2024-2025学年新教材高中数学课时素养评价四十三第六章概率3.1离散型随机变量的均值含解析北师大版选择性必修第一册

PAGE四十三离散型随机变量的均值1．春节期间，国人发微信拜年已成为一种时尚，若小李的40名同事中，给其发微信拜年的概率为1，0.8，0.5，0的人数分别为8，15，14，3，则通常状况下，小李应收到同事的拜年微信数为()A．27B．37C．38D．8【解析】选A.通常状况下，小李应收到同事拜年微信的条数为1×8＋0.8×15＋0.5×14＋0×3＝27.2．(2024·玉林高二检测)设随机变量X的分布列为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(k,4)))＝ak(k＝1，2，3，4)，a为常数，则()A．a＝eq\f(1,5) B．Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X>\f(1,2)))＝eq\f(7,10)C．P(X<4a)＝eq\f(1,5) D．EX＝eq\f(1,2)【解析】选B.因为a(1＋2＋3＋4)＝1，所以a＝eq\f(1,10)，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X>\f(1,2)))＝eq\f(3,10)＋eq\f(4,10)＝eq\f(7,10)，P(X<4a)＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X<\f(2,5)))＝eq\f(1,10)，EX＝eq\f(1,4)×eq\f(1,10)＋eq\f(2,4)×eq\f(2,10)＋eq\f(3,4)×eq\f(3,10)＋eq\f(4,4)×eq\f(4,10)＝eq\f(3,4).3．(2024·淄博高二检测)已知离散型随机变量X的分布列为X123Peq\f(1,3)eq\f(1,6)缺失数据则随机变量X的期望为()A．eq\f(13,4)B．eq\f(11,4)C．eq\f(13,6)D．eq\f(11,6)【解析】选C.由分布列的概率的和为1，可得：缺失的数据为1－eq\f(1,3)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,2).所以随机变量X的期望为：1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,6)＋3×eq\f(1,2)＝eq\f(13,6).4．若随机变量X的概率分布列如表：X024P0.30.20.5则E(5X＋2019)等于()A．2031B．12C．2.4D．15.2【解析】选A.据题意，得EX＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，所以E(5X＋2019)＝5EX＋2019＝5×2.4＋2019＝2031.5．已知随机变量X的分布列如下，EX＝7.5，则ab的值是()X4a910P0.30.1b0.2A.1.8B．2.4C．2.8D．3.6【解析】选C.由题意得：0.3＋0.1＋b＋0.2＝1，解得b＝0.4，又EX＝4×0.3＋0.1a＋9×0.4＋10×0.2＝7.5，解得a＝7，所以ab＝7×0.4＝2.8.6．(2024·长沙高二检测)离散型随机变量X的分布列为P(X＝n)＝na，n＝1，2，3，则EX＝________．【解析】因为离散型随机变量X的分布列为P(X＝n)＝na，n＝1，2，3，所以a＋2a＋3a＝1，解得a＝eq\f(1,6)，所以EX＝1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(2,6)＋3×eq\f(3,6)＝eq\f(7,3).答案：eq\f(7,3)一、单选题(每小题5分，共20分)1．(2024·宁波高二检测)甲、乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为eq\f(1,3)，乙、丙打中的概率均为eq\f(t,4)(0<t<4)，若甲、乙、丙都打中的概率是eq\f(9,48)，设ξ表示甲、乙两人中中靶的人数，则ξ的数学期望是()A．eq\f(1,4)B．eq\f(2,5)C．1D．eq\f(13,12)【解析】选D.因为eq\f(9,48)＝eq\f(1,3)×eq\f(t,4)×eq\f(t,4)，t＝3，列出分布列，利用期望公式计算．ξ的全部可能取值为0，1，2，则ξ的分布列为ξ012Peq\f(1,6)eq\f(7,12)eq\f(1,4)所以Eξ＝eq\f(7,12)＋2×eq\f(1,4)＝eq\f(13,12).2．(2024·呼和浩特高二检测)一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为()A．2.44B．3.376C．2.376D．2.4【解析】选C.由题意知ξ＝0，1，2，3，因为当ξ＝0时，表示前三次都没射中，第四次还要射击，但结果不计，所以P(ξ＝0)＝0.43，因为当ξ＝1时，表示前两次都没射中，第三次射中，所以P(ξ＝1)＝0.6×0.42，因为当ξ＝2时，表示第一次没射中，其次次射中，所以P(ξ＝2)＝0.6×0.4，因为当ξ＝3时，表示第一次射中，所以P(ξ＝3)＝0.6，所以Eξ＝2.376.3．某日A，B两个沿海城市受台风攻击的概率相同，已知A市或B市至少有一个受台风攻击的概率为0.36，若用X表示这一天受台风攻击的城市个数，则EX＝()A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4【解析】选D.设A，B两市受台风攻击的概率均为p，则A市或B市都不受台风攻击的概率为(1－p)2＝1－0.36，解得p＝0.2或p＝1.8(舍去)，P(X＝0)＝1－0.36＝0.64，P(X＝1)＝2×0.8×0.2＝0.32，P(X＝2)＝0.2×0.2＝0.04，所以EX＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.4．已知随机变量X的分布列为XabcPabc则对于随意0<a<b<c<1，EX的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))C．