【山东卷】.山东省青岛市四区县（胶州、平度、黄岛、城阳）2024-2025学年高三上学期期中学业水平检测考试（11.6-11.8）数学试卷（解析版）

第1页/共20页2024－2025学年度第一学期期中考试高三数学1.已知O为坐标原点，点A(cosα,sinα)B(cosβ,-sinβ)A.OC.ODB.OA.OCC.OA.A.OC.ODB.OA.OCC.OA.ODD.OB.OC【答案】A【解析】【分析】根据数量积的坐标运算逐一求解，即可求解.【详解】由题意可得αcosβ-sinαsinβ=cos(α+β)，OA.OD=cosα,α+β)cosβ-sin(α+β)sinβ=cos(α+β)+β=cos(α+2β)，第2页/共20页故选：A2.如图，正方形ABCD的边长为a，取然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去.则从正方形ABCD开始，连续5个正方形面积之和为31，则a=()A.1B.2【答案】D【解析】【分析】根据条件，分别求得前5个正方形的面积，再结合条件，即可求解.【详解】由题意得，第一个正方形ABCD边长为a，面积为a2，第二个正方形EFGH边长为面积为，第三个正方形IJKL边长为面积为，第四个正方形MNOP边长为面积为，第五个正方形QRST边长为面积为，由题有第3页/共20页故选：D.A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据向量垂直及数量积运算律、定义可得1-2cos即可求夹角.所以故选：B2-3x+2A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解不等式得A，根据集合的基本关系确定a的范围结合充分、必要条件的定义判定即可.所以a>0是A二B的必要不充分条件.故选：B.5.若正数x,y满足x2-2xy+2=0，则x+y的最小值是()第4页/共20页 【答案】A【解析】【分析】根据题意可得利用基本不等式求解.当且仅当=，即x=时，等号成立，此时y=>0符合题意. 所以x+y的最小值为6.故选：A.6.如图，已知函数f(x)=cos(①x+φ)，点A，B是直线y=与函数y=fx的图象的两个交点，若ππ A.B.C.D.2222【分析】根据条件，利用y=cosx的图象与性质，可求得①,结合图象，利用f可求得2第5页/共20页所以，得到w=2，所以，得到w=2，故选：C.7.2024年1月1日，第五次全国经济普查正式启动.甲、乙、丙、丁、戊5名普查员分别去城东、城南、城西、城北四个小区进行数据采集，每个小区至少去一名普查员，若甲不去城东，则不同的安排方法共有()A.36种B.60种C.96种D.180种【答案】D【解析】【分析】按城东去1人和2人分类，再结合分组分配列式计算即得.【详解】城东去1人，不同安排方法为CCA=144（种城东去2人，不同安排方法是CA=36（种所以不同的安排方法共有144+36=180（种）.故选：D第6页/共20页f(x1)≤f(x2)，则f(10)=()1A.2B.1C.D.02【答案】A【解析】【分析】根据f()=和f(|(),=，再由当0≤x1<x2≤1时，f(x1)≤f(x2)，可得x∈[,]时，再利用条件f()=f(x)将10逐步转化到[,]内，代入求解即可.【详解】由f(x)=5x)可得f()=f(x)中令x=1可得f()=，≤1时，f所以x∈[,]时，f(x)=，所以故选：A【点睛】关键点点睛：根据f和f再由当0≤x1<x2≤1时，f(x1)≤f(x2)，可得(1)6(y,(y,A.x4y一2的系数为15B.各项系数之和为1第7页/共20页C.二项式系数最大项是第3项D.系数最大项是第3项或第5项【答案】AD【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式计算后可判断ACD的正误，利用赋值法可求各项系数之和，故可判断B的正误.的展开式的通项为Tr+1=Cx6-rx6-ry-r，对于A，取6-r=4，则r=2，故x4y-2的系数为(-1)2C=15，故A正确；对于B，因为x6-ry-r，对于CD，由展开式的通项可得展开式中各项的系数依次为：1,-6,15,-20,15,-6,1，故二项式系数最大项是第3项或第5项，故C错误，D正确；故选：AD.nA.