2023年上海中考数学一轮复习：四边形（原卷版+解析）

专题14四边形

多边形、四边形、平面向量及其线性运算是中考的重要考点，尤其是特殊的平行四边形更是中考的

难点，主要考查基础概念，几何推理与证明，综合分析几何问题.

1.掌握多边形内角和与外角和公式，灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题.

2.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，了解它们之间的关系.掌握它们的性质和判别方

法，并能运用这些知识进行证明和计算.

3.掌握三角形和梯形的中位线定理，并能灵活应用.

4.了解平面向量的概念，掌握平面向量的线性运算.

在知识导图

一、多边形内角和定理、外角定理

“边形的内角和为(”-2)•180°(”23).

要点诠释：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数;

(2)正多边形的每个内角都相等，都等于5—2)・180；

n

多边形的外角和为360。.“边形的外角和恒等于360°,它与边数的多少无关.

二、平行四边形

定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

性质：1.边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；

2.角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；

3.对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；

4.平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.

判定：1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.

平行线的性质

1.平行线间的距离都相等

2.等底等高的平行四边形面积相等

三、梯形

定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形；有一个角是直角的梯形叫直角梯形；有两条腰相

等的梯形叫做等腰梯形.A________D

等腰梯形性质：（1）两底平行，两腰相等；

（2）同一底边上的两个角相等；/\

（3）两条对角线相等；Ax\\

（4）轴对称图形（底的中垂线就是它的对称轴）.口上--------------

（上底+下底）x高

面积：s梯形=

2

等腰梯形判定：（1）两腰相等的梯形是等腰梯形；

（2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形;

（3）对角线相等的梯形是等腰梯形.

解决梯形问题的常用方法（如下图所示）：

（1）“作高”：使两腰在两个直角三角形中.

（2）“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中.

（3）“延长两腰”：构造具有公共角的两个三角形.

（4）“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形.并

且这个三角形面积与原来的梯形面积相等.

转住

综上，解决梯形问题的基本思路：梯形问题八二工…三角形或平行四边形问题,这种思路常通过

分割、拼接

平移或旋转来实现.

三角形、梯形的中位线

联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.

联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.

梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.

典例引燃

J■_________।___________L-

一、单选题

1.一个多边形的每一个外角都等于60。，则这个多边形的边数是（）

A.10B.9C.6D.4

2.若一个多边形的内角和比它的外角和大540。，则该多边形的边数为（）

A.4B.5C.6D.7

3.小红：我计算出一个多边形的内角和为2020。；老师：不对呀，你可能少加了一个角！则小红少加的这个

角的度数是（）

A.110°B.120°C.130°D.140°

4.刘师傅给客户加工一个平行四边形A3CD的零件，他要检查这个零件是否为平行四边形，用下列方法不

能检查的是（）

A.AB//CD,AB=CDB.ZB=ZD,ZA=Z.C

C.AB//CD,AD=BCD.AB=CD,BC=AD

5.如图，在YABCD中，3尸平分/ABC交AD于点F,CE平分NBCD交AD于点E,若AB=6,AD=8,

则EF的长度为（）

A.4B.5C.6D.7

6.下列命题：①等腰梯形的两个底角相等；②两个底角相等的梯形是等腰梯形；③等腰梯形的对角线等;

⑤对角线相等的梯形是等腰梯形，其中真命题的个数是（）

A.0B.2C.3D.4

7.如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC,ZC=60°,AD=6,AB=8,贝!J8C=（）

C

A.10B.12C.14D.16

8.如图，将平行四边形A3CD沿对角线AC折叠，使点B落在点"处，若4=48。，N2=32。，则的

度数为（）•

A.124°B.114°C.104°D.56°

9.如图，在YABCD中，如果点E是边AO的中点，且NA=NAEC,那么下列结论不正确的是（）

B.BF=2DF

D.$四边形ABFE=SSgEF

10.某花木场有一块如等腰梯形ABCD的空地（如图），各边的中点分别是E、F、G、H,用篱笆围成的

四边形EFG”场地的周长为40cm,则对角线AC的长度为（）

15cmC.10cmD.5cm

二、填空题

11.如果某个等腰梯形的一个底角为60。，它的上、下底长分别为3和5,那么这个梯形的腰长是.

