高等数学（第二版）上册课件：导数概念

导数与微分

§2.1导数概念§2.2导数的运算法则与导数公式§2.3隐函数与参变量函数求导法则§2.5函数的微分§2.4 高阶导数2.1.2导数的定义2.1.1引入导数概念的实例2.1.3左导数和右导数2.1.4函数的导数2.1.5导数的几何意义

导数概念2.1.1引入导数概念的实例

1.已知曲线C及上面一点M求切线在C上近处另取一点N，当点N沿曲线趋近于点M时，割线MN所趋近的确定位置即为切线MT．则切线的斜率等于极限割线的斜率为当设2.求变速直线运动物体的瞬时速度

我们乘坐汽车在高速公路上感到很舒适时，汽车一汽车的速度都不相同，如何求某时刻汽般是以100km/h的匀速前进，而当汽车需要经过收费站时,就必须减速了,而在减速的过程中汽车的速度慢慢地从高速到低速，最后速度减为0.这个过程每一时刻的汽车的速度都不相同，如何求某时刻汽车的瞬时速度呢？.

设汽车所经过的路程s是时间t的函数：，时间内所经过的路程为任取接近于的时刻，则汽车在这段而汽车在这段时间内的平均速度为显然，越小，平均速度就与时刻的瞬时速度越接近.因此，当时，平均即速度的极限值称为时刻的瞬时速度，.

以上两个个实例背景虽然不同，但从所得到的两个式子可见，其实质都是一个特定的极限：当自变量的改变量趋于零时，函数改变量与自变量之比的极限.这个特定的极限就称为导数.2.1.2导数的定义定义2.1

设函数在点的某一邻域内有定义，

邻域内），相应地函数取得增量.则称函数在点处可导，

并称这个极限值之比当时的极限存在，

如果与当自变量在处取得增量（点仍在该

即.

上式可改写为或,,或

也可记为例2.1.1求函数在处的导数所以

时，函数相应的增量为由1变到解当例2.1.2

讨论函数在处的导数是否存在.解故函数在处不可导

．

根据定义我们知道函数在处是连续的，

处的导数不存在.可导与连续的关系有如下定理．但在证明，则故在处连续.定理2.1如果函数在点处可导，则在处连续.反之不一定成立，即如果函数在某一点连续，在该点不一定可导（如例2.1.2和例2.1.3）.例2.1.3

在

处的连续性和可导性。故

在

处连续.极限不存在，因此

在

处不可导.又，讨论函数解

因为是有界函数，所以2.1.3左导数和右导数由于函数

在点

的导数是否存在取决于极限是否存在，而极限又分为左极限和右极限，所以导数也有左、右导数.若

存在，定义2.2则称此极限值为函数

在点

的左导数，记作

；左导数和右导数统称为单侧导数．定理2.2函数

在点处可导左导数

和右若

存在，则称此极限值为函数

在点

的右导数，记作

；导数本身为一种极限，因为极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，因此有：导数都存在且相等.解由于故

在

处不可导．

的图象在

点处出现“尖”.可见，如果函数在某点可导，则其图形必定在该点处于“光滑”状态．例2.1.4讨论函数

处的可导性.在2.1.4函数的导数如果函数

在开区间

每点均可导，则称函数

在开区间

内可导．此时，对于

内的每一个点

，都对应着一个导数值

，因此也就构成了一个新的函数，这个函数称为

的导函数，通常称为导数．记为

，

，

，

根据定义1，可得函数导数计算式为或者例2.1.5解求函数

(C为常数)的导数.即下面计算一些常用的初等函数的导数．例2.1.6解求函数

(n为正整数)的导数.即一般地有：例如

例2.1.7设函数解即求类似有例2.1.8求函数的导数.解即特别地，当时，例2.1.9求函数的导数.解即特别地,有2.1.5导数的几何意义曲线在点处切线的斜率为导数即为导数的几何意义.当在点的切线方程为若,则曲线在点有垂直于x轴的切线过切点且与切线垂直的直线称为曲线在的法线,故相对应的法线方程为：例2.1.10求函数在点处的切线和法线方程.解在点处的切线斜率为法线的斜率为即故切线方程为法线方程为即例2.1.11求函数在点处的切线与y轴的交点.解曲线在点处的切线斜率为故切线方程为上式中，令得所以，曲线处的切线与y轴的交点为在点例2.1.12求与直线垂直的曲线的切线方程.解设切点为曲线在点处的切线斜率为直线的斜率为则：而得则切点为或切线方程为1.导数的实质:增量比的极限.3.函数可导一定连续，但连续不一定可导.小

结