2024-2025学年新教材高中数学第五章数列5.2.1.2等差数列的性质学案含解析新人教B版选择性必修第三册

PAGE第2课时等差数列的性质必备学问·素养奠基1.等差中项:假如x,A,y是等差数列,那么称A是x与y的等差中项,且A=QUOTE.2.等差数列中项与序号的关系(1)两项关系an=am+(n-m)d(m,n∈N+).(2)多项关系若s+t=p+q(p,q,s,t∈N+),则as+at=ap+aq.特殊地,若2s=p+q,则2as=ap+aq.如何证明若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=ap+aq?提示:因为am=a1+(m-1)d,an=a1+(n-1)d.所以am+an=2a1+(m+n-2)d.同理,ap+aq=2a1+(p+q-2)d,因为m+n=p+q,所以am+an=ap+aq.3.等差数列的项的对称性文字叙述在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和符号表示n为偶数n≥2a1+an=a2+an-1=…=QUOTE+QUOTEn为奇数n≥3a1+an=a2+an-1=…=2QUOTE4.由等差数列构成的新等差数列(1)条件{an},{bn}分别是公差为d1,d2的等差数列.(2)结论数列结论{c+an}公差为d1的等差数列(c为任一常数){c·an}公差为cd1的等差数列(c为任一常数){an+an+k}公差为2d1的等差数列(k为常数,k∈N+){pan+qbn}公差为pd1+qd2的等差数列(p,q为常数)5.等差数列的单调性等差数列{an}的公差为d,(1)当d>0时,数列{an}为递增数列.(2)当d<0时,数列{an}为递减数列.(3)当d=0时,数列{an}为常数列.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)若{an}是等差数列,则{|an|}也是等差数列. ()(2)若数列{an}是等差数列,则a1,a3,a5,a7,a9也是等差数列. ()(3)在等差数列{an}中,若am+an=ap+aq,则m+n=p+q也能成立(m,n,p,q∈N+). ()(4)在等差数列{an}中,若m+n=r,m,n,r∈N+,则am+an=ar. ()提示:(1)×.如-2,-1,0,1,2是等差数列,但其肯定值就不是等差数列.(2)√.若等差数列{an}公差为d,则a1,a3,a5,a7,a9也是等差数列,且其公差为2d.(3)×.若数列{an}是常数列,则m+n=p+q不肯定成立.(4)×.如等差数列1,3,5,7,9中,a1+a2≠a3.2.在等差数列{an}中,已知a1=1,a3+a5=8,则a7= ()A.5 B.6 C.7 D.8【解析】选C.由题意,依据等差中项的性质,有a1+a7=a3+a5.所以a7=a3+a5-a1=8-1=7.3.若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a=________.

