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文档简介

定积分的物理应用预备知识：压力公式

；压强公式

；本节课我们来研究定积分在物理上的应用.万有引力公式

；转动惯量1.变力沿直线所作的功

定积分的物理应用

例5.7.1

把一个带

电量的点电荷放在r轴上坐标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电荷有作用力.由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为r的地方，那么电场对它的作用力的大小为（k是常数），当这个单位正电荷在电场中从处沿r轴移动到处时，计算电场力

对它做的功.分析

由初等物理知功

,如果物体在运动过程中所受的力是变力，则不能应用此公式，采用“微元法”思路，将位移任意细分，在小的位移上近似看作力不变，于是解取r为积分变量，取任一小区间，功元素，所求功为：如果要考虑将单位电荷移到无穷远处例5.7.2

设气缸内活塞一侧存有定量气体，气体等温膨胀所做的功.

推动活塞向右移动，若气体体积由变至，求气体压力分析

建立适当的坐标系，相当于变力做功问题.解

如图:气体等温膨胀，压强为，V为体积，C为常数，活塞上的总压力为其中，Q为活塞横截面积，S为活塞移动的距离，V=SQ于是，所求功为

例5.7.3

一横放的圆柱形水桶盛满水，设桶底半径R，水2.水压力

由初等物理知，在水深h处的压强，如果面积为A的平面薄板水平地放在水中h处，则平板一侧受的压力。如果平板非水平地放在水中，由于水深不同，压强也不同，于是平板一侧受的压力不能用上面方法计算.密度是，计算桶的端面上所受的压力.分析

水深不同，端面上点所受的压力不同，采用微元法.解

建立适当的坐标系，如图：底圆的方程为深不变，窄条各点压强近似为在水深x处取一小条，近似看作水，窄条面积近似于所以压力：3.引力由物理学知道，质量分别为相距为r的两个质点间的引力的大小为，其中k为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向．如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，就不能用此公式计算．

例5.7.4

有一长度为l，线密度为ρ的均匀细棒，在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m的质点M，计算该棒对质点M的引力.分析

随着点的变化引力不断变化，用微元法分析.解

建立坐标系如图，取y为积分变量取任一小区间

，将典型小段近似看成质点，小段的质量为小段与质点的距离为引力水平方向的分力元素：由对称性知，引力在铅直方向分力为4.转动惯量

在刚体力学中有一个重要的量——转动惯量.若质点质量为m，到一轴距离为r，则该质点绕轴的转动惯量为

对于质量连续分布的物体绕轴的转动惯量问题，一般地，可以用定积分来解决.

例5.7.5

一均匀细杆长为l，质量为m，试计算细杆绕过它的中点且垂直于杆的轴的转动惯量.分析

细杆不同的点的转动惯量不同，因此采用微元法计算.解

建立坐标系，如图：先求转动惯量微元,为此考虑细杆上一段，其质量，把这一小段设为一质点，它到转动轴的距离为，于是微元为积分得整个细杆的转动惯量为：

定积分在物理学上的应用包括：变力做功问题、水压力、

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