2022-2023学年上海浦东新区高二（上）期末数学试题及答案

2022学年度高二数学第一学期练习卷2023年1月注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上规定的地方作答，写在其它地方一律不予批阅.2.本试卷共有21道试题，满分100分，练习时间90分钟.12363则一律得零分.1.过平面外一点与该平面平行的平面有_____个．2.小王做投针实验，观察针压住平行线的次数，所得的数据是______观测数据或“实验数据”填空）3.某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在个病人中进行实验，结果如下表所示.胆固醇降低的人数没有起作用的人数胆固醇升高的人数30712073则使用药物后胆固醇降低的经验概率等于______.4.已知球的表面积为,则该球的体积为______.5.“二十四节气歌”是以“春、夏、秋、冬开始的四句诗.某校高二共有学生名，随机抽查名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有人，能说出两句及以上的有人，据此估计该校高二年级的400名学生中，对二十四节气歌”一句也说不出的有__________人.6.某校高二（）班为了调查学生线上授课期间的体育锻炼时间的差异情况，抽取了班级5名同学每周的体育锻炼时间，分别为，6.5，77，8.5方差为___________．7.已知一个正方形的边长为2，则它的直观图的面积为___________．π68.已知大小为的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为，则这个点到另一个面的距离为_________．9.“阿基米德多面体也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称1美.二十四等边体就是一种半多正多面体．如图，棱长为的正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体，则该几何体的体积为________．35PAUB=()()PB=PA=2PB()()AB互斥，10.已知事件、，且，则_______.小明和小王在课余玩象棋比赛，可以采用“五局三胜制”或三局两胜制相对而言，小明棋艺稍弱0.4一局赢的概率都仅为.小明为了让自己在比赛中赢的几率更大些，应该提议采用_________________.(填选“三局两胜制”或五局三胜制”)D,E，分别为、AB的中点按图中的虚线翻折，使得12.如图，有一边长为的正方形,B,O三点重合，制成一个三棱锥，并得到以下四个结论：4①三棱锥的表面积为；13②三棱锥的体积为；③三棱锥的外接球表面积为π；1④三棱锥的内切球半径为.则以上结论中，正确结论是______________.（请填写序号）二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分.13.小明同学每天阅读数学文化相关的书籍，他每天阅读的页数分别为：45、4.5、5、6、8、7、4.5、6（单位：页）下列图形中不利于描述这些数据的是（）A.条形图B.茎叶图C.散点图D.扇形图14.下列说法正确的是（）A.过球面上任意两点与球心，有且只有一个大圆B.底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等的棱锥是正棱锥C.用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台D.以直角三角形任意一边为旋转轴，其余两边旋转一周所得的旋转体都是圆锥15.某校组织了一次航空知识竞赛，甲、乙两个班级各派8名同学代表参赛．两个班级的数学课代表合作，将甲、乙两班所有参赛同学的得分绘制成如图所示的茎叶图，则下列结论错误的是（）A.甲班参赛同学得分的极差比乙班参赛同学得分的极差小B.甲班参赛同学得分的中位数比乙班参赛同学得分的中位数低C.甲班参赛同学得分平均数为D.乙班参赛同学得分的第百分位数为16.先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论：①可以从不同的观察角度写出不同的样本空间②事件“2次正面朝上”与事件”2次反面朝上”互斥事件③事件“1次正面朝上”与事件次反面朝上是对立事件1④事件“1次正面朝上3次反面朝上发生的概率是4以上结论中，正确的个数为（）个A1个B.2个C.3个D.4个三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．ABCD−ABCD的中点.117.如图，在正方体中，E为1111CC所成的角；1（1）求异面直线与1（2）判断与平面AEC的位置关系，并说明理由.118.不透明的盒子中有标号为、、34的4个大小与质地相同的球.（1）甲随机摸出一个球，放回后乙再随机摸出一个球，求两球编号均为奇数的概率；m（2）甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为，放回后乙nm+n5，算甲赢；否则算乙赢.这种游戏规则公平再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为.