【解析】设公差为d,则9=2+4d,所以d=QUOTE.所以c-a=2d=QUOTE.答案:QUOTE关键实力·素养形成类型一等差中项的应用【典例】1.已知a=QUOTE,b=QUOTE,则a,b的等差中项为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE2.{an}是等差数列,a1与a2的等差中项为1,a2与a3的等差中项为2,则公差d= ()A.2 B.QUOTE C.1 D.QUOTE3.已知QUOTE,QUOTE,QUOTE成等差数列,证明QUOTE,QUOTE,QUOTE成等差数列.【思维·引】1.a,b的等差中项为QUOTE(a+b).2.依据等差中项的定义列出两个等量关系,两式相减即可求出公差.3.由于所求证的是三个数成等差数列,所以可用等差中项来证明.【解析】1.选A.a,b的等差中项为QUOTE×QUOTE=QUOTE×(QUOTE-QUOTE+QUOTE+QUOTE)=QUOTE.2.选C.因为{an}是等差数列,a1与a2的等差中项为1,a2,a3的等差中项为2,所以a1+a2=2,a2+a3=4,两式相减得a3-a1=2d=4-2,解得d=1.3.因为QUOTE,QUOTE,QUOTE成等差数列,所以QUOTE=QUOTE+QUOTE,化简得2ac=b(a+c),又QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2·QUOTE,所以QUOTE,QUOTE,QUOTE成等差数列.【内化·悟】三数a,b,c成等差数列的条件是什么?可用来解决什么问题?提示:条件是b=QUOTE(或2b=a+c),可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.【类题·通】1.等差中项的应用策略(1)涉及等差数列中相邻三项问题可用等差中项求解.(2)在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项,即2an=an-1+an+1;事实上,等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项,即2an=an-m+an+m(m,n∈N+,m<n).2.等差中项法判定等差数列若数列{an}满意2an=an-1+an+1(n≥2),则可判定数列{an}是等差数列.【习练·破】1.一个等差数列的前4项是a,x,b,2x,则QUOTE等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.QUOTE所以a=QUOTE,b=QUOTEx.所以QUOTE=QUOTE.2.已知QUOTE,QUOTE,QUOTE成等差数列,试证:a2,b2,c2也成等差数列.【证明】由已知QUOTE,QUOTE,QUOTE成等差数列,可得QUOTE=QUOTE+QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以(2b+a+c)(c+a)=2(b+c)(a+b),所以a2+c2=2b2,所以a2,b2,c2也成等差数列.【加练·固】已知b是a,c的等差中项,且lg(a+1),lg(b-1),lg(c-1)成等差数列,同时a+b+c=15,求a,b,c的值.【解析】因为2b=a+c,a+b+c=15,所以3b=15,b=5.设等差数列a,b,c的公差为d,则a=5-d,c=5+d.由2lg(b-1)=lg(a+1)+lg(c-1)知:2lg4=lg(6-d)+lg(4+d).从而16=(6-d)(4+d),即d2-2d-8=0.所以d=4或d=-2.所以a,b,c三个数分别为1,5,9或7,5,3.类型二等差数列性质的应用【典例】1.在等差数列{an}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于 ()A.40 B.42 C.43 D.452.已知{an},{bn}是两个等差数列,其中a1=3,b1=-3,且a20-b20=6,那么a10-b10的值为 ()A.-6 B.6 C.0 D.103.若{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.【思维·引】1.由已知条件可以求首项和公差,留意到a4+a6=2a5,可快速求值;2.关键是留意到{an-bn}也是等差数列,3.思路一:干脆列出关于首项、公差的方程组求解;思路二:依据a15,a30,a45,a60,a75为等差数列求解;思路三:利用性质an=am+(n-m)d(m,n∈N+)求解.【解析】1.选B.由QUOTE即QUOTE得d=3.所以a5=2+4×3=14,所以a4+a5+a6=3a5=42.2.选B.由于{an},{bn}都是等差数列,所以{an-bn}也是等差数列,而a1-b1=6,a20-b20=6,所以{an-bn}是常数列,故a10-b10=6.3.方法一:设等差数列{an}的公差为d,因为a15=a1+14d,a60=a1+59d,所以QUOTE解得QUOTE所以a75=a1+74d=QUOTE+74×QUOTE=24.方法二:因为{an}为等差数列,所以a15,a30,a45,a60,a75也为等差数列.设其公差为d,则a15为首项,a60为第4项,所以a60=a15+3d,即20=8+3d,解得d=4.所以a75=a60+d=20+4=24.方法三:因为a60=a15+(60-15)d,所以d=QUOTE=QUOTE.所以a75=a60+(75-60)d=20+15×QUOTE=24.【内化·悟】对于新构成的等差数列,解题时要留意什么问题?提示:要留意推断新构成的等差数列的首项和公差.【类题·通】等差数列运算的两条常用思路(1)依据已知条件,列出关于a1,d的方程(组),确定a1,d,然后求其他量.(2)利用性质巧解,视察等差数列中项的序号,若满意m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N+),则am+an=ap+aq=2ar.特殊提示:递增等差数列d>0,递减等差数列d<0,解题时要留意数列的单调性对d取值的限制.【习练·破】1.在等差数列{an}中,a1+a4+a7=58,a2+a5+a8=44,则a3+a6+a9的值为 ()A.30 B.27 C.24 D.21【解析】选A.设b1=a1+a4+a7=58,b2=a2+a5+a8=44,b3=a3+a6+a9.因为{an}是等差数列,所以b1,b2,b3也是等差数列,得b1+b3=2b2,所以b3=2b2-b1=2×44-58=30,即a3+a6+a9=30.2.已知数列{bn}为等差数列,若b3=-2,b10=12,则b8=________.

