2025年高考数学重难点突破训练：极值点偏移与拐点偏移问题【七大题型】（含答案及解析）

重难点09极值点偏移与拐点偏移问题【七大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1极值点偏移：加法型】................................................................2

【题型2极值点偏移：减法型】.................................................................3

【题型3极值点偏移：乘积型】................................................................4

【题型4极值点偏移：商型】...................................................................6

【题型5极值点偏移：平方型】.................................................................7

【题型6极值点偏移：复杂型】.................................................................8

【题型7拐点偏移问题】.......................................................................9

►命题规律

1、极值点偏移与拐点偏移问题

极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极值点偏移问题

常常出现在高考数学的压轴题中，是高考考查的热点内容，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，

计算量较大，解决极值点偏移，称化构造函数法和比值代换法，二者各有千秋，独具特色.

►方法技巧总结

【知识点1极值点偏移问题及其解题策略】

1.极值点偏移的概念

（1）已知函数y=/（x）是连续函数，在区间（。,6）内只有一个极值点xo，兀⑴初切），且xo在xi与X2之间，由

于函数在极值点左右两侧的变化速度不同，使得极值点偏向变化速度快的一侧，常常有X。/—匹，这种

情况称为极值点偏移.

（2）极值点偏移

若」/Wx。，则极值点偏移，此时函数人x）在x=x°两侧，函数值变化快慢不同，如图（2）（3）.

图⑵图⑶

（左陡右缓，极值点向左偏移）若宜/）=/（必），贝丘1+X2>2xo；

（左缓右陡，极值点向右偏移）若若次修）=次M），贝I修+%2<2］（）.

2.极值点偏移问题的一般题设形式

(1)函数外)存在两个零点修，工2且修#、2，求证：修+'2>2孙。0为函数")的极值点)；

(2)函数人X)中存在修，M且修之必，满足加1)成心)，求证：修+'2>2孙(的为函数/(X)的极值点)；

(3)函数人工)存在两个零点修，工2且修#、2，令工0=2，求证：f(Xo)->O?

(4)函数於)中存在修，必且入芦工2，满足大修月区)，令X。=汨,冷，求证：/(必)>0.

3.极值点偏移问题的常见解法

(1)(对称化构造法)：构造辅助函数：

①对结论修+间>2劭型，构造函数/(x)=4X)—/(2xo-幻.

②对结论西M>k型，方法一是构造函数尸(x)=/(x)—/(2)，通过研究PG)的单调性获得不

等式；方法二是两边取对数，转化成lnxi+liU2>21m:(),再把Inxi,lm：2看成两变量即可.

(2)(比值代换法)：通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用

X2

函数单调性证明.

【知识点2指数、对数均值不等式解决极值点偏移问题】

极值点偏移问题是近几年高考的热点问题，求解此类问题的一个重要工具就是指数均值不等式和对数

均值不等式.

1.对数均值不等式

结论1对任意的。力>03/6),有Vab<[Mq芋.

2.指数均值不等式

-+〃m—nm-Ln

结论2对任意实数九〃(加有e2<e-----e--<-e--5-e---

\/m-nZ

►举一反三

【题型1极值点偏移：加法型】

【例1】(2024•江苏扬州•模拟预测)已知函数/'(x)=ln(ni久)—久⑺>0).

(1)若/'(%)W0恒成立，求小的取值范围；

(2)若/(久)有两个不同的零点工1,比2，证明X1+犯〉2.

【变式1-1](2024・辽宁•三模)已知/(久)=(x-l)e*+|«/.

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)当a>0时，证明：函数/'(X)有且仅有两个零点xi，久2，且巧+乂2<0.

1

【变式1-2](2024•全国•模拟预测)已知函数/(x)=xe:—a(x>0),且/(久)有两个相异零点亚,冷.

(1)求实数。的取值范围.

(2)证明：+%2>

【变式1-3](2024•全国•模拟预测)已知函数/+21nx,g(x)=61(/+2万).

(1)若曲线f(x)在点处的切线与曲线g(x)有且只有一个公共点，求实数a的值.

(2)若方程g(x)-/(久)=1有两个不相等的实数根比1,冷，

①求实数a的取值范围；

②求证：%1+%2>2.

【题型2极值点偏移：减法型】

【例2】(2024•全国•模拟预测)已知函数/⑶=久2一(2+a)x+alnx,aeR.

⑴讨论/(%)的单调性;

(2)设g(x)=；-/(%)+/-(a+l)x-2a+(a-l)lnx,若g(x)存在两个不同的零点小，x2>且久i<x2.