12.如图，在梯形ABCD中，AB//DC,DE//CB,VADE周长为18,0c=4,则该梯形的周长等于.

13.在等腰梯形A8C。中，E、F、G、H分别为各边中点，已知对角线AC=10,则四边形EFGH的周长为

14.如图，平行四边形A3CD中，AELBC,AFLCD,垂足分别是£、F,ZEAF=60°,BE=2,DF=3,

则平行四边形ABC。的周长为.

15.如图，梯形ABC。中，ZABC=NBCD,AD//BC,3D平分/ABC,若A£>=3,BC=7,则8。的

长为.

16.如图，YABCD中，连接3D,E是BD上一点、,连接AE并延长交C。于R交8c延长线于点G,若

EF=2,FG=3,则AE=.

17.如图，在梯形ABCD中，AD^BC,AC与3D相交于点。，如果Sic=25〃。，那么：

S^ABC=_____

18.如图，点/在正五边形4BCDE的内部，若为等边三角形，则-3FC的度数是

D

2

19.如图，YABCD对角线AC与BD交于点。，且AD=3,AB=5,在A3延长线上取一点E,使BE=gAB,

连接OE交BC于尸，则3尸的长为.

20.如图，梯形A8CD中，？O90?,AB//CD,将线段CB绕着点8按顺时针方向旋转，使点C落在8

S1

延长线上的点E处.联结AE、BE,设BE与边AD交于点尸,如果AB=4,且封上=孑，那么梯形ABC。

的中位线等于.

四、特殊平行四边形

矩形的判定

平行四边形：（1）有一个角为直角（2）对角线相等.

一般四边形中，三个角为直角.

菱形的判定：

在平行四边形中，（1）有一组邻边相等。（2）对角线互相垂直.

一般四边形中，四条边相等.

正方形的判定：

C

平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质:

相关

平行四边形矩形菱形正方形

元素

①对边平行①对边平行

边对边平行且相等对边平行且相等

②四条边都相等②四条边都相等

角对角相等四个角都是直角对角相等四个角都是直角

①对角线互相平分

①对角线互相平分

②对角线互相垂直.