数列{an}为等差数列B.an=【答案】BCD【解析】【分析】选项A，根据条件，利用等差数列的定义，即可判断选项的正误；选项B，根据条件，利用累加法，即可判断选项的正误；选项C，由选项B可得再利用裂项相消法，即可判断选项的正误；选项D，构造函数f(x)=ln(x+1)-x(x>0)，利用导数与函数单调性间的关系，得到ln(x+1)<x在x∈(0,+∞)上恒成立，从而有ln(k+1)<k,k∈N*，再利用数学归纳法，即可判断选项的正误.不为等差数列，故选项A错误，第8页/共20页n对于选项C，由选项B知an=得到所以故选项C正确，下面用数学归纳法证明成立，当n=1，不等式左边等于0，不等式右边等于0，所以n=1时，等式成立，故选：BCD.【点睛】本题的关键在于选项D，通过构造函数f(x)=ln(x+1)一x(x>0)，利用导数与函数单调性间的关系得ln(x+1)<x在x∈(0,+∞)上恒成立，从而有ln(k+1)<k,k∈N*，再利用数学归纳法来证明即可.11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=2，c=平面内一点，点P在BC上，点Q为AC中点则第9页/共20页C.若点P为BC中点，则2【答案】ACD【解析】【分析】根据数量积的运算律可判断△ABC为等腰三角形，故可判断AD的正误，结合投影向量的性质可判断△ABC为直角三角形，故可判断B的正误，根据向量的线性运算可判断C的正误.22即AC=AB故A正确；故B错误；对于C，因为，故第10页/共20页对于因为均为单位向量，故上BAC的角平分线与BC垂直，故AB=AC，取BC的中点为S，连接AS，则AS丄BC，且AB+AC=2AS，故D正确.故选：ACD.12.已知函数≥0为R上增函数，写出一个满足要求的g(x)的解析式【答案】g(x)=x1（答案不唯一）【解析】【分析】利用分段函数、一次函数的性质，结合条件，即可求解.因为x≥0时，f(x)=ln(1+x)在区间[0,+∞)上单调递增，第11页/共20页所以g(x)=x1时，函数f(x≥0为R上的增函数，故答案为：g(x)=x1（答案不唯一）13.记Tn为正项数列的前n项积，Tn=，则T2024=______.【答案】2025【解析】Tn【分析】由数列{an}的前Tn=，利用赋值法令n=1可求得a1=2，将表达式化简可得数列n}是等差数列，求出通项即可.故答案为：202514.某警察学院体育比赛包括“射击”、“游泳”、“折返跑”、“百米接力”、“伤员搬运”、“400米障碍”六个项目，规定：每个项目前三名得分依次为a，b，c，其中(a>b>c,a,b,c∈N*)，选手的最终得分为各场得分之和.最终甲、乙、丙三人包揽了每个项目的前三名，在六个项目中，已知甲最终得分为26分，乙最终得分为12分，丙最终得分为10分，且丙在“射击”这个项目中获得了第一名，那么a=，“游泳”这个项目的第二名是.【答案】①.5②.乙【解析】【分析】根据得分总和可得a+b+c=8，结合反证法可得a=5,b=2，再就甲在除射击外的5个项目中的得分分类讨论后可得游泳中的第二名.【详解】因为甲乙丙包揽了每个项目的前三名，故它们的得分总和为6(a+b+c)=26+12+10=48，故第12页/共20页若a=4,b=3，则丙在除射击外的但其余5个项目丙拿5分或7分以上，矛盾；故a=5,b=2，所以丙在除射击外的5个项目中每个项目均拿1分，共计5分；甲共计26分，则甲在除射击外的5个项目中拿24分或25分，若甲在除“射击”外的5个项目中拿25分，则甲在射击项目中拿1分，其余5个项目中每个项目都拿5分，若甲在除“射击”外的5个项目中拿24分，故甲在射击中拿2分，乙拿1分，则其余5个项目中，甲在4个项目中每个项目拿5分，1个项目中拿2分，此时甲的总分达不到26分，故答案为：5，乙.【点睛】思路点睛：对于逻辑推理题，我们需从题设条件中挖掘一些等量关系，而且要结合数据的特征作出合理的分类.15.已知函数sin2x+cos4x.（1）求f(x)的最大值及相应x的取值集合；（2）设函数g(x)=f(①x)(①>0)，若g(x)在区间上单调递增，求①的取值范围.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简，再利用正弦函数性质求解即得.