(i)证明：2a>e+l；

(ii)证明：冷一久i<竺匕纥1

2a—1

【变式2-1](2024•湖南株洲•一■模)已知函数/'(久)=Q+a)e"在(i/(i))处的切线方程为y=e(x-l),其

中e为自然常数.

(1)求a、b的值及f(久)的最小值；

(2)设X1，犯是方程y(x)=-2-2(fc>2)的两个不相等的正实根，证明：氏-久2|〉1《

【变式2-2](2024•北京朝阳•二模)已知函数f(久)=a;「ln(lr)(aeR).

⑴求曲线y=/(x)在点(0/(0))处的切线方程；

(2)若久久)>0恒成立，求a的值；

⑶若/(久)有两个不同的零点肛冷，且%fil>eT，求。的取值范围.

【变式2-3](2024•河南•模拟预测)已知6>0,函数f(x)=(久+a)ln(x+6)的图象在点(1)(1))处的切线

方程为xln2-y-ln2=0.

(1)求a,6的值；

(2)若方程/(无)=£(e为自然对数的底数)有两个实数根打,%2,且%1<冷，证明：冷一亚<1+9+焉

【题型3极值点偏移：乘积型】

【例3】(2024•全国•模拟预测)已知函数/(%)=a%2_(]nx)2(aeR).

(1)当a=l时，讨论函数/(x)的单调性.

(2)若/(久)有两个极值点灯,久2.

①求实数a的取值范围；

②求证：%i%2>e.

【变式3-1](2024•四川眉山•三模)已知函数/'(久)=xlrur-a——2%.

(1)若过点(1,0)可作曲线y=f(x)两条切线，求a的取值范围；

⑵若/(%)有两个不同极值点工1,比2.

①求a的取值范围；

②当第1>4方2时，证明：%1%2>l6e3.

【变式3-2]⑵-24高二下•重庆•阶段练习)已知函数/(x)=(x+a)•lnx,aGR在点4(1/(1))处的切线斜率

为1.

(1)求实数a的值并求函数f(x)的极值；

1

(2)若/101)=/(%2)，证明：X1,%2<丁•

【变式3-3](2024•安徽合肥•模拟预测)已知函数f(x)=a(l-21nW+4x6(aeR).

(1)讨论/'(X)的单调性;

(2)若X1，尤2(乂1大*2)为函数g(X)=k/+5-ln比的两个零点，求证：(乂1X2)4>12e4.

【题型4极值点偏移：商型】

l+21nx

【例4】(2023•全国•模拟预测)已知函数/'(久)=

X2

(1)设函数g(%)=efcx-^(fc>0),若/(%)<g(%)恒成立，求々的最小值;

,^22(l-lnm)

(2)若方程f(x)=爪有两个不相等的实根久1、%2>求证:%2十%i<m

【变式4-1](23-24高二下•河南平顶山•阶段练习)已知函数/(x)=/lnx—a(a€R).

(1)若/(久)恰有两个零点，求。的取值范围;

(2)若/(%)的两个零点分别为%(第1<%2)，求证：||+^2<-|.

【变式4-2](2023•湖北武汉•三模)已知函数/(%)=a%+(a—l)ln%+13aER.

(1)讨论函数/(久)的单调性;

(2)若关于x的方程/(%)=xe--lnx+/有两个不相等的实数根均、物，

Ci)求实数a的取值范围;

(ii)求证：向+导>急

【变式4-3](2024•全国•一模)已知/(%)=/一—?一a

(1)若/(%)20,求实数a的取值范围；

17

(2)设打,第2是/(%)的两个零点，求证：@1<7T;®~<X1+%2-

【题型5极值点偏移：平方型】

【例5】(2024•福建南平•模拟预测)已知函数/0)=喂，其中e为自然对数的底数.

⑴讨论f(x)的单调性；

(2)若方程/(%)=1有两个不同的根%1，%2.

⑴求a的取值范围；

(ii)证明：+%2>2.

【变式5-1](2024•全国•模拟预测)已知函数/(久)=?.

⑴求函数/(%)在[1,3]上的值域；

(2)若方程/(x)=：有两个不相等的解久1，久2，且久1>0,%2>0,求证：a(君+X2)>2e2.

【变式5-2](2024•四川凉山・二模)已知函数/(%)=%+asin%.

(1)若函数/(%)在R上是增函数，求Q的取值范围；

(2)设g(%)=sinx-lnx,若gQq)=g(%2)(%i*%2)，证明：后石<2.

【变式5-3](2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测)已知函数f(%)=/]n%-租有两个不同的零点久1，x?,且《=君

+成.

(1)求实数血的取值范围；

(2)求证:t<1；

7Q

⑶比较呜:及2血+：的大小，并证明.

