2020-2024年五年高考数学真题分类汇编专题05平面向量与复数（解析版）

2020-2024年五年高考真题分类汇编PAGEPAGE1专题05平面向量与复数考点五年考情（2020-2024）命题趋势考点1平面向量数量积（5年5考）2024天津卷：平面向量基本定理的应用平面向量线性运算的坐标表示数量积的运算律数量积的坐标表示；2022天津卷：用基底表示向量向量夹角的计算；2023天津卷：余弦定理解三角形用基底表示向量用定义求向量的数量积基本不等式求积的最大值；2021天津卷：数量积的运算律；2020天津卷：已知向量共线(平行)求参数用定义求向量的数量积数量积的坐标表示；1.向量在高考的考查主要包含了，向量的加减与数量积运算，通常运用基底法与建系法数形结合。2.平面向量的线性表示，通常会与共线结合，同时结合基本不等式求解最值与取值范围问题.3.向量的夹角与模长问题是高考中中的重点内容，通常会结合最值与取值范围进行考察4.复数在高考中主要考察了复数的基本运算，包含了加减乘除运算.考点2平面向量的线性表示（5年3考）2024天津卷：平面向量基本定理的应用平面向量线性运算的坐标表示数量积的运算律数量积的坐标表示；2023天津卷：余弦定理解三角形用基底表示向量用定义求向量的数量积基本不等式求积的最大值；2022天津卷：用基底表示向量向量夹角的计算；考点3向量夹角（5年1考）2022天津卷：用基底表示向量向量夹角的计算；考点4向量模长（5年2考）2021天津卷：数量积的运算律；2020天津卷：已知向量共线(平行)求参数用定义求向量的数量积数量积的坐标表示；考点5复数的加减乘除运算（5年2考）2024天津卷：复数代数形式的乘法运算；2023天津卷：复数代数形式的乘法运算复数的除法运算；2022天津卷：复数的除法运算；2021天津卷：复数的除法运算；2020天津卷：复数的除法运算；考点01平面向量数量积1.（2024·天津·高考真题）在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，CE=12DE,BE=λBA+μBC，则λ+μ=；F为线段BE上的动点，【答案】43〖祥解〗解法一：以BA,BC为基底向量，根据向量的线性运算求BE，即可得λ+μ，设BF=kBE，求AF,DG，结合数量积的运算律求AF⋅DG的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE，即可得【详析】解法一：因为CE=12DE，即CE可得λ=13,μ=1由题意可知：BC=因为F为线段BE上的动点，设BF=k则AF=又因为G为AF中点，则DG=可得AF=1又因为k∈0,1，可知：当k=1时，AF⋅DG解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则A-1,0可得BA=因为BE=λBA+μBC=因为点F在线段BE:y=-3x,x∈-13且G为AF中点，则Ga-1可得AF=则AF⋅且a∈-13,0，所以当a=-1故答案为：43；-2.（2020·天津·高考真题）如图，在四边形ABCD中，∠B=60°, AB=3，BC=6，且AD=λBC,AD⋅AB=-32，则实数【答案】16〖祥解〗可得∠BAD=120∘，利用平面向量数量积的定义求得λ的值，然后以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设点M(x,0)，则点N(x+1,0)（其中0≤x≤5），得出DM⋅DN关于【详析】∵AD=λBC，∴ADAB=λ×6×3×(-1解得λ=1以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy，∵BC=6，∴C(∵AB=3,∠ABC=60°，∴A的坐标为A∵又∵AD=16BC,则D(52,DM=(x-52DM⋅所以，当x=2时，DM⋅DN取得最小值故答案为：16；13【『点石成金』】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.