①对角线互相平分②对角线互相垂直

对角线对角线互相平分③每一条对角线平分

②对角线相等③每一条对角线平分

一组对角

一组对角

④对角线相等

既是中心对称既是中心对称既是中心对称

对称性中心对称

又是轴对称又是轴对称又是轴对称

典例引微

1___•____________I

一、单选题

1.下列命题中，正确的命题是（）

A.一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形

B.对角线相等的平行四边形是矩形

C.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形

D.对角线垂直且平分的四边形是正方形

2.在菱形A8CD中，对角线AC、8。相交于点。，AB=5,AC=6,过点。作AC的平行线交8c的延长线

于点E,则ABZ汨的面积为（）

A.22B.24C.48D.44

3.如图，正方形A8CD的两条对角线AC,8。相交于点。点E在8。上，MBE=AD,则/ACE的度数为

A.22.5°B.27.5°C.30°D.35°

4.如图，矩形ABCD中，AB=6,如果将该矩形沿对角线8。折叠，那么图中阴影部分△£££）的面积是22.5,

则BC=（）

A.8B.10C.12D.14

5.如图，在矩形ABC。中，48=24,8c=12,点E在边4B上，点E在边C£＞上，点G、”在对角线AC

上，若四边形EGF”是菱形.则AE的长是（）

6.如图，在44BC中，/区4c=90°,AB=3,AC=4,尸为边BC上一动点，于E,尸尸，AC于

F,则即的最小值为（）

B

A.1.2B.1.25C.2.4D.2.5

7.如图，点E,F,G,”分别为四边形ABC。四条边AB,BC,CD,D4的中点，则关于四边形EFGH,

下列说法正确的是（）

A.不一定是平行四边形B.当AC=BO时，它为菱形

C.一定是轴对称图形D.不一定是中心对称图形

8.如图，两个正方形的边长都为6,其中正方形OEFG绕着正方形A3CD的对角线的交点。旋转，正方形

OEFG与边AB、分别交于点M、N（不与端点重合），设两个正方形重叠部分形成图形的面积为机，

的周长为"，则下列说法正确的是（）

A.机发生变化，〃存在最大值B.机发生变化，九存在最小值

C.旭不发生变化，〃存在最大值D.机不发生变化，"存在最小值

二、填空题

9.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是.填代号①对边平行且相等；②对角线互相平分;

③对角相等；④对角线相等；⑤四个角都是90。；⑥轴对称图形.

10.菱形的边长为5,一条对角线长为6,则这个菱形的面积是.

11.如图，在矩形ABC。中，对角线AC,3D相交于点。，若NAC®=60。，AB=4cm,则AC的长为

12.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与8D相交于点O,OE±AB,垂足为E点，若NADC=130。，则

ZAOE=

D

13.如图，在矩形A8CD中，AB=8,8c=6,点P为边4B上任意一点，过点尸作尸E_LAC,PFLBD,垂足

分别为E、F,则PE+PP=.

14.如图，点E为正方形ABC。外一点，且ED=CD,连结AE,交BD于点产.若/CZ)E=30。，贝U/OPC

的度数为一.

三、解答题

15.已知：如图，矩形A8CD的两条对角线AC与相交于点。，点E、F分别是线段OC、6©的中点，

联结AF、BE.

(1)求证：四边形AB即是等腰梯形；

(2)过点。作垂足为点联结ME,如果NOME=NBAC,求证：四边形4WEF是菱形.

16.已知如图，四边形ABCD中，/54。=々。£>=90。，E为对角线3D的中点，点尸在边AD上，CF交BD

于点G,CF//AE,CF=-BD.

2

(1)求证：四边形AECF为菱形；

(2)如果Nr>CG=NDEC,求证：AE2=ADDC.

中重点考向

五、平面向量

平面向量的概念：既有大小，又有方向的量叫做向量.向量一般用成瓦工……来表示，或用有向线段的起点

与终点的大写字母表示，如：AB.向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模），记作|通|或IaI.

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.

方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量.

方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量.

方向相同或相反的两个向量叫做平行向量.

平面向量的加法：

向量加法的三角形法则：求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，

那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量.设初或=B,则

a+b^AB+BC^AC-

向量加法的平行四边形法则：如果Z,另是两个不平行的向量，那么求它们的和向量时，任取一点为公共

起点，作两个向量分别和Z了相等；再以这两个向量为邻边作平行四边形；然后以所取的公共起点为起点，

作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是3与办的和向量.

向量的加法满足交换律=满足结合律0+后）+2=£+。+工）.

零向量：长度为o的向量，记为0,其方向是任意的，0与任意向量平行零向量.

a—0OIaI=O.0+a=a+O=a-

平面向量的减法：已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法.减去一个向量

等于加上这个向量的相反向量.

向量减法的三角形法则：在平面内任取一点，以这点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是

以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量.

要点：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的

那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量.

（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的

有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点

当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则.向量加法的

三角形法则可推广至多个向量相加：

AB+BC+CD+-+PQ+QR=AR,但这时必须“首尾相连”.

六、实数与向量相乘

1.实数与向量相乘的意义：

一般地，设”为正整数，1为向量，我们用点表示几个］相加；用.而表示〃个相加.又当加为

正整数时，二彳表示与〉同向且长度为a|的向量.

mm

要点：

设P为一个正数，P。就是将。的长度进行放缩，而方向保持不变；-P。也就是将。的长度进行放缩，但

方向相反.