【题型6极值点偏移：复杂型】

【例6】(2024•四川•一模)已知函数/(%)=a/+%一1口%—q.

(1)若a=l,求f(%)的最小值；

(2)若/(%)有2个零点％1，%2,证明:+%2尸+(%1+外)>2.

【变式6-1](2024•全国•模拟预测)已知函数/(%)=%2(ain%-|%-|)有两个极值点％1,%2，且无

(1)求a的取值范围；

(2)证明：Xiln%!+x2lnx2>x1+x2.

【变式6-2](2024・贵州•模拟预测)已知函数/(x)=xe'+i.

(1)求函数/(尤)的单调区间；

⑵若方程f(x)=4ex+4elnx有两个不相等的实数根％1,久2，证明：右+外+皿打冷)>2-

【变式6-3](2024,山东,模拟预测)已知函数/'(x)=g+a)lnx+：-2,其中aeR.

(1)当a>1时,判断f(x)的单调性；

(2)若/"(X)存在两个极值点打,%2(%2>>0).

7

(i)证明：冷―％1+2>了

145

(ii)证明：-6(1,+8)时,/(x)>^3-^7+--2.

【题型7拐点偏移问题】

【例7】(23-24高三下•四川成都・期末)已知函数f(x)=d—a/.

(1)当a=l时，求/'(x)在x=0处的切线方程；

(2)设函数g(x)=/(x)-sinx,当a=g时，若g(%D+g(%2)=2(应4肛)，证明：打+Q<。.

【变式7-1](23-24高三下•陕西西安•阶段练习)“拐点”又称“反曲点”，是曲线上弯曲方向发生改变的点.设

@'(x)为函数9(X)的导数，若a为。(%)的极值点，则(a，w(a))为曲线y=9(%)的拐点.

已知函数/(x)=aeJxlnx有两个极值点小,%2，且。(比/。。))为曲线C：y=f(x)的拐点.

⑴求。的取值范围；

(2)证明：C在0处的切线与其仅有一个公共点;

(3)证明：f,(xo)<^-.

【变式7-2](2024•全国•模拟预测)已知函数/(%)=21nx+*2+%.

(1)求曲线y=f(久)在点(1)(1))处的切线方程.

(2)若正实数刀1,功满足/(尤1)+/(%2)=4,求证：Xi+x2>2.

【变式7-3](23-24高二下•贵州贵阳•阶段练习)设((久)是函数/(久)的导函数，若广(久)可导，则称函数尸(幻

的导函数为/(%)的二阶导函数，记为尸(x).若/"Q)有变号零点”=劭，则称点Qo/Oo))为曲线y=/(x)的“拐

点”.

(1)研究发现，任意三次函数/O)=ax3+bx2+cx+d(a丰0),曲线y=/Q)都有“拐点”,且该“拐点”也是函

数y=/(久)的图象的对称中心.已知函数/(%)=/+b/_24x+d的图象的对称中心为(1,3),求函数f(x)的解

析式，并讨论f(x)的单调性；

-1-112

(2)已知函数g(%)=—emx-1+-mx3-%2+—%---l(m>0).

(i)求曲线y=9(%)的“拐点”；

7

(ii)若。(％1)+。(久2)=-2(%1。、2)，求证：X1+x2<—.

►过关测试

一、单选题

1.（2024•河北衡水•模拟预测）已知函数/'（X）=lnx+1-ax有两个零点句,%2，且/<%2，则下列命题正确

的是（）

2

A.a>1B.x1+x2<-

i

C..%2VlD.%2一1

2.（2024•全国•模拟预测）若函数/（%）=aln%+$2_2久有两个不同的极值点久I，%且七一/Qi）+%2</（%2）

-%1恒成立，则实数t的取值范围为（）

A.（—oo,—5）B.（—oo,—5]C.（—8,2—21n2）D.（—8,2—21n2]