如果吗？请说明理由.π中，OAB=，斜边=8，D是中点，现将直角19.如图，在直角AB以直角边6π为轴旋转一周得到一个圆锥.点C为圆锥底面圆周上一点，且=.2（1）求圆锥的体积与侧面积；（2）求直线CD与平面BOC所成的角的正切值.20.法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们——书籍的作者一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流”.阅读会让精神世界闪光．某大学为了解大一新生的阅读情况，通过随机抽样调查了位大一新生，对这些学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示：（1a值；（2）根据频率分布直方图，估计该校大一新生每天阅读时间平均数（精确到0.1（3）为了进一步了解大一新生的阅读方式，该大学采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的学生中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中恰好有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率．21.如图，已知四面体中，AB⊥平面，⊥.（1）求证：AC⊥CD；（2鱉臑，若此“鱉臑”===1，有一根彩带经过面与面，且彩带的两个端点分别固定在点B和点D处，求彩带的最小长度；P（3）若在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为；任取两个面，记它们互相垂直的概率为1P2PP1P2P、的大小.3；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为.试比较概率、3【附加题】单选题22.过坐标原点O作直线l:(a−2)x+(a+y+6=0H(,n)+的垂线，垂足为，则m2n2的取值范围是（）0,220,8(D.0,220,8A.B.C.23.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，AB为平面上两点，且OA=0M为线段中点，其坐标为(a,b)，若52a+b−4，则=）的最小值为（52553A.B.C.D.5532022学年度高二数学第一学期练习卷2023年1月注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上规定的地方作答，写在其它地方一律不予批阅.2.本试卷共有21道试题，满分100分，练习时间90分钟.12363则一律得零分.1.过平面外一点与该平面平行平面有_____【答案】1【解析】【分析】假设过平面外一点与该平面平行的平面不止一个，由面面平行的性质推出矛盾，得出结果为1.【详解】由面面平行的传递性知，若平面α∥平面，平面α∥平面γ，则平面β∥平面γ，假设过平面外一点与该平面平行的平面不止一个，则这些平面均相交，与上述结论相矛盾，所以假设不成立，所以过平面外一点与该平面平行的平面有1个．故答案为：1．2.小王做投针实验，观察针压住平行线的次数，所得的数据是______观测数据或“实验数据”填空）【答案】实验数据【解析】【分析】根据具体的实验，得到具体的实验数据.【详解】由题意，小王做具体投针实验，观察针压住平行线的次数，所得的数据是实验数据.故答案为：实验数据.3.某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在个病人中进行实验，结果如下表所示.胆固醇降低的人数没有起作用的人数胆固醇升高的人数30712073则使用药物后胆固醇降低的经验概率等于______.【答案】##0.614【解析】【分析】根据经验概率的定义可求出结果.【详解】依题意使用药物后胆固醇降低的人数为，又试验总次数为500，所以使用药物后胆固醇降低的经验概率等于.故答案为：4.已知球的表面积为______.,则该球的体积为【答案】【解析】【分析】设球半径为R，由球的表面积求出【详解】设球半径为R，R=3，然后可得球的体积．∵球的表面积为，4R=，2∴∴R=3，44V=R3=π3=．3∴该球的体积为故答案为33．【点睛】解答本题的关键是熟记球的表面积和体积公式，解题时由条件求得球的半径后可得所求结果．5.“二十四节气歌”是以“春、夏、秋、冬开始的四句诗.某校高二共有学生名，随机抽查名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有人，能说出两句及以上的有人，据此估计该校高二年级的400名学生中，对二十四节气歌”一句也说不出的有__________人.【答案】68【解析】4:1100名学生中对二十四节气歌一句也说不出“”的人数，按比例计算即可得出结果.【详解】由题意可知，随机抽查名学生中有−−=人一句也说不出，又抽查比例为4:1，400100所以，该校高二年级的名学生中共有17=68人对二十四节气歌一句也说不出.“”故答案为：686.某校高二（）班为了调查学生线上授课期间的体育锻炼时间的差异情况，抽取了班级5名同学每周的体育锻炼时间，分别为，6.5，77，8.5方差为___________．