2024年高考数学高分秘籍不等式推理与证明含解析

PAGE不等式、推理与证明1．已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（） A．ca＞cb B．ac＜bc C．aa-c＞b【答案】D【解答】：依据题意，依次分析选项：对于A、构造函数y=cx，由于0＜c＜1，则函数y=cx是减函数，又由a＞b＞1，则有ca＞cb，故A错误；对于B、构造函数y=xc，由于0＜c＜1，则函数y=xc是增函数，又由a＞b＞1，则有ac＞bc，故B错误；对于C、aa-c﹣bb-c=ab-ac-ab+bc(a对于D、logac﹣logbc=lgclga﹣lgclgb=lgc（lgb-lgalga⋅lgb），又由0＜c＜1，a＞b＞1，则有lgc＜0，lga＞lgb＞0，则有logac﹣logbc=lgclga﹣故选：D．2．若实数a、b、c同时满意：①a2＞b2；②1+ac＜a+c；③logba＞c．则a、b、c的大小关系是（） A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c【答案】D【解答】：实数a、b、c同时满意：①a2＞b2；②1+ac＜a+c；③logba＞c．由③可得：a，b＞0，b≠1，又由①可得a＞b＞0．由②可得：（a﹣1）（c﹣1）＜0，则&a＞1&c由&a＞1&c由c＜1，可得a＞b＞c；若0＜b＜1，则logba＜0，c＜0，可得a＞b＞c；由&a＜1&c＞1综上可得a＞b＞c，故选：D．两个实数比较大小的方法（1）作差法，其步骤为：作差⇒变形⇒定号（确定正负号，即推断差与0的大小）⇒得出结论．含根号的式子作差时一般先乘方再作差．（2）作商法，其步骤为：作商⇒变形⇒推断商与1的大小⇒得出结论．（3）构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小．（4）赋值法和解除法：可以多次取特别值，依据特别值比较大小，从而得出结论．3．若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是（） A．ac2＜bc2 B．1a＜ C．ba＞ab D．a2【答案】D【解答】解：选项A，∵c为实数，∴取c=0，ac2=0，bc2=0，此时ac2=bc2，故选项A不成立；选项B，1a-1∵a＜b＜0，∴b﹣a＞0，ab＞0，∴b-aab选项C，∵a＜b＜0，∴取a=﹣2，b=﹣1，则ba=-1-选项D，∵a＜b＜0，∴a2﹣ab=a（a﹣b）＞0，∴a2＞ab．∴ab﹣b2=b（a﹣b）＞0，∴ab＞b2．故选项D正确，故选：D．4.已知a＞b＞0，c≥d＞0，则下列不等式成立的是（） A．ad＞ C．ad＜【答案】A【解答】解：∵a＞b＞0，c≥d＞0，∴ad＞b∴ad＞b故选：A．【名师点睛】本题主要考查不等式的基本性质，意在考查对基础学问的驾驭状况，属于基础题.不等式的性质1．（1）a>b，ab>0⇒<；（2）a<0<b⇒<；（3）a>b>0，d>c>0⇒>．2．若a>b>0，m>0，则（1）<；>（b–m>0）；（2）>；<（b–m>0）．5．已知集合A={x|(x-1)(x-4)≤0}，B={x|x-5x-2A．{x|1≤x≤2} B．{x|1≤x<2} C．{x|2≤x≤4} D．{x|2<x≤4}【答案】D【解析】依题意A=[1,4],B=(2,5]，故A∩B=(2,4]，故选D.1．一元一次不等式的解法不等式ax>b的解：（1）当a>0时，x>．（2）当a<0时，x<．（3）当a=0时，若b≥0，则无解；若b<0，则x∈R．2．一元二次不等式的解法（1）对于常系数一元二次不等式，可以用分解因式法或判别式法求解．（2）解含参数的一元二次不等式的步骤①若二次项系数含有参数，则应探讨参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．②推断方程根的个数，探讨判别式Δ与0的关系．③确定无根时可干脆写出解集；确定方程有两个根时，要探讨两根的大小关系，从而确定不等式的解集．（3）三个“二次”间的关系Δ=b2–4acΔ>0Δ=0Δ<0y=ax2+bx+c（a>0）的图象ax2+bx+c=0（a>0）的根有两个相异的实数根x1，x2（x1<x2）有两个相等的实数根x1=x2=–没有实数根ax2+bx+c>0（a>0）的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠–}Rax2+bx+c<0（a>0）的解集{x|x1<x<x2}φφ3．