3.（2023•吉林通化•模拟预测）已知函数;'0）=（>2+2）0；3一36[/+6）满足：①定义域为R；@|<b<4；

③有且仅有两个不同的零点卬久2,则微+擀的取值范围是（）

A.（-2,-1）B.C.g,l）D.（1,2）

4.（2024•辽宁三模）己知函数/（久户底+5/一以存在两个极值点，若对任意满足f（肛）=〃久2）=f（右

）的句,*2,尤3（犯<%2<%3），均有/仁如）</（/2）</（诃3）,则实数a的取值范围为（）

A.（&]B.（磊,2+点

Ca1+刍D,（^,2+1

5.（2023•四川南充・一模）已知函数/（%）=1口%-|+2卜m（0<m<3）有两个不同的零点式i，x2（久i<

%2），下列关于％1，%2的说法正确的有（）个

加②打>高③^V%2〈言④％1%2>1

A.1B.2C.3D.4

6.（2023•全国,模拟预测）已知函数/（%）=於一根/有两个极值点打，%2（0<x1<x2）,函数g（%）=%ln%-

三%2一%有两个极值点％肛（0<%3<%4），设M=£+孩，则（）

A.0<M<-1B.0<M<^M^+1

ee

C.M>—D.M>e

e

7.（2023•四川成都•一模）已知函数/（%）=（lnx）2-3dn%+22有三个零点久i、冷、右且第1<%2<%3，则

等+詈+詈的取值范围是（）

工1x2x3

A.（一占，。）B.（一―0）C.（-^,0）D.（一|,0）

8.（2023・四川南充・一■模）已知函数/'（X）=111久—：+2卜爪（0<m<3）有两个不同的零点犯，%2（不<

%2），下列关于犯，犯的说法正确的有（）个

①£<e2m②句>高③句电>1

A.0B.1C.2D.3

二、多选题

9.（2024・贵州毕节•二模）已知函数/'（X）=抚-工，方程/■（久）=a有两个不等实数根%1，冷，则下列选项正确

的有（）

A./（%）<|B.a的取值范围是（—8,9

ln%i—lnx2--

c.=1D.%1+x2>2

10.（2024・山西太原•三模）已知尤1是函数f（x）=/+mx+71（爪<0）的极值点，若/'（冷）=/'（比1）

（小k无2），则下列结论正确的是（）

A./（久）的对称中心为（0,n）B./（-%1）>/（%1）

C.20+%2=0D.%1+%2>0

11.（23-24高二上•湖北武汉•期中）已知函数/■（久）=xln久-•%与y=a有两个不同的交点，交点坐标分别为

（x2,y2）（久1<久2），下列说法正确的有（）

A.f（x）在（0,1）上单调递减，在（1,+8）上单调递增

B.a的取值范围为（—1,0]

C.x2—x1>ae+e

D.%2一汽1V2a+e+~

三、填空题

12.（2023•河北衡水•模拟预测）已知函数/'（X）=2023eX-cu：2_i（aeR）有两个极值点久「冷，且久2、2XI，

则实数a的取值范围为.

13.（23-24高三下•云南•阶段练习）若关于％的方程9-3a比=。有两个不同的实根％i，%2,且均>3冷，则

实数a的取值范围为

14.(2023•陕西西安,二模)若函数/(x)=)/-6工+1在％=巧和尤=久2，两处取得极值，且葭则实数

a的取值范围是.

四、解答题

15.(2024•陕西安康•模拟预测)已知函数/(久)=/6-工-£1(/-4%)在定义域(0,+8)上仅有1个极大值点.

(1)求a的取值范围；

(2)若=/。2),1<久1<2<%2,证明:X1+%2>4.

16.(2024•重庆•模拟预测)已知函数/'(X)=a(lnx+1)++(a>0).

(1)求证:1+xlnx>0；

(2)若xi,%2是/(x)的两个相异零点，求证：咫一句1<1—

17.(2024・上海•三模)已知/(X)=e，—a久一1,a&R,e是自然对数的底数.

(1)当a=l时，求函数y=/(久)的极值；

(2)若关于久的方程f(x)+1=0有两个不等实根，求a的取值范围；

(3)当a>0时，若满足f(久1)=f(*2)(*i<%2)，求证：%i+x2<21na.

18.(2024•安徽合肥•模拟预测)已知函数/(x)=a(l-21n%)+4x6(aeR).

(1)讨论f(x)的单调性;

-1_

(2)若X1，尤2(比1大*2)为函数9(x)=依2+至一11«的两个零点，求证：(%1%2尸>12e4.

19.(2024・四川成都•模拟预测)已知函数/(无)=誓—犯刀6(0万).

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若久1<汽2，满足/(%1)=/(%2)=°«

(i)求加的取值范围；

(ii)证明：%i+x2<冗.

重难点09极值点偏移与拐点偏移问题【七大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1极值点偏移：加法型】................................................................2

【题型2极值点偏移：减法型】.................................................................7

【题型3极值点偏移：乘积型】................................................................14

【题型4极值点偏移：商型】..................................................................20

【题型5极值点偏移：平方型】...............................................................27

【题型6极值点偏移：复杂型】...............................................................32

【题型7拐点偏移问题】......................................................................38

►命题规律

1、极值点偏移与拐点偏移问题

极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极值点偏移问题

常常出现在高考数学的压轴题中，是高考考查的热点内容，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，

计算量较大，解决极值点偏移，称化构造函数法和比值代换法，二者各有千秋，独具特色.

