新高考数学一轮复习讲练测第7章 立体几何与空间向量（测试）（解析版）

第七章立体几何与空间向量（测试）时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知圆台上下底面半径之比为SKIPIF1<0，母线与底面所成的角的正弦值为SKIPIF1<0，圆台体积为SKIPIF1<0，则该圆台的侧面面积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】做出圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为SKIPIF1<0，则下底面半径为SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，母线与底面所成的角的正弦值为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设圆台的母线长为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为圆台的体积为SKIPIF1<0，由圆台的体积公式SKIPIF1<0，计算得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.再由圆台侧面积公式SKIPIF1<0，可得圆台的侧面积为SKIPIF1<0.故选：C.2．（2023·甘肃天水·高三校考阶段练习）设SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．4【答案】C【解析】由向量SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.3．（2023·北京·高三强基计划）设SKIPIF1<0，则V的体积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】根据题意，V是由SKIPIF1<0四点构成的四面体SKIPIF1<0及其内部，其体积为SKIPIF1<0．故选：D.4．（2023·陕西西安·统考一模）如图，球面上有SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，球心SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离是SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的体积是（）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0外接圆的直径为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因此，球心SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，所以，球SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，因此，球SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0.故选：B.5．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）以下什么物体能被放进底面半径为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0的圆柱中（

）A．底面半径为SKIPIF1<0，母线长为SKIPIF1<0的圆锥B．底面半径为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0的圆柱C．边长为SKIPIF1<0的立方体D．底面积为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0的直三棱柱【答案】B【解析】由于SKIPIF1<0，故该圆锥无法放入圆柱中，A错误；B选项，如图所示，将底面半径为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0的圆柱放入半径为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0的圆柱中，如图所示，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，由勾股定理得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由勾股定理得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故能被放进底面半径为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0的圆柱中，B正确；C选项，边长为SKIPIF1<0的立方体，面对角线长为SKIPIF1<0，体对角线长为SKIPIF1<0，要想放进高为SKIPIF1<0的圆柱内，需要如图所示放入，其外接球SKIPIF1<0的直径为SKIPIF1<0，故要想放入圆柱中，只能放入以球SKIPIF1<0为内切球的圆柱中，如图，过点SKIPIF1<0的母线交上底面于点SKIPIF1<0，交下底面于点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由勾股定理得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由勾股定理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即边长为SKIPIF1<0的立方体可放入底面半径为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0的的圆柱中，因为SKIPIF1<0，故C错误；D选项，底面积为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0的直三棱柱体积为SKIPIF1<0，由于底面半径为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0的圆柱体积为SKIPIF1<0，故无法放进放进底面半径为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0的圆柱中，D错误.故选：B6．（2023·北京·高三强基计划）在正方体SKIPIF1<0中，动点M在底面SKIPIF1<0内运动且满足SKIPIF1<0，则动点M在底面SKIPIF1<0内的轨迹为（）A．圆的一部分 B．椭圆的一部分C．双曲线一支的一部分 D．前三个答案都不对【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在圆锥面上，该圆锥以SKIPIF1<0为轴，SKIPIF1<0为顶点，而M在底面SKIPIF1<0内，故动点M在底面SKIPIF1<0内的轨迹是以D为圆心的四分之一圆弧SKIPIF1<0．故选：A.7．（2023·四川·校联考一模）如图，在棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，点P是线段SKIPIF1<0上的动点，下列说法错误的是（）A．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．异面直线AP与SKIPIF1<0所成的角的最小值为SKIPIF1<0D．三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值【答案】C【解析】对于A，易知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故A正确；对于B，易知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B正确；对于C，如图所示：过点D作SKIPIF1<0，连AQ，知SKIPIF1<0就是异面直线AP与SKIPIF1<0所成的角的最小角，有SKIPIF1<0，故C错误；对于D，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是定值，面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，知点P到面SKIPIF1<0的距离是一个定值.故D正确.故选：C8．（2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）四面体ABCD的四个顶点都在球SKIPIF1<0的球面上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点E，F，G分别为棱BC，CD，AD的中点，现有如下结论：①过点E，F，G作四面体ABCD的截面，则该截面的面积为2；②四面体ABCD的体积为SKIPIF1<0；③过SKIPIF1<0作球SKIPIF1<0的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为5：4.则上述说法正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】选项①中，如图（1）所示，找SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，过点E，F，G做四面体ABCD的截面即为面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0为平行四边形，找SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0,连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以截面的面积SKIPIF1<0，故①正确；选项②中，SKIPIF1<0中，由勾股定理得：SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，所以由勾股定理得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由选项①可得：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故②错误；选项③中，可以将四面体放入如图（2）所示的长方体中，由题可求得，SKIPIF1<0，所以外接球的半径SKIPIF1<0，截面面积的最大值为SKIPIF1<0；平面SKIPIF1<0截得的面积为最小面积，半径SKIPIF1<0，截面积最小为SKIPIF1<0，所以截面面积的最大值与最小值的比为5：4，故③正确.图（1）图（2）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（2023·全国·高三专题练习）若点D，E，F分别为SKIPIF1<0的边BC，CA，AB的中点，且SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABC【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选项A正确；SKIPIF1<0，故选项B正确；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选项C正确；SKIPIF1<0，故选项D错误．故选：SKIPIF1<0．10．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）如图，四棱锥SKIPIF1<0的底面为梯形，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0的中点，则（）