分式不等式的解法分式不等式进行等价转化的方向有两个，一是依据符号法则（同号商为正，异号商为负）将其转化为不等式组；二是依据商与积的符号之间的关系干脆转化为整式不等式．（1）>0⇔f（x）g（x）>0；（2）<0⇔f（x）g（x）<0；（3）≥0⇔（4）≤0⇔4．高次不等式的解法（穿针引线法）：设，解不等式（或）时，将方程的根从小到大依次标到数轴上，作为针眼．用一根线，从数轴的右上方起先穿针引线，每见到一个针眼，便穿过数轴一次，直到穿过全部针眼．数轴上方的部分为正，即为不等式的解；数轴下方的部分为负，即为不等式的解．留意：（1）要求的最高次项系数为正；（即：每一个的系数为正，且，若，则不等式两边同时乘以，并变更不等号的方向）（2）二重根时，按两个针眼对待，即穿过数轴两次；（奇过偶不过）（3），；，；（或）；（4），当时，的符号是确定的；（5）恒久从数轴右上方起先；（6）最终结果数轴上方的部分为不等式的解，数轴下方的部分为不等式的解；（7）不等式右边须为0，否则先移项，使右边为0；（8）穿针引线法可以用于解高次不等式，也可以用于解一次、二次不等式，或可以转化为高次不等式的分式不等式等．6．设变量x，y满意约束条件：&y≥ A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8【答案】C【解答】：设变量x、y满意约束条件：&y≥在坐标系中画出可行域三角形，平移直线x﹣3y=0经过点A（﹣2，2）时，z=x﹣3y+2最小，最小值为：﹣6，则目标函数z=x﹣3y+2的最小值为﹣6．故选：C．线性规划的目标函数主要有三种形式：（1）截距式：，主要依据目标函数对应的直线的纵截距推断最值；（2）斜率式：，主要依据可行域内的点与定点的连线的斜率推断最值；（3）距离式：，主要依据可行域内的点与定点的距离的平方推断最值．7．已知函数，当时，取得最小值，则等于A．9 B．7 C．5 D．3【答案】B【解答】：，，，当且仅当，即时取等号，取得最小值，此时，．故选：B．【名师点睛】本题考查基本不等式取得最值的条件，多次用不等式求最值时要留意不等式取等的条件要同时满意.均值不等式：，（，），当且仅当时等号成立．运用均值不等式，留意一正二定三相等的条件；求最值时，要注明等号成立条件．8．已知2+23=223，3+38=338，4+415=4415A．35 B．40 C．41 D．42【答案】C【解析】由已知归纳总结，可知规律为：当n≥2且n∈N*时，n+nn-1n+1=nnn-1n+1，∴6+6【名师点睛】本题考查归纳推理问题，关键是视察出数字与式子之间的规律，属于基础题.9．设函数f（x）=12 A．322 C．32 D．2【答案】C【解答】：∵f（x）=1∴f（x）+f（1﹣x）=12x=12x=2x+2即f（﹣5）+f（6）=22，f（﹣4）+f（5）=22，f（﹣3）+f（4）=f（﹣2）+f（3）=22，f（﹣1）+f（2）=22，f（0）+f（1）=∴所求的式子值为32．故选：C．归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象．也具有这些特征的推理．特点由部分到整体，由个别到一般的推理．由特别到特别的推理一般步骤（1）通过视察个别对象发觉某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题（猜想）．（1）找出两类对象之间的相像性或一样性；（2）用一类对象的性质去推想另一类对象的性质，得出一个明确的命题（猜想）．1．已知首项与公比相等的等比数列{an}中，若m，n∈N*，满意ama=a，则的最小值为A．1 B．C．2 D．【答案】A【解析】依据题意，设数列{an}的首项和公比均为q（q≠0），则．由得：qm+2n=q8，∴m+2n=8，∴．又m，n∈N*，∴，当，即m=2n=4时取“=”，∴的最小值为1．故选A．数列与不等式的交汇问题．解决此类问题要熟记数列的公式，结合均值不等式，要留意均值不等式成立的条件：一正二定三相等．2．当时，8x<logax，则a的取值范围是A． B．C． D．（）【答案】B【解析】∵，∴8x∈（1，2]，又当时，8x<logax，∴当时，2<logax，恒成立．∵，∴a∈．故选B．不等式恒成立问题，与函数的学问点交汇，可以借助图象，数形结合解决问题．3．