考点02平面向量的线性表示3．（2023·天津·高考真题）在△ABC中，BC=1，∠A=60∘，AD→=12AB→,CE→=1【答案】14a〖祥解〗空1：根据向量的线性运算，结合E为CD的中点进行求解；空2：用a,b表示出AF，结合上一空答案，于是AE⋅【详析】空1：因为E为CD的中点，则ED+EC=两式相加，可得到2AE即2AE=1空2：因为BF=13BC，则得到AF+即3AF=2a于是AE⋅记AB=x,AC=y，则AE⋅在△ABC中，根据余弦定理：BC于是AE⋅由x2+y故xy≤1，当且仅当x=y=1取得等号，则x=y=1时，AE⋅AF有最大值故答案为：14a+

考点03向量夹角4．（2022·天津·高考真题）在△ABC中，CA=a,CB=b，D是AC中点，CB=2BE，试用a,b表示【答案】32b〖祥解〗法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出DE，以a,b为基底，表示出AB,DE，由法二：以点E为原点建立平面直角坐标系，设E(0,0),B(1,0),C(3,0),A(x,y)，由AB⊥DE可得点A的轨迹为以M(-1,0)为圆心，以r=2为半径的圆，方程为(x+1)2+y2=4，即可根据几何性质可知，当且仅当CA【详析】方法一：DE=CE-CD3b2+a2=4a⋅b故答案为：32b-方法二：如图所示，建立坐标系：E(0,0),B(1,0),C(3,0),A(x,y)，DE=(-x+3DE⊥AB⇒(x+32)(x-1)+y22=0⇒(x+1)2+y2故答案为：32b-考点04向量模长5．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E．DF//AB且交AC于点F,则|2BE+DF|的值为【答案】111〖祥解〗设BE=x，由(2BE+DF)2【详析】设BE=x，x∈0,12，∵△ABC∴∠BDE=30∵DF//AB，∴△DFC为边长为1-2x的等边三角形，∴(2∴|2BE∵(=(所以当x=310时，(DE故答案为：1；1120考点05复数的加减乘除运算6．（2024·天津·高考真题）已知i是虚数单位，复数5+i【答案】7-〖祥解〗借助复数的乘法运算法则计算即可得.【详析】5+故答案为：7-57．（2023·天津·高考真题）已知i是虚数单位，化简5+14i2+3【答案】4+i/〖祥解〗由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以2-3i【详析】由题意可得5+14i故答案为：4+i8．（2022·天津·高考真题）已知i是虚数单位，化简11-3i1+2i的结果为【答案】1-5i/〖祥解〗根据复数代数形式的运算法则即可解出．【详析】11-3i故答案为：1-5i9．（2021·天津·高考真题）i是虚数单位，复数9+2i2+i【答案】4-〖祥解〗利用复数的除法化简可得结果.【详析】9+2i故答案为：4-i10．（2020·天津·高考真题）i是虚数单位，复数8-i2+i=【答案】3-2i〖祥解〗将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果.【详析】8-i2+i故答案为：3-2i.【『点石成金』】本题考查复数的四则运算，属于基础题.11．（2024·天津河北·二模）△ABC是等腰直角三角形，其中AB⊥AC,∣AB∣=1，P是△ABC所在平面内的一点，若CP=λCA+μCB（λ≥0,μ≥0且A．0,22 B．22,1【答案】B〖祥解〗根据向量共线定理的推论，投影向量的概念，数形结合，即可求解．【详析】设CQ=2CA，CP=λCA+μ则CP=λ2CQ+μ则P在线段QB上，如图所示，

