2024年高考数学复习试题专项突破：创新定义题型（含答案及解析）

专题20创新定义题型

考情概览

命题解读考向考查统计

1.高考对创新定义的考查，是新高考改解析几何创新问题2024•新高考I卷，11

革出现的题型，一般难度较大。2024年

九省联考出现了概率的新定义问题，而

数列新定义2024•新高考I卷，19

2025年新高考中出现了解析几何、数列

的新定义问题。

2024年真题研析

命题分析

2024年高考新高考I卷11题考查了解析几何的创新题型，主要是曲线方程的求法及性质。n卷虽然未考

查新定义类型，但是压轴题将数列与双曲线相结合，也是一次独特的创新。新定义题型的特点是：通过给

出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基

础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移达到灵活解题的目的;遇到新定义问

题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义照章办事''逐条分析、验证、运算，使

问题得以解决，难度较难，需重点特训。预计2025年高考还是主要考查数列、函数的新定义问题。

试题精讲

一、多选题

1.(2024新高考I卷-11)造型上可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点

。.且C上的点满足横坐标大于-2,到点/(2,0)的距离与到定直线X=a(a<0)的距离之积为4,则()

A.a=-2B.点(2&,0)在C上

4

c.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点（X。,%）在C上时，为4£71

【答案】ABD

【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求。，故可判断A的正误，结合曲线方程可判断B的正误，利

用特例法可判断C的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误.

【详解】对于A：设曲线上的动点尸（xj）,则工>-2且J（x-2y+r中一同=4,

因为曲线过坐标原点，故Jo-Zf+ORO-a|=4,解得。=-2,故A正确.

对于B：又曲线方程为小卜-2『+1.卜+2|=4,而x>-2,

故J（x_2y+y2x（x+2）=4.

当x=2叵y=0时，M及一2『x（2形+2）=8一4=4,

故（2仓0）在曲线上，故B正确.

216/3

对于C由曲线的方程可得歹==〒—（％—2）,取

（x+2）2

则，2暇」=64I1645256-245

rnj-------1=------=--------->0,故此时/>1,

49449449x4

故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1,故C错误.

对于D：当点（后,%）在曲线上时，由c的分析可得/=（X：2）2一一2）2V（X：2）2，

44

故一二故D正确

故选：ABD.

【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等

来处理.

二、解答题

2.（2024新高考I卷•19）设机为正整数，数列生，出，…，为”+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项生

和盯«</）后剩余的4加项可被平均分为加组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列用，电，…,为”+2

是亿/）-可分数列.

⑴写出所有的亿J）,1口<片6,使数列为,如，…,%是亿/）-可分数列；

⑵当〃出3时，证明：数列％,电，…,为”+2是（2,13）-可分数列；

⑶从1,2,...,4加+2中一次任取两个数i和八i<j）,记数列与出,…,〜+2是亿力-可分数列的概率为&，证明:

Pm>(.

O

【答案】⑴&2）,（1,6卜（5,6）

⑵证明见解析

⑶证明见解析

【分析】（1）直接根据。"卜可分数列的定义即可；

（2）根据亿/）-可分数列的定义即可验证结论；

（3）证明使得原数列是可分数列的亿J）至少有（加+1）2-加个，再使用概率的定义.

【详解】（1）首先，我们设数列生,。2,…，a4m+2的公差为d,则d/0.

由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，

故我们可以对该数列进行适当的变形4="+l（k=l,2,...,4m+2）,

得到新数列4=左（左=1,2,「4加+2）,然后对数4，…,进行相应的讨论即可.

换言之，我们可以不妨设勾=左住=12…M机+2）,此后的讨论均建立在该假设下进行.

回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i和/。＜力，使得剩下四个数是等差数列.

那么剩下四个数只可能是1,2,3,4,或2,3,4,5,或3,4,5,6.

所以所有可能的（力⑺就是（1,2）,（1,6）,（5,6）.

（2）由于从数列1,2,...,4加+2中取出2和13后，剩余的4加个数可以分为以下两个部分，共加组，使得每组

成等差数列：

①{1,4,7,10},{3,6,9,12},{5,8,11,14},共3组；

②{15,16,17,18},{19,20,21,22},...,{4刃-1,4〃2,4加+1,4〃7+2},共加-3组.

（如果%-3=0,则忽略②）

故数列1,2,…,4加+2是（2,13）-可分数列.