已知数列{an}满意：a1=32，且an=3nan-12a【解答】证：∵an=3na∴1an=nan=23+1nan﹣1=﹣13+13•n-因此，1﹣nan=13故数列{1﹣nan}是以1﹣1a所以，1﹣nan=（1﹣1a1）•(1解得，an=n⋅1．干脆证明（1）综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最终推导出所要证明的结论成立（2）分析法：从要证明的结论动身，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最终，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止．2．间接证明——反证法（1）定义假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最终得出冲突，因此说明假设错误，从而证明白原命题成立，这样的证明方法叫作反证法．（2）适用范围①否定性命题；②命题的结论中出现“至少”“至多”“唯一”等词语．4．ΔABC的三边长分别为a,b,c，ΔABC的面积为S，则ΔABC的内切圆半径为r=2Sa+b+c.将此结论类比到空间四面体：设四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1,A．VS1+S2C．3VS1+S2【答案】C【解析】设四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，体积为V，设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为：V=13（S1+S2+S3+S4）∴r=3V故选：C．【名师点睛】本题考查四面体的内切球半径的求法及三棱锥体积公式的应用，考查推理论证实力，是基础题．5．有甲、乙、丙、丁四位歌手参与竞赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】C【解答】：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意．故获奖的歌手是丙故选：C．1．运用归纳推理的思维步骤：①发觉共性，通过视察特例发觉某些相像性（特例的共性或一般规律）；②归纳推理，把这种相像性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）．一般地，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特别结论推广到一般结论型创新题的基本技巧．2．类比推理应用的题型及相应方法（1）类比定义：在求解由某种熟识的定义产生的类比推理型试题时，可以借助定义．（2）类比性质：对于由一个特别式子的性质、一个特别图形的性质提出的类比推理型问题，求解时要仔细分析两者之间的联系与区分，深化思索两者的转化过程．（3）类比方法：一些处理问题的方法类似，可以把这种方法类比应用到其他问题中，留意学问的迁移．求解类比推理题的关键：①会定类，即找出两类对象之间可以准确表述的相像特征；②会推想，即用一类事物的性质去推想另一类事物的性质，得出一个命题（猜想）．1.不等式2-xx+1<1的解集是A.{x|x>1} B.{x|-1<x<2}C.xx<-2．已知一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|-2<x<1},则a,b的值为()A.a=-1,b=-2 B.a=-2,b=-1C.a=b=-123．已知，，且，则的最大值为A． B． C．1 D．4．已知正数，满意，则的最小值是A．9 B．10 C．11 D．125．已知，，，则的最小值是A．4 B． C．5 D．96．函数的最小值为A．2 B．3 C． D．2.57．已知，则取最大值时的值为A． B． C． D．8．设x，y满意约束条件&x-y+1≥0&x+2y-2≥0&4x-y-8≤0，则z=| A．15 B．13 C．3 D．29．设x，y满意约束条件&2x-y≥0&x+13y≤1&y≥0，若 A．2或﹣3 B．3或﹣2 C．﹣13或12 D．﹣110．设x，y满意约束条件&x-2y≥-2&3x A．12 B． C．45 D．11.已知不等式组&y≤-x+2&y A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．-12.