►方法技巧总结

【知识点1极值点偏移问题及其解题策略】

1.极值点偏移的概念

（1）已知函数y=/（x）是连续函数，在区间（。,6）内只有一个极值点xo，兀⑴初切），且xo在xi与X2之间，由

于函数在极值点左右两侧的变化速度不同，使得极值点偏向变化速度快的一侧，常常有X。/—匹，这种

情况称为极值点偏移.

（2）极值点偏移

若」/Wx。，则极值点偏移，此时函数人x）在x=x°两侧，函数值变化快慢不同，如图（2）（3）.

图⑵图⑶

（左陡右缓，极值点向左偏移）若宜/）=/（必），贝丘1+X2>2xo；

（左缓右陡，极值点向右偏移）若若次修）=次M），贝I修+%2<2］（）.

2.极值点偏移问题的一般题设形式

(1)函数外)存在两个零点修，工2且修#、2，求证：修+'2>2孙。0为函数")的极值点)；

(2)函数人X)中存在修，M且修之必，满足加1)成心)，求证：修+'2>2孙(的为函数/(X)的极值点)；

(3)函数人工)存在两个零点修，工2且修#、2，令工0=2，求证：f(Xo)->O?

(4)函数於)中存在修，必且入芦工2，满足大修月区)，令X。=汨,冷，求证：/(必)>0.

3.极值点偏移问题的常见解法

(1)(对称化构造法)：构造辅助函数：

①对结论修+间>2劭型，构造函数/(x)=4X)—/(2xo-幻.

②对结论西M>k型，方法一是构造函数尸(x)=/(x)—/(2)，通过研究PG)的单调性获得不

等式；方法二是两边取对数，转化成lnxi+liU2>21m:(),再把Inxi,lm：2看成两变量即可.

(2)(比值代换法)：通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用

X2

函数单调性证明.

【知识点2指数、对数均值不等式解决极值点偏移问题】

极值点偏移问题是近几年高考的热点问题，求解此类问题的一个重要工具就是指数均值不等式和对数

均值不等式.

1.对数均值不等式

结论1对任意的。力>03/6),有Vab<[Mq芋.

2.指数均值不等式

-+〃m—nm-Ln

结论2对任意实数九〃(加有e2<e-----e--<-e--5-e---

\/m-nZ

►举一反三

【题型1极值点偏移：加法型】

【例1】(2024•江苏扬州•模拟预测)已知函数/'(x)=ln(ni久)—久⑺>0).

(1)若/'(%)W0恒成立，求小的取值范围；

(2)若/(久)有两个不同的零点工1,比2，证明X1+犯〉2.

【解题思路】(1)直接用导数求出f(x)的最大值即可；

(2)构造p(t)=/(1+t)—f(l—t)并证明t>0时/(I+t)>/(IT),并对该不等式代入特殊值即可得证.

【解答过程】(1)首先由巾>0可知/'(久)的定义域是(0,+8),从而/'(%)=ln(mx)-x=lnxf+lmn.

故尸(x)=x=卜1=上^,从而当0<刀<1时((x)>0,当x>l时尸(x)<0.

故/'(%)在(0,1)上递增，在(1,+8)上递减，所以〃>)具有最大值f(l)=

所以命题等价于lnm-1W0,即mWe.

所以小的取值范围是(0,e].

(2)不妨设修<久2，由于/(%)在(0,1)上递增，在(1,+8)上递减，故一定有0<打<1<冷.

在一1<t<1的范围内定义函数p(t)=/(I+

则p'(t)=((1+t)+r(l-t)=E=署>o，所以P(t)单调递增.

这表明t>0时p(t)>p(0)=/(1)-/(1)=0,BP/(1+t)>/(1-t).

又因为f(2-X1)=/(I+(1-X1))>/(l-fl-Xi))=/(Xl)=o=f(X2)>且2Tl和都大于1，

故由/(x)在(1,+8)上的单调性知2-久1<x2,即打+%2>2.

【变式1-1](2024•辽宁•三模)已知/'(久)=(x-l)eX+

(1)讨论函数久久)的单调性；

(2)当a>0时，证明：函数/'(%)有且仅有两个零点打,%2，且乂1+犯<0.

【解题思路】(1)对/"(久)求导，对a分类讨论，由导数与单调性的关系即可求解；

(2)先用零点存在性定理证明结论，再构造新函数讨论八%)与/(-4)大小关系，利用/(%)在(0,+8)上单

调性，证明结论即可.