A．SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角的余弦值为SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0D．三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0【答案】CD【解析】对于A项，如图取AD中点F，连接EF，则EF∥PD，由题意可得：EF⊥面ABCD，连接CF，∠ECF即SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角，由条件可得EF=2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故A错误；对于B项，连接AC，易得SKIPIF1<0，又E为PA中点，SKIPIF1<0，故PA与CE不垂直，故B错误；对于C项，如图所示，在梯形ABCD中，过B作BG⊥CD，由条件可得，BG=AD=GC=2，故SKIPIF1<0，由勾股定理逆定理可得BD⊥BC，又PD⊥面ABCD，BCSKIPIF1<0面ABCD，则PD⊥BC，PDSKIPIF1<0BD=D，PD、BDSKIPIF1<0面ABCD，所以BC⊥面PBD，故C正确；对于D项，由条件得SKIPIF1<0，由上可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故D正确.故选：CD11．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知点P为正方体SKIPIF1<0底面ABCD的中心，用与直线SKIPIF1<0垂直的平面SKIPIF1<0截此正方体，所得截面可能是（）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【答案】ABC【解析】如图，设棱长为1，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，此时平面SKIPIF1<0就是满足条件的一个SKIPIF1<0,此时所得截面为三角形SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0平移至点SKIPIF1<0，对应的点SKIPIF1<0平移至点SKIPIF1<0（SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点），形成平面SKIPIF1<0，此时截面为四边形SKIPIF1<0，夹在平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0之间的形成五边形SKIPIF1<0，如下图，若截面在平面SKIPIF1<0下方时，形成的截面为三角形，直至缩成一个点，如下图，若截面在平面SKIPIF1<0的上方时，形成的截面为五边形，如下图，当点SKIPIF1<0分别移到点SKIPIF1<0的位置，点SKIPIF1<0移到SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0位置，形成的截面为三角形SKIPIF1<0，再往上形成的截面也为三角形，直至缩成一个点，如下图，综上可知，所的截面为三角形，四边形，五边形，没有六边形.故选：ABC12．（2023·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）已知正方体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0为空间中任一点，则下列结论中正确的是（）A．若SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上任一点，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的范围为SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0在正方形SKIPIF1<0内部，且SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0轨迹的长度为SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0为正方形SKIPIF1<0的中心，则三棱锥SKIPIF1<0外接球的体积为SKIPIF1<0D．若三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0恒成立，点SKIPIF1<0的轨迹为椭圆或部分椭圆【答案】ABD【解析】对于A，当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不重合时，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，如图，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0由点SKIPIF1<0向点SKIPIF1<0移动过程中，SKIPIF1<0逐渐增大，SKIPIF1<0逐渐减小，则SKIPIF1<0逐渐增大，因此SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合时，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的范围为SKIPIF1<0，A正确；对于B，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0是直角三角形，SKIPIF1<0，如图，点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的SKIPIF1<0圆弧（不含弧的端点），轨迹长度为SKIPIF1<0，B正确；对于C，连接SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，如图，显然SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0中点，则SKIPIF1<0，因此点SKIPIF1<0是三棱锥SKIPIF1<0外接球球心，球半径为SKIPIF1<0，体积为SKIPIF1<0，C错误；对于D，连接SKIPIF1<0，如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面积SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，由三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，三棱锥SKIPIF1<0的体积SKIPIF1<0，于是点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0距离为SKIPIF1<0，同理点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0距离为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，因此点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上或在过点SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0平行的平面SKIPIF1<0上，令SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的余弦SKIPIF1<0，即直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角大于SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上，由SKIPIF1<0，得点SKIPIF1<0在以直线SKIPIF1<0为轴，SKIPIF1<0为顶点，轴截面顶角为SKIPIF1<0的圆锥侧面上（除顶点外），显然点P的轨迹是平面SKIPIF1<0与上述圆锥侧面的交线，所以平面SKIPIF1<0截上述圆锥侧面为椭圆，D正确.故选：ABD第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（2023·广东揭阳·高三校考开学考试）一个球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高.球缺的体积公式为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为球的半径，SKIPIF1<0为球缺的高.2022北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”（如图1）深受广大市民的喜爱，它寓意着创造非凡、探索未来，体现了追求卓越、引领时代，以及面向未来的无限可能SKIPIF1<0它的外形可近似抽象成一个球缺与一个圆台构成的组合体（如图2），已知该圆台的底面半径分别SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，球缺所在球的半径为SKIPIF1<0，则该组合体的体积为．

