高等数学（经济类-上册第2版）课件：导数、微分

导数、微分1导数的概念一、引例二、导数的定义三、导数的几何意义四、函数可导性与连续性的关系五、小结2一、引例1、变速直线运动的瞬时速度3设描述质点运动位置的函数为则从到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为在时刻的瞬时速度为例1自由落体运动的瞬时速度4已知自由落体的运动方程为

，求落体的瞬时速度解：52、切线问题曲线在

点处的切线割线的极限位置由割线

的斜率则切线的斜率记则6瞬时速度切线斜率两个问题的共性所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.与之类似加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限瞬间变化率问题7二、导数的定义定义1

设函数在点记作:的某邻域内有定义,在点的导数.自变量在处取得增量，因变量相应取得增量，即存在,则称函数若在点处可导,并称此极限为即8在时刻的瞬时速度质点变速直线运动的位置函数为曲线在

点处的切线斜率注1函数在点处可导，也称为函数在点具有导数或导数存在.注2若记，则注3若记，则，不存在,就说函数在点不可导.

若也称在的导数为无穷大

.若极限10若函数在开区间

I

内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意:就称函数在I内可导.或即开区间内的导数11单侧导数在点的某个右

邻域内有定义,若极限则称此极限值为在处的右

导数,记作即(左)(左)例如,在

处有定义2设函数存在,12根据单侧极限与极限的关系，定理1

函数在点即可导的充分必要条件是在点左右导数都存在且相等，闭区间上的导数若函数与都存在,则称在开区间

内可导,在闭区间

上可导.且例如,在

处不可导13例2求常函数(为常数)的导数.解:第二步即第一步第三步14例3求幂函数的导数，

解:第二步第一步第三步并计算(*)例3求幂函数的导数，

解:即并计算更一般地例如16二项式定理其中二项式系数例如(返回)例4证明指数函数的导数证明:其中为常数.即特别地，当时熟练后可三步合并合理选择定义式例5求对数函数的导数，解:其中为常数.即特别地，当时例6求正弦函数的导数解:.即类似地20例7已知，求.是分界点两侧表达式不同与的符号有关解:第二步第一步第三步当时当时当时当时21例8已知，求.解:是分界点两侧表达式相同无需讨论单侧导数22三、导数的几何意义回顾引例中的切线问题23在时刻的瞬时速度质点变速直线运动的位置函数为曲线在

点处的切线斜率24三、导数的几何意义切线方程为法线方程为曲线在点的切线斜率为若则切线方程为若则切线方程为25例9分别求曲线通过点的切线方程.

，解:在曲线上不在曲线上该曲线过的切线方程为即设曲线过点的切线的切点为则切线方程为且从而26例9分别求曲线通过点的切线方程.

，解:设曲线过点的切线的切点为则切线方程为且从而或切点为或切线方程为或即或27四、函数可导性与连续性的关系定理2若函数在点可导

存在,因此必有所以，函数则证明:在点连续

若函数在点可导，

在

点连续.

28注4函数在点处连续却未必在该点可导.例如，在

处连续，但在

处不可导.再如，在

处连续，01但在

处不可导.29五、小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.函数可导与连续的关系：5.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;2.增量比的极限;切线的斜率;瞬间变化率;可导必连续,但连续不一定可导;看左右导数是否存在且相等利用性质关系利用定义利用充要条件306.已学求导公式:常函数幂函数指数函数对数函数三角函数三角函数不完整缺少反三角函数给出部分基本初等函数求导公式导数、微分31函数的导数（1）一、函数四则运算的求导法则二、反函数的求导法则三、复合函数的求导法则32初等函数

的导数四、分段函数的导数五、小结一、函数四则运算的求导法则33定理1也在点处可导，设函数在点处可导，则且有34证明:

则故结论成立.（1）第一步第二步第三步设35则故结论成立.（2）第一步第二步第三步设36则（3）第一步第二步设37第三步故结论成立.第二步38推论1设函数是的可导函数，为常数，则推论2设个函数是的可导函数，则它们的和仍可导，且推论3设个函数是的可导函数，为常数，则39例1求多项式函数的导数.解:例2即求解:由及函数商的求导法则，有类似地，即解:由及函数商的求导法则，有类似地，例3求41二、反函数的求导法则定理2设函数在区间内单调、可导且则它的反函数在它的定义区间内也可导，并且或证明:在