（3）定义集合/={4左+1伏=0,1,2,…，加}={1,5,9,13,…，4机+1},

8={4左+2]左=0,1,2,…,加}={2,6,10,14,…,4机+2}.

下面证明，对加+2,如果下面两个命题同时成立，

则数列1,2,…,4牧+2一定是亿/）-可分数列:

命题1:i&A,j&B^i&B,j&A；

命题2：j-i丰3.

我们分两种情况证明这个结论.

第一种情况：如果且23.

此时设，=*+1,y=4^2+2,kx,k2.

则由，</可知4勺+1<4/+2,即左2-左1>-“故人22K.

此时，由于从数列1,2,…4〃+2中取出i=4勺+1和/=4e+2后，

剩余的4加个数可以分为以下三个部分，共加组，使得每组成等差数列：

①{1,2,3,4},{5,6,7,8}”..,{优一3,缺一2,4月一1,4勺},共占组；

（2）{4匕+2,4K+3,4左1+4,4kl+5},{4左］+6,4匕+7,4左］+8,4左］+9},{4左,一2,4k2—L4k2,4k、+1},k、—k、组；

③{4左2+3,4左2+4,4左2+5,4左②+6},{4怎+7,4/+8,4&+9,4砥+10},...,{4加-1,4私4加+1,4加+2},共〃

组.

（如果某一部分的组数为0,则忽略之）

故此时数列1，2,…,4根+2是«"）-可分数列.

第二种情况：如果iw0且/-*3.

此时设i=4/+2,J=4左2+I,kx,k2.

则由，〈/可知4左+2<4左2+1,即与-%>；,故左2>尢.

由于/-七3,故（4e+1）-（缺+2）*3,从而这就意味着伍-左之2.

此时，由于从数列1,2,…,4/+2中取出i=4%+2和J=4后2+1后，剩余的4m个数可以分为以下四个部分，

共小组，使得每组成等差数列：

①{1,2,3,4},{5,6,7,8}”..,{优一3,缺一2,4月一1,4勺},共升组;

{4左+1,3kl+乂+1,2%+2k、+1,/+3kz+1}，{3左+k?+2,2左+2k、+2,g+3k。+2,4:+2},共2组；

③）全体{4%+p,2>kl+k2+p,2kl+2k2+p,k{+3kl+P}，其中P=3,4,…，左之一左，共左2—左—2组；

［4左2+3,4k2+4,4怎+5,4k+6},{4七+7,4k+8,4k,+9,4k+10}，…,{4加—1,4,%4m+1,4a+2},共m—鼠

组.

（如果某一部分的组数为0,则忽略之）

这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含%-2个行，4个列的数表

以后，4个列分别是下面这些数：

［4匕+3,44+4,…,34+左2},{34+左2+3,34+质+4,…,2左+2kJ,{2左］+2k?+3,2kl+2后,+3,…，/+3晨},

{匕+3左,+3,左+3无2+4,…,4左②.

可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍{4左+1,4左+2,…,4人2+2}中除开五个集合

［4左1+1,4左］+2},{3左1+后2+113kl+左2+2},{2左］+2k?+1,2kl+2kz+2},{/+3k2+1,左］+3k?+2},

{4e+1,4左2+2}中的十个元素以外的所有数.

而这十个数中，除开已经去掉的4K+2和4后2+1以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.

这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列12...,痴+2是亿））-可分数列.

至此,我们证明了:对1<i<j<4m+2,如果前述命题1和命题2同时成立,则数列1,2,...,4俏+2一定是,/）-

可分数列.

然后我们来考虑这样的的个数.

首先，由于4cB=0,A和3各有机+1个元素，故满足命题1的亿/）总共有（加+1『个；

而如果，-i=3,假设则可设1=4匕+1,j=4k2+2,代入得（4左2+2）-（4勺+1）=3.

但这导致矛盾，所以左瓦

设）=4无i+2,j=4k2+1,kx,k2e,则（4上?+1）-（4左+2）=3,即句-&=1.

所以可能的估他）恰好就是（OJ）,。,2）,…，（加-1,加）,对应的亿万分别是（2,5）,（6,9）,...,（4加-2,4加+1）,总

共加个.

所以这（加+丁个满足命题1的亿万中，不满足命题2的恰好有加个.

这就得到同时满足命题1和命题2的亿/）的个数为（〃z+l）2-m.

当我们从1,2,…,4根+2中一次任取两个数i和八，<8时，总的选取方式的个数等于

（4m+2）（4w+l）/、/、

-------------=[2m+l）（4w+1）.

