吉林省东辽市2025届高考压轴卷数学试卷含解析

吉林省东辽市2025届高考压轴卷数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知抛物线：（）的焦点为，为该抛物线上一点，以为圆心的圆与的准线相切于点，，则抛物线方程为（）A． B． C． D．2．设集合，，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．3．如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）A． B． C． D．4．函数在上为增函数，则的值可以是()A．0 B． C． D．5．在三棱锥中，，，，，点到底面的距离为2，则三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．6．复数，若复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则等于（）A． B． C． D．7．如果，那么下列不等式成立的是（）A． B．C． D．8．一只蚂蚁在边长为的正三角形区域内随机爬行，则在离三个顶点距离都大于的区域内的概率为()A． B． C． D．9．已知表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，且则“”是“”的()条件.A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要10．若是定义域为的奇函数，且，则A．的值域为 B．为周期函数，且6为其一个周期C．的图像关于对称 D．函数的零点有无穷多个11．已知，，则（）A． B． C．3 D．412．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知边长为的菱形中，，现沿对角线折起，使得二面角为，此时点，，，在同一个球面上，则该球的表面积为________.14．有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用表示两名老师之间的学生人数，则对应的排法有______种；______；15．如图，在菱形ABCD中，AB=3，，E，F分别为BC，CD上的点，，若线段EF上存在一点M，使得，则____________，____________．（本题第1空2分，第2空3分）16．根据如图所示的伪代码，若输出的的值为，则输入的的值为_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，底面是等腰梯形，，点为的中点，以为边作正方形，且平面平面.（1）证明：平面平面.（2）求二面角的正弦值．18．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值与最小值.19．（12分）在中，，.已知分别是的中点.将沿折起，使到的位置且二面角的大小是60°，连接，如图：（1）证明：平面平面（2）求平面与平面所成二面角的大小.20．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点为棱的中点．（Ⅰ）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由；（Ⅱ）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角．21．（12分）设函数.（1）求的值；（2）若，求函数的单调递减区间.22．（10分）某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额y（单位：亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型:①y=α+βx2，②y=eλx+t，其中现该公司收集了近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的数据，i=1,2,⋯,12，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值．令xyi=1i=1uv20667702004604.20i=1i=1i=1i=13125000215000.30814（1）设ui和yi的相关系数为r1，xi和（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）；（ii）若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元？附：①相关系数r=i=1n(xi-x②参考数据：308=4×77，90≈9.4868，e

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据抛物线方程求得点的坐标，根据轴、列方程，解方程求得的值.【详解】不妨设在第一象限，由于在抛物线上，所以，由于以为圆心的圆与的准线相切于点，根据抛物线的定义可知，、轴，且.由于，所以直线的倾斜角为，所以，解得，或（由于，故舍去）.所以抛物线的方程为.故选：C【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线的斜率，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.2、C【解析】

由得出，利用集合的包含关系可得出实数的取值范围.【详解】，且，，.因此，实数的取值范围是.故选：C.【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题.3、B【解析】

根据三视图可以得到原几何体为三棱锥，且是有三条棱互相垂直的三棱锥，根据几何体的各面面积可得最大面的面积．【详解】解：分析题意可知，如下图所示，该几何体为一个正方体中的三棱锥，最大面的表面边长为的等边三角形，故其面积为，故选B．【点睛】本题考查了几何体的三视图问题，解题的关键是要能由三视图解析出原几何体，从而解决问题．4、D【解析】

依次将选项中的代入，结合正弦、余弦函数的图象即可得到答案.【详解】当时，在上不单调，故A不正确；当时，在上单调递减，故B不正确；当时，在上不单调，故C不正确；当时，在上单调递增，故D正确.故选：D【点睛】本题考查正弦、余弦函数的单调性，涉及到诱导公式的应用，是一道容易题.5、C【解析】

首先根据垂直关系可确定，由此可知为三棱锥外接球的球心，在中，可以算出的一个表达式，在中，可以计算出的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积．【详解】取中点，由，可知：，为三棱锥外接球球心，过作平面，交平面于，连接交于，连接，，，，，，为的中点由球的性质可知：平面，，且．设，，，，在中，，即，解得：，三棱锥的外接球的半径为：，三棱锥外接球的表面积为．故选：.【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.6、A【解析】

先通过复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，得到，再利用复数的除法求解.【详解】因为复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，且复数，所以所以故选：A【点睛】本题主要考查复数的基本运算和几何意义，属于基础题.7、D【解析】

利用函数的单调性、不等式的基本性质即可得出.【详解】∵，∴，，，.故选：D.【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查不等式的性质，属于基础题.8、A【解析】

求出满足条件的正的面积，再求出满足条件的正内的点到顶点、、的距离均不小于的图形的面积，然后代入几何概型的概率公式即可得到答案．【详解】满足条件的正如下图所示：其中正的面积为，满足到正的顶点、、的距离均不小于的图形平面区域如图中阴影部分所示，阴影部分区域的面积为.则使取到的点到三个顶点、、的距离都大于的概率是.故选：A.【点睛】本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题．9、B【解析】

根据充分必要条件的概念进行判断.【详解】对于充分性：若，则可以平行，相交，异面，故充分性不成立；若，则可得，必要性成立.故选：B【点睛】本题主要考查空间中线线，线面，面面的位置关系，以及充要条件的判断，考查学生综合运用知识的能力.解决充要条件判断问题，关键是要弄清楚谁是条件，谁是结论.10、D【解析】

运用函数的奇偶性定义，周期性定义，根据表达式判断即可.【详解】是定义域为的奇函数，则，，又，，即是以4为周期的函数，，所以函数的零点有无穷多个；因为，，令，则，即，所以的图象关于对称，由题意无法求出的值域，所以本题答案为D.【点睛】本题综合考查了函数的性质，主要是抽象函数的性质，运用数学式子判断得出结论是关键.11、A【解析】