2.向量数乘的定义

一般地，实数人与向量£的相乘所得的积是一个向量，记作左日，它的长度与方向规定如下：

(1)如果kwO,且£力0时，贝I］：

①左a的长度：|左。|=|左||。|；②左a的方向：当左＞0时，左a与。同方向；当上＜0时，ka与a反

方向；

(2)如果k=0,或3=0时，贝i|：ka=6,左Z的方向任意.

实数左与向量3相乘，叫做向量的数乘.

要点：

(1)向量数乘结果是一个与已知向量平行(或共线)的向量；

(2)实数与向量不能进行加减运算；

(4)左Z表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写

在数字上面；

(5)向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系.

3.实数与向量的相乘的运算律：

设根、〃为实数，贝！I：

(1)m(nd)-(mri)a(结合律)；

(2){m+ri)a=ma+na(向量的数乘对于实数加法的分配律);

(3)m(a+b)=ma+mb(向量的数乘对于向量加法的分配律)

七、平行向量定理

1.单位向量：长度为1的向量叫做单位向量.

要点：

任意非零向量A与它同方向的单位向量可的关系：行=同心，一1一

ao=Ha，

2.平行向量定理：如果向量b与非零向量占平行，那么存在唯一的实数m,使6=m£

要点：

(1)定理中，［m|=二,m的符号由b与a同向还是反向来确定.

a

(2)定理中的不能去掉，因为若5=0,必有6=6,此时m可以取任意实数，使得6=m£成

立.

(3)向量平行的判定定理：A是一个非零向量，若存在一个实数m,使E=m£,则向量6与非零向量;平

行.

(4)向量平行的性质定理：若向量b与非零向量占平行，则存在一个实数m,使6=m£

(5)A、B、C三点的共线o醺〃肥o若存在实数入，使AB=ABC.

八、向量的线性运算

1.向量的线性运算定义：

向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算.

要点：

(1)如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减.

(2)如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.

2.向量的分解：

平面向量基本定理：如果冢，目是同一平面内两个不共线(或不平行)的向量，那么对于这一平面内的

任一向量。，有且只有一对实数4,4，使得a=46+402.

要点：

(1)同一平面内两个不共线(或不平行)向量冢，晟叫做这一平面内所有向量的一组基底.

一组基底中，必不含有零向量.

(2)一个平面向量用一组基底吊回■表示为2=4不+4可形式，叫做向量的分解，当,弓相互垂直时，

就称为向量的正分解.

(3)以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组

合，基底不同，表示也不同.

3.用向量方法解决平面几何问题：

(1)利用已知向量表示未知向量

用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一

些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应

边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.

(2)用向量方法研究平面几何的问题的“三步曲”：

①建立平面几何与向量的联系，将平面几何问题转化为向量问题.

②通过向量运算，研究几何元素的关系.

③把运算结果“翻译”成几何关系.

典例引微

JJ._______।__________

一、单选题

1.若非零向量々和B互为相反向量，则下列说法中错误的是（）

A.a//bB.a^=bC.，卜忖D.b=—a

2.下列说法中不正确的是（）

A.如果加、“为实数，那么（加+〃”=海+位

B.如果k=0或&=。，那么初=6

C.如果上中0,且那么屈的方向与方的方向相同

D.长度为1的向量叫做单位向量

3.矩形A3C。的对角线AC与3D相交于点。，如果配=1，DC=b，那么（）

A.DO=^a-b)B.DO=^(b-a)

C.DO=a—bD.DO——^b+a^

4.下列说法正确的是()

A.如果9为单位向量，那么修B.如果商=工，那么万〃B

c.如果豆、5都是单位向量，那么a=5D.如果|洲=|5|,那么及=5

5.下列命题正确的个数是（）

①设上是一个实数，Z是向量，那么左与Z相乘的积是一个向量；

②如果人o,那么果的模是|胴;

③如果左=0,或a=6，那么上q=0；

④如果上＞0,左々的方向与£的方向相反.