而根据之前的结论，使得数列可，电，％加+2是伍/）-可分数列的亿J）至少有（〃?+1）2-加个.

所以数列6,“2,…，”4机+2是亿/）-可分数列的概率2一定满足

,1（1Y

p*（〃?+1）2-切-+加+1:"厂+加+w〔加+笠

m（2机+1）（4冽+1）（2m+l）（4m+1）（2冽+1）（4机+2）2（2m+l）（2m+l）8

这就证明了结论.

一、新定义问题

“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决

问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质,

它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

二、新定义问题的方法和技巧

（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；

(2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；

(3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；

(4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用

书上的概念.

名校模拟探源

一、解答题

1.(2024・北京•三模)给定正整数,设数列。|,出，…,火是1,2,...,"的一个排列，对7e｛1,2,...,〃｝,%表

示以q为首项的递增子列的最大长度，匕表示以。，为首项的递减子列的最大长度.

(1)若〃=4,q=1,出=4,%=2,%=3,求占和外；

*12342

(2)求证：Vze｛1,2,M-1｝,(x;-)+(x/+1-y,+1)0；

⑶求£匕-％|的最小直

2.(2024•河南・三模)已知数列｛《｝的前〃项和为S“，若存在常数〃2>0),使得X%2S"+i对任意〃eN*

都成立，则称数列｛%｝具有性质尸(2).

(1)若数列｛%｝为等差数列，且Sj=-9,Ss=-25,求证：数列｛氏｝具有性质产⑶；

(2)设数列｛g｝的各项均为正数，且｛%｝具有性质尸(㈤.

①若数列｛%｝是公比为9的等比数列，且2=4,求9的值；

②求4的最小值.

3.(2024•河北保定•三模)在初等数论中，对于大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其它自然数

整除的数叫做素数，对非零整数a和整数6,若存在整数人使得6=垢，则称。整除A已知p4为不同的

两个素数，数列｛%｝是公差为p的等差整数数列，”为q除(所得的余数，S”为数列也J的前〃项和.

⑴若，%=1,0=3,4=2,求$2024；

(2)若某素数整除两个整数的乘积，则该素数至少能整除其中一个整数，证明：数列也,｝的前q项中任意两

项均不相同；

(3)证明：$防+1为完全平方数.

4.(2024・海南•二模)设数列如果/中各项按一定顺序进行一个排列，就

得到一个有序数组「：色也，&，…也).若有序数组「：(4也，&…也)满足

\bn-b\<\b„-6M(ie｛1,2,3,-2｝)恒成立，则称「:伯也也，…也)为”阶减距数组；若有序数组

「:他也4…也)满足电一耳诽,一%|(他｛1，2,3,…，〃-2｝)恒成立，则称:T：倒也也，…也)为〃阶非减距数

组.

(1)已知数列4：-1,3,2,-3,请直接写出该数列中的数组成的所有4阶减距数组：

(2)设「：(々也，&…也)是数列4：1，3,5,...,2〃-1(“24,〃€1\")的一个有序数组，若也也，…也)为"阶

非减距数组，且「：色也，…也_J为n-1阶非减距数组，请直接写出4个满足上述条件的有序数组「；

⑶已知等比数列/：%,。2,4，…，。"("23)的公比为4，证明：当q>0时，「：(％,出,。3,为"阶非减距数

组.

5.(2024•江西九江三模)已知数列｛%｝共有〃(一禅2)项,且见eZ,若满足厨包-a“⑷(1。,

则称｛%｝为“约束数列”.记“约束数列”｛%｝的所有项的和为治.

⑴当加=5时，写出所有满足%=%=1"5=6的"约束数列”；

(2)当加=2000,%=25时，设p:々皿=2024;q:“约束数列”｛a,｝为等差数列.请判断〃是9的什么条件，并说明

理由：

⑶当％=1,%=01”(半h2)寸，求国|的最大值.

6.(2024•山东青岛•三模)在平面内，若直线/将多边形分为两部分，多边形在/两侧的顶点到直线/的距离

22

之和相等，则称/为多边形的一条'等线”，已知。为坐标原点，双曲线E:1r-方=1(。>0]>0)的左、右焦

点分别为耳，月,E的离心率为2,点尸为E右支上一动点，直线加与曲线£相切于点P,且与E的渐近线交

于45两点，当尸耳轴时，直线y=l为△尸片外的等线.