(0，1)D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))【解析】选B.由随机变量的期望定义可得出EX＝a2＋b2＋c2，因为0<a<b<c<1，且a＋b＋c＝1，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2>2ab,a2＋c2>2ac,b2＋c2>2bc))，三式相加并化简可得a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac，故(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ac＋2bc＋2ab＝a2＋b2＋c2＋2(ac＋bc＋ab)<3(a2＋b2＋c2)，即a2＋b2＋c2>eq\f(（a＋b＋c）2,3)＝eq\f(1,3)，所以EX>eq\f(（a＋b＋c）2,3)＝eq\f(1,3)，又因为EX＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝1－2(ab＋bc＋ca)<1，所以eq\f(1,3)<EX<1.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5．国际象棋竞赛中规定，胜方得1分，负方得0分，和棋得0.5分．某青少年国际象棋公开赛中，某选手每场竞赛得分的分布列如表：X10.50Pabc且eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝8，则该选手进行一场竞赛得分的期望可能是()A．0.3B．0.5C．0.7D．0.8【解析】选BCD.由随机变量X的分布列可知，随机变量X的数学期望为EX＝a＋eq\f(1,2)b，易知0<a<1，0<b<1，所以8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))＝eq\f(2a,b)＋eq\f(b,2a)＋2≥2eq\r(\f(2a,b)·\f(b,2a))＋2＝4，即a＋eq\f(1,2)b≥eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)，当且仅当b＝2a时等号成立．6．(2024·莆田高二检测)设0<p<1，随机变量ξ的分布列如表，则下列结论正确的有()ξ012Pp－p2p21－pA.Eξ随着p的增大而增大 B．Eξ随着p的增大而减小C．P(ξ＝0)<P(ξ＝2) D．P(ξ＝2)的值最大【解析】选BC.由题意Eξ＝p2＋2(1－p)＝(p－1)2＋1，由于0<p<1，所以Eξ随着p的增大而减小，A错，B正确；又p－p2＝p(1－p)<1－p，所以C正确；p＝eq\f(3,4)时，P(ξ＝2)＝eq\f(1,4)，而P(ξ＝1)＝＝eq\f(9,16)>eq\f(1,4)，D错．三、填空题(每小题5分，共10分)7．若P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，则E(2X－3)＝________．【解析】由题意得：EX＝p，所以E(2X－3)＝2EX－3＝2p－3.答案：2p－38．已知随机变量ξ和η，其中η＝4ξ－2，且Eη＝7，若ξ的分布列如表所示，则n的值为________．ξ1234Peq\f(1,4)mneq\f(1,12)【解析】η＝4ξ－2，Eη＝4Eξ－2＝7，Eξ＝eq\f(9,4)，所以Eξ＝1×eq\f(1,4)＋2m＋3n＋4×eq\f(1,12)＝eq\f(9,4)，且概率和eq\f(1,4)＋m＋n＋eq\f(1,12)＝1，解得n＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)四、解答题(每小题10分，共20分)9．(2024·昆明高二检测)东方商店欲购进某种食品(保质期两天)，此商店每两天购进该食品一次(购进时，该食品为刚生产的).依据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，假如两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售状况互不影响，为了了解市场的需求状况，现统计该产品在本地区100天的销售量如表：销售量(份)15161718天数20304010(视样本频率为概率)(1)依据该产品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为ξ，求ξ的分布列与期望；(2)以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？【解析】(1)依据题意可得P(ξ＝30)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,25)，P(ξ＝31)＝eq\f(1,5)×eq\f(3,10)×2＝eq\f(3,25)，P(ξ＝32)＝eq\f(1,5)×eq\f(2,5)×2＋eq\f(3,10)×eq\f(3,10)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝33)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,10)×2＋eq\f(3,10)×eq\f(2,5)×2＝eq\f(7,25)，P(ξ＝34)＝eq\f(3,10)×eq\f(1,10)×2＋eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(11,50)，P(ξ＝35)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,10)×2＝eq\f(2,25)，P(ξ＝36)＝eq\f(1,10)×eq\f(1,10)＝eq\f(1,100)，ξ的分布列如下：ξ30313233343536peq\f(1,25)eq\f(3,25)eq\f(1,4)eq\f(7,25)eq\f(11,50)eq\f(2,25)eq\f(1,100)Eξ＝30×eq\f(1,25)＋31×eq\f(3,25)＋32×eq\f(1,4)＋33×eq\f(7,25)＋34×eq\f(11,50)＋35×eq\f(2,25)＋36×eq\f(1,100)＝32.8.