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.下列命题中，正确的是（）

A.如果左=0或£=0，那么h£=0B.如果。〃9，那么°=后3（%为实数）

c.如果2=历C为实数）,那么D.如果卜|=120,那么。=2石或a=—2石

7.如图，已知A、B、C是直线/上的三点,尸是直线/外的一点，BC=2AB,PA=7t,PB=fi,那么定等

于（）

A.—2万+3为B.—元+2为C.2元一百D.4万一3为

8.已知单位向量）与非零向量4、b，下列四个选项中，正确的是（）

C—=~^b1__

A.\a\e=aB.\e\b=bD.:-a=e

\a\\b\\a\

二、填空题

9.计算：3（2万一B）—（3万+25）=

10.如果向量Z、b,［满足关系式1-卜-25）=5,那么1（用向量£、石表示）.

11.如图，在“1BC中，AB=AC,AD1BC,垂足为点。.设荏=£,BC=b,那么莅=（结果

用£、办的式子表示）.

A

12.如图，已知在AABC中，AD=2,AB=5,DE//BC.设福=%，AC=b试用向量M、石表示向量

BE=•

13.如图，已知梯形ABCD中，AD〃BC,BC=3AD,设丽=£,DC=b，那么向量通用向量Z、B表

示为.

14.如图，在正六边形A5CDE尸中，设丽=£,通=石，那么向量而用向量2、B表示为.

15.如图，点G是A3c的重心，过点G且平行于5C,点。、£分别在AB、AC上，设〃J,AC=b，

那么DE=.（用a、b表示）

Dt

BC

16.如图，在梯形ABC。中，AD//BC,对角线AC、5。相交于点。，点E、方分别是边A3、C。的中点,

AO:OC=1:4,设耳5=£,那么/=.（用含向量％的式子表示）

在模拟检测

一、单选题

1.（2021.上海青浦・统考二模）如果一个正多边形的每一个外角都是45。，那么这个正多边形的内角和为（）

A.360°B.720°C.1080°D.1440°

2.（2022・上海.上海市娄山中学校考二模）依次连接等腰梯形各边的中点得到的四边形是（）

A.菱形B.矩形C.正方形D.等腰梯形

3.（2021.上海宝山・统考三模）下列命题中正确的是（）

A.对角线相等的梯形是等腰梯形

B.有两个角相等的梯形是等腰梯形

C.一组对边平行的四边形一定是梯形

D.一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形

4.（2020・上海徐汇・统考二模）下列命题中，假命题是（）

A.顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形

B.顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形

C.顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形

D.顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形

5.（2022・上海长宁•统考二模）如图，已知四边形A3CD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）

A.当9=成1时，四边形A3CD是菱形

B.当AC，3D时，四边形A3CD是菱形

C.当NABC=90。时，四边形ABCD是矩形

D.当时，四边形ABCD是正方形

6.（2022・上海青浦・统考二模）已知非零向量日和单位向量配那么下列结论中，正确的是（）

A.同=|眼B.巨=同苕C.商=|啊D.a=\a\e

7.（2022・上海・一模）点G是AABC的重心，设通AC=b，那么而关于。和B的分解式是（）

11-11_11_11_

A.—a+—bB.一万bC.—a+—bD.—a——b.

