高等数学（第二版）上册课件：定积分的几何应用

例如椭圆，阿基米德螺线

等.

定积分的几何应用5.6.2平面图形的面积5.6.1定积分的微元法5.6.3旋转体的体积预备知识：定积分定义的四个步骤，即分割、近似、求和、取极限；直角坐标与极坐标下常见曲线的图形，5.6.4

平面截面面积已知的立体体积

本节课我们来研究定积分在几何上的应用.首先来介绍一种分析方法.5.6.1

定积分的微元法定积分定义中，求在上的积分，采用的分割、近似、求和、取极限的方法，由此启发，我们可以将一些实际问题中有关量的计算问题归结为定积分的计算．如果某一实际问题中所求的量符合下列条件:(1)所求量（例如面积）与自变量的变化区间有关；(3)所求量可表示为定积分：(2)所求量对于区间具有可加性，总量可以分为若干分量之和，必备条件：一般地，如果所求量与变量的变化区间有

关，且对区间

具有可加性，在上任取一个小区间，然后求出在这个小区间的部分量的近似值，称为可得到所求量的积分表达式：的微元(或称元素)，以它作为被积表达式，即这种方法称为微元法（或元素法）．下面，我们利用微元法来解决一些几何中的实际问题．..

设平面图形由连续曲线

和直线

围成，其中，我们来求它的面积5.6.2平面图形的面积1.直角坐标情形取为积分变量，它的变化区间为，我们在上任取一小区间与这个小区间对应窄边形的面积近似地等于高为，底为的窄矩形的面积，从而得到面积微元：类似地，若平面图形如右图：面积为则可取

作积分变量，则其则所求面积为解两曲线的交点面积元素选为积分变量例5.6.1

计算由所围成的图形面积.解两曲线的交点选为积分变量例5.6.2

求抛物线与直线所围的平面图形的面积..

例5.6.3

求椭圆

所围图形的面积.解因为椭圆关于两坐标轴对称，所以椭圆所围图形的面积是第一象限内那部分面积的4倍，对椭圆在第一象限部分的面积,取

作积分变量,,面积元素

..

所以应用定积分换元法，令则，当

时，；当时，

于是..

练习

求由及直线

所围的平面图形的面积．

解由方程组解得两曲线的交点为如图6-9所示．取作积分变量，当时，面积元素当时，..

面积元素因此有2.极坐标情形

有些平面图形，尤其是旋转曲线所包围的图形，用极坐标来计算比较简单.设曲边扇形是由曲线

及射线所围成的图形.该图形的面积同样也可以用微元法分析，其面积元素为以此作定积分，得所求曲边扇形的面积公式为：例5.6.4

计算阿基米德螺线

上相应于

从

变到

的一段弧与极轴所围成的图形的面积.分析：先求任取一小区间

的窄曲边扇形的面积.解

由上面分析，易得面积元素于是所求面积为

旋转体就是由一个平面图形绕着平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台5.6.3旋转体的体积设旋转体是由连续曲线

，直线，以及

轴所围成的曲边梯形绕

轴旋转一周而成的．取

作积分变量，在

区间上任取一小区间

，相应的窄边梯形绕

轴旋转而成的薄片的体积近似等于以

为底半径，以为高的扁圆柱体的体积．从而得体积元素于是所求旋转体的体积为xyo..

例5.6.5

计算由椭圆所围图形绕轴旋转而成的旋转体(见图6-11)的体积．解

这个旋转体实际上就是半个椭圆

及轴所围曲边梯形绕作积分变量，，体积元素轴旋转而成的立体，取.所以，所求体积特别地，当时就得到半径为的球的体积为

类似地，若旋转体是由曲线

，直线和轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的，则其体积为..

练习

求由曲线和轴所围图形绕一周所得旋转体的体积．轴旋转..

解如图6-12所示，的反函数分为两支，和因此，所求的旋转体的体积为5.6.4平面截面面积已知的立体体积则所求立体的体积为

假设有一立体，在分别过点

且垂直于

轴的两平面之间，它被垂直于

轴的平面所截的截面面积为已知的连续函数

，求该立体的体积．.

取

为积分变量，积分区间为

，在

上取一个区间微元

，相应于该薄片的体积近似于底面积为

，高为

的扁柱体体积，即体积微元为例5.6.6

设有一底圆半径为

的圆柱，被一与圆柱面底圆直径交角为

的平面所截，求截下的楔形体体积．解

底圆方程为

，立体中过点

且垂直于轴的截面是直角三角