当P与Q重合时，CA在CP上的投影向量的长度取得最大值，最大值为|CA|=1；当P与B重合时，CA在CP上的投影向量的长度取得最小值，最大值为12则CA在CP上的投影向量的长度的取值范围是22故选：B.12．（2024·天津河东·二模）如图所示，正方形ABCD的边长为13，正方形EFGH边长为1，则AE⋅AG的值为.若在线段AB上有一个动点M，则ME⋅【答案】611〖祥解〗易知正方形ABCD与正方形EFGH的中心为O，然后将涉及到的向量用AO,OG或【详析】由已知得正方形ABCD与正方形EFGH的中心重合，不妨设为O，所以AO=262，则AE⋅ME⋅显然，当M为AB的中点时，MOmin所以ME故答案为：6；11413．（2024·天津南开·二模）已知在平行四边形ABCD中，DE=12EC，BF=12FC，记AB=a，AD=b，用a和b表示【答案】13a+b〖祥解〗对于空1，由DE=12EC得DE=13DC=13【详析】因为DE=12所以AE=因为BF=12所以AC=AB+故43AC=又DB=AB-故23DB=因为AE=2，AF=6所以AC·故答案为：13a+14．（2024·天津滨海新·三模）在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AD=23AB，点E在边DC上，满足DE=13DC，则向量AE在向量AD上的投影向量为（请用AD表示）；若AB=3，点M，N分别为线段AB，BC【答案】54AD〖祥解〗第一空：作EF⊥AD于F，根据几何关系求出DF和AD的比例关系即可；第二空：可以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系，设Mx,0【详析】作EF⊥AD于F．∵∠DAB=60∘，且四边形ABCD为平行四边形，故则∠FDE=∠DAB=60那么DF=DEcos又DE=13又AD=23AB，故AB=3故DF=1∴AFAD=5则AE在向量AD上的投影向量为54AB=3，AD=BC=23如图以A为原点建立平面直角坐标系，作DQ⊥x轴于Q，则AQ=ADcos60DE=13DC=设Mx,0，则BM=3-x又BM+BN=1，∴BN=1-BM=x-2，BM<1⇒x>2，BN<1⇒x-2<1⇒x<3，∴2<x<3．作NP⊥x轴于P，则BP=BNcosNP=BNsin则N1故EM=故EM⋅EN=令fx∵fx在2，5故f(x)min=f即EM⋅EN的最小值为故答案为：54AD；【『点石成金』】关键点『点石成金』：本题的关键是采用建系法，从而构建出关于EM⋅15．（2023·天津和平·三模）已知△ABC中，点D是AC中点，点M满足BM=2MC，记BA=a，BD=b，请用a，b表示AM=；若BA【答案】43b〖祥解〗由题意可得AM=23BC-BA，BC=2BD-【详析】根据题意，可得AM=由点D是AC中点，可得BC=2所以AM=向量AM在向量BD上的投影向量AM·因为BA⋅BD=-5所以向量AM在向量BD上的投影向量的模为：|AM当且仅当43|b所以向量AM在向量BD上的投影向量的模的最小值为203故答案为：①43b-516．（2024·天津河西·三模）如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B），DC⊥BC，DC=BC，AB=2，CA-BC=；【答案】22〖祥解〗根据向量的线性运算结合模长即可求得第一空答案；设∠BOC=2θ,θ∈0,π2，作DE⊥OE，交OC的延长线于E，求出DC=2【详析】由题意可知O为AB的中点，且|CO则CA-设∠BOC=2θ,θ∈0,π2，作DE⊥OE在△BOC中，B故BC=2sinθ，则∠OCB=π-2θ2=π2则CE=DCcos故OC⋅当θ=π4时，故答案为：2；217．（2024·天津·二模）已知△OAB中，AO⋅AB=0，BC=2CA，记OC=λOA+μOBλ,μ∈R，则【答案】13/3-1〖祥解〗用基底OA和OB表示OC，即可求得λ=23,μ=13；建立平面直角坐标系，用向量方法表示出cos∠BOC，求解【详析】因为BC=2CA，所以OC=所以λ=23,μ=因为AO⋅AB=0，所以AO⊥AB，以A为坐标原点建立如图所示直角坐标系，则A设CA=b，则Cb,0，B3b,0，则OCcos==1-13此时b=233，AB=3b=23所以当∠BOC最大时，AB=2故答案为：13，218．（2024·天津·二模）设直线l:y=kx-6k≠0和圆C:x2+y2-6x-4y+5=0【答案】-〖祥解〗由于CM⋅CN=0【详析】