【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】由题意知圆台的体积为SKIPIF1<0，如图可知SKIPIF1<0，则球心到圆台上底面的距离为SKIPIF1<0，故球缺的高为SKIPIF1<0，故球缺的体积为SKIPIF1<0，所以组合体的体积为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．14．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知四棱锥SKIPIF1<0的底面为平行四边形，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点的平面与棱SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】2【解析】如图所示，延长SKIPIF1<0和SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则过点SKIPIF1<0的截面即为截面SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.15．（2023·全国·高三专题练习）毛泽东在《七律二首•送瘟神》中有句诗为“坐地日行八万里，巡天遥看一千河.”前半句的意思是：人坐在地面上不动，由于地球的自转，每昼夜会随着地面经过八万里路程.诗中所提到的八万里，指的是人坐在赤道附近所得到的数据.设某地所在纬度为北纬SKIPIF1<0（即地球球心SKIPIF1<0和该地的连线与赤道平面所成的角为SKIPIF1<0），且SKIPIF1<0.若将地球近似看作球体，则某人在该地每昼夜随着地球自转而经过的路程约为万里.【答案】6【解析】由题意可知，赤道周长为SKIPIF1<0万里，则地球半径SKIPIF1<0万里.设某地随着地球自转，所形成圆的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0万里，则该圆的周长SKIPIF1<0万里.故答案为：6.16．（2023·广东河源·高三校联考开学考试）在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0.过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点的平面与长方体的六个面相交得到六边形SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为.【答案】SKIPIF1<0【解析】如图所示，在长方体SKIPIF1<0中，连接SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，截面与平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0分别相交于直线SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的延长线交于SKIPIF1<0,延长SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上取一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，垂足为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,由于SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）（2023·贵州·高三统考开学考试）如图，直四棱柱SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0为菱形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E，F分别为BC，SKIPIF1<0的中点．

(1)证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(2)求平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0的夹角的余弦值．【解析】（1）在直四棱柱SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，如图，显然SKIPIF1<0为正三角形，由SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）连接SKIPIF1<0，由（1）知SKIPIF1<0是正三角形，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0两两垂直，以A为原点，分别以SKIPIF1<0所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0的夹角的余弦值为SKIPIF1<0．18．（12分）（2023·四川泸州·校考三模）如图，已知直四棱柱SKIPIF1<0的底面是边长为2的正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点．

(1)求证：直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0交于一点；(2)若SKIPIF1<0，求多面体SKIPIF1<0的体积．【解析】（1）连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0是直四棱柱，且底面是正方形，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即四边形SKIPIF1<0是平行四边形，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0为梯形，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于一点，记为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0交于一点SKIPIF1<0.（2）连接SKIPIF1<0，由题意可得：SKIPIF1<0.19．（12分）（2023·贵州毕节·校考模拟预测）在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如图1.沿对角线SKIPIF1<0将SKIPIF1<0折起，使点SKIPIF1<0到达点SKIPIF1<0的位置，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，如图2.

(1)证明：SKIPIF1<0.(2)若二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【解析】（1）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为等边三角形，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则折起后SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由（1）易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等边三角形，设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，如图建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0.20．（12分）（2023·河北衡水·河北衡水中学校考三模）图1是直角梯形SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0是边长为2的菱形，并且SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为折痕将SKIPIF1<0折起，使点SKIPIF1<0到达SKIPIF1<0的位置，且SKIPIF1<0，如图2.(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)在棱SKIPIF1<0上是否存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0？若存在，求出直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【解析】（1）（1）证明：如图所示：在图1中连接AC，交BE于O，因为四边形SKIPIF1<0是边长为2的菱形，并且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，在图2中，相交直线SKIPIF1<0均与BE垂直，所以SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）由（1）分别以SKIPIF1<0为x，y，z建立如图所示空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为：SKIPIF1<0.21．（12分）（2023·西藏日喀则·统考一模）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.”如图，在鳖臑ABCD中，侧棱AB⊥底面BCD；

(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，试求异面直线AC与BD所成角的余弦值.(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点P在棱AC上运动.试求SKIPIF1<0面积的最小值.【解析】（1）如图，以SKIPIF1<0为临边作平行四边形SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0或其补角，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，且由（1）可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以异面直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成的角的余弦值为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以异面直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成的角的余弦值为SKIPIF1<0；综上可知，异面直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成的角的余弦值为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（2）如图，作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0都垂直于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，