根据复数相等的特征，求出和，再利用复数的模公式，即可得出结果.【详解】因为，所以，解得则.故选：A.【点睛】本题考查相等复数的特征和复数的模，属于基础题.12、A【解析】

列出所有可以表示成和为6的正整数式子，找到加数全部为质数的只有，利用古典概型求解即可.【详解】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),而加数全为质数的有(3,3),根据古典概型知，所求概率为.故选：A.【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件，属于容易题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

分别取，的中点，，连接，由图形的对称性可知球心必在的延长线上，设球心为，半径为，，由勾股定理可得、，再根据球的面积公式计算可得；【详解】如图，分别取，的中点，，连接，则易得，，，，由图形的对称性可知球心必在的延长线上，设球心为，半径为，，可得，解得，.故该球的表面积为.故答案为：【点睛】本题考查多面体的外接球的计算，属于中档题.14、36；1.【解析】

的可能取值为0，1，2，3，对应的排法有：.分别求出，，，，由此能求出.【详解】解：有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用表示两名老师之间的学生人数，则的可能取值为0，1，2，3，对应的排法有：.∴对应的排法有36种；，，，，∴故答案为：36；1.【点睛】本题考查了排列、组合的应用，离散型随机变量的分布列以及数学期望，属于中档题.15、【解析】

根据题意，设，则，所以，解得，所以，从而有.16、【解析】

算法的功能是求的值，根据输出的值，分别求出当时和当时的值即可得解．【详解】解：由程序语句知：算法的功能是求的值，当时，，可得：，或（舍去）；当时，，可得：（舍去）．综上的值为：．故答案为：．【点睛】本题考查了选择结构的程序语句，根据语句判断算法的功能是解题的关键，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）【解析】

（1）先证明四边形是菱形,进而可知,然后可得到平面,即可证明平面平面;（2）记AC,BE的交点为O,再取FG的中点P.以O为坐标原点,以射线OB,OC,OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系,分别求出平面ABF和DBF的法向量,然后由,可求出二面角的余弦值,进而可求出二面角的正弦值.【详解】（1）证明：因为点为的中点,,所以,因为,所以,所以四边形是平行四边形,因为,所以平行四边形是菱形,所以,因为平面平面,且平面平面,所以平面.因为平面,所以平面平面.（2）记AC,BE的交点为O,再取FG的中点P.由题意可知AC,BE,OP两两垂直,故以O为坐标原点,以射线OB,OC,OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系.因为底面ABCD是等腰梯形,,所以四边形ABCE是菱形，且,所以,则,设平面ABF的法向量为,则,不妨取,则,设平面DBF的法向量为,则,不妨取,则,故.记二面角的大小为,故.【点睛】本题考查了面面垂直的证明,考查了二面角的求法,利用空间向量求平面的法向量是解决空间角问题的常见方法,属于中档题.18、（1），（2）最大值，最小值【解析】

（1）由曲线的参数方程，得两式平方相加求解，根据直线的极坐标方程，展开有，再根据求解.（2）因为曲线C是一个半圆，利用数形结合，圆心到直线的距离减半径即为最小值，最大值点由图可知.【详解】（1）因为曲线的参数方程为所以两式平方相加得：因为直线的极坐标方程为.所以所以即（2）如图所示：圆心C到直线的距离为：所以圆上的点到直线的最小值为：则点M(2，0)到直线的距离为最大值：【点睛】本题主要考查参数方程，普通方程及极坐标方程的转化和直线与圆的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.19、（1）证明见解析（2）45°【解析】

（1）设的中点为，连接，设的中点为，连接，，从而即为二面角的平面角，，推导出，从而平面，则，即，进而平面，推导四边形为平行四边形，从而，平面，由此即可得证.（2）以B为原点，在平面中过B作BE的垂线为x轴，BE为y轴，BA为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面与平面所成二面角的大小.【详解】（1）∵是的中点，∴.设的中点为，连接.设的中点为，连接，.易证：，，∴即为二面角的平面角.∴，而为的中点.易知，∴为等边三角形，∴.①∵，，，∴平面.而，∴平面，∴，即.②由①②，，∴平面.∵分别为的中点.∴四边形为平行四边形.∴，平面，又平面.∴平面平面.（2）如图，建立空间直角坐标系，设.则，，，，显然平面的法向量，设平面的法向量为，，，∴，∴.，由图形观察可知，平面与平面所成的二面角的平面角为锐角.∴平面与平面所成的二面角大小为45°.【点睛】本题主要考查立体几何中面面垂直的证明以及求解二面角大小，难度一般，通常可采用几何方法和向量方法两种进行求解.20、（1）见解析（2）【解析】

（Ⅰ）取的中点，连结、，得到故且，进而得到，利用线面平行的判定定理，即可证得平面.（Ⅱ）以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设，求得平面的法向量为，和平面的法向量，利用向量的夹角公式，求得，进而得到为直线与平面所成的角，即可求解.【详解】（Ⅰ）在棱上存在点，使得平面，点为棱的中点．理由如下：取的中点，连结、，由题意，且，且，故且.所以，四边形为平行四边形.所以，，又平面，平面，所以，平面.（Ⅱ）由题意知为正三角形，所以，亦即，又，所以，且平面平面，平面平面，所以平面，故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设，则由题意知，，，，，，设平面的法向量为，则由得，令，则，，所以取，显然可取平面的法向量，由题意：，所以.由于平面，所以在平面内的射影为，所以为直线与平面所成的角，易知在中，，从而，所以直线与平面所成的角为.【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和直线与平面所成角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成，着重考查了分析问题和解答问题的能