高等数学（第二版）下册课件：二元函数极值和最值

二元函数的极值和最值

§6.6.1多元函数的极值及最大值、最小值§6.6.2

条件极值拉格朗日乘数法预备知识：一元函数极值的求法:

驻点及一阶导数不存在的点为可疑极值点，利用函数在这些点左右两侧一阶导数的符号来进一步确定是否为极值点,是极大值点还是极小值点;比较极值点及区间端点处的函数值,最大的为最大值,最小的为最小值.闭区间上连续函数最值的求法:6.6.1

多元函数的极值及最大值、最小值

函数的极大值、极小值统称为极值,

使函数取得极值的点称为极值点．

定义6.10的某个邻域内

在点

设函数

处有极大值,

点

则称函数

在点

的极小值点．

称为函数,

总有

有定义,

若对于该邻域内异于

的任何点

例6.6.1证明函数在点(0

0)处有极小值．证明

=(0

0)时当而当时

因此是函数的极小值．分析

很明显,函数在任何异于(0,0)的点处取值都大于0.例6.6.2函数在点(0

0)处有极大值．证明=(0

0)时而当时

因此是函数的极大值．不取得极小值．例6.6.3函数在点(0,0)处既不取得极大值,也分析：因为点(0,

0)处的函数值为零,

而在点(0,

0)的任一邻域内,总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点．由此，得到下面的定理．二元函数的极值问题,一般可以用偏导数解决.

设函数

在点

处取得极值，如果将函数

中变量固定，令，则是一元函数，它在处取得极值，根据一元函数极值存在的必要条件，有

，同理.定理6.8(必要条件)设函数在点具有偏导数,且在点

处有极值,则有,．证明

不妨设在点处有极大值.根据极大值定义,在点的某邻域内异于的点都有特别地,在该邻域内取

,对

的点,也适合不等式这表明一元函数在处取得极大值,因此必有.

类似可证.定理6.8的结论可类似推广到三元以上函数情形,例如,三元函数在点具有偏导数,则它在点处取得极值的必要条件为与一元函数类似,使,同时成立的点称为函数的驻点..

定理6.8只给出了二元函数有极值的必要条件．那么,我们如大值点和极小值点？有下面的定理.何判定二元函数的驻点为极值点呢?对极值点又如何区分极定理6.9（充分条件）设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,令又则在处是否取得极值的条件如下：(1)时具有极值，且

当时有极大值，当时有极小值（2）时没有极值；(3)时可能有极值，也可能没有极值，需另作讨论.极值点不一定是驻点,也有可能是偏导数不存在的点．因此，在考虑函数的极值问题时，在点例如函数处有极大值，但不是函数的驻点.

除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也应当予以考虑.因此，求解函数极值的步骤：求得一切实数解，即求得一切驻点;第一步：解方程组，第二步：对于每一个驻点求出二阶偏导数的值第三步：确定的符号，按照定理6.9的结论若有，判别是否为极值点.判定是否是极值，是极大值还是极小值；第四步：考察函数是否有导数不存在的点，例6.6.4求函数的极值.分析所给函数不存在偏导数不存在的点，按照求解步骤的前三步即可.解先解方程组再求出二阶偏导函数，，.求得驻点为，，，，在点处，所以函数在点处有极小值，，又在点处，在点处，在点处，所以不是极值；所以不是极值；所以函数在点处有极小值，为.，，，又，如果函数在有界闭区域上连续，则在上必能取得最大值和最小值，并且函数的最大值、最小值点必在函数的极值点或在的边界点中取得.因此，要求函数的最值点，我们只需求出函数的驻点和偏导数不存在的点处的函数值，以及边界上的最大、最小值，然后加以计较即可.在实际问题中，根据问题的性质，知道函数最小值，然后我们加以比较即可.的最值一定在区域的内部取得，以及边界上的最大、盖长方体水箱.问：当长、宽、高各取多少时，才能使

例6.6.5某厂要用铁板做成一个体积为的有分析用料最省？体积已知，长、宽、高为三个变量，可将长、宽看作自变量，高看作因变量，求得面积表达式，为二元函数，问题转化为二元函数的最值问题.解

设水箱的长为m，宽为m，则其高应为m.此水箱所用材料的面积为令，，得，.根据题意可知，水箱所用材料面积的最小值一定存在，并在开区域内取得.因为函数在内只有一个驻点，所以，此驻点一定是的最小值点，即当水箱的长为m、宽为m、高为m时，水箱所用的材料最省.在研究函数的极值时,如果对函数的自变量除了限制在定义6.6.2条件极值拉格朗日乘数法例如，求函数在条件下的可能极值点.(1)构造辅助函数(为常数)域内取值外,还有其他附加的约束条件,这类极值问题就称为条件极值问题.(2)求函数对,的偏导数,并使之为零,与条件联立,这种直接寻求条件极值的方法就是拉格朗日乘数法.解方程组得,其中就是函数在条件下的可能(3)确定所求点是否为极值点,在实际问题中往往可根据实际问题本身的性质来判定.的极值点的坐标;拉格朗日乘数法推广求函数在条件，下的可能的极值点构造辅助函数其中为常数,求函数对的偏导数,并使之为零,解方程组得到的就是函数在条件,