(1)求E的方程；

⑵若y=后是四边形AFXBF2的等线，求四边形AFXBF2的面积；

(3)设南=g而，点G的轨迹为曲线「，证明:「在点G处的切线“为的等线

7.2024・浙江・三模)在平面直角坐标系中，如果将函数>=/(x)的图象绕坐标原点逆时针旋转a(0<a<卞

后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称/(x)为“夕旋转函数”.

(1)判断函数》=瓜是否为旋转函数”，并说明理由；

⑵已知函数〃X)=In(2x+1)(X>0)是“a旋转函数"，求tana的最大值；

2

⑶若函数g(x)=a(x-l)e「xlnx-+是“4旋转函数”，求修的取值范围.

8.(2024・上海•三模)设f>0,函数>=/(x)的定义域为R.若对满足三-三>，的任意再、X2，均有

f(x2)-f(X1)>t,则称函数y=/(x)具有“尸⑺性质”.

(1)在下述条件下，分别判断函数丁=/(无)是否具有尸(2)性质，并说明理由；

3

①=②/(x)=10sin2x；

⑵已知〃x)=ax3,且函数y=/(x)具有尸(1)性质，求实数。的取值范围；

(3)证明："函数>="X)-x为增函数”是“对任意t>0,函数了=/(x)均具有尸⑺性质”的充要条件.

9.(2024•新疆喀什•三模)已知定义域为R的函数/(x)满足：对于任意的xeR,都有

/(x+2兀)=/卜)+/(2兀),则称函数〃x)具有性质P.

⑴判断函数g(x)=x,〃(x)=sinx是否具有性质产；(直接写出结论)

⑵已知函数/'(xhsinWx+e)(^-<(p<-,|同<5),判断是否存在。，。，使函数〃x)具有性质产？若

存在，求出。的值；若不存在，说明理由；

⑶设函数/⑺具有性质产，且在区间［0,2可上的值域为兀)］.函数g(x)=sin(/(x)),满足

g(x+2兀卜g(x),且在区间(0,2兀)上有且只有一个零点.求证：/(2K)=2^.

10.(2024・贵州六盘水•三模)若函数“X)在上有定义，且对于任意不同的国,马«应可，都有

-/伍)|<％|，则称/(x)为上的a类函数”

⑴若〃X)=/,判断/"(X)是否为［1,2］上的“4类函数”；

21

⑵若〃x)=—lnx+(a+l)x+—为［l,e］上的“2类函数”，求实数a的取值范围；

ex

⑶若〃X)为［1,2］上的“2类函数”且〃1)=〃2),证明：V再,x2e［l,2］,|/(^)-/(^2)|<1.

II.(2024•江西南昌•三模)给定数列｛/“｝,若对任意加，〃eN*且加4+4是｛4.｝中的项，则称｛4｝

为““数列”.设数列｛a,,｝的前n项和为S".

⑴若S,,=1+",试判断数列｛%｝是否为，力数列”,并说明理由；

(2)设｛见｝既是等差数列又是“〃数列”,且为=6,%eN*,%>6,求公差d的所有可能值；

(3)设｛%｝是等差数列,且对任意“eN*,J是■“｝中的项,求证：｛%｝是"数列”.

12.(2024•黑龙江•三模)如果"项有穷数列｛。"｝满足%=氏，%=%,即

=«„_;+1(«=1,2,•••,«),则称有穷数列｛。“｝为“对称数列”.

⑴设数列也｝是项数为7的“对称数列”，其中可也也也成等差数列，且a=3也=5,依次写出数列也｝的

每一项；

(2)设数列｛.｝是项数为2"1(丘N*且丘2)的“对称数列”，且满足以「c』=2,记S,为数列上｝的前〃项

和.

①若q,C2,…,&构成单调递增数列，且q=2023.当％为何值时,S21取得最大值?

②若q=2024,且5I=2024,求上的最小值.

13.(2024・安徽•三模)已知数列｛%｝的前〃项和为S",若数列｛见｝满足：

①数列｛%｝为有穷数列；

②数列｛。,｝为递增数列；

③左eN*,使得即=。？+%；

则称数列｛%｝具有“和性质”.

⑴已知S“="+〃(14〃4100),求数列｛对｝的通项公式，并判断数列｛%｝是否具有“和性质”；(判断是否具

有''和性质''时不必说明理由，直接给出结论)

(2)若首项为1的数列｛。,｝具有"和性质

V+1

(i)比较%与七一的大小关系，并说明理由；

(ii)若数列｛%｝的末项为36,求S,的最小值.

