高等数学（第二版）下册课件：数项级数的收敛判别法

数项级数的收敛判别法8.2.1正项级数及其审敛法8.2.2交错级数及其审敛法8.2.3绝对收敛与条件收敛预备知识1.级数收敛的定义及性质；2.单调有界数列必有极限；收敛数列必有界；3.等价无穷小：时，4.两类重要极限：则称该级数称为正项级数由单调有界数列必有极限，可得下面重要定理定理8.1（正项级数的基本收敛定理）

在级数

中，如果每一项易见：部分和数列

单调增加

正项级数

收敛的充要条件是其部分和数列

有界

8.2.1正项级数及其审敛法即正项级数的部分和数列

有界，因此正项级数收敛.解

级数部分和例

8.2.1

判断正项级数

的敛散性.定理

8.2

比较审敛法大收则小收，小散则大散。（1）若级数

收敛，则级数

也收敛（2）若级数

发散，则级数

也发散

设有两个正项级数

和

，有

成立，则证明（2）设且（1）设且即部分和数列有界，所以

收敛.不是有界数列则发散推论使得从某一项起（例如从第N项起），总有

（1）若级数

收敛，则级数

也收敛（2）若级数

发散，则级数

也发散成立，那么

设有两个正项级数

和

，且存在正数

由

发散及比较审敛法知，

发散解因此分析

分

和

两种情况，.当

时，对于

，有

例

8.2.2

讨论

级数

的敛散性

当

时

，

分别利用比较审敛法和正项级数收敛基本定理.上式说明

有界，因此级数

收敛综上所述，当

时，级数

收敛

当

时，级数

发散于是

级数的部分和

定理8.3比较审敛法的极限形式

设

和

都是正项级数，如果

则(2)当

时，

若

收敛,则

亦收敛;(3)当

时，若

发散,则

亦发散．(1)当

时,与

具有相同的收敛性;证明当n＞N时,有即由比较审敛法知结论成立．结论(2)、结论(3)的证明类似（1）由于取则存在

例8.2.3判断级数

的敛散性由比较审敛法的极限形式知

收敛．解

因为

=1而

级数

收敛例8.2.4证明正项级数

发散证明

因为且调和级数

发散故由比较审敛法的极限形式知,正项级数

发散例8.2.5判断下列级数的敛散性(1)(2)解(1)因为而调和级数

发散根据比较审敛法的极限形式可知级数

发散

(2)因为

而级数

为

的

级数,是收敛的根据比较审敛法的极限形式可知级数

收敛.

定理8.4达朗贝尔(d′Alembert)比值审敛法

=ρ,设有正项级数

，如果极限

那么(1)当

时,级数收敛;(2)当

(包括ρ=+∞)时,级数发散;

(3)当

时,级数可能收敛也可能发散(需另行判别)．证明(1)由于,因此可找到正数,使得根据极限定义,必有正整数,当

时，有不等式

，成立因此，,

而级数是公比的等比级数,是收敛级数再由定理8.2的推论知，正项级数收敛.由于=ρ＞1,可取一个适当的正数＞0,使得

这就是说,对于正项级数,从第

项开始有据极限定义,必有正整数,当时,有不等式

因此，即.,成立

根据级数收敛的必要条件可知，正项级数

发散正项级数从第

项开始,级数的一般项是逐渐增大的,从而.

因此只根据不能判断级数的收敛性.(3)当ρ=1时,正项级数可能收敛,也可能发散．这个结论从

级数就可以看出．事实上,若为

级数,则对于任意实数

,有但当

时,

级数发散;

时,

级数收敛．证明

因为例8.2.6判断级数

的敛散性．

==所以由比值审敛法知,级数发散．例8.2.7判断正向级数

的敛散性分析一般项中含有阶乘及次方,利用比值审敛法.解因为所以由比值审敛法知,级数收敛．分析利用比较审敛法或其极限形式因为,比值审敛法失效,必须用其它方法来判别级数的收敛性.例8.2.8判断级数的敛散性.=1解或

而级数收敛,因此由比较审敛法(或其极限形式)可知所给级数收敛.解

因为所以,当,即

时,级数收敛;*例8.2.9讨论级数

的敛散性．分析利用比值审敛法,因一般项中含有

，分情况讨论.当,即

时,级数发散当时,虽然不能由比值审敛法直接得出级数收敛

=>1.于是可知,级数的后项总是大于前项,故

所以级数发散．或发散的结论，但由于数列

是一个单调增加而有上界的数列，即

，

因此对于任意有限的

，有

定理8.5柯西(Cauchy)根值审敛法(3)当ρ=1时，

可能收敛，也可能发散

该定理证明与定理8.4的证明完全相仿设

满足

，那么有以下结论(1)当

时，则

收敛；(2)当

（包括

）时，

则

发散；

所以,由根值审敛法知该级数收敛．例8.2.10讨论级数

的敛散性．分析

一般项含

有次幂,利用根值审敛法.解

因为

分析

利用根值审敛法.

所以,由根值审敛法知级数发散.例8.2.11判断级数

的敛散性解

因为分析

利用根值审敛法.

所以,由根值审敛法知级数发散.*例8.2.12判断级数

的敛散性解

因为这样的任意项级数叫做交错级数．它的一般形式为8.2.2交错级数及其审敛法

如果如果在任意项级数

中,正负号相间出现,这样的任意

或者

其中两种级数有相同的敛散性判断法

我们主要针对级数来证明关于交错级数的一个审敛法定理8.6莱布尼茨(Leibniz)判别法设交错级数

满足：(1)

;(2)

;则级数

收敛,且其和.证明

先证前

项的和

的极限存在,将

写成两种形式：及

根据定理条件(1)知,所有括号中的差都是非负的，由

第一种形式可知数列

是单调增加的,由第二种形式

可知，根据单调有界数列必有极限的准则知,数列

的极限存在.

设

有

.

而

由于级数

的部分和数列

的奇数项和偶数项极限存在且相等,数列的极限存在,且有,从而证明交错级数收敛于.例

8.2.13

判断级数

的敛散性.分析

交错级数,利用莱布尼兹判别法.解

由于且由莱布尼兹判别法知收敛．

例

8.2.14

判断级数的敛散性.分析

交错级数,利用莱布尼兹判别法.

解即

又

=

=0,由莱布尼兹判别法可知,级数

收敛．8.2.3

绝对收敛与条件收敛如果

发散，但

收敛，则称级数

条件收敛.定义

8.3定理

8.7

如果级数

收敛，则级数

也收敛.

对于级数,若

收敛，则称级数

绝对收敛；

证明

令则

，且

而

收敛，

由比较审敛法知，级数

收敛，从而级数

收敛又

，由收敛级数的基本性质2知级数

收敛.例8.2.15

判别下列级数是否收敛，如果是收敛

（1）分析

利用绝对收敛和条件收敛的定义,先判断一般项加

解(1)因为

(2)绝对值后的级数是否收敛，若收敛，则为绝对收敛，否则继续判断原级数的敛散性.级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛.又因为收敛，由比较收敛法知，级数

(2)为交错级数，容易验证其满足莱布尼茨判

且级数