22223333

8.（2021•上海虹口•统考二模）如图，在△ABC中，点。、E分别是边8C、AC的中点，和BE交于点G,

设原=2,AE=b»那么向量BG用向量&、B表不为（）

E

A,工&77

B.-a+-bC.--a+-bD.-a+-b

33332222

9.（2020・上海宝山・统考一模）已知九行为非零向量，如果加=-52,那么向量Z与万的方向关系是（）

A.a//b＞并且2和B方向一致B.a//b,并且Z和瓦方向相反

c.Z和B方向互相垂直D.Z和B之间夹角的正切值为5

10.（2020•上海闵行•校考一模）如图，在正方形ABC。中，ABPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交

于点E、F,连结8。、DP,与CF相交于点H,给出下列结论：①BE=2AE；②LDFPs^BPH；

③DP2=PH・PC；@FE；8c=（2百-3）:3,其中正确的个数为（

B.2C.3D.4

二、填空题

11.（2022・上海崇明・统考二模）若一个正多边形的内角和等于外角和的两倍，则该正多边形的边数是

12.（2022•上海普陀・统考二模）菱形的两条对角线长分别为5和12,那么这个菱形的面积为

13.（2018・上海金山・统考二模）如果梯形的中位线长为6,一条底边长为8,那么另一条底边长等于

14.（2022・上海青浦・统考二模）如图，已知平行四边形ABC。中，E是AD上一点，ED=2AE,联结BE交

AC于歹，若向量丽=。，向量反^方，则向量丽=.

15.（2018•上海长宁・统考中考模拟）在四边形A3CD中，E,尸分别是边AB,A£＞的中点，若3C=15,8=9,

EF=6,ZAFE=55°,则NADC=.

D

E

16.（2022•上海徐汇・统考二模）如图，在YABCD中，ZB=70°,BC=6,以为直径的。。交CD于点E,

则劣弧用E的长为.（结算结果保留乃）

17.（2021•上海普陀・统考一模）如图，小明在教学楼的楼顶A测得：对面实验大楼CO的顶端C的仰角

为a,底部。的俯角为如果教学楼AB的高度为加米，那么两栋教学楼的高度差为米.

18.（2021.上海徐汇•一模）如图，己知“LBC是边长为2的等边三角形，正方形。EFG的顶点2E分别在

边AC,A3上，点尸,G在边3c上，那么AZ）的长是.

19.（2018•上海闵行・统考二模）在直角梯形ABCD中，ABIICD,ZDAB=90°,AB=12,DC=7,cosZABC=—,

13

点E在线段AD上，将△ABE沿BE翻折，点A恰巧落在对角线BD上点P处，那么PD=.

三、解答题

3

20.（2022.上海.上海市进才中学校考一模）如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=10,sinA=-,

CDLAB,垂足为D.

⑴求BD的长；

（2）设衣=£,BC=b，用Z，石表示诟.

21.（2021•上海虹口・统考一模）如图，在AABC中，点G是AABC的重心，联结AG,联结BG并延长交边AC

于点。，过点G作GE/ABC交边AC于点£.

（1）如果荏=2，AC=b>用2、B表示向量反

（2）当AG_L3£>,BG=6,/G4D=45。时，求AE的长.

22.（2022•上海金山・统考二模）如图，梯形A8C。中，AD//BC,E是的中点，NCDE=9Q°,CD=6,

2

tanZZ）CE=—.

3

⑴求CE的长；

（2）求/ADE的余弦.

23.（2022•上海徐汇・统考二模）如图，四边形48CE中，ZBAC=90°,AB=AC,8/U.CE于点尸，点。为

上一点，且/BAO=NCAE.

（1）求证：AD=AE；

⑵设防交AC于点G,若BCJ2BDBG,判断四边形A。巫的形状，并证明.

专题14四边形

多边形、四边形、平面向量及其线性运算是中考的重要考点，尤其是特殊的平行四边

形更是中考的难点，主要考查基础概念，几何推理与证明，综合分析几何问题.

1.掌握多边形内角和与外角和公式，灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题.

2.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，了解它们之间的关系.掌握它们

的性质和判别方法，并能运用这些知识进行证明和计算.

3.掌握三角形和梯形的中位线定理，并能灵活应用.

4.了解平面向量的概念，掌握平面向量的线性运算.

在知识导图

一、多边形内角和定理、外角定理

“边形的内角和为（〃-2）•180°（a23）.