【解答过程】(1)f'[x)=xex+ax=x(ex+a),

当aNO时，令尸(x)>0,得x〉0,令尸(x)<0,得x<0,

所以/(%)在(0,+8)上单调递增，在(-8,0)上单调递减；

当a<0时，令/(%)=0,得x=0或x=ln(-a),

当In(—a)<0,即—l<a<0时，由尸(%)>0得xW(—8<(—砌)U(0,+8),[(x)<0得xe(ln(—a),0),

所以f(x)在(-8,ln(-a))和(0,+oo)上单调递增，在(ln(-a),0)上单调递减；

当In(-a)=0,即a=-l时，「(x)20恒成立，/(久)在R上单调递增；

当ln(—a)>0,即a<-l时，由尸⑴>0得xC(―8,0)u(ln(—a),+8),由尸(x)<0得xe(0,ln(—a)),

所以/(久)在(-8,0)和(ln(-a),+8)上单调递增，在(0,ln(-a))上单调递减.

综上，当a20时，/(X)在(0,+8)上单调递增，在(—8,0)上单调递减；

当一l<a<。时，/(久)在(一8,ln(-a))和(0,+8)上单调递增，在(ln(-a),0)上单调递减；

当a=-l时，f(x)在R上单调递增；

当。<一1时，/(x)在(一8,0)和(皿―a),+8)上单调递增，在(0,ln(—a))上单调递减.

(2)由第(1)问中a〉0时，/(x)在(0,+8)上单调递增，在(-8,0)上单调递减，

当%>0时，因为a>0,/(0)=-1<0,/(1)=^>0,

由零点存在性定理可得：函数/(%)在区间(0,+8)上存在唯一零点%2，且%2c(0,1),

使得/(%2)=°；

当汽V0时，x—1<0,0<ex<1,则(汽一l)e*>%—1,

则/(%)=(%-l)ex+|ax2>(x-1)+|a%2=|ax2+x-l,

显然一元二次方程-1=0的两个不等实根为：-1+后通和-1-VI呵

N+Xaa

其中T+后云>0,土叵羽<0,

aa

取心土叵羽<o,

a

f(b)=(h-l)eh+^ab2>^ab2+b-l=0,

即f(b)>0,M/(0)=-1<0,

由零点存在性定理可得：函数/'(%)在区间(-8,0)上存在唯一零点犯，且％1€(6,0),

使得f(小)=0;

所以当a>0时，函数/(%)有且仅有两个零点；

X2

因为乂2为零点，所以/'(X2)=(x2-l)e+|a%2=0,

X2

所以)始=(l-x2)e,

-X2-X2eX2

所以/'(一冷)=(-x2-l)e++1a%2=(-x2-l)e+(l-x2)>

令9(%)=(-x-l)e-x+(l-x)ex,g'8=x(e-x-ex),

当x>0时,e-x-ex<0,g'(x)<0,所以g(x)在(0,+8)上单调递减,

因为g(0)=0,x2>0,所以g(%2)<。，

所以(—X2—1g一犯+(1—%2龙犯<0,所以/(—X2)<0,所以/Ql)=0>/(—%2)，

因为/■(>)在(-8,0)上单调递减，

所以<-x2，所以/+x2<0.

1

【变式1-2](2024•全国•模拟预测)已知函数/'(%)=x底-a(久>0),且f(x)有两个相异零点血,久2.

(1)求实数。的取值范围.

(2)证明：+%2>—•

【解题思路】(1)利用导数求出函数f(x)的最小值，再分段讨论并构造函数，利用导数探讨单调性，结合

零点存在性定理推理即得.

(2)由(1)的结论，结合函数零点的意义可得%In久-Ina•%+1=0有两个相异的解%i,%2，再构造函数，借

助单调性确定％1,%2的取值区间，再结合分析法推理证明即得.

111_i1

【解答过程】⑴函数/Q)=xeJa,求导得/值)=(1-3底=一r晨，

当0<%<1时，r(x)<0；当x>l时，f(x)>0,f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

则/'(x)min=y(l)=e-a.

当aWe时，f(x)20恒成立，f(x)至多有一个零点，不符合题意，

11

当a>e时,/(I)<0,/(a)=ae«—a=a(e«-1)>0,BP3x2G(l,a),使/(%2)=。，

/(，)=^ea—a=-~a-,令g(a)=ea—a2,求导得=ea—2a,

令9(a)=求导得0(a)=1一2>0,即火。)在(e,+8)上单调递增，(p(d)></?(e)=ee-2e>0,

于是g<a)>0,函数g(a)二/一。2在(巳+8)上单调递增，g{d}>^(e)=ee-e2>0,

因此三工1€(，,1),使/(%i)=0,

所以实数a的取值范围为(e,+8).

iI

(2)由(1)知，％,二a有两个相异的解％1/2，即方程In%+t=lna=:rin汽一Ina•%+1=0有两个相异的解，

令函数h(%)=xlnx-lna•汽+1,求导得"(%)=In%+1-lna在(0,+8)上单调递增，且加(£)=0,

当0</<£时，6(%)<0,九(%)在(0,£)单调递减，当/时，"(%)>0,%(%)在(/,+8)单调递增，

不妨设％1<%2，显然％iE(0(),%2E(*+8),

要证％1+%2>F，即证第2>~~xl>£，即证/l(%2)>h(三一式1).