处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知因此时必有42注反函数的导数等于其直接函数的导数的倒数.例4求的导数.解:由是的反函数，且在区间内单调、可导.即类似地，43解:由是的反函数，且在区间内单调、可导.即类似地，例5求的导数.44三、复合函数的求导法则函数可以看作函数和复合而成的，注意到的变化是的变化的倍那样快，的变化是的变化的倍那样快，的变化是的变化的倍那样快.如何理解呢？如何理解呢？是否具有一般意义呢？而45若函数可在点可导,定理3而在点可导复合函数且在点

可导,证明:在点

可导,故（当时)故有或链式法则例6求幂函数的导数.解:可以看作由链式法则（为任意实数）

与复合而成，即例7解:当时，求函数的导数.定义域为当时，可以看作由与复合而成，即例8解:求的导数.可以看作由与复合而成，由链式法则，可以看作由与复合而成，由链式法则，注1熟练后，用链式法则时可以不写出中间变量.49例9求的导数.解:50注2链式法则可以推广到多个中间变量的情形.例如关键：搞清复合结构，由外向内逐层求导.51例10解:求函数的导数.可以看作由与复合而成，注3求导时通常会同时用到四则运算求导法则和复合函数求导法则.例11解:设函数在上可导，且求53基本初等函数导数公式复合函数的求导法则函数四则运算求导公式初等函数的导数54四、分段函数的导数已知例12求解:是分界点，其他区间段的表达式是初等函数，当时，当时，当时，函数在其左右两侧表达式不同，初等函数求导公式不能用55所以，于是，已知例13求解:是分界点，其他区间段的表达式是初等函数，当时，56当时，函数在其左右两侧表达式相同，无需分左右导数讨论，上述极限不存在，故在不可导.于是，57五、小结1.初等函数的导数基本初等函数求导公式反函数求导法则2.分段函数的导数分界点处用导数定义区间段上用初等函数求导公式函数四则运算求导法则复合函数求导法则两侧表达式不同，需分左右导数注意技巧：能化简的先化简链式法则586.已学求导公式:常函数幂函数指数函数对数函数三角函数三角函数不完整缺少反三角函数给出部分基本初等函数求导公式导数、微分59函数的导数（2）三、高阶导数四、隐函数的导数五、参数方程所确定的函数的导数60一、初等函数的导数六、小结导函数的导数二、分段函数的导数三、高阶导数61定义1导函数的导数速度即加速度即引例变速直线运动的运动方程则若函数的导数在点可导,即的二阶导数,记作在则称在点二阶可导，且称在的导数为6162若函数在区间内每一点都二阶可导，则称它在内二阶可导，并称为在内的二阶导函数，或简称二阶导数.类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为

阶导数,或依次类推,分别记作二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数，相对于高阶导数来说，也称为一阶导数.63例1已知，求.解:归纳总结，可得特别地，当时例2求和的阶导数.解:归纳总结，类似可证:64例3求的阶导数.解:归纳总结，例4求（为任意实数）的阶导数.解:归纳总结，特别地，当时，而65都有

阶导数,则(为常数)莱布尼茨(Leibniz)公式及设函数规律高阶导数的运算法则66用数学归纳法可证规律其中返回67例5已知，求.解:设则代入莱布尼茨公式,得68四、隐函数的导数定义隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边关于求导.由方程所确定的函数称为隐函数.若方程确定了隐函数函数，则例6求方程所确定的隐函数的导数.解:方程两边同时对求导，整理得，于是有例7求方程所确定的隐函数解:方程两边同时对求导，于是有在点的导数.70由方程知，当时，因此，*本题中的隐函数可以显化，对显化后得函数求导，再代入可以得到相同结果.例8求过双曲线上的点的切线方程.解:于是有方程两边同时对求导，71在点处的切线斜率因此，从而，切线方程为即总结隐函数求导的步骤1方程两边对求导，注意作为的可导函数进行处理；2含的项合并到等式的一边；3提出因子；4解出.72解:将方程两边取对数，得上式两边同时对求导，例9求的导数.于是，先在方程两边取对数,对数求导法再利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围幂指函数求导表达式中含有连乘连除的函数求导73解:将方程两边取对数，得例10求的导数.上式两边同时对求导，于是，74五、参数方程所确定的函数的导数研究物体运动轨迹时常用到参数方程，例如表示上半椭圆.显然，与存在函数关系，且与是一一对应的，从而，与也呈函数关系.定义参数方程所确定的函数是指，自变量与因变量的函数关系是通过第三个变量间接给出，由方程组所确定的函数变量称作参变量.问题:参数方程所确定的函数不易消参或不能消参，如何求导?由复合函数及反函数的求导法则得在方程组中，设函数具有单调连续的反函数，再设函数，都可导，且则即解:例11求参数方程所确定的函数的导数.注在参数方程所确定的函数求导过程中，既有对参变量的导数又有对自变量的导数，为体现对哪个变量求导，求导符号用“”而不是“’”例12已知椭圆的参数方程为求它在相应点处的切线方程.解:椭圆上，对应于的点的坐标为曲线在点的切线斜率为则切线方程为即如果参数方程所确定的函数是二阶可导函数，那么可以对导函数继续求导，具体地注意到，参数方程所确定的函数的导数仍由参变量表示，例13求摆线的参变量函数的二阶导数.解:79例13求摆线的参变量函数的二阶导数.解:80六、小结1.高阶导数逐阶求导，归纳总结莱布尼茨公式2.隐函数的导数隐函数求导四步骤3.参数方程确定的函数的导数高阶导数运算法则对数求导法本质是复合函数求导法则和反函数求导法则参数方程所确定的函数的高阶导数81思考如何求隐函数的高阶导数呢？例14求由方程