要点诠释：（1）内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形

内角和求其边数；

（2）正多边形的每个内角都相等，都等于（"—2）•180；

n

多边形的外角和为360。.“边形的外角和恒等于360。，它与边数的多少无关.

二、平行四边形

定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

性质：L边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；

2.角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；

3.对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；

4.平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.

判定：1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.

平行线的性质

1.平行线间的距离都相等

2.等底等高的平行四边形面积相等

三、梯形

定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形；有一个角是直角的梯形叫直角梯

形；有两条腰相等的梯形叫做等腰梯形.

等腰梯形性质：（1）两底平行，两腰相等；

（2）同一底边上的两个角相等；

（3）两条对角线相等；

（4）轴对称图形（底的中垂线就是它的对称轴）.

（上底+下底）X高

面积：S梯形=

2

等腰梯形判定：（1）两腰相等的梯形是等腰梯形；

（2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形;

（3）对角线相等的梯形是等腰梯形.

解决梯形问题的常用方法（如下图所不）:

（1）“作高”：使两腰在两个直角三角形中.

（2）“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中.

（3）“延长两腰”：构造具有公共角的两个三角形.

（4）“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，

构成三角形.并且这个三角形面积与原来的梯形面积相等.

综上，解决梯形问题的基本思路：梯形问题八二工一三角形或平行四边形问题,这

分割、拼接

种思路常通过平移或旋转来实现.

三角形、梯形的中位线

联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.

联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.

梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.

善例引践

一、单选题

1.一个多边形的每一个外角都等于60。，则这个多边形的边数是（）

A.10B.9C.6D.4

【答案】C

【分析】根据多边形的外角和等于360。，可以用360。除一个外角的度数，可以算出多边形

的边数即可.

【解析】解：；360+60=6,

，这个多边形的边数是6,

故选：c.

【点睛】本题考查多边形的外角和，能够熟练掌握根据多边形的外角和与正多边形一个外角

的度数求出多边形的边数是解决本题的关键.

2.若一个多边形的内角和比它的外角和大540。，则该多边形的边数为（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】D

【分析】设多边形的边数为〃，根据多边形的外角和内角和之间的关系可到关于〃的方程，

解方程即可得.

【解析】解：：多边形的外角和是360。，多边形的内角和比它的外角和大540。

；•设这个多边形的边数为〃

由题意得：（〃一2）/80°=360°+540°

解得：n=7

故选：D

【点睛】本题考查了多边形的外角和与内角和，理清外角和与内角和的关系是解题的关键.

3.小红：我计算出一个多边形的内角和为2020。；老师：不对呀，你可能少加了一个角！则

小红少加的这个角的度数是（）

A.110°B.120°C.130°D.140°

【答案】D

【分析】设这个多边形的边数为小少加的角的度数为x,由多边形内角和定理可得等式：

1805-2）=2020+无，由〃为整数即可确定尤的值.

【解析】设这个多边形的边数为％少加的角的度数为X,

由题意得：180（"-2）=2020+彳，

由于〃为整数，x为正数且小于180,

.'.40+%=180,

则x=140,

故选：D.

【点睛】本题考查了多边形内角和定理，关键是设多边形的边数及少加的角的度数，由多边

形内角和定理得到等式，根据边数为整数确定少加的角.

4.刘师傅给客户加工一个平行四边形ABCD的零件，他要检查这个零件是否为平行四边形,

用下列方法不能检查的是（）

A.AB//CD,AB=CDB.ZB=ZD,ZA=ZC

C.AB//CD,AD=BCD.AB=CD,BC=AD

【答案】c

【分析】根据平行四边形的判定方法：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，两组对

角分别相等的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，即可得A,

B,D可以判定四边形ABCD是平行四边形，不能通过一组对边平行另一组对边相等得到平

行四边形，也可以是等腰梯形；即可求得答案.