7【答案】0.7##【解析】【分析】利用方差的公式求解.【详解】解：数据6，6.5，7，，8.5，1(++++)=66.5778.57，所以平均数：51(6−7)2+(6.5−7)2+(7−7)2+7−7)2+8.5−7)2=0.7S2=则方差为，5故答案为：0.77.已知一个正方形的边长为2，则它的直观图的面积为___________．【答案】2【解析】2【分析】根据直观图面积是原图形面积的倍即可得出结果.4S=22=4，【详解】由题意可知，原图形面积为22=2.又直观图面积是原图形面积的倍，所以直观图的面积为444故答案为：2π8.已知大小为二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为6_________．【答案】3【解析】【分析】作出图形，根据题意结合直角三角形运算求解.π【详解】如图，设二面角−l−为，点⊥l,=6，且，A6过点A作⊥平面，垂足为C，连接，⊥平面，l,BC，∵⊥l,⊥∴，又∵AB⊥l,ABIAC=A，AB,ABC，∴l⊥平面，ABCABCl⊥，π故二面角−l−的平面角为，，ABC=6==3在Rt故点A到平面的距离为3.故答案为：3.9.“阿基米德多面体也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半多正多面体．如图，棱长为1的正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体，则该几何体的体积为________．5【答案】【解析】6【分析】利用割补法可得二十四等边体的体积，计算即可得解.【详解】棱长为1的正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体，11−8()32156则该几何体的体积为V=−V33=.256故答案为:35()=()PA2PB，则()PB=_______.()=10.已知事件A、B互斥，PAUB，且4【答案】##0.85【解析】【分析】由已知事件A、B互斥，且()进而根据对立事件概率公式得到答案.PA=2PB()，可求()PB，【详解】解：事件A、B互斥，且P(A)=2P(B)，35()=()+()=()=PAUBPAPB3PB15解得P(B)=,145()()PB=1−PB=1−=.545故答案为：.小明和小王在课余玩象棋比赛，可以采用“五局三胜制”或三局两胜制相对而言，小明棋艺稍弱0.4一局赢的概率都仅为.小明为了让自己在比赛中赢的几率更大些，应该提议采用_________________.(填选“三局两胜制”或五局三胜制”)【答案】三局两胜制【解析】【分析】分别计算出“三局两胜制”和“五局三胜制”下小明赢的概率，比较概率大小，确定选法.0.4【详解】因为小明每一局赢的概率都为，所以采用“三局两胜制”时小明获胜的概率为2+C0.40.60.4=0.352，采用“五局三胜制”时小明获胜的概率为CC22(0.4)123+C3(0.4)20.60.4+C4(0.4)2(0.6)0.4=0.31744，233(0.4)22所以小明选择三局两胜制”时在比赛中赢的几率更大些，故答案为：三局两胜制.12.如图，有一边长为的正方形，D,E、AB的中点按图中的虚线翻折，使得分别为,B,O三点重合，制成一个三棱锥，并得到以下四个结论：①三棱锥的表面积为4；13②三棱锥的体积为；③三棱锥的外接球表面积为π；④三棱锥的内切球半径为1.则以上结论中，正确结论是______________.（请填写序号）【答案】①②③【解析】锥的底面积和高可求得其体积，能判断②；利用三条棱两两垂直可构造长方体求外接球的半径，即可判断③；利用等体积法可求得三棱锥的内切球半径判断④，得出结论.4【详解】根据题意可知，三棱锥的表面积与正方形的面积相等为，即①正确；P−如下图所示：,B,O设三点重合于点P，则制成三棱锥易知====2，根据几何关系可知CP⊥PD,CP⊥PE,=P，所以⊥平面111CP=112=3213V=S所以三棱锥的体积，即②正确；3由CP⊥PD,CP⊥PE,PD⊥PE可知，三棱锥的外接球与以CP,PD,为棱构造的长方体的外接球相同，设三棱锥的外接球半径为R，则满足CP2+PD2+PE2=4+1+1=6=4R2所以，其表面积为4R2=6π，故③正确；rS=4设三棱锥的内切球半径为，由①知三棱锥的表面积为111111V=rS+rS+rS+rS=rSr=，得利用等体积法可知，3333341所以三棱锥的内切球半径为，即④错误；4故答案为：①②③二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分.13.小明同学每天阅读数学文化相关的书籍，他每天阅读的页数分别为：45、4.5、5、6、8、7、4.5、6（单位：页）下列图形中不利于描述这些数据的是（）A.条形图【答案】C【解析】B.茎叶图C.散点图D.扇形图【分析】根据相关图的特征理解判断.【详解】条形图：是用宽度相同的条形的高度（或长度）表示数据的频数，故符合题意；茎叶图：即可以保留原始数据又可以方便记录数据，故符合题意；散点图：用两组数据构成多个坐标点，通常用于比较跨类别的成对数据，不符合题意；扇形图：是用整个圆表示总体，用圆内各个扇形的大小表示各个部分占总体的百分数，扇形图可以容易看出各个部分所占总体的比例，故符合题意；故选：C.14.