所确定的隐函数的解:方程两边同时对求导，于是有二阶导数.上式两边再对求导，导数、微分83函数的微分三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则四、微分在近似计算中的应用五、小结84一、微分的定义二、函数可导与可微的关系一、微分的定义85函数当时，大约是多少？由连续知，85当时，自变量变化不大时，函数值相差很小.能否再精确？又根据导数定义再由极限和无穷小的关系有即或的倍数高阶无穷小主要部分只需进行简单的乘法运算86定义

的微分,若函数在点的附近有定义，使得函数值的增量那么称并把称为记作或在点可微,如果存在不依赖于

的常数，可表示为在点即或从而，微分即函数增量的线性主部二、函数可导与可微的关系函数在点可微的充要条件是且定理1在点可导，“充分性”已知即在点可导,则证明：

事实上，就是把前面的讨论一般化.故8788“必要性”已知在点可微,则证明：

以除上式两边，因此,故在点可导,且并令得注1则与是若在点可微,的等价无穷小.事实上，89注2该定理不仅表明函数在一点处可导和可微是等价的，而且给出了通过导数求微分的方法.时,当特别地，例如，因此，对于可微函数有——自变量的微分90由得，即，函数的微分与自变量的微分之商等于函数的导数，因此，导数又称为微商.例1求函数的微分.解:例2（2）求函数在处的微分.

解:（1）求函数的微分.

（3）求函数在处当时的微分，并讨论微分与函数增量的误差.（1）解:（2）（3）而可见，用近似代替的误差为从而微分的几何意义

MNT）P切线上纵坐标相应的增量9192三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则由，基本初等函数的导数公式都可以转化为基本初等函数的微分公式93设均可微,则(

为常数)分别可微,的微分为微分形式不变5.复合函数的微分则复合函数1.3.4.2.由，还可以得到函数的微分运算法则94例3求的微分.解:由微分的乘法运算法则而由微分形式不变性可知于是，95例4求的微分.解:化简，从而例5（参数方程求导法则）设参数方程中对可导，且利用微分形式不变性证明解:由于故，有9697例6求由方程所确定的隐函数的解:方程两端微分，有微分和导数即，也就是，从而，98注3易见，利用微分形式不变性以及微分的运算性质，可以不必先求出复合函数的导数即可求出函数的微分，进一步地，通过微分得到函数的导数.例7在括号中填入适当的函数使得等式成立.上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.数学中的反问题往往出现多值性.(1)(2)注499四、微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则得近似等式:对于可微函数令（1）与靠近，（2）易计算近似计算时，如何选择？即很小100例8求的近似值.解:设取代入近似公式得则101在应用上面得近似公式时，常见的情形，此时需很小，近似公式即为当很小时，可得到下列常用近似公式102例9求的近似值.解:当很小时，从而，由于103五、小结1.微分概念

微分的定义

可导可微2.基本初等函数的微分公式与微分运算法则微分形式不变性

无论是自变量或中间变量，上式均成立3.微分的应用——近似计算

微分的几何意义切线上纵坐标相应的增量导数、微分104导数在经济中的应用三、弹性四、经济学中常见的弹性函数五、小结105一、边际二、经济学中常见的边际函数一、边际106106定义1设经济函数在点处可导，则称导数称为在点的为的边际函数，简称边际，边际函数值.则对于经济函数，通常是一个比较大的量，相对地，就可以看作是一个较小的量，由函数可微的性质，（当很小时）上式说明在点处，因变量近似改变个单位当自变量再产生一个单位的改变时，边际的经济学意义当时，再改变（增加或减少）一个107利用导数研究经济变量的边际变化的方法，即为边际分析法例1设函数，试求在时的边际函数值.解：由于，故即在时的边际函数值为.该值表明，单位，改变（增加或减少）27个单位.近似注