若实数x，y满意&x-y A．[34， C．[34，13.已知变量x、y满意约束条件&x+y-3≥0 A．25 B． C．59 D．14．若x，y满意&x≥0&x+y≤3 A．[﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣7]∪[﹣1，+∞） C．[﹣7，﹣1] D．（﹣∞，﹣7]15.若b＜a＜0，则下列不等式：①|a|＞|b|；②a+b＞ab；③ab+ba＞2；④a2b＜ A．1个 B．2个C．3个 D．4个16.已知0<a<b<1，则abA．log1ab<C．logba<log17．设正实数a，b，c满意a2–3ab+4b2–c=0，则当取得最大值时，最大值为A．0 B．1 C． D．318．利用数学归纳法证明不等式1+12+13+…12 A．1项 B．k项 C．2k﹣1项 D．2k项19.设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（） A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z20．已知从1起先的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，其次行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i行，第j列的数记为ai,j，比如a3,2=9，a4,2=15，A．72 B．71 C．66 D．6521．用圆的下列性质，类比球的有关性质：圆：①圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦；②与圆心距离相等的两弦长相等；③圆的周长为C=2πr；④圆的面积为S=πr2．球：①球心与截面圆（不过球心）的圆心的连线垂直于截面；②与球心的距离相等的两个截面的面积相等；③球的表面积为S=4πr2；④球的体积为V=πr3．其中，类比所得结论正确的有A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①③④22．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．A．①③ B．②③ C．①② D．①②③23．周末，某高校一学生宿舍甲、乙、丙、丁四位同学正在做四件事情，看书、写信、听音乐、玩嬉戏，下面是关于他们各自由做的事情的一些推断：①甲不在看书，也不在写信；②乙不在写信，也不在听音乐；③假如甲不在听音乐，那么丁也不在看书；④丙不在看书，也不在写信．已知这些推断都是正确的，依据以上推断，请问乙同学正在做的事情是A．玩嬉戏 B．写信 C．听音乐 D．看书24．不等式2>（）3（x–1）的解集为__________．25.设函数f（x）=&ex-26.若实数x，y满意&2x-y≥27.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．28.已知，则函数的最小值为．1.C【解答】:原不等式等价于2-xx+1-1<0⇔1-2xx+1<0⇔(x+1)·(1-2x)<0⇔(2x-1)(x+1)>0,解得x<-1故选：C2.C【解答】:由题知a<0且-2,1为方程ax2+bx+1=0的两根,由根与系数的关系可求得a=b=-12.故选：C3.A【解答】：，，且，则，当且仅当且即，时取得最大值．故选：．4.A【解答】：正数，满意，，，，当且仅当时取等号，的最小值为9．故选：A．5.B【解答】：，，，，当且仅当，即，时取等号，故选：B．6.D【解答】：令，则在，上单调递增，，即，函数的最小值为2.5，故选：D．7.A【解答】：，则，当且仅当即时取最大值故选：A．8.A【解答】：由约束条件&x-y+1≥0联立&x-y+1=0&4x-y-8=0，解得A（3由图可知，z=|x+3y|=x+3y，化为y=﹣x3当直线y=﹣x3+z3过A时，直线在y轴上的截距最大，故选：A．9.A【解答】：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAB）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满意条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+13y=1平行，此时a=﹣3综上a=﹣3或a=2，故选：A．