如图1,

图1

V2x(-l)-3=-5,A0(0,-5),

②如图2,

P-

二二行二：》

-Yx

图2

..1+3-1+3,

22

「・次=2或1.

图3

题意得，•；/（3,4）,

4

・・・直线04的解析式是：＞=

Q

・•・当X=2时，^=-,

：+(-2)=1,

•3―

2

23

-1W£W—.

3

（3）解：如图4,

图4

圆心。关于N的对称点是/（02"）,设图形S上的点J与。点关于＞=2m对称,

设由"=2得,

x2+()-2加)2—4,

由/x—l=O得，

x=V3，

・・・。(百,0),

</(百,4加),

「・(百)+(4m-2m)2=4,

m=±—,

2

当加=；时，/(O.l),

V£>(O,-l),

DI=2,

・・・。在S上，

当"?=一!时，/(0,-1),

£>7=0,

二。在S内部.

易错点7：直线与圆位置关系

例：在一中，ZC=90°,ZA=60°,BC=4.若0c与相离，则半径为厂满足()

【答案】C

【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，勾股定理和含30度直角三角形的性质，

根据含30度直角三角形的性质和勾股定理得到ZC和的长度，再根据OC与N8相离可知半径小于点C

到的距离，即可进行求解.

【详解】解：VZC=90°,NZ=60。,BC=4,

\ZB=30°

\AB=2AC,

・•AC2+BC2=AB2

'.AC2+42=4AC2,解得：NC=#,

设点C到的距离为人则

22

—x—y/3■/i--x4x—y/3,

2323

h=2,

•若OC与42相离，

0<r<2

故选：C.

变式1:如图，直线48、相交于点O,ZAOD=30°,半径为2cm的。尸的圆心在直线48上，且位于

点。左侧的距离6cm处.如果。尸以lcm/s的速度沿由/向8的方向移动，那么秒钟后G)P

与直线CO相切.

D

【答案】2或10

【分析】本题考查了直线与圆的位置关系和含30。角的直角三角形的性质，由圆的相切解得路程，根据题意

与。P相切时，RE=2,当。尸在直线CO左侧时如图，由//。。=30。，求得K。，则有4尸即可求得

时间；当。P在直线CD右侧时，同理求得尸々即可求得时间.

【详解】解：当。尸在直线左侧时，过点6作交。于点£,如图,

'C

z\pyB

D

：.RE=2,

*：ZAOD=30°,

：.耳。=4,

PPi=OP-OPX=6-4=2cm,

一一2

则。尸向右移动了2cm,所用时间1=2秒;

当。尸在直线CQ右侧时，如图，

C

D

过点4作々尸，交于点R则^^=2,

*.*/COB=AAOD=30P

.・.《。=4,

PPi=OP+OPX=6+4=1Qcm,

则。尸向右移动了10cm,所用时间丁=10秒.

故答案为：2或10.

变式2：在平面直角坐标系xOy中，点尸（演,九）到直线及+与+。=0（1+82片0）的距离公式为:

d=由+叫：I,例如，求点打1,3）到直线4x+3y-3=0的距离.解：由直线4x+3y-3=0知：A=4,

J/2+台2

|4xl+3x3-3|

B=3,C=—3所以尸(1,3)至lj直线4x+3y-3=0的距离为:d==2根据以上材料，解决下列

A/42+32

问题:

3

(2)己知：0c是以点C(2,l)为圆心，1为半径的圆，0c与直线＞=-^^+方相切，求实数6的值；

(3)如图，设点尸为问题2中OC上的任意一点，点A,B为直线3x+4y+5=0上的两点，且48=2,请求

出尸面积的最大值和最小值.

【答案】(1)2(;

(2)6=3或6="；

一44

(3)面积最大为4,最小为2

【分析】(1)直接利用距离公式代入计算即可得到答案；

3

(2)把直线y=-^x+6整理，得3尤+4了-46=0,利用公式列方程求解即可；

4

(3)先求圆心C(2,l)到直线的距离，判断出P到的最大距离与最短距离可得答案.

【详解】⑴解:3x4y5=0,

其中/=3,B=4,C=5,

2

・・・距离为

3

(2)直线＞+6整理，得3x+4y-46=0,

4

故。=3,6=4,c=-4b.

OC与直线相切,

・•・点。到直线的距离等于半径,

13x2+4x1-4611

即Er

整理得|10-锄=5,

解得V或6*

44

(3)如解图，过点C作CD,48于点。.

•.•在3x+4.v+5=0中，

a=3,b=4,c=5,

…13x2+4x1+51、

圆心C(2,l)到直线AB的距离CD=J~「=3,

V32+42

OC上的点到直线AB的最大距离为3+1=4,

最小距离为3-1=2,

S^BP的最大值为:*2x4=4,

【点睛】本题考查一次函数综合题，点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理

解题意，学会把直线的解析式转化为/x+2y+C=0的形式，学会构建方程解决问题，掌握圆上的点到直线的

距离的最大值以及最小值.

易错点8：三角形的外接圆

例：如图，已知E是“8C的外心，尸、。分别是/8、AC的中点，连接£尸、EQ交BC于点F、D,若BF=5,

DF=3,CD=4,则AABC的面积为（）

A

Q

BF\/DC

E

A.18B.24C.30D.36

【答案】B

【分析】本题考查了三角形的外接圆和外心，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫

做三角形的外心，考查了直角三角形的性质和勾股定理的逆定理，三角形的面积，连接即，AD,由题意

得出/尸=8尸，AD=DC,可证得D/D尸=90。，根据三角形的面积公式可得出答案，熟练掌握知识点的

应用是解题的关键.