第13页/共20页（2）求出函数g(x)解析式，确定相位的范围，再结正弦函数的单调性列式求解即得.【小问1详解】此时，x的取值集合为【小问2详解】(x)在区间(|(0,),上单调递增，所以①的取值范围是16.记数列{an}是公差不为0的等差数列，a1=2，且a2是a1和a4的等比中项.（1）求数列{an}的通项公式；10}为等比数列；【解析】【分析】（1）利用基本量法求得公差为4，从而可求{an}的通项公式.（2）根据（1）求出bn+1一bn=102n，判断其符号后可得bn取最大值时n的值.【小问1详解】第14页/共20页【小问2详解】3而bn+2=3bn+1-2bn-10，故bn+2-bn+1-10=2(bn+1-bn-10)，所以{bn+1-bn-10}为等比数列且公比为2，首项为-2.n+1-bn-10=-2×2n-1，所以bn+1-bn=10-2n，≥4时，bn+1-bn<0，故b1n故bn取最大值时n=4.17.在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acosC+·asinC-b-c=0.（1）求A；（2）12-6，θ=【解析】【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角，再利用三角形的性质和正弦的和角公式，得到·sinA-cosA-1=0，结合辅助角公式求解；（2）由正弦定理可得出DF，OE，再利用三角形的面积公式和两角和与差的正弦公式化简即可求得结果.【小问1详解】由acosC+asinC-b-c=0，得到sinAcosC+sinAsinC-sinB-sinC=0，第15页/共20页 又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，所以3sinAsinC-cosAsinC-sinC=0，又sinC≠0，得到3sinA-cosA【小问2详解】θ. 在△CDF中，因为所以DF=，在△BDE中，因为所以DE=，所以化简可得sin2θ18.已知函数f(x)=eax-x-1.（1）求函数f(x)的单调区间；第16页/共20页（2）求证：当0<a<1时，函数f(x)只有两个零点；.（3）若对任意的实数k，b，曲线y=f(x)+kx+b与直线y=kx+b总相切，则称函数f(x)为“A函数”.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析（3）-1【解析】【分析】（1）利用导数与函数单调性间的关系，分类讨论求f(x)的单调区间即可；（2）根据条件，将f(x)的零点问题化成g(x)=ax-ln(x+1)的零点问题，再结合条件，利用函数的单调性即可证明结果；（3）利用“A函数”的定义，结合导数的几何意义得m=x-1，然后结合x0是方程ex0-x0-1=0的根，构造函数h(x)=ex-x-1，利用导数与函数单调性间的关系得到x0=0，即可求解.【小问1详解】易知函数定义域为R，因为f(x)=eax-x-1，则f’(x)=aeax-1，ax-1≤-1，所以f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递减，ax-1为增函数，所以当x>-时，f′x>0，即f(x)在区间(|(-,+∞),单调递增，当x<-时，f′x<0，即f(x)在区间(|(-∞,-),单调递减，综上得：当a≤0时，f(x)的减区间为(-∞,+∞)，无增区间；当a>0时，f(x)的增区间为，减区间为【小问2详解】第17页/共20页所以f(x)有零点，则零点只能在区间(-1,+∞)上，，则f(x)零点可以转化为g(x)的零点，即g(x)在(-1,x0)上递减，在(x0,+∞)上递增，故g(x)在(-1,x0)内存在唯一零点x=0，又x→+∞时，g(x)→+∞,故g(x(x)只有两个零点，故当0<a<1时，函数f(x)只有两个零点.【小问3详解】x(ex-2x)+m是“A函数”，且g’(x设函数y=g(x)+kx+b与直线y=kx+b切点(x0,y0)，{，0)所以m=-ex0(ex-2x0)=-(x0+1)(x0+1-2x0)=x02-1，因为ex0=x0+1，所以x0是方程ex0-x0-1=0的根，当x>0时，ℎ′x>0，ℎx单调递增