14.(2024•湖北荆州•三模)对于数列｛%｝,如果存在一个正整数加，使得对任意〃("eN*),都有当+„,=%

成立，那么就把这样的一类数列｛%｝称作周期为加的周期数列，加的最小值称作数列打“｝的最小正周期，

简称周期.

"2,77=1

(1)判断数列%=sin河和％=3〃=2是否为周期数列，如果是，写出该数列的周期，如果不是,

、"一|一匕一2+1，〃23

说明理由.

(2)设(1)中数列｛以｝前〃项和为S”，试问是否存在P，4,使对任意〃eN*,都有0<(-!)”•成立，若

n

存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由.

b1—1,b?=a

⑶若数列㈤｝和低｝满足且工2=&丑(让l,〃eN)'是否存在非零常数.，使得｛凡｝是周期

,b"

数列？若存在，请求出所有满足条件的常数。；若不存在，请说明理由.

15.(2024•安徽芜湖•三模)若数列｛%｝的各项均为正数，且对任意的相邻三项q+「都满足

*%<a；,则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项a,_lta„at+l,都满足+aM<2%则称该

数列为“凸数列”.

(1)已知正项数列｛q,｝是一个“凸数列”，且a“=e%,(其中e为自然常数，〃eN*),证明：数列｛%｝是一个

“对数性凸数列”，且有5a6；

(2)若关于x的函数〃力=4+3+4/+始3有三个零点,其中々>0(:123,4).证明：数列4也也也是

一个“对数性凸数列”：

(1«]〃-1)〃一1〃、

(3)设正项数列为,是一个“对数性凸数列”，求证：一rZ"，2—Z%—X%

+八"-1普1)H八)

16.(2024・湖南•二模)直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如X=(y+1表示过点(1,0)的直线,

直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切

线都是该直线族中的某条直线.

⑴若圆6：/+/=1是直线族F+⑵=1(加,〃eR)的包络曲线，求机，〃满足的关系式；

(2)若点尸(%,%)不在直线族：Q(2a-4)x+4y+(a-2)2=0(。eR)的任意一条直线上，求％的取值范围和直

线族Q的包络曲线E;

⑶在(2)的条件下，过曲线E上48两点作曲线后的切线44，其交点为尸.已知点C(0,l),若4民C三点

不共线，探究/PC4=/PC8是否成立？请说明理由.

17.(2024•江苏南通•二模)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆「：=+£=1(。>6>0)的离心率为逅,

ab3

直线/与「相切，与圆O：f+y2=3/相交于1,8两点.当/垂直于X轴时，|48|=2几.

(1)求「的方程；

(2)对于给定的点集M,N,若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，

则记此最大值为或M,N).

(i)若"，N分别为线段N8与圆O上任意一点，P为圆。上一点，当AP/8的面积最大时，求d(MN)；

(ii)若d(M,N),d(N,M)均存在，记两者中的较大者为已知“(x,y),“(y,z),〃(x,z)均存

在，证明：”(x,z)+〃(y,z)N，(x,y).

18.(2024•新疆乌鲁木齐二模)在平面直角坐标系中，重新定义两点山西,%),8(%,%)之间的“距离”

为|/却=民-占|+上-必我们把到两定点片(-。,0)，&(c,0)(c>0)的“距离”之和为常数2“a>c)的点的轨

迹叫“椭圆”.

⑴求“椭圆”的方程;

(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；

⑶设c=l,a=2,作出“椭圆”的图形，设此椭圆”的外接椭圆为C,C的左顶点为A,过与作直线交C于M,N

两点，A/MN的外心为0,求证：直线。。与的斜率之积为定值.

19.(2024•江西新余•二模)通过研究，已知对任意平面向量入=(x,y),把刀绕其起点/沿逆时针方向旋

转。角得到向量万=(xcos9-ysinaxsin6+ycos9),叫做把点B绕点A逆时针方向旋转0角得到点P,

(1)已知平面内点2卜右,26)，点8(6,-26),把点8绕点/逆时针旋转三得到点P,求点P的坐标：

22

2

(2)已知二次方程/+y-xy=l的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆1r+%=1(〃>6>0)绕原点O逆

时针旋转;所得的斜椭圆C,

(i)求斜椭圆C的离心率；

(五)过点。看作与两坐标轴都不平行的直线4交斜椭圆C于点”、N,过原点。作直线4与直线4

61

垂直，直线4交斜椭圆C于点G、H,判断丽肝是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明

理由.

