2024-2025学年新教材高中数学第2章平面解析几何2.32.3.4圆与圆的位置关系学案新人教B版选择性必修第一册

PAGE2.3.4圆与圆的位置关系学习任务核心素养1．驾驭圆与圆的位置关系及判定方法．(重点)2．了解两圆相离、相交或相切时一些简洁的几何性质的应用．(重点)3．驾驭利用圆的对称性敏捷解决问题的方法．(难点)1．通过学习圆与圆的位置关系，培育直观想象的核心素养．2．借助圆与圆的位置关系的应用，培育数学运算的核心素养．魔术钢圈有许多的版本，通常有三连环和四连环．三连环中，有一个环是有缺口的，而另外两个环是密封的；而四连环的原理基本相同，唯一不同的是有两个环原来就连在一起，其余是一个有缺口的环和一个密封的环．表演时的常用手法是敲击法：一手拿一个环，右手拿的是有缺口的环．缺口环的口要在右手的尾指处．用右手的环敲击左手的环．先装作敲两下，第三下时右手的环快速向下敲，同时让左手的环的上端穿过右手的环的缺口，穿进去后便连在一起．在魔术师精美绝伦的表演中，对于圈而言，有时分开，有时相连；假如把魔术圈看成圆，那么图中两个圆的位置关系能否用圆心间的距离和半径来刻画呢？学问点1圆与圆的位置关系及推断位置关系相离相交相切外离内含外切内切图示交点个数00211判定方法几何法d＞r1＋r20＜d＜|r1－r2||r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝r1＋r2d＝|r1－r2|代数法Δ＜0Δ＜0Δ＞0Δ＝0Δ＝0说明：d为两圆的圆心距，r1，r2分别为两圆半径，Δ为联立两圆方程消去一个未知数后的一元二次方程的根的判别式．1．思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)假如两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切． ()(2)假如两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交． ()(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程． ()[答案](1)×(2)×(3)×[提示](1)错误，还可能是内切．(2)错误，还须要大于两半径之差的肯定值．(3)错误，在相交的状况下才是．学问点2两圆的公切线同时与两个圆相切的直线称为两圆的公切线．当两圆的位置关系不同时，公切线的条数也不同．详细状况如下表：位置关系外离外切相交内切内含切线图示切线条数432102．圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1和圆C2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的公切线有()A．2条B．3条C．4条D．1条B[∵圆C1的圆心为C1(－2，2)，半径r1＝1，圆C2的圆心为C2(2，5)，半径r2＝4，∴圆心距|C1C2|＝eq\r(2＋22＋5－22)＝5，r1＋r2＝5，故两圆外切，公切线的条数为3．]类型1圆与圆位置关系的判定【例1】已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0．(1)当m为何值时，圆C1与圆C2外切？(2)当圆C1与圆C2内含时，求m的取值范围．[解]对于圆C1与圆C2的方程，经配方后，有C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4．∴两圆的圆心C1(m，－2)，C2(－1，m)，半径r1＝3，r2＝2，且|C1C2|＝eq\r(m＋12＋m＋22)．(1)若圆C1与圆C2外切，则|C1C2|＝r1＋r2，即eq\r(m＋12＋m＋22)＝5．解得m＝－5或m＝2．(2)若圆C1与圆C2内含，则0＜|C1C2|＜|r2－r1|＝1，即eq\r(m＋12＋m＋22)＜1．解得－2＜m＜－1．1．推断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围问题有以下几个步骤：(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；(2)计算两圆圆心的距离d；(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来推断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是特别简洁清楚的，要理清圆心距与两圆半径的关系．[跟进训练]1．当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切？[解]将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k．圆C1的圆心为C1(－2，3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1，7)，半径r2＝eq\r(50－k)(k＜50)．从而|C1C2|＝eq\r(－2－12＋3－72)＝5．当1＋eq\r(50－k)＝5，k＝34时，两圆外切．当|eq\r(50－k)－1|＝5，eq\r(50－k)＝6，k＝14时，两圆内切．当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，即14＜k＜34时，两圆相交．类型2两圆相交的有关问题【例2】(对接教材人教B版P114例2)已知圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0和圆C2：x2＋y2＋6x＋2y－40＝0相交于A，B两点，求弦AB的长．[解]法一：两圆方程相减得4x＋3y－10＝0，此即为两圆相交弦所在直线AB的方程．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋3y－10＝0，,x2＋y2－10x－10y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝6))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2.))∴A，B的坐标分别为(－2，6)，(4，－2)．∴|AB|＝eq\r(－2－42＋6＋22)＝10．即弦AB的长为10．法二：由解法一得直线AB的方程为4x＋3y－10＝0．圆心C1(5，5)到直线AB的距离为d＝eq\f(|20＋15－10|,5)＝5，而圆C1的半径为r＝5eq\r(2)．由圆的性质可知|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(50－25)＝10．即弦AB的长为10．1．求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必需留意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数．2．求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解．3．已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．