2024春新教材高中数学第八章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.2第1课时直线与平面垂直的判定及直线与平面所成的角分层演练含解析新人教A版必修第二册

PAGE第八章立体几何初步A级基础巩固1.若直线l与平面α内的多数条直线垂直,则直线l与平面α的关系是()A.l和平面α相互平行 B.l和平面α相互垂直C.l在平面α内 D.不能确定解析:如图所示,直线l和平面α相互平行,或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能.答案:D2.直线l与平面α所成的角为70°,若直线l∥m,则m与α所成的角等于()A.20°B.70°C.90°D.110°解析:因为l∥m,所以直线l与平面α所成的角等于直线m与平面α所成的角.因为直线l与平面α所成的角为70°,所以直线m与平面α所成的角为70°.答案:B3.如图所示,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,若PA⊥平面ABCD,则图中共有4个直角三角形.解析:因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC,所以△PAB,△PAD都是直角三角形.因为BC⊥AB,所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB,所以△PBC为直角三角形.同理得CD⊥PD,所以△PCD是直角三角形.故共有4个直角三角形.4.如图所示,AB是☉O的直径,PA⊥☉O所在的平面,C是☉O上一点,若∠ABC=30°,PA=AB,则直线PC与平面ABC所成角的正切值为2.解析:因为PA⊥平面ABC,所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影,所以∠PCA即为直线PC与平面ABC所成的角.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,所以AC=12AB.在Rt△PAC中,AC=12AB=12PA,所以tan∠PCA=5.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD,∠ACB=∠ACD.求证:BD⊥平面PAC.证明:因为BC=CD,所以△BCD为等腰三角形.因为∠ACB=∠ACD,所以BD⊥AC.因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD.从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直,所以BD⊥平面PAC.B级实力提升6.如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点.假如沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,那么在这个空间图形中必有()⇒A.AH⊥△EFH所在平面B.AG⊥△EFH所在平面C.HF⊥△AEF所在平面D.HG⊥△AEF所在平面解析:由题意知原图中AD⊥DF,AB⊥BE,所以折起后AH⊥FH,AH⊥EH.因为FH∩EH=H,所以AH⊥△EFH所在平面.答案:A7.如图所示,在空间四边形ABCD中,AB,BC,CD,DA和两条对角线AC,BD都相等,若E为AD的中点,F为BC的中点,则直线BE和平面ADF所成的角的正弦值为33解析:如图所示,连接EF.依据题意知BC⊥AF,BC⊥DF.因为AF∩DF=F,所以BC⊥平面ADF,所以∠BEF是直线BE和平面ADF所成的角.设BC=2,则BF=1,BE=3,所以sin∠BEF=13=38.如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,点C到AB1的距离为CE,D为AB的中点.求证:(1)CD⊥AA1;(2)AB1⊥平面CED.证明:(1)由题意知,AA1⊥平面ABC,CD⊂平面ABC,所以CD⊥AA1.(2)因为D是AB的中点,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,所以CD⊥AB.因为CD⊥AA1,AB∩A1A=A,AB⊂平面A1B1BA,A1A⊂平面A1B1BA,所以CD⊥平面A1B1BA.因为AB1⊂平面A1B1BA,所以CD⊥AB1.由题意知CE⊥AB1.因为CD∩CE=C,CD⊂平面CED,CE⊂平面CED,所以AB1⊥平面CED.9.如图所示,AB是圆柱的一条母线,BD是圆柱底面圆的一条直径,C是底面圆周上一点,且AB=BC=2,∠CBD=45°,求直线BD与平面ACD所成角的大小.解:如图所示,取AC的中点E,连接BE,DE.由题意知AB⊥平面BCD,所以AB⊥CD.因为BD是底面圆的直径,所以∠BCD=90°,即CD⊥BC.因为AB∩BC=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,所以CD⊥平面ABC.因为BE⊂平面ABC,所以CD⊥BE.因为AB=BC=2,AB⊥BC,E为AC中点,所以BE⊥AC,且BE=2.因为AC∩CD=C,AC⊂平面ACD,CD⊂平面ACD,所以BE⊥平面ACD,所以∠BDE是BD与平面ACD所成的角.因为BD=2BC=22,所以sin∠BDE=BEBD=222所以∠BDE=30°,即BD与平面ACD所成的角为30°.C级挑战创新10.探究性问题在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上移动,若点P总是满意AP⊥BD1,则动点P满意的条件是什么?并说明理由.解:当点P在线段B1C上时,可以总是满意AP⊥BD1.理由如下:如图所示,连接AC,BD,AB1,B1C,B1D1.因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,所以BB1⊥平面ABCD.因为AC⊂平面ABCD,所以BB1⊥AC.因为四边形ABCD是正方形,所以BD⊥AC.因为BD⊂平面BDD1B1,BB1⊂平面BDD1B1,BB1∩BD=B,所以AC⊥平面BDD1B1