又九。。=九(%2),则即证/1(%1)>八年一小)，令函数尸(%)=/1(汽)一/1片一%),xe(O^),

贝忸(%)="(%)+加弓-%)=Inx+1—Ina+ln(^—%)+1—Ina=ln(^x—%2)+1点，

而争一％2=—0—+^<9，则/口)<+lng=0,

因此函数F(%)在(0,£)上单调递减，即F(%)>F(J)=0,贝收。i)>h谭一巧)，

所以％1+相>与.

【变式1・3】(2024•全国•模拟预测)已知函数/(%)=—X2+21n%,g(%)=<^(%2+2%).

(1)若曲线/(%)在点处的切线与曲线g(%)有且只有一个公共点，求实数Q的值.

(2)若方程=1有两个不相等的实数根治,久2，

①求实数a的取值范围；

②求证：%i+x2>2.

【解题思路】(1)利用导数，得到9(-1)=-4=-1,即可得解.

(2)①构造函数,令/i(x)=21nx-(a+l)%2-2ax+1,则/i(x)有两个零点卬冷，进行求解即可；

②由①得一l<a<0,则白>2,分析得出：需证假冷)一从高一久2)>。，进行证明即可.

【解答过程】(1)函数/(X)的定义域为(0,+8)，r(x)=—2x+|,/(l)=—l/(l)=0,

所以曲线/(%)在点(1,-1)处的切线方程为y=-L

因为切线y=-1与曲线g(x)=a(x2+2尤)有且只有一个公共点，

所以g(-l)=-a=-1,故a=1.

(2)①方程g(x)-f(x)=1有两个不相等的实数根久i，%2，即方程21nx-(a+l)x2-2ax+1=0有两个不相等

的正根X]X2.

令h(x)=21nx-(a+l)x2-2ax+1,则仅x)有两个零点小,外.

h'(x)=|-2(a+l)x-2a=

因为久>0,x+1>0,所以〃(x)的正负取决于(a+1)%-1的正负.

(i)当aW-l时，〃(久)>0恒成立，故h(x)在(0,+8)上单调递增，函数h(x)不可能有两个零点；

(ii)当a>-l时，由"(x)>0,解得久e(0,三)，由"(x)<0,解得xe(啬，+8),

故函数h(x)在(0,9)上单调递增，在(左,+8)上单调递减.

因为函数九⑴有两个零点，所以从三)>0,

即21n5—(a+1),(a)一2-5+1>0,化简得21n(a+l)+热<0.

x21

令m(%)=21n(%+1)+苗%>-1,贝牡'(%)=高？+4前>0，则函数血(%)在(-1,+8)上单调递增，

又m(0)=0,则不等式21n(a+1)+后V0的解集为{。|一1<a<0}.

因为叔式)=21nx—(a+l)x2—2ax+1<21nx—2ax+1,所以/i(e12)<21ne-2—1^+1=—3—1^<0.

又白>1，所以“x)在(e-2,a)内存在一个零点.

以下证明在(三,+8)内也存在一个零点，

11_v

设9(%)=In%-%4-l,x>0,则"(%)=--1=—,

当0<久VI时，0(%)>0,当％>1时，。(切V0,即函数w(%)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减,

故0(%)在％=1处取得极大值，也是最大值，9(%)max=0(1)=。，

-1

所以当且仅当汽=1时，等号成立，r^lnx<x--,

即h(x)=21nx-(a+l)x2-2ax+1<2(%—+l)x2-2ax+1=%[2(l-a)-(a+l)x],

取力0>2/：)〉击,则Zig)V%o[2(l-a)-(a+I)%。]<0.

所以假久)在(今,%0)内存在一个零点.

所以叔工)共有两个零点.

综上，实数a的取值范围为(-1,0).

②由①得一1<。<0,则《1>2,不妨设0<V，]V%2，

要证明％1+%2>2,只需证明％1+%2>[五，即证明％1>了五一%2.

