高等数学（第二版）上册课件：不定积分的概念与性质

不定积分

§4.1不定积分的概念与性质§4.2换元积分法§4.3分部积分法§4.4某些特殊类型的不定积分

不定积分的概念与性质4.1.2不定积分的性质4.1.1原函数与不定积分的概念4.1.1原函数与不定积分的概念1．原函数

.定义4.1

设是定义在区间上的函数，如果存在函数，使对任意的都有或则称为在区间上的一个原函数..

定理4.1

（原函数存在定理）如果函数在区间都有.上连续，在上存在可导函数使得对任意的

面给出一个充分条件．举最简单的例子来说,

,故

是自身的一个原函数.但如果给其加上任意常数，由于,那么

仍然是

的原函数．由此可知，当一个函数具有原函数时，它的原函数有无穷多个．那么，什么样的函数具有原函数呢？下数，就能得到其所有原函数.间内一定有原函数.

由上述定理可知，连续函数一定有原函数.因为初等函数在定义域区间内连续，所以初等函数在定义域区

我们已经知道：函数如果存在原函数，那么原函数有无穷多个，那么的其它原函数与有什么关系?事实上，很多时候我们只需要求出一个原函

设

是

的任意一个原函数，即

，则有：

由拉格朗日中值定理的推论1知，导数恒等于零的函数是常数，故

这表明与只相差一个常数.因此,只要找

到的一个原函数，(为任意常数)就可以表示的任意一个原函数．2．不定积分

定义4.2

那么在区间

上有

(为任意常数)

在区间

上,函数

的带有任意常数项的原函数

.其中，记号称为积分号，

称为被积函数，称为

（或

）在区间上的不定积分，记作

根据定义,如果

是

在区间上的一个原函数称为被积表达式，

称为积分变量．

分析

原式经过变形可化为求幂函数的原函数.解

由于因此有

分析

根据斜率求原曲线，即是求函数原函数的过程.解

设所求的曲线方程为

，按题设，曲线上任一点处

例4.1.1

求的切线斜率为，即是的一个原函数．

例4.1.2

设曲线通过点，且斜率为，求该曲线方程.

由于因此有某个常数

使

，即曲线方程为.因所求曲线通过点

，故于是所求曲线方程为

函数

的原函数的图形称为的积分曲线.本例即是求函数

的通过点

的那条积分曲线．显然，这条积分曲线可以由另一条积分曲线(例如

）向轴方向平移而得(如图)．

.4.1.2不定积分的性质

根据不定积分的定义，即可得下述性质：性质1或性质2或记作微分运算(以记号

表示)与求不定积分的运算(简称积分运算，以记号

表示)是互逆的．当记号

与

连在一起时，或者抵消，或者抵消后相差一个常数．

性质3（线性性质）其中

为任意常数证明

要证上式的右端是

的不定积分,将右端对

求导,得性质3可以推广到有限个函数的情形．

不定积分的性质以及基本积分公式是求不定积分的基础，记忆常见函数的积分公式，便能熟练计算可化为几个基本初等函数线性组合的积分．在应用这些公式时,有时需要对被积函数作适当变形,化成能直接套用基本积分公式的情况，一般称这种不定积分计算方法为直接积分法.现将常见的一些基本积分公式列表如下：(1)

(k为常数)(2)

(

为常数且

)，(3)

,(4),(5),(6),(7),(8),(9)，(10)，(11)，(12)，(13)，

例4.1.3求

分析

首先把被积函数化为和式，然后再逐项积分.

解

例4.1.4

求下列函数的不定积分.(1)

(2)

分析

(1)式可以拆为几个函数的积分和；

(2)式经过变形可拆为两个已知函数的积分.

解

(1)

(2)

例4.1.5

求下列函数的不定积分.解