上海市曹杨第二中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷（含答案）

曹杨二中2024学年第一学期高二年级数学月考2024.10一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1.若函数的最小正周期是______.2.设等差数列的前n项和为.若，则______.3.若平面α∥平面β，，，则直线a与b的位置关系不可能是______.（填“相交”、“平行”、“异面”之一）4.已知i为虚数单位，设.若是实系数一元二次方程的一个虚根，则______.5.在中，，，，则______.6.在正三棱柱中，若，则直线到平面的距离为______.7.设α为第二象限角.若，则______.8.若圆柱的底面半径为1，侧面展开图的面积为8π，则该圆柱的体积为______9.如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处.若库底与水坝所成的二面角为120°，测得从D、C到库底与水坝的交线的距离分别为米、米，米，则甲、乙两人相距______米.10.已知成等比数列，且其中有两项分别为1、9，则的最小值为______.11.如图，正方体棱长为2，E、F分别为、的中点，P是底面上一点.若AP∥平面BEF，则直线AP与底面所成角的正切值的取值范围是______。12.17世纪法国数学家费马曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小.现已证明：在中，若三个内角均小于120°，则当点P满足时，点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点.根据以上知识，已知为平面α内任意一个向量，和是平面α内两个互相垂直的向量，且，，则的最小值为______.二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.已知空间中有三条直线a，b，c，则“a，b，c两两相交”是“a，b，c共面”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.已知l是平面α的一条斜线，直线，则（）A.存在唯一一条直线m，使得l⊥m B.存在无数多条直线m，使得l⊥mC.存在唯一一条直线m，使得l∥m D.存在无数多条直线m，使得l∥m15.设m，n为正整数.对于数列，下列命题中正确的个数是（）①若，则是等比数列；②若，则是等比数列；③若，则是等比数列.A.0 B.1 C.2 D.316.已知矩形ABCD，M是边AD上一点，沿BM翻折，使得平面ABM⊥平面BCDM，记二面角的大小为α，二面角的大小为β，则（）A. B. C. D.三、解答题（本大题共5题，满分78分）17.（本题满分14分，第1题6分，第2题8分）已知i为虚数单位，设.复数.（1）若，求m的值；（2）若z是纯虚数，求的值.18.（本题满分14分，第1题6分，第2题8分）如图，在正方体中，.（1）证明：直线平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值.19.（本题满分14分，第1题6分，第2题8分）如图，边长为3的正方形ABCD所在平面与半圆弧BC所在平面垂直，点M是BC上异于B、C的点.（1）求证：平面ACM⊥平面ABM；（2）当二面角的大小为60°时，求直线CA与平面ABM所成角的正弦值.20.（本题满分18分，第1题4分，第2题6分，第3题8分）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的空间几何体中，四边形ABCD为矩形，点P不在四边形ABCD所在平面上，PD⊥平面ABCD，，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE.（1）判断四面体EBCD是否为鳖臑？若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（2）证明：DE⊥平面PBC；（3）设，若点M在BD上运动，点N在PC上运动，求线段MN长度的最小值.21.（本题满分18分，第1题4分，第2题6分，第3题8分）已知无穷数列的各项均为实数.若存在，使得对任意正整数n，恒成立，则称为有界数列；记，若存在，使得对任意，，恒成立，则称为有界变差数列.（1）已知数列的通项公式为，判断是否为有界数列？是否为有界变差数列？（只需写出结论）；（2）设.若首项为1，公比为q的等比数列为有界变差数列，求q的取值范围；（3）已知两个严格增的无穷数列和均为有界数列.记，证明：数列为有界变差数列.参考答案一、填空题1.;2.;3.相交;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.二、选择题13.D14.B15.B16.C三．解答题17.（1）（2）或18.（1）证明略（2）19.（1）证明略（2）20.（本题满分18分，第1题4分，第2题6分，第3题8分）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的空间几何体中，四边形ABCD为矩形，点P不在四边形ABCD所在平面上，PD⊥平面ABCD，，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE.（1）判断四面体EBCD是否为鳖臑？若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（2）证明：DE⊥平面PBC；（3）设，若点M在BD上运动，点N在PC上运动，求线段MN长度的最小值.(1)由平面平面,可知四面体的四个面都是直角三角形,即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是证明:(2)因为底面,所以,由底面为长方形,有,而,所以平面平面,所以

又因为,点是的中点,所以而,所以平面21.（本题满分18分，第1题4分，第2题6分，第3题8分）已知无穷数列的各项均为实数.若存在，使得对任意正整数n，恒成立，则称为有界数列；记，若存在，使得对任意，，恒成立，则称为有界变差数列.（1）已知数列的通项公式为，判断是否为有界数列？是否为有界变差数列？（只需写出结论）；（2）设.若首项为1，公比为q的等比数列为有界变差数列，求q的取值范围；（3）已知两个严格增的无穷数列和均为有界数列.记，证明：数列为有界变差数列.(1),若使数列为有界数列,则需使,

由知,,则,,则即可,则数列为有界变差数列.

(2),则

当时,则,显然满足题意.

当时,则,则若,则,舍去.