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文档简介

导数的应用

§3.1中值定理§3.2洛必达法则§3.3泰勒定理及应用§3.4函数的单调性与凹凸性§3.5函数的极值与最值*§3.6导数与微分在经济学中的应用3.5.1函数的极值及其求法

函数的极值与最值3.5.2最值问题3.5.1函数的极值及其求法

1.函数取得极值的必要条件及充分条件由费马引理可得必要条件:

定理3.12

设函数在点

处可导，且在

处取得极值，那么函数在

处的导数为零，即定理3.12可叙述为：可导函数

的极值点必定是函数的驻点．反过来，函数

的驻点却不一定是极值点．此外，函数导数不存在的点也可能是极值点．设函数

在点

处连续，且在

的某去心邻域

内可导，.(1)若(2）若定理3.13（第一充分条件）(3)若

时，不改变符号，.

确定极值点和极值的步骤：(3)列表判断的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的符号情况，确定该点是否是极值点，如果是极值点，还要按照定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值)；(2)求出

的全部驻点和不可导点；(1)求出导数(4)确定出函数的所有极值点和极值.例3.5.1

求函数的极值解列表如下−1（−1，3）3+00+上升极大值下降极小值上升例3.5.2

求函数的极值解列表如下−1（−1，1）1+不可导-0+上升0下降上升如果

存在二阶导数且在驻点处的二阶导数不为零，则有下列定理。则

（1）（2）定理3.14(第二充分条件)证明

:这里我们只证明的情况，可以类似地证明的情况，由二阶导数定义有根据函数极限的局部保号性，当x在x0的足够小的去心邻域时所以上式即为(接下).

类似的可以证明情形(2).于是对于去心邻域内的来说，符号相反。根据定理2，

【注】如果函数f(x)在驻点处的二阶导数例3.5.3

求函数的极值解例3.5.4

求函数的极值解例3.5.5

求函数的极值解3.5.2最值问题

1.极值与最值的关系

设函数在闭区间[a,b]上连续，则函数的最大值和最小值一定存在，函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得.

如果最大值不在区间的端点取得，则必在开区间(a,b)内取得.在这种情况下，最大值一定是函数的极大值.最值是一个全局概念，因此，函数在闭区间[a,b]上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者.

同理,函数在闭区间[a,b]上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者.

2.最大值和最小值的求法

设在(a,b)内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点)为,比较的大小,其中最大的便是函数在[a,b]上的最大值，最小的便是函数

在[a，b]上的最小值.3.求最大值和最小值的步骤【注】如果区间内只有一个极值，则这个极值就是最值(最大值或最小值).

(2)求区间端点及驻点和不可导点的函数值，比较大小，哪个大，哪个就是最大值;哪个小，哪个就是极小值.(1)求驻点和不可导点．例3.5.6

求函数

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