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定积分的计算5.4.1定积分的换元积分法

对定积分和不定积分之间的联系与区别熟悉以后,

不定积分的换元法和分部积分法

函数的奇偶性周期性等性质.就能继续研究求解定积分的具体方法了.不定积分有换元法和分部积分法,定积分也有类似的方法.下面我们就来讨论这两种方法.预备知识定理5.6设函数在区间上连续，函数满足条件：(1)当（或）时，且(2)在（或）上具有连续导数，则有此式叫做定积分换元公式．分析

连续函数为可积函数，因此被积函数的原函数存在，可用N-L公式计算.证明

假设是的一个原函数，则又由复合函数的求导法则知是的一个原函数，所以故应用换元公式时需要注意：“换元必换限”，即变量变换成新变量时，原积分限也要换成相应于新变量的积分限．分析

根号下含有二次函数一般采用第二类换元法例5.4.1

计算解令则

且由0增到1.由0变到时，当于是解

例5.4.2

计算分析

因为可知被积函数含有绝对值，一般要分区间求积分.例5.4.3

求

分析

此题的难点在于根号，因此可用根式换元法去掉根号.解设即换积分限：当时，时，于是例5.4.4

计算下列积分.分析

三角函数的平方或立方的积分,利用公式降次或变(1)(2)形,变为已知积分计算.解(1)(2)

上题中,第一题被积函数是奇函数,第二题被积函数是偶函数，像这种奇偶函数在定积分计算中有简便方法,可以总结出一条有用的结论（简称为“偶倍奇零”）.设函数在区间上连续，则有结论(证明从略):(1)当为奇函数时，(2)当为偶函数时，利用这两个结论可以简化运算，尤其是第一个，比如：对于三角函数，还有如下的换元法：分析

抽象函数的运算,应设法改变积分变量.例5.4.5

设在上连续，证明：(1)(2)解(1)设则且当时,时,于是(2)设则且当时,时,于是移项得：5.4.2定积分的分部积分法利用不定积分的分部积分公式及牛顿莱布尼兹公式,即可得出定积分的分部积分公式.设函数在区间上具有连续导数，按不定积分的分部积分法有:从而得这就是定积分的分部积分公式．例5.4.6

计算下列积分.解(1)(2)(3)分析

对数函数与幂函数或常函数的乘积，将函数进行适当变形，对数函数作为再分部积分.(1)(2)(3)例5.4.7

设在连续,且求分析

观察题目,本题是抽象函数的积分,需要用到分部积分法.解因为代入计算可得：原式小

结

这一节是本章中的重点和难点，也是定积分学的主要内容.熟练应用换元法和分部积分法求解定积分是学好后续章节的基础.但是，

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