[跟进训练]2．(1)圆O1：x2＋y2－4x＋6y＝0和圆O2：x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是______________．(2)经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程为____________．(1)3x－y－9＝0(2)x2＋y2－x＋7y－32＝0[(1)两圆的方程相减得AB的方程为x＋3y＝0，圆O1的圆心为(2，－3)，所以线段AB的垂直平分线的方程为y＋3＝3(x－2)，即3x－y－9＝0．(2)解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋6x－4＝0，,x2＋y2＋6y－28＝0，))得两圆的交点A(－1，3)，B(－6，－2)．设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4．则有eq\r(a＋12＋a－4－32)＝eq\r(a＋62＋a－4＋22)，解得a＝eq\f(1,2)，故圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(7,2)))，半径为eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋1))eq\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)－3))eq\s\up12(2))＝eq\r(\f(89,2))．故圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(7,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(89,2)，即x2＋y2－x＋7y－32＝0．]类型3圆与圆的相切问题【例3】求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋eq\r(3)y＝0相切于点M(3，－eq\r(3))的圆的方程．1．圆与圆相切有哪几种状况？[提示]两圆相切指的是内切和外切两种状况．2．两圆相切可用什么方法求解？[提示](1)几何法．利用圆心距d与两半径R，r之间的关系求得，d＝R＋r为外切，d＝|R－r|为内切．(2)代数法．将两圆联立消去x或y得到关于y或x的一元二次方程，利用Δ＝0求解．[解]设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，则eq\r(a－12＋b2)＝r＋1． ①又所求圆过点M的切线为直线x＋eq\r(3)y＝0，故eq\f(b＋\r(3),a－3)＝eq\r(3)， ②eq\f(|a＋\r(3)b|,2)＝r． ③解由①②③组成的方程组得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4eq\r(3)，r＝6．故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4eq\r(3))2＝36．1．将本例变为“求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，－eq\r(3))的圆的方程”，如何求？[解]因为圆心在x轴上，所以可设圆心坐标为(a，0)，半径为r，则所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2(r＞0)，又因为与圆x2＋y2－2x＝0外切，且过点(3，－eq\r(3))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(a－12＋02)＝r＋1，,3－a2＋－\r(3)2＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,r＝2，))所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝4．2．将本例改为“若圆x2＋y2－2x＝0与圆x2＋y2－8x－8y＋m＝0相外切，试求实数m的值．”[解]圆x2＋y2－2x＝0的圆心为A(1，0)，半径为r1＝1，圆x2＋y2－8x－8y＋m＝0的圆心为B(4，4)，半径为r2＝eq\r(32－m)．因为两圆相外切，所以eq\r(4－12＋4－02)＝1＋eq\r(32－m)，解得m＝16．处理两圆相切问题的2个步骤(1)定性，即必需精确把握是内切还是外切，若只是告知相切，则必需分两圆内切、外切两种状况探讨．(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的肯定值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．[跟进训练]3．已知圆M：(x－a)2＋y2＝4(a＞0)与圆N：x2＋(y－1)2＝1外切，则直线x－y－eq\r(2)＝0被圆M截得的线段的长度为()A．1B．eq\r(3)C．2D．2eq\r(3)D[由题意，知eq\r(a2＋1)＝2＋1，a＞0，∴a＝2eq\r(2)，圆心M(2eq\r(2)，0)到直线x－y－eq\r(2)＝0的距离d＝eq\f(|2\r(2)－0－\r(2)|,\r(2))＝1，∴直线x－y－eq\r(2)＝0被圆M截得的线段的长度为2eq\r(4－1)＝2eq\r(3)，故选D．]1．两圆x2＋(y－2)2＝1和(x＋2)2＋(y＋1)2＝16的公切线条数是()A．1B．2C．3D．4B[两圆圆心分别为(0，2)和(－2，－1)，半径分别为1和4，圆心距d＝eq\r(4＋9)＝eq\r(13)，|r1－r2|＜d＜|r1＋r2|，两圆相交．故两圆有2条公切线，选B．]2．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋n＝0内切，则n＝()A．21B．9C．19D．－11D[C2化为标准方程(x－3)2＋(y－4)2＝25－n，其圆心为(3，4)，半径r＝eq\r(25－n)，C1圆心为(0，0)，半径为1．若两圆内切，则有eq\r(3－02＋4－02)＝|eq\r(25－n)－1|，解得n＝－11．]3．已知两圆的圆心距为6，两圆的半径分别是方程x2－6x＋8＝0的两个根，则两圆的位置关系为()A．外离B．外切C．相交D．内切B[由题意知r1＋r2＝6(两圆圆心距)，∴两圆外切．]4．圆x2＋y2＝8与圆x2＋y2＋4x－16＝0的公共弦长为________．4[两圆方程作差得x＝2，当x＝2时，由x2＋y2＝8得y2＝8－4＝4，即y＝±2，即两圆的交点坐标为A(2，2)，B(2，－2)，则|AB|＝2－(－2)＝4．]5．已知两圆相交于点A(1，3)，B(m，－1)，两圆的圆心均在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为________．3[分析题意，可知AB的中点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋1,2)，1))在直线x－y＋c＝0上，∴eq\f(m＋1,2)－1＋c＝0，∴m＋2c＝1．