【详解】连接"，AD,如图，

是的外心，P、。分别是48、NC的中点,

EPVAB,EQ1AC,

：.AF=BF,AD=DC,

'：BF=5,CD=4,

AF=5,AD=4,

'：DF=3,

DF2+AD1AF2<

.♦.△40尸是直角三角形，QADF=90°,

BC=BF+DF+DC=5+3+4^12,

••.SHBC=；BC/O=；X12X4=24，

故选：B.

变式1:如图，8。是AABC的外角/48E的平分线，“3C外接圆的圆心。为NB的中点，延长。3,NC交

于点足若NA4C=30。，BF=6,则的周长为

【答案】9+3VJ/3百+9

【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质,

熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键.

根据角平分线的定义得到/防。=445。，根据圆周角定理得到4cs=90。，求得/BW=90。，根据三角

形的内角和定理得到=60。，得到/斤=4=30。，根据等腰三角形的判定定理得到"5=5尸=6,根

据直角三角形的性质得到BC=-AB=3,AC=GAB=36,于是得到结论.

22

【详解】解：♦・•瓦）是"的外角的平分线，

・•・ZEBD=ZABD,

小5。外接圆的圆心。为45的中点，

・・・/5是。。的直径，

乙4c3=90。，

・•・ZBCF=90°,

ZBAC=30°f

・•・ZABC=60°,

ZABE=nO0,

：.ZABD=ZDBE=60°,

ZCBF=ZDBE=60°,

：.ZF=ZA=30°9

：.AB=BF=6f

・•・BC=-AB=3,AC=-AB=36,

22

”5。的周长=/B+BC+ZC=6+3+3G=9+3百，

故答案为：9+36.

变式2：如图，已知三角形"BC中，AB=AC,。是AABC的外接圆劣弧/C上的点（不与点/,。重合）,

延长8。至E.

（1）求证：4D的延长线平分NCAE

（2）若N8/C=30。，AABC中8c边上的高为2+6，求外接圆的面积

【答案】（1）见解析

⑵4%

【分析】（1）要证明4D的延长线平分NCDE,即证明/瓦牙=/。尸，转化为证明/AD3=/CD尸，再根

据N,B,C,。四点共圆的性质和等腰三角形角之间的性质，即可得到.

（2）求“3C外接圆的面积.只需解出圆半径，故作等腰三角形底边上的垂直平分线即过圆心，再连接OC,

根据角之间的关系在三角形内即可求得圆半径，可得到外接圆的面积，

【详解】（1）证明：

'：A,B,C,。四点共圆,

ZABC+ZADC=1SO0,

/CDb+NZDC=180°,

ZCDF=ZABC,

'：AB=AC,

：./ABC=ZACB,

ZADB=ZACB,

：.ZADB=NCDF,

NADB=ZEDF，

：.ZEDF=ZCDFf

即的延长线平分NCOE；

(2)解：设。为外接圆圆心，连接/O并延长交5C于4，交。。于点〃，连接OC,

A

•・•AB=AC,

:•么B=%C，

：.AH上BC,

：.NOAC=/OAB=-ABAC=-x30°=15°,

22

・•・ZCOH=2ZOAC=30°,

设圆半径为r,

回

AO//=OCcos30°=—r,

2

・・・力5C中BC边上的高为2+百，

:.AH=OA+OH=r+——=2+6,

2

解得：丫=2.

...03c的外接圆的面积为4万.

【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形的外接圆的性

质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用.

易错点9：三角形的内切圆

例：如图，已知“3C中，ZC=70°,48=10,内切圆。。半径为3,则图中阴影部分面积和是()

B

【答案】A

【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与

内心；根据内切圆的性质可得图中阴影部分面积和是"03的面积与扇形T。。的面积的差，进而即可求解

【详解】解:

•.•OO是的内切圆，切点分别为G,D,R,

，图中阴影部分面积和是2的面积一扇形7。。的面积,

；04、08分别是NCA4的角平分线，

ZOAB=-ZCAB,NOBA=-ZCBA,

22

ZACB=70°,

ZCAB+ZCBA=180o-70°=110°,

ZOAB+AOBA=-ZCAB+-ZCBA=55°,

22

ZAOB=ISO~(ZOAB+ZOBA)=125°,

112525

阴影=S"OB—S扇形roe=5乂1°、3-而X万x3°=15一~《兀>

故选：A.

变式1：如图，的内切圆。。与8c分别相切于D,£两点，连接。£,/O的延长线交。£于

点R若NACB=7Q°,贝的大小是.

c

【答案】35。/35度

【分析】如图所示，连接。£,OD,OB,设。8、DE交于H,由内切圆的定义结合三角形内角和定理求出

ZAOB=125°,再由切线长定理得到5。=BE,进而推出08是。E的垂直平分线，即NORF=90。，贝|

ZAFD=ZAOH-ZOHF=35°.

【详解】解：如图所示，连接OE,OD,0B,设03、DE交于H,

'：O。是的内切圆，

.♦.04分别是NC48、/CA4的角平分线,

：.ZOAB=-ZCAB,ZOBA=-ZCBA,

22

ZACB=70°,

：.ZCAB+ZCBA=180°-ZACB=110°,

ZOAB+ZOBA=-ZCBA+-ZCAB=5