高等数学（第二版）下册课件：数项级数的概念及性质

无穷级数

§8.1数项级数的概念及性质

§8.2数项级数的收敛判别法§8.3幂级数§8.4函数的幂级数展开上一页目录下一页退出

数项级数的概念及性质8.1.1常数项级数的概念8.1.2收敛级数的基本性质预备知识：①数列极限的定义及四则运算法则：若,则,

,②第二类重要极限：③等比数列的前n项和公式：④的极限定义8.1常数项级数8.1.1常数项级数的概念给定一个数列则由这数列构成的表达式叫做常数项无穷级数,简称常数项级数,记为,即:其中第

项叫做级数的一般项.级数的部分和:它们构成一个新的数列：

根据这个数列是否有极限,我们给出无穷级数收敛与发散的概念.作级数的前项和

称为级数

的部分和

当

依次取1,2,3,…时,定义8.2即常数项级数收敛(发散)⇔存在(不存在)如果级数

的部分和数列

有极限,即:,则称无穷级数收敛,这时极限称为级数的和,并写成这时也称该级数收敛于.若部分和数列的极限不存在,则称级数发散

.的近似值,它们之间的差值当级数

收敛时,其部分和

是级数

的和

称为级数

的余项

.例8.1.1讨论等比级数的敛散性.分析

利用级数收敛的定义,先求出部分和,判断的敛散性.如果,则部分和

∴收敛

∴发散当时当时解

∴发散

综上，级数如果,当时,当时,∴发散极限不存在当时收敛，当时发散.当

为偶数时,当

为奇数时,例8.1.2证明级数是发散的.分析

利用级数发散的定义,验证部分和数列

的极限不存在.此级数的部分和为显然,,因此所给级数是发散的.证明例8.1.3判别无穷级数的收敛性.分析利用拆项相消及级数收敛的定义.解所以这级数收敛,它的和是1.8.1.2收敛级数的基本性质性质1如果级数收敛于和,则它的各项同乘以一个常数k所得的级数也收敛,且其和为.设级数与的部分和分别为与

则证明性质2

如果级数

、

分别收敛于和s、,则级数

也收敛,且其和为设、、的部分和分别为，则证明性质2表明,两个收敛级数逐项相加或逐项相减所构成的新级数仍然收敛.利用反证法不难证明以下推论.推论如果级数、一个收敛,另外一个发散，则级数

必发散.性质3

在级数中去掉、增加或改变有限项,不会改变级数的敛散性.证明我们先考虑在级数中去掉一项的情形．设在级数

中删去第项,得到新的级数则新级数的部分和与原级数的部分和之间有如下关系式：从而数列

与

具有相同的敛散性．若去掉的是有限项,则可看成每次去掉一项,去掉了有限次,级数的敛散性一直保持不变.类似的,可以证明在级数中增加、改变有限项

(可看成先去掉有限项,再增加有限项的情况)，不改变级数的敛散性.性质4如果级数收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛,且其和不变.证明设收敛级数若按某一规律加括号，例如则新级数的部分和序列为原级数部分和序列为原级数部分和序列的一个子序列,从而有注意：加括号后的级数收敛时,不能断言原来未加括号的级数也收敛.例如:级数

收敛,级数

发散.推论如果加括号后的级数发散,则原级数一定发散．性质5(级数收敛的必要条件)如果级数

收敛,则

，即级数收敛证明逆否命题级数发散从级数收敛的必要条件可以得出如下推论，该推论可作为判定级数发散的方法.推论

若,则级数

必发散.推论

如果级数

的通项

，当

时不趋于零,则此级数必发散.注意：级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件.比如调和级数它的一般项,但它是发散的.假设级数

收敛且其和为,是它的部分和

矛盾必定发散.例8.1.4判断级数的敛散性.分析利用级数收敛的必要条件.证明该级数发散例8.1.5判别级数的敛散性．分析级数一般项1,0,-1,0交替出现,利用级数收敛的必要条件.解

注意到级数通项,当