如图所示，由已知C:x2+可得C3,2，半径r=2又CM⋅CN=0，所以CM⊥CN所以圆心C到直线l得距离d=2即d=3k+21+k2=2故答案为：-1219．（2024·天津北辰·三模）i是虚数单位，复数Z=1-i3+4【答案】-〖祥解〗根据复数的四则运算可得Z=-1【详析】Z=1-所以复数Z的虚部为-7故答案为：-20．（2024·天津南开·二模）i是虚数单位，复数11-2i1-2i【答案】3+4〖祥解〗由复数除法法则直接计算即可.【详析】由题11-2i故答案为：3+4i21．（2024·天津河北·二模）i是虚数单位，化简1+i1-i【答案】i〖祥解〗利用复数的除法运算求解.【详析】解：1+i故答案为：i22．（2024·天津红桥·二模）i是虚数单位，则复数4+3i2-i【答案】1+2〖祥解〗直接利用复数的四则运算求解即可.【详析】4+3i故答案为：1+223．（2024·天津·二模）i为虚数单位，则3-2i1-2i【答案】7〖祥解〗利用复数的乘、除法运算计算即可.【详析】由3-2i故答案为：724．（2024·天津·二模）已知i是虚数单位，化简7-5i3+2i【答案】11〖祥解〗利用复数乘除法法则进行计算即可.【详析】7-5=11-29故答案为：1113专题05平面向量与复数考点五年考情（2020-2024）命题趋势考点1平面向量数量积（5年5考）2024天津卷：平面向量基本定理的应用平面向量线性运算的坐标表示数量积的运算律数量积的坐标表示；2022天津卷：用基底表示向量向量夹角的计算；2023天津卷：余弦定理解三角形用基底表示向量用定义求向量的数量积基本不等式求积的最大值；2021天津卷：数量积的运算律；2020天津卷：已知向量共线(平行)求参数用定义求向量的数量积数量积的坐标表示；1.向量在高考的考查主要包含了，向量的加减与数量积运算，通常运用基底法与建系法数形结合。2.平面向量的线性表示，通常会与共线结合，同时结合基本不等式求解最值与取值范围问题.3.向量的夹角与模长问题是高考中中的重点内容，通常会结合最值与取值范围进行考察4.复数在高考中主要考察了复数的基本运算，包含了加减乘除运算.考点2平面向量的线性表示（5年3考）2024天津卷：平面向量基本定理的应用平面向量线性运算的坐标表示数量积的运算律数量积的坐标表示；2023天津卷：余弦定理解三角形用基底表示向量用定义求向量的数量积基本不等式求积的最大值；2022天津卷：用基底表示向量向量夹角的计算；考点3向量夹角（5年1考）2022天津卷：用基底表示向量向量夹角的计算；考点4向量模长（5年2考）2021天津卷：数量积的运算律；2020天津卷：已知向量共线(平行)求参数用定义求向量的数量积数量积的坐标表示；考点5复数的加减乘除运算（5年2考）2024天津卷：复数代数形式的乘法运算；2023天津卷：复数代数形式的乘法运算复数的除法运算；2022天津卷：复数的除法运算；2021天津卷：复数的除法运算；2020天津卷：复数的除法运算；考点01平面向量数量积1.（2024·天津·高考真题）在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，CE=12DE,BE=λBA+μBC，则λ+μ=；F为线段BE上的动点，【答案】43〖祥解〗解法一：以BA,BC为基底向量，根据向量的线性运算求BE，即可得λ+μ，设BF=kBE，求AF,DG，结合数量积的运算律求AF⋅DG的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE，即可得【详析】解法一：因为CE=12DE，即CE可得λ=13,μ=1由题意可知：BC=因为F为线段BE上的动点，设BF=k则AF=又因为G为AF中点，则DG=可得AF=1又因为k∈0,1，可知：当k=1时，AF⋅DG解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则A-1,0可得BA=因为BE=λBA+μBC=因为点F在线段BE:y=-3x,x∈-13且G为AF中点，则Ga-1可得AF=则AF⋅且a∈-13,0，所以当a=-1故答案为：43；-2.