10.C【解答】：设a=x，b=2y，则不等式x2+4y2≥m等价为a2+b2≥m，则约束条件等价为&a-作出不等式组对应的平面区域如图：设z=a2+b2，则z的几何意义是区域内的点到原点的距离，由图象知O到直线2a+b=2的距离最小，此时原点到直线的距离d=|2|2则z=d2=45即m≤45，即实数m的最大值为4故选：C．11.A【解答】：∵不等式组&y≤-x+2平面为三角形所以过点（2，0），∵y=kx+1，与x轴的交点为（﹣1k，0y=kx+1与y=﹣x+2的交点为（1k+1，2k+1三角形的面积为：12×（2+1k）×2k+1k+1解得：k=1．故选：A．12.C【解答】：作出实数x，y满意&x目标函数z=y-3x-2可以认为是（x，y）连线的斜率．当连线过点A时，其最小值为：0-3-连线经过B时，最大值为：-1-则z=y-3x-2的取值范围是：[313.C【解答】：由约束条件&x+y则yx+1≥12的几何意义是可行域内的点与Q（﹣1，0）连线的斜率超过由图形可知：直线x=3与直线x﹣2y+1=0的交点为：（3，2），直线x﹣2y+3=0与x=3的交点（3，3），∴则yx+1≥12的概率：AB则yx+1≥12的概率是：1﹣49故选：C．14.C【解答】：作出x，y满意&xy=k（x﹣1）过定点P（1，0），由&y=2x+1&x+y=3交点A（2由图象可知当直线经过点A（23，73），时，直线的斜率最小，此时k=73-由&x=0&y=2x+1解得B（0当直线经过点B时，直线的斜率最大，此时k=﹣1，∴k的取值范围是：[﹣7，﹣1]故选：C．15.B【解答】：∵b＜a＜0，∴|a|＜|b|，故①错误；a+b＜0，ab＞0，则a+b＜ab，故②错误；∵b＜a＜0，∴ab＞0，ba＞0，则ab+ba≥当且仅当ab=ba，即a=b时，取等号，∵b＜故ab+ba＞若a2b＜2a﹣b成立，则等价为a2＞2ab﹣即a2﹣2ab+b2＞0，即（a﹣b）2＞0，∵b＜a＜0，∴（a﹣b）2＞0成立，故④正确，故正确的命题是③④，故选：B．16．A【解析】由题意，可知0<a<b<1，所以logba>logb【名师点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的单调性的应用，其中解答中合理利用指数函数与对数函数的性质是解答关键，着重考查了推理与运算实力，属于基础题.17.B【解析】正实数a，b，c满意a2–3ab+4b2–c=0，可得c=a2–3ab+4b2，，由+≥2=4，当且仅当a=2b取得等号，则a=2b时，取得最大值，且c=2b2，=–（–1）2+1，当b=1时，取得最大值，且为1．故选B．18.D【解答】：用数学归纳法证明等式1+12+13+…+12假设n=k时不等式成立，左边=1+12+13+…+则当n=k+1时，左边=1+12+13+…+12k-1+∴由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了：12k+12共（2k+1﹣1）﹣2k+1=2k项，故选：D．19.D【解答】：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=lgklg2，y=lgklg3，z=∴3y=lgklg33，2x=lgk∵33=69＞68=2，2∴lg33＞lg2＞∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=lgklg2，y=lgklg3，z=∴2x3y=23×5z2x=52×综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特别值，也可以比较出大小关系．故选：D．20．【答案】B【解析】奇数2024为第1010个奇数,依据蛇形排列，第1行到第i行末共有1+2+⋯+i=i则第1行到第44行末共有990个奇数，第1行到第45行末共有1035个奇数，则2024位于第45行；而第45行是从右到左依次递增，且共有45个奇数；故2024位于第45行，从右到左第20列，则i=45,j=26⇒i+j=71，故选B.21．【答案】C【解析】由类比的规则可得点类比线，线类比面，面类比体，长度类比面积，面积类比体积，由圆：①圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦；②与圆心距离相等的两弦长相等；③圆的周长为C=2πr；④圆的面积为S=πr2．可