20.(2024・河南新乡•二模)定义：若函数/(X)图象上恰好存在相异的两点尸，。满足曲线了=/(x)在尸

和。处的切线重合，则称P,。为曲线>=/(x)的“双重切点”，直线尸。为曲线>=〃x)的“双重切线”.

⑴直线y=2x是否为曲线〃％)=尤3+(的，，双重切线，，，请说明理由；

Qx--<0

⑵已知函数g(尤)=e'X_'求曲线y=g(x)的“双重切线”的方程;

]nx,x>0,

(3)已知函数力(x)=sinx,直线尸。为曲线>=〃("的“双重切线”，记直线尸。的斜率所有可能的取值为左，

尢15

左2，…，k〃,若左>左2>%(，=3,4,5,…,一),证明：—<—.

O

21.2024•上海长宁二模)设函数7=/(无)的定义域为。，若存在实数左，使得对于任意xeD,都有/(x)<k,

则称函数y=〃x)有上界，实数人的最小值为函数的上确界；记集合M,={〃x)>=坐在区间

(o,+“)上是严格增函数};

2

(1)求函数歹=——-(2<x<6)的上确界；

x-1

i1

(2)^f(x}=x-hx+2x\wceMx,求〃的最大值；

(3)设函数y=〃x)一定义域为(0,+司；若且j=〃x)有上界，求证：/(x)<0,且存在函数

V=/(x),它的上确界为0；

专题20创新定义题型

考情概览

命题解读考向考查统计

1.高考对创新定义的考查，是新高考改解析几何创新问题2024•新高考I卷，11

革出现的题型，一般难度较大。2024年

九省联考出现了概率的新定义问题，而

数列新定义2024•新高考I卷，19

2025年新高考中出现了解析几何、数列

的新定义问题。

2024年真题研析

命题分析

2024年高考新高考I卷11题考查了解析几何的创新题型，主要是曲线方程的求法及性质。n卷虽然未考

查新定义类型，但是压轴题将数列与双曲线相结合，也是一次独特的创新。新定义题型的特点是：通过给

出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基

础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移达到灵活解题的目的;遇到新定义问

题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义照章办事''逐条分析、验证、运算，使

问题得以解决，难度较难，需重点特训。预计2025年高考还是主要考查数列、函数的新定义问题。

试题精讲

一、多选题

1.(2024新高考I卷-11)造型上可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点

。.且C上的点满足横坐标大于-2,到点/(2,0)的距离与到定直线X=a(a<0)的距离之积为4,则()

A.a=-2B.点(2&,0)在C上

4

c.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点（X。,%）在C上时，为4£71

【答案】ABD

【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求。，故可判断A的正误，结合曲线方程可判断B的正误，利

用特例法可判断C的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误.

【详解】对于A：设曲线上的动点尸（xj）,则工>-2且J（x-2y+r中一同=4,

因为曲线过坐标原点，故Jo-Zf+ORO-a|=4,解得。=-2,故A正确.

对于B：又曲线方程为小卜-2『+1.卜+2|=4,而x>-2,

故J（x_2y+y2x（x+2）=4.

当x=2叵y=0时，M及一2『x（2形+2）=8一4=4,

故（2仓0）在曲线上，故B正确.

216/3

对于C由曲线的方程可得歹==〒—（％—2）,取

（x+2）2

则，2暇」=64I1645256-245

rnj-------1=------=--------->0,故此时/>1,

49449449x4

故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1,故C错误.

对于D：当点（后,%）在曲线上时，由c的分析可得/=（X：2）2一一2）2V（X：2）2，

44

故一二故D正确

故选：ABD.

【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等

来处理.

二、解答题

2.（2024新高考I卷•19）设机为正整数，数列生，出，…，为”+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项生

和盯«</）后剩余的4加项可被平均分为加组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列用，电，…,为”+2

是亿/）-可分数列.

⑴写出所有的亿J）,1口<片6,使数列为,如，…,%是亿/）-可分数列；

⑵当〃出3时，证明：数列％,电，…,为”+2是（2,13）-可分数列；

⑶从1,2,...,4加+2中一次任取两个数i和八i<j）,记数列与出,…,〜+2是亿力-可分数列的概率为&，证明:

Pm>(.

