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差分及差分方程的基本概念

.9.7.1差分的概念9.7.2差分方程的基本概念9.2.1差分的概念设变量

是

的函数，记为，其中自变量

(通常表示时间)的取值为离散的等间隔的整数值：定义9.5设函数在处有定义，

是定义在相应点的函数．对应的函数值为

，则函数

在时间

的一阶差分定义为其中“

”称为“差分

”，

表示对

的差分；类似地有

是在一阶差分的基础上再次差分，即一般地，阶差分定义为同样，可以定义

在时刻

的二阶差分

，二阶差分

其中

二阶及二阶以上的差分称为高阶差分．解

解解例9.7.1

已知

（是常数)，求例9.7.2

已知

，求例9.7.3

已知

(其中

，且），求解

一阶差分的性质如下：例9.7.4

设

，且，求设，性质9.1已知

，(是常数)，则性质9.2对于任意的常数

，性质9.3利用差分的定义可以对以上的性质进行证明，这里只给出性质9.4的证明，其余的类似，请同学自行证明。证明：性质9.4性质9.59.2.1差分方程的基本概念的函数方程，称为常差分方程，简称差分方程，出现在方程中差分的最高阶数称为差分方程的阶．

阶差分方程的一般形式为定义9.6含有未知函数

以及

的差分(9.26)其中

是已知函数，且

一定要在方程中出现．定义9.7含有自变量

以及两个或两个以上函数值的函数方程，称为常差分方程，简称差分方程；出现在差分方程中未知函数的最大下标和最小下标之差，称为差分方程的阶．

阶差分方程的一般形式为或(9.27)

①差分方程的两种定义形式可以相互转换．②差分方程的阶数在两种差分方程的定义中是不完全相等的.注：则按照公式（9.27）中方程的阶数定义是一阶差分方程．例如，

是按照公式（9.26）定义的二阶差分方程，又可以写成公式（9.27）的形式，即例如，差分方程

按照公式（1）是二阶差分方程；如将方程写成在经济问题中，经常遇到的是公式（9.27）定义的差分方程，因此本节主要讨论形如公式（9.27）的差分方程．相互独立的任意常数的个数等于差分方程的阶数，则称为差分方程的通解；在通解中给任意常数以确定的值，则称为差分方程的特解．确定特解时所需要满足的条件称为定解条件.如果把一个函数

代入差分方程，方程两端相等，则称函数

是差分方程的解；如果在差分方程的解中含有对于差分方程

把方程

代入差分方程有

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