高等数学（第二版）下册课件：微分方程的基本概念

微分方程与差分方程

.9.1微分方程的基本概念9.2可分离变量的微分方程9.3齐次方程9.4一阶线性微分方程9.5可降阶的二阶微分方程9.6二阶常系数线性微分方程9.7差分及差分方程的基本概念9.8一阶常系数线性差分方程

微分方程的基本概念例9.1.1（几何问题）已知一曲线通过点(2,0)，且在曲线上任意点P(x,y)处切线的斜率为该点横坐标的2倍，求该曲线方程.而且未知曲线还满足以下条件：x=2时，y=0．

（9.2）解

设曲线方程为，根据导数的几何意义，有（9.1）显然满足等式（9.1），其中C是任意常数．把（9.2）代入得0

=

4

+

C,解得C

=

−4，则曲线方程为（9.3）例9.1.2（物理问题）一质量为m的物体自高度为h处做自由落体运动，求下落距离和时间的关系.满足的条件为解

设物体在下落过程中距离和时间的函数关系为，根据导数（9.4）（9.5）的物理意义，在不计空气阻力的情况下，自由落体的加速度为g，有显然满足等式（9.4），其中将条件（9.5）代入方程（9.6）与（9.6）（9.7）为任意常数．得所以距离和时间的关系为例9.1.3（流言蜚语传播问题）人数为

流言传播的速度与已经知道流言的人数和在某地区人口总数为N，设t时刻已经知道流言的数，它们都是微分方程．还未知道流言的人数之积成正比，比例常数为

,（9.8）上面例题中方程(9.1)(9.4)和(9.8)都含有未知函数的导于是得到

定义9.1

含有未知函数及未知函数的导数的方程称为微分方程.

在微分方程中，如果未知函数是一元函数，称为常微分方常微分方程，而是偏微分方程．程；否则称为偏微分方程．例如上面(9.1)(9.4)和(9.8)都是

定义9.2

微分方程中所含有的未知函数的最高阶导数

称为微分方程的阶．由定义知道，(9.1)和(9.8)是一阶常微分方程，(9.4)是二阶常微分方程；而

是二阶偏微分方程．n阶微分方程的一般形式为方程（9.9）必须包含而不必包含如n阶微分方程我们可以把方程（9.9）改写成其中右端为连续函数．（9.9）

如果函数

为

的线性函数，则称方程（9.8）为n阶线性微分方程，其形式为为二阶非线性微分方程.而方程

是已知函数；否则称方程（9.9）为非线性微分方程．显然，(9.1)(9.4)和(9.8)都是线性微分方程；

定义9.3

如果将已知函数代入微分方程，使方程两端成为恒等式，则称该函数为微分方程的解．若方程的解中含有的任意n个相互独立的常数的个数等于微分方程的阶数n，则称为微分方程的通解，不含有任意常数的方程的解称为微分方程的特解．例如，（9.6）是微分方程（9.4）的通解，（9.3）是微分方程（9.1）的特解，（9.7）是微分方程（9.4）的特解.所谓相互独立的常数，是指它们的个数不能通过加减乘除等运算使得常数的个数发生变化，确定方程通解中任意常数值的条件称为定解条件或初始条件，求微分方程满足某个定解条件的特解问题，称为微分方程的定解问题或初值问题．一般地，一阶微分方程的定解条件为或写成时，

，其中

是已知常数．是方程

的通解，同时也是方程的解，

注通解中未必包含方程的全部解，例如，显然不是满足某个条件的特解，即

不包含在通

解中，

称为方程的一个奇解，本章只讨论方程的通解和特解．例9.1.4验证

是方程

的解.满足

，即

是方程的解．分析本题根据方程通解的定义，把

代入

方程，使得左右两边相等即可.证明

由

求导得

，

同理可得也是方程的解．例9.1.5验证是方程的通解，中求解即可得到特解.分析

本题根据方程特解的定义，把代入方程，使得左右两边相等即可,然后把代入通解证明对等式 并求满足条件的特解．（9.10）两边求导得再一次求导得把(9.10)(9.11)和(9.12)带入方程，则有即

是方程

的通解．