O

【答案】⑴&2）,（1,6卜（5,6）

⑵证明见解析

⑶证明见解析

【分析】（1）直接根据。"卜可分数列的定义即可；

（2）根据亿/）-可分数列的定义即可验证结论；

（3）证明使得原数列是可分数列的亿J）至少有（加+1）2-加个，再使用概率的定义.

【详解】（1）首先，我们设数列生,。2,…，a4m+2的公差为d,则d/0.

由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，

故我们可以对该数列进行适当的变形4="+l（k=l,2,...,4m+2）,

得到新数列4=左（左=1,2,「4加+2）,然后对数4，…,进行相应的讨论即可.

换言之，我们可以不妨设勾=左住=12…M机+2）,此后的讨论均建立在该假设下进行.

回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i和/。＜力，使得剩下四个数是等差数列.

那么剩下四个数只可能是1,2,3,4,或2,3,4,5,或3,4,5,6.

所以所有可能的（力⑺就是（1,2）,（1,6）,（5,6）.

（2）由于从数列1,2,...,4加+2中取出2和13后，剩余的4加个数可以分为以下两个部分，共加组，使得每组

成等差数列：

①{1,4,7,10},{3,6,9,12},{5,8,11,14},共3组；

②{15,16,17,18},{19,20,21,22},...,{4刃-1,4〃2,4加+1,4〃7+2},共加-3组.

（如果%-3=0,则忽略②）

故数列1,2,…,4加+2是（2,13）-可分数列.

（3）定义集合/={4左+1伏=0,1,2,…，加}={1,5,9,13,…，4机+1},

8={4左+2]左=0,1,2,…,加}={2,6,10,14,…,4机+2}.

下面证明，对加+2,如果下面两个命题同时成立，

则数列1,2,…,4牧+2一定是亿/）-可分数列:

命题1:i&A,j&B^i&B,j&A；

命题2：

我们分两种情况证明这个结论.

第一种情况：如果且/-23.

此时设，=*+1,y=4^2+2,kx,k2.

则由，</可知4勺+1<4/+2,即左2-左1>-“故人22K.

此时，由于从数列1,2,…4〃+2中取出i=4勺+1和/=4e+2后，

剩余的4加个数可以分为以下三个部分，共加组，使得每组成等差数列：

①{1,2,3,4},{5,6,7,8}”..,{优一3,缺一2,4月一1,4勺},共占组；

（2）{4匕+2,4K+3,4左1+4,4kl+5},{4左］+6,4匕+7,4左］+8,4左］+9},{4左,一2,4k2—L4k2,4k、+1},k、—k、组；

③{4左2+3,4左2+4,4左2+5,4左②+6},{4怎+7,4/+8,4&+9,4砥+10},...,{4加-1,4私4加+1,4加+2},共〃

组.

（如果某一部分的组数为0,则忽略之）

故此时数列1，2,…,4根+2是«"）-可分数列.

第二种情况：如果ie0且/-*3.

此时设i=4/+2,J=4左2+I,kx,k2.

则由，〈/可知4左+2<4左2+1,即与-%>；,故左2>尢.

由于，-七3,故（4e+1）-（缺+2）*3,从而这就意味着伍-左22.

此时，由于从数列1,2,…,4/+2中取出i=4%+2和J=4后2+1后，剩余的4m个数可以分为以下四个部分，

共小组，使得每组成等差数列：

①{1,2,3,4},{5,6,7,8}”..,{优一3,缺一2,4月一1,4勺},共升组;

{4左+1,3kl+乂+1,2%+2k、+1,/+3kz+1}，{3左+k?+2,2左+2k、+2,g+3k。+2,4:+2},共2组；

③）全体{4%+p,2>kl+k2+p,2kl+2k2+p,k{+3kl+P}，其中P=3,4,…，左之一左，共左2—左—2组；

［4左2+3,4k2+4,4怎+5,4k+6},{4七+7,4k+8,4k,+9,4k+10}，…,{4加—1,4,%4m+1,4a+2},共m—鼠

组.

（如果某一部分的组数为0,则忽略之）

这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含%-2个行，4个列的数表

以后，4个列分别是下面这些数：

［4匕+3,44+4,…,34+左2},{34+左2+3,34+质+4,…,2左+2kJ,{2左］+2k?+3,2kl+2后,+3,…，/+3晨},

{匕+3左,+3,左+3无2+4,…,4左②.

可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍{4左+1,4左+2,…,4人2+2}中除开五个集合

［4左1+1,4左］+2},{3左1+后2+113kl+左2+2},{2左］+2k?+1,2kl+2kz+2},{/+3k2+1,左］+3k?+2},

{4e+1,4左2+2}中的十个元素以外的所有数.