(2)当购进32份时，利润为32×4×eq\f(21,25)＋(31×4－8)×eq\f(3,25)＋(30×4－16)×eq\f(1,25)＝107.52＋13.92＋4.16＝125.6，当购进33份时，利润为33×4×eq\f(59,100)＋(32×4－8)×eq\f(1,4)＋(31×4－16)×eq\f(3,25)＋(30×4－24)×eq\f(1,25)＝77.88＋30＋12.96＋3.84＝124.68，125.6>124.68，所以当购进32份时，利润更高．10．(2024·黄冈高二检测)某城市为激励人们乘坐地铁出行，地铁公司确定依据乘客经过地铁站的数量实施分段实惠政策，不超过30站的地铁票价如下表：乘坐站数x0<x≤1010<x≤2020<x≤30票价(元)369现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过30站，甲、乙乘坐不超过10站的概率分别为eq\f(1,4)，eq\f(1,3)；甲、乙乘坐超过20站的概率分别为eq\f(1,2)，eq\f(1,3).(1)求甲、乙两人付费相同的概率；(2)设甲、乙两人所付费用之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【解析】(1)由题意知甲乘坐超过10站且不超过20站的概率为1－eq\f(1,4)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，乙乘坐超过10站且不超过20站的概率为1－eq\f(1,3)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)，设“甲、乙两人付费相同”为事务A，则P(A)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)，所以甲、乙两人付费相同的概率是eq\f(1,3).(2)由题意可知X的全部可能取值为：6，9，12，15，18.P(X＝6)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,12)，P(X＝9)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，P(X＝12)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)，P(X＝15)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,4)，P(X＝18)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).因此X的分布列如下：X69121518Peq\f(1,12)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,4)eq\f(1,6)所以X的数学期望EX＝6×eq\f(1,12)＋9×eq\f(1,6)＋12×eq\f(1,3)＋15×eq\f(1,4)＋18×eq\f(1,6)＝eq\f(51,4).依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图甲所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾难等级的频率分布条形图如图乙所示．(1)以此频率作为概率，试估计该河流在8月份发生1级灾难的概率；(2)该河流域某企业，在8月份，若没受1、2级灾难影响，利润为500万元；若受1级灾难影响，则亏损100万元；若受2级灾难影响，则亏损1000万元．现此企业有如下三种应对方案：方案防控等级费用(单位：万元)方案一无措施0方案二防控1级灾难40方案三防控2级灾难100试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由．【解析】(1)依据甲图，记该河流8月份“水位小于40米”为事务A1，“水位在40米至50米之间”为事务A2，“水位大于50米”为事务A3，它们发生的概率分别为：P(A1)＝(0.02＋0.05＋0.06)×5＝0.65，P(A2)＝(0.04＋0.02)×5＝0.30，P(A3)＝0.01×5＝0.05.记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾难”为事务B1，“水位在40米至50米之间且发生1级灾难”为事务B2，“水位大于50米且发生1级灾难”为事务B3，所以P(B1)＝0.1，P(B2)＝0.2，P(B3)＝0.6，记“该河流在8月份发生1级灾难”为事务B.则P(B)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＋P(A3B3)＝P(A1)P(B1)＋P(A2)P(B2)＋P(A3)P(B3)＝0.65×0.10＋0.30×0.20＋0.05×0.60＝0.155，估计该河流在8月份发生1级灾难的概率为0.155.(2)以企业利润为随机变量，选择方案一，则利润X1(万元)的取值为：500，－100，－1000，由(1)知P(X1＝500)＝0.65×0.9＋0.30×0.75＋0.05×0＝0.81，P(X1＝－100)＝0.155，P(X1＝－1000)＝0.65×0＋0.30×0.05＋0.05×0.40＝0.035，X1的分布列为X1500－100－1000P0.810.1550.035则该企业在8月份的利润期望EX1＝500×0.81＋(－100)×0.155＋(－1000)×0.035＝354.5(万元).选择方案二，则X2(万元)的取值为：460，－1040，由(1)知P(X2＝460)＝0.81＋0.155＝0.965，P(X2＝－1040)＝0.035，X2的分布列为：X2460－1040P0.9650.035则该企业在8月份的利润期望EX2＝460×0.965＋(－1040)×0.035＝407.5(万元)，选择方案三，则该企业在8月份的利润为：EX3