（2020·天津·高考真题）如图，在四边形ABCD中，∠B=60°, AB=3，BC=6，且AD=λBC,AD⋅AB=-32，则实数【答案】16〖祥解〗可得∠BAD=120∘，利用平面向量数量积的定义求得λ的值，然后以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设点M(x,0)，则点N(x+1,0)（其中0≤x≤5），得出DM⋅DN关于【详析】∵AD=λBC，∴ADAB=λ×6×3×(-1解得λ=1以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy，∵BC=6，∴C(∵AB=3,∠ABC=60°，∴A的坐标为A∵又∵AD=16BC,则D(52,DM=(x-52DM⋅所以，当x=2时，DM⋅DN取得最小值故答案为：16；13【『点石成金』】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.考点02平面向量的线性表示3．（2023·天津·高考真题）在△ABC中，BC=1，∠A=60∘，AD→=12AB→,CE→=1【答案】14a〖祥解〗空1：根据向量的线性运算，结合E为CD的中点进行求解；空2：用a,b表示出AF，结合上一空答案，于是AE⋅【详析】空1：因为E为CD的中点，则ED+EC=两式相加，可得到2AE即2AE=1空2：因为BF=13BC，则得到AF+即3AF=2a于是AE⋅记AB=x,AC=y，则AE⋅在△ABC中，根据余弦定理：BC于是AE⋅由x2+y故xy≤1，当且仅当x=y=1取得等号，则x=y=1时，AE⋅AF有最大值故答案为：14a+

考点03向量夹角4．（2022·天津·高考真题）在△ABC中，CA=a,CB=b，D是AC中点，CB=2BE，试用a,b表示【答案】32b〖祥解〗法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出DE，以a,b为基底，表示出AB,DE，由法二：以点E为原点建立平面直角坐标系，设E(0,0),B(1,0),C(3,0),A(x,y)，由AB⊥DE可得点A的轨迹为以M(-1,0)为圆心，以r=2为半径的圆，方程为(x+1)2+y2=4，即可根据几何性质可知，当且仅当CA【详析】方法一：DE=CE-CD3b2+a2=4a⋅b故答案为：32b-方法二：如图所示，建立坐标系：E(0,0),B(1,0),C(3,0),A(x,y)，DE=(-x+3DE⊥AB⇒(x+32)(x-1)+y22=0⇒(x+1)2+y2故答案为：32b-考点04向量模长5．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E．DF//AB且交AC于点F,则|2BE+DF|的值为【答案】111〖祥解〗设BE=x，由(2BE+DF)2【详析】设BE=x，x∈0,12，∵△ABC∴∠BDE=30∵DF//AB，∴△DFC为边长为1-2x的等边三角形，∴(2∴|2BE∵(=(所以当x=310时，(DE故答案为：1；1120考点05复数的加减乘除运算6．（2024·天津·高考真题）已知i是虚数单位，复数5+i【答案】7-〖祥解〗借助复数的乘法运算法则计算即可得.【详析】5+故答案为：7-57．（2023·天津·高考真题）已知i是虚数单位，化简5+14i2+3【答案】4+i/〖祥解〗由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以2-3i【详析】由题意可得5+14i故答案为：4+i8．（2022·天津·高考真题）已知i是虚数单位，化简11-3i1+2i的结果为【答案】1-5i/〖祥解〗根据复数代数形式的运算法则即可解出．【详析】11-3i故答案为：1-5i9．