而这十个数中，除开已经去掉的4K+2和4后2+1以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.

这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列12...,痴+2是亿））-可分数列.

至此,我们证明了:对1<i<j<4m+2,如果前述命题1和命题2同时成立,则数列1,2,...,4俏+2一定是,/）-

可分数列.

然后我们来考虑这样的的个数.

首先，由于4cB=0,A和3各有机+1个元素，故满足命题1的亿/）总共有（加+1『个；

而如果，-i=3,假设则可设1=4匕+1,j=4k2+2,代入得（4左2+2）-（4勺+1）=3.

但这导致矛盾，所以左瓦

设）=4无i+2,j=4k2+1,kx,k2e,则（4上?+1）-（4左+2）=3,即句-&=1.

所以可能的估他）恰好就是（OJ）,。,2）,…，（加-1,加）,对应的亿万分别是（2,5）,（6,9）,...,（4加-2,4加+1）,总

共加个.

所以这（加+丁个满足命题1的亿万中，不满足命题2的恰好有加个.

这就得到同时满足命题1和命题2的亿/）的个数为（〃z+l）2-m.

当我们从1,2,…,4根+2中一次任取两个数i和八，<8时，总的选取方式的个数等于

（4m+2）（4w+l）/、/、

-------------=[2m+l）（4w+1）.

而根据之前的结论，使得数列可，电，％加+2是伍/）-可分数列的亿J）至少有（〃?+1）2-加个.

所以数列6,“2,…，”4机+2是亿/）-可分数列的概率2一定满足

,1（1Y

p*（〃?+1）2-切-+加+1:"厂+加+w〔加+笠

m（2机+1）（4冽+1）（2m+l）（4m+1）（2冽+1）（4机+2）2（2m+l）（2m+l）8

这就证明了结论.

一、新定义问题

“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决

问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质,

它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

二、新定义问题的方法和技巧

（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；

(2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；

(3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；

(4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用

书上的概念.

名校模拟探源

一、解答题

1.(2024・北京•三模)给定正整数”22,设数列a”?，%是的一"个排列,对,%表

示以q为首项的递增子列的最大长度，匕表示以。，为首项的递减子列的最大长度.

(1)若〃=4,q=1,出=4,%=2,%=3,求X,和外；

22

(2)求证：Vze{1,2,M-1},(x;-)+(x/+1-y,+1)0；

(3)求£匕-3的最小直

i=l

【答案】(1)%=3,%=2

⑵证明见解析

(3)当〃为偶数时，之卜一刃的最小值是g；当〃为奇数时，£卜「R的最小值是一.

1=12,=12

【分析】(1)直接根据定义求解；

(2)分情况讨论证明xi-yi*xi+l-yM,故可推知x,一片和xM-yi+1不能同时为零，进而得到结论；

(3)对〃的奇偶性分情况讨论，并利用小问2得到的结果即可.

【详解】(1)以％为首项的最长递增子列是%,%，%，以电为首项的最长递减子列是。2,%和

所以项=3,%=2.

(2)对i,由于％,电，…,凡是1,2,...,〃的一个排列，故。尸％+1.

若«,<ai+l,则每个以为首项的递增子列都可以在前面加一个4,

得到一个以q为首项的更长的递增子列，所以%>x/+1；

而每个以外为首项的递减子列都不包含，且<aM,

故可将生替换为«,-+1,得到一个长度相同的递减子列，所以匕Wyi+l.

这意味着xi-yi>xM-yM；

若%>%,同理有%>%i，x,.<x,.+1,故无，一人<无用-%+].

总之有x,-%丰xi+l-yM,从而占-%和xM-yM不能同时为零，

故（乙一乂y+（再+]-%）N0.

（3）根据小问2的证明过程知天-y,和%+]-N+]不能同时为零，故卜-川+卜+1-乂+||>1.

情况一：当"为偶数时，设〃=2左，则一方面有

E卜TI=E（Ix2,-1-%」+|%-%|）2£1=左=g；

z=i/=1/=1幺

\a,.,=k-i+l

另一方面，考虑这样一个数列可，电，…，4：7.,i=

[a2i=k+i

^2j-i=k—i+2y-\=k-i+l

则对i=1,2,...,左，有2i

x?i=左-i+]=k-i+\

故此时E|^-x|=EL-l-I=£1=左=g.