【解析】A.AB//CD,AB=CD,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知

本选项正确，但不符合题意；

B.ZB=ZD,ZA=ZC,根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形，可知本选项正确，

但不符合题意；

C.AB//CD,AD=BC,可知四边形ABCD可以是平行四边形，也可以是等腰梯形；故本

选项错误，符合题意；

D.AB=CD,BC=AD,根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知本选项正确，

但不符合题意；

故选：C.

【点睛】此题考查了平行四边形的判定.此题比较简单，注意熟记平行四边形的判定定理是

解此题的关键.

5.如图，在YABCD中，所平分/ABC交AD于点孔CE平分/BCD交AD于点E,若

AB=6,AD=8,则EF的长度为（）

【答案】A

【分析】根据平行四边形的性质可得=由角平分线可得=所以

ZAFB=ZABF,所以瓶=AB=6,同理可得DE=OC=6,贝I］根据EF=AF+DE—AD=4

即可求解.

【解析】解：：四边形ABCD是平行四边形，AD=8,

AAD//BC,DC=AB=6.

：.ZAFB=ZFBC.

:郎平分/ABC,

ZABF=ZFBC.

：.ZAFB=ZABF.

AF=AB=6.

同理可得。E=OC=6.

EF=AF+DE-AD=6+6-8=4.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，解题的关键是掌握数学模型

“角平分线+平行线得到等腰三角形”.

6.下列命题：①等腰梯形的两个底角相等；②两个底角相等的梯形是等腰梯形；③等腰梯

形的对角线等；⑤对角线相等的梯形是等腰梯形，其中真命题的个数是()

A.0B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根据等腰梯形的性质对①③进行判断；根据等腰梯形的判定方法对②④进行判断.

【解析】解：等腰梯形的两个底角相等，所以①为真命题；

两个底角相等的梯形是等腰梯形，所以②为真命题；

等腰梯形的对角线相等，所以③为真命题；

对角线相等的梯形是等腰梯形，所以④为真命题.

故选：D.

【点睛】本题考查了命题：命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真即假.要

说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反

例即可.

7.如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC,NC=60。，AD=6,AB=8,则BC=()

【答案】C

【分析】过。作DE7/AB交3c于E,得出四边形A5ED是平行四边形，推出AD=8E=6,

AB=ED,证出ADEC是等边三角形，得至ljEC=CD=Z)E=8,即可求出答案.

【解析】解：过。作交2C于E,

•.•AD//BC,DE//AB,

四边形ABED是平行四边形，

:.AD=BE=6,AB=ED=CD,

'：ZC=60°,

:.ADEC是等边三角形，

：.EC=CD=DE=AB=8,

，3C=6+8=14.

故选：c.

【点睛】本题主要考查对等腰梯形的性质，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和

判定等知识点的理解和掌握，把等腰梯形转化成平行四边形和三角形是解此题的关键.

8.如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点8落在点"处，若4=48。，Z2=32°,

则的度数为（）.

A.124°B.114°C.104°D.56°

【答案】A

【分析】根据折叠、平行四边形的性质，三角形的内角和定理，即可求出答案.

【解析】解:

由折叠得，N4=Z5,

・・・四边形ABCD是平行四边形，

J.AB//CD,

Z5=N3,

・•・/3=/4,

又・.,N1=N3+N4=48。，

Z5=Z4=Z3=-x48°=24°,

2

在^ABC中，ZB=180°-Z5-Z2=180°-24°-32°=124°,

故选：A.

【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的性质，三角形的内角和定理等知识，由图形直

观得出各个角之间的关系是正确解答的关键.

9.如图，在YABCD中，如果点E是边AO的中点，且NA=/AEC,那么下列结论不正确

的是（）

A.CE=CDB.BF=2DF

C.AB=—EFD.S四边形ABFE=55ApM

【答案】C

【分析】根据平行四边形的性质与等腰梯形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，逐个

判断即可.

【解析】解：在口A8C。中，AD//BC,AD^BC,AB=CD,

'.,AD//B