下列说法正确的是（）A.过球面上任意两点与球心，有且只有一个大圆B.底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等的棱锥是正棱锥C.用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台D.以直角三角形任意一边为旋转轴，其余两边旋转一周所得的旋转体都是圆锥【答案】B【解析】【分析】根据空间几何体的概念和性质可判断.【详解】球面上两点与球心共线时，有无数个大圆，故A错误.底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等,则顶点在底面的射影是底面的中心，所以是正棱锥，B正确.用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故C错误.以直角三角形任意一直角边为旋转轴，旋转一周所得的旋转体都是圆锥，故D错误.故选：B15.某校组织了一次航空知识竞赛，甲、乙两个班级各派8名同学代表参赛．两个班级的数学课代表合作，将甲、乙两班所有参赛同学的得分绘制成如图所示的茎叶图，则下列结论错误的是（）A.甲班参赛同学得分的极差比乙班参赛同学得分的极差小B.甲班参赛同学得分的中位数比乙班参赛同学得分的中位数低C.甲班参赛同学得分的平均数为84D.乙班参赛同学得分的第百分位数为【答案】D【解析】【分析】A.利用极差的定义求解判断；B.利用中位数的定义求解判断；C.利用平均数的定义求解判断；D.利用百分位数的定义求解判断.【详解】对A，甲班参赛同学得分的极差为−=，乙班参赛同学得分的极差为−=，故正确；82+8482+85对，甲班参赛同学得分的中位数是确；=83，乙班参赛同学得分的中位数是=83.5，故正2276+79+80+82+84+88+90+93=84对，甲班参赛同学得分的平均数为，故正确；838=6对D，乙班参赛同学得分为，，，，89，，94，，取第个与第个数的平均数67489+90=89.5为第百分位数，即为故选：D，故错误.216.先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论：①可以从不同的观察角度写出不同的样本空间②事件“2次正面朝上”与事件”2次反面朝上”是互斥事件③事件“1次正面朝上”与事件次反面朝上是对立事件1④事件“1次正面朝上3次反面朝上发生的概率是4以上结论中，正确的个数为（）个A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】【分析】①本实验是一个古典概型，考虑正反面出现的次数及顺序有关或无关判断；②分别列举事件至少2次正面朝上”和事件至少2次反面朝上判断；③列举事件“1次正面朝上判断；④利用古典概型的概率求解判断.【详解】①本实验是一个古典概型，可只考虑正反面出现的次数或既考虑次数也考虑顺序，所以可以从不同的观察角度写出不同的样本空间，故正确；②事件“2次正面朝上”为2正23正14正，事件至少2次反面朝上”为2反2正，3反1正，4反，不互斥，故错误；③事件“1次正面朝上”为1正32正23正1反，4正，与事件“4次反面朝上”互为对立事件，故正确；④样本空间为1正3反，2正2反，3正1反，4正”4种，事件次正面朝上3次反面朝上有11种，所以事件次正面朝上3次反面朝上发生的概率是，故正确；4故选：C.三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．ABCD−ABCD的中点.117.如图，在正方体中，E为1111CC所成的角；1（1）求异面直线与1（2）判断与平面AEC的位置关系，并说明理由.1【答案】（）21//（2）平面AEC，理由见解析【解析】）通过平移找到异面直线所成的角，在三角形中求解即可.（2）通过线面平行判定定理判断.【小问1详解】BB1//1，所以1CC与所成的角.11因为就是异面直线11=aBD=2a1=tanBBD=2，所以.11设，则，1163CC所以异面直线与所成的角为2（结果也可写成arcsin1或）.133【小问2详解】1//平面AEC连接BD，交于O，连接,中，O,E分别为BD、中点，为的中位线，所以OE//BD.1在1BD1因为平面AEC上，而平面AEC上，BD1由直线与平面平行的判定定理得，平面AEC.18.不透明的盒子中有标号为、、34的4个大小与质地相同的球.（1）甲随机摸出一个球，放回后乙再随机摸出一个球，求两球编号均为奇数的概率；（2）甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为，放回后乙mnm+n5，算甲赢；否则算乙赢.这种游戏规则公平再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为.如果吗？请说明理由.1【答案】（）4（2）不公平，理由见解析【解析】【分析】(1)列出样本空间，根据古典概型概率公式求事件两球编号均为奇数的概率；(2)由(1)分别求出事件甲赢和乙赢的概率，比较概率大小判断游戏是否公平.