因为八⑴在(0,白)上单调递增，且小e(。，言)，京-26(。,左)

所以只需证明仅%0>九(高一%2),又叔%1)二%(%2)，所以需证九(%2)-从总一第2)>。・

记F(%)="%)_八岛一%)%W岛,+8),

2

/7\244

则叫x)=〃(x)+/1\--x)=-4-ZZ^-4(a+1)=(a+1).x.(_|__x)-4(a+1)>(a+1).(_i_)^-4(a+1)=。，

所以F(x)在(今,+8)上单调递增，又当X一三时，尸0)-0,

则F(x)>0,所以尸(%2)>°，即”(刀2)——0)>0，所以％1+%2>*不故久I+》2>2.

【题型2极值点偏移：减法型】

【例2】(2024•全国•模拟预测)已知函数/(%)=/一(2+a)%+aln%,aER.

⑴讨论/(%)的单调性；

2

(2)设g(%)=亍一/(%)+%-(a+l)x-2a+(a-l)lnx,若g(%)存在两个不同的零点式dx2,且％1<x2.

(i)证明：2a>e+l；

z••\、丁口口/4a2—2a—1

(11)证明：%2一%1V-.

【解题思路】(1)先确定定义域，求出导函数并进行通分和因式分解后根据开口方向、根的大小关系、根

与定义域的位置关系等信息进行分类讨论得出导数正负情况，从而得出函数的单调性.

(2)考查用导数研究函数零点问题，(i)用导数研究函数的单调性和最值情况，确保函数零点个数为2即

可证明2a>e+l；(ii)根据零点的分布和大小情况进行考虑入手即可.

【解答过程】(1)由题f(x)的定义域为(0,+8),=2x-(2+Q+J=2-(2*+0=3一丁),

①若aWO,贝i]2x—a>0,当0<%<1时，尸(乂)<0；当x>l时，尸(吗>0,

所以人吗在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.

②若a>。，令尸(%)=0,得%i=l,=(

当0<a<2时，0<与<1,

当。<*<]或%>i时，尸(%)>0；当与<%<i时，尸(%)<0,

所以/CO在(0,9，(1，+8)上单调递增，在上单调递减；

当a>2时，>1,

当OV%<1或%时，/(%)>0；当1<%<|时，f'(x)<0,

所以人吗在(0,1),修,+8)上单调递增，在(1,9上单调递减;

当a=2时，/。)=兹科20,当且仅当X=1时等号成立，

所以八支)在(0,+8)上单调递增.

(2)(i)由题意知g(x)=7■—Inx+x—2a,

(%-l)(ex+x)

所以g*)=^1」+I=(XT)U(XT)=

O'，X2XX2%2:

当。<*<1时，g<x)<0；当久>1时，g'(x~)>0,

所以g(x)在(o,i)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

则g(x)min=9(1)=e+l-2a,

因为函数g(x)存在两个不同的零点，故e+1-2a<0,即2a>e+l.

(ii)下面找出两个点机，n(0<m<1<n),使得g(ni)>0,g(n)>0,

11

注意到晦罕=2a-白且0<--T<1<2a,于是考虑找点2a,--

下面我们证明：g(2a)>0,

①g(2a)>0=窘-ln(2a)>0,设zn(%)=曰—In](x>2),下证zn(%)>0,

方法1：设h(%)=e*-、2_%(%〉0),则斤(%)=ex-x-l,故h〃(%)=a-1>0,

所以“(%)在(2,+8)上单调递增，得加(%)>〃(2)=e2-3>0,

所以/i(%)在(2,+8)上单调递增，

故九(%)>/i(2)=e2—4>0,即e">$2+双%>2),

因此zn(%)=——Inx>-x+1—In%,

设〃(%)=1x+l-lnx(x>2),则if(%)==7>0,

所以“(%)在(2,+8)上单调递增，所以“(%)>u(2)=2-ln2>0,

因此zn(%)=亍-In%>0,X2a>e+1>2,故ln(2a)>0,即g(2a)>0,

又/⑴VO,所以1V%2V2a.

方法2：易知加(%)=("U：—",设u(%)=(%-l)ex-x,贝！=xex-l>0,

所以u(%)在(2,+8)上单调递增,得u(%)>v(2)=e2—2>0,

所以？71(%)在(2,+8)上单调递增，故771(%)>771(2)=y-ln2>0,

X2a>e+1>2,从而等一ln(2>>0,即g(2a)>0,

又f(l)V0,所以1V%2V2a.

②9(圭)=&T)e/Tn上+高-2a,

1_y

设t(%)=In%—%+1,则"(%)=-^-,

易知t(%)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

所以t(%)<t(l)=0,即In%<%-1,

11

又2a>e+l,即0V^—-<

2a—1e

所以也1占三白1一1,且en1—1>0,

Z.CL—1Z.CL—1

因此gQ1J—(2a—l)e2a-i—(2ci—1)—(2d—l)(e2a-i—1)>0,

又/(