在应用问题中解释边际函数值的具体意义时往往略去“近似”二字．当生产件产品时，再生产一件产品所增加的总成本.108二、经济学中常见的边际函数1、边际成本总成本函数的导数称为边际成本，经济学意义：记为若边际成本小于平均成本，则应考虑增加产量以降低单件产品的成本；若边际成本大于平均成本，则应考虑减少产量以降低单件产品的成本.设生产某产品的总成本函数为，求109例2(3)生产1000件产品的边际成本，并解释其经济意义.(2)生产1000件到1100件时的总成本的平均变化率；(1)生产1000件产品时的总成本和平均成本；解：（1）生产1000件产品时的总成本为平均成本为(2)生产1000件到1100件时的总成本的平均变化率110设生产某产品的总成本函数为，求例2(3)生产1000件产品的边际成本，并解释其经济意义.(2)生产1000件到1100件时的总成本的平均变化率；(1)生产1000件产品时的总成本和平均成本；解：(3)生产1000件产品的边际成本为它表示生产1000件产品时，再增产(或减产)一件,需增加（或减少）成本4000个单位.本题中边际成本大于平均成本，故可以减少产量以降低单件产品的成本.设为价格，且为销售量的函数，1112、边际收益当销售件产品时，再销售一件产品所增加的总收益.总收益函数的导数称为边际收益，经济学意义：记为从而，边际收益为那么，即其中为价格，设某产品需求函数为112例3为销售量.并求销售量从10件增加到16件时收益的平均变化率.求销量为10件时的总收益、平均收益与边际收益.解：平均收益销量为10件时的总收益总收益113当销售量从10件增加到16件时，收益的平均变化率为其中为价格，为销售量.设某产品需求函数为例3并求销售量从10件增加到16件时收益的平均变化率.求销量为10件时的总收益、平均收益与边际收益.解：边际收益1143、边际利润当生产件产品时，再生产一件产品所增加的总利润.总利润函数的导数称为边际收益，经济学意义：记为由总利润、总成本、总收益的关系当时，可得边际利润为这表明当生产了件产品时，再生产一件产品，增加的收益大于增加的成本，即115当时，这表明当生产了件产品时，再生产一件产品，增加的收益小于增加的成本，即例4设某工厂生产某种产品的总利润与产量的关系为试确定工厂的最佳产量，并给出经济学解释.解：边际利润为当时，这表明若产量在个单位以上时，总利润不会增加，反而会减少，因此，产量不要超过个单位.并非产量越高，利润越高116三、弹性绝对改变量和绝对变化率边际——相对改变量和相对变化率定义2设经济函数在点处可导，当自变量分别为自变量的相对改变量和函数值的相对改变量.的增量为时函数值的增量为，称与而称为函数从到两点间的平均相对变化率.两点间弹性弧弹性弹性——117称为在点的瞬间相对变化率，亦称为在点的点弹性.记作或或即若对区间上的任何点都存在点弹性，的一个函数则确定了这一区间上——弹性函数，简称弹性，记作或118即在经济分析中，会经常用到弹性分析法，弹性反映了经济自变量改变时函函数对自变量的变化反应的强烈程度或灵敏度，与变量所取得的单位无关，其经济学意义为当自变量改变了时，函数值（近似地）改变了.例5求幂函数（为常数）的弹性函数.解：幂函数的弹性为常数，称为不变弹性函数.值变化幅度的大小，即119四、经济学中常见的弹性函数1、需求弹性需求函数的弹性函数称为需求弹性，即由于需求函数是单调递减函数，为了讨论的方便，经常取其绝对值，故与异号，根据极限保号性，可知需求弹性为负.并记为，仍称之为需求弹性，即120按照弹性值的大小，需求弹性的经济学意义为当价格上涨（下跌）1%，需求量将减少（增加）.当时，表明商品需求量变动的百分比等于价格变动的百分比，称为单位弹性；当时，表明商品需求量变动的百分比低于价格变动的百分比，称为低弹性，当时，表明商品需求量变动的百分比高于价格变动的百分比，称为高弹性，价格变动对需求量影响小；价格变动对需求量影响大.需求量的变动与价格的变动按相同的百分比进行.121设某产品的需求函数为例6其中为价格，为需求量.讨论价格变化时，商品需求量变化的情况.解：即，价格上涨（下跌）1%，需求量将减少（增加）1%，当，也就是时，说明需求量减少（增加）的百分比低于价格上涨（下跌）的百分比.即