【解析】方法一:因为{bn}为等差数列,所以可设其公差为d,则d=QUOTE=QUOTE=2,所以bn=b3+(n-3)d=2n-8.所以b8=2×8-8=8.方法二:由QUOTE=QUOTE=d,得b8=QUOTE×5+b3=2×5+(-2)=8.答案:8【加练·固】在等差数列{an}中,a1+a3+a5=-12,且a1·a3·a5=80.求通项an.【解析】因为a1+a5=2a3,所以QUOTE⇒解得a1=-10,a5=2或a1=2,a5=-10,因为d=QUOTE,所以d=3或-3,所以an=-10+3(n-1)=3n-13,或an=2-3(n-1)=-3n+5.类型三等差数列中对称设项法的应用【典例】设三个数成单调递减的等差数列,三个数的和为12,三个数的积为48,求这三个数.【思维·引】三个数成等差数列,可设这三个数为a+d,a,a-d.【解析】设这三数为a+d,a,a-d,则a-d+a+a+d=12,①(a-d)·a·(a+d)=48,②,由①②解得:a=4,d=2(d=-2舍去),所以这三个数为6,4,2.【素养·探】在解等差数列中对称设项法的应用有关的问题时,常常利用核心素养中的数学运算,通过探讨等差数列的各项之间的关系,巧设未知数,解方程组求解.将本例的条件“递减”改为“递增”,“三个数的和为12,三个数的积为48”改为“三个数的和为21,三个数的积为231”,试求这三个数.【解析】设这三个数分别为a-d,a,a+d,由题意,得QUOTE即QUOTE解得QUOTE因为等差数列是递增数列,所以d=4.所以这三个数为3,7,11.【类题·通】设等差数列的三个技巧(1)对于连续奇数项的等差数列,可设为:…,x-d,x,x+d,…,此时公差为d.(2)对于连续偶数项的等差数列,通常可设为:…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,此时公差为2d.(3)等差数列的通项可设为an=pn+q.【习练·破】已知四个数依次成等差数列且是递增数列,四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两数之积少18,求此等差数列.【解析】设四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,则QUOTE又递增数列d>0,所以解得a=±QUOTE,d=QUOTE,此等差数列为-1,2,5,8或-8,-5,-2,1.类型四等差数列的应用角度1与其他学问的综合应用【典例】(2024·濮阳高二检测)已知各项都为正数的等差数列{an}中,a5=3,则a3a7的最大值为________.

【思维·引】利用等差数列的性质、均值不等式取最值.【解析】依题意,等差数列{an}各项都为正数,所以a3>0,a7>0,所以a3a7≤QUOTE=(a5)2=9.当且仅当a3=a7=3时等号成立.答案:9角度2实际应用【典例】(2024·潍坊高二检测)《周髀算经》中有一个问题,从冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列,若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺,芒种的日影子长为4.5尺,则冬至的日影子长为 ()A.12.5尺B.10.5尺C.15.5尺D.9.5尺【思维·引】将条件用首项a1,公差d表示,求出a1后即可.【解析】选C.设此等差数列{an}的公差为d,则a1+a4+a7=3a1+9d=37.5,a1+11d=4.5,解得d=-1,a1=15.5.【内化·悟】解决数列实际应用问题,要关注哪些问题?提示:(1)仔细领悟题意,依据题目条件,找寻有用的信息.若一组数按次序“定量”增加或削减时,则这组数成等差数列.(2)合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键,在解题过程中,肯定要分清首项、项数等关键的问题.【类题·通】1.解决数列综合问题的方法策略(1)结合等差数列的性质或利用等差中项.(2)利用通项公式,得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式.(3)利用函数或不等式的有关方法解决.2.解决等差数列实际应用问题的步骤特殊提示:在利用数列方法解决实际问题时,肯定要弄清首项、项数等关键问题.【习练·破】1.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a≠b)的4个根可组成首项为QUOTE的等差数列,则a+b的值为 ()A.38 B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.推断各个根对应数列的项数.因为每个方程的两个根的和都为1,故必有一个方程的根为QUOTE和QUOTE,不妨设方程x2-x+a=0的根为QUOTE和QUOTE.QUOTE为等差数列的首项,QUOTE为等差数列4项中的某一项,由x2-x+b=0的两根和为1,且两根为等差数列中的后3项中的两项,知只有QUOTE为第4项,才能满意中间两项之和为1的条件,所以四根的排列依次为QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,所以a+b=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.2.古代中国数学辉煌绚丽,在《张邱建算经》中记载:“今有十等人,大官甲等十人官赐金,以等次差降之.上三人先入,得金四斤持出;下四人后入,得金三斤持出;中心三人未到者,亦依等次更给.问:各得金几何及未到三人复应得金几何?”则该问题中未到三人共得金________斤.

【解析】设十人得金按等级依次设为a1,a2,…,a10,则a1,a2,…,a10成等差数列,且QUOTE设等差数列a1,a2,…,a10的公差为d,则QUOTE解得d=-QUOTE,所以a4+a5+a6=(a1+a2+a3)+9d=QUOTE.答案:QUOTE【加练·固】方程f(x)=x的根称为函数f(x)的不动点,若函数f(x)=QUOTE有唯一不动点,且x1=1000,xn+1=QUOTE,n=1,2,3,…,则x2004等于 ()A.2004 B.QUOTE C.QUOTE D.2003【解析】选B.令f(x)=x,则QUOTE=x,因为ax2+(2a-1)x=0有唯一不动点,则2a-1=0,即a=QUOTE,所以f(x)=QUOTE,xn+1=QUOTE=QUOTE=QUOTE=xn+QUOTE,即xn+1-xn=QUOTE(常数).所以{xn}是首项为1000,公差为QUOTE的等差数列.所以x2004=1000+2003×QUOTE=QUOTE.课堂检测·素养达标1.已知2,b的等差中项为5,则b为 ()A.QUOTE B.6 C.8 D.10【