（2021·天津·高考真题）i是虚数单位，复数9+2i2+i【答案】4-〖祥解〗利用复数的除法化简可得结果.【详析】9+2i故答案为：4-i10．（2020·天津·高考真题）i是虚数单位，复数8-i2+i=【答案】3-2i〖祥解〗将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果.【详析】8-i2+i故答案为：3-2i.【『点石成金』】本题考查复数的四则运算，属于基础题.11．（2024·天津河北·二模）△ABC是等腰直角三角形，其中AB⊥AC,∣AB∣=1，P是△ABC所在平面内的一点，若CP=λCA+μCB（λ≥0,μ≥0且A．0,22 B．22,1【答案】B〖祥解〗根据向量共线定理的推论，投影向量的概念，数形结合，即可求解．【详析】设CQ=2CA，CP=λCA+μ则CP=λ2CQ+μ则P在线段QB上，如图所示，

当P与Q重合时，CA在CP上的投影向量的长度取得最大值，最大值为|CA|=1；当P与B重合时，CA在CP上的投影向量的长度取得最小值，最大值为12则CA在CP上的投影向量的长度的取值范围是22故选：B.12．（2024·天津河东·二模）如图所示，正方形ABCD的边长为13，正方形EFGH边长为1，则AE⋅AG的值为.若在线段AB上有一个动点M，则ME⋅【答案】611〖祥解〗易知正方形ABCD与正方形EFGH的中心为O，然后将涉及到的向量用AO,OG或【详析】由已知得正方形ABCD与正方形EFGH的中心重合，不妨设为O，所以AO=262，则AE⋅ME⋅显然，当M为AB的中点时，MOmin所以ME故答案为：6；11413．（2024·天津南开·二模）已知在平行四边形ABCD中，DE=12EC，BF=12FC，记AB=a，AD=b，用a和b表示【答案】13a+b〖祥解〗对于空1，由DE=12EC得DE=13DC=13【详析】因为DE=12所以AE=因为BF=12所以AC=AB+故43AC=又DB=AB-故23DB=因为AE=2，AF=6所以AC·故答案为：13a+14．（2024·天津滨海新·三模）在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AD=23AB，点E在边DC上，满足DE=13DC，则向量AE在向量AD上的投影向量为（请用AD表示）；若AB=3，点M，N分别为线段AB，BC【答案】54AD〖祥解〗第一空：作EF⊥AD于F，根据几何关系求出DF和AD的比例关系即可；第二空：可以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系，设Mx,0【详析】作EF⊥AD于F．∵∠DAB=60∘，且四边形ABCD为平行四边形，故则∠FDE=∠DAB=60那么DF=DEcos又DE=13又AD=23AB，故AB=3故DF=1∴AFAD=5则AE在向量AD上的投影向量为54AB=3，AD=BC=23如图以A为原点建立平面直角坐标系，作DQ⊥x轴于Q，则AQ=ADcos60DE=13DC=设Mx,0，则BM=3-x又BM+BN=1，∴BN=1-BM=x-2，BM<1⇒x>2，BN<1⇒x-2<1⇒x<3，∴2<x<3．作NP⊥x轴于P，则BP=BNcosNP=BNsin则N1故EM=故EM⋅EN=令fx∵fx在2，5故f(x)min=f即EM⋅EN的最小值为故答案为：54AD；【『点石成金』】关键点『点石成金』：本题的关键是采用建系法，从而构建出关于EM⋅15．（2023·天津和平·三模）已知△ABC中，点D是AC中点，点M满足BM=2MC，记BA=a，BD=b，请用a，b表示AM=；若BA【答案】43b〖祥解〗由题意可得AM=23BC-BA，BC=2BD-【详析】根据题意，可得AM=由点D是AC中点，可得BC=2所以AM=向量AM在向量BD上的投影向量AM·因为BA⋅BD=-5所以向量AM在向量BD上的投影向量的模为：|AM当且仅当43|b所以向量AM在向量BD上的投影向量的模的最小值为203故答案为：①43b-516．（2024·天津河西·三模）如图，动点C在以AB为直径的