【小问1详解】设事件两球编号均为奇数为事件A，由已知随机试验的样本空间为()()()()()()()(),1,2,,1,4,,2,2,2,3,2,4,()()()()()()()()A()(),1,3,共个基本事件，事件包含基本事件,3,2,3,3,3,4,,4,2,3,4,4,414()(),3,3()=PA=，所以，1614所以事件两球编号均为奇数的概率为；【小问2详解】由(1)事件m+n5包含基本事件(4),(3),4),(2),(3),(4)，所以63(+)=Pmn5=，168583所以事件甲赢的概率为，故事件乙赢的概率为，8因为事件甲赢的概率与事件乙赢的概率不相等，所以这种游戏规则不公平.π中，OAB=，斜边8，D是=中点，现将直角19.如图，在直角AB以直角边6π为轴旋转一周得到一个圆锥.点C为圆锥底面圆周上一点，且=.2（1）求圆锥的体积与侧面积；（2）求直线CD与平面BOC所成的角的正切值.【答案】（）π，π315（2）5【解析】开图和扇形面积公式可得侧面积；（2）根据线面角的定义作出直线CD【小问1详解】与平面BOC所成的角，在直角三角形中即可求得其正切值.由题意可得43，==所以底面圆面积Sπ=16π，圆锥的高h=OA=43，=211643V=Sh=16π43=3π.所以圆锥的体积为33圆锥侧面展开图的半径为R==8，弧长为底面圆周长l=2π=π1S=Rl=32π.圆锥的侧面积为侧2【小问2详解】取中点H，连接,，如下图所示：在中，中位线//，易知⊥平面BOC可得DH平面BOC，⊥所以即为直线CD与平面BOC所成的角，1πDH=AO=23，又=易知，所以CH=42+22=25，22DH233515所以tanDCH====.HC255155所以直线CD与平面BOC所成的角的正切值为.20.法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们——书籍的作者一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流”.阅读会让精神世界闪光．某大学为了解大一新生的阅读情况，通过随机抽样调查了位大一新生，对这些学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示：（1的值；a（2）根据频率分布直方图，估计该校大一新生每天阅读时间的平均数（精确到0.1（3）为了进一步了解大一新生的阅读方式，该大学采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的学生中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中恰好有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率．a=【答案】（）（2）平均数为74分钟3（3）5【解析】【分析】（1）结合频率分布直方图的所有矩形面积之和为1列出方程求解即可；（2）将各组的频数计算出来，直接计算平均值即可3；（3）先算出每组要抽取的人数，编号写出样本空间，再计算概率.【小问1详解】因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为，所以+a++a+=1，a=得，【小问2详解】各区间的中点值为、、758595对应的频数分别为、、452055510+6520+7545+8520+955=74.0这名大一新生每天阅读时间的平均数为100所以估计该校大一新生每天阅读时间的平均数为分钟.【小问3详解】由题意，阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)10人、人、的学生数分别为因此[50,60)中抽取1人，记为a,中抽取2人，记为b,c，中抽取2人，记为d,e，[60,70)[80,90)再从中任选2人进行调查，=,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,共10个样本点，样本空间设事件A1人每天阅读时间位于[80,90)”，A=,,,,,共6个样本点，故其中恰好有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率为635P==.1021.如图，已知四面体中，AB平面，⊥.⊥（1）求证：AC⊥CD；（2鱉臑，若此“鱉臑”===1，有一根彩带经过面与面，且彩带的两个端点分别固定在点B和点D处，求彩带的最小长度；P（3）若在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为；任取两个面，记它们互相垂直的概率为1P2PP1P2P、的大小.3；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为.试比较概率、3【答案】（）证明见解析（2）2+2PPP2（3）31【解析】）由线面垂直得到沿⊥⊥得到线面垂直，进而证明出线线垂直；，结合（2）将面与面展开成如图所示的平面图形，连接BD，即为所求，利用余弦定理求出答案即可；P1P2P、的大小，比较出大小关系.3（3）利用组合知识及列举法求出【小问1详解】、因为AB平面BCD，，⊥⊥所以，⊥=BAB,又，，ABC，所以⊥平面平面，因为ABC，所以AC⊥CD；【小问2详解】沿展开成如图所示的平面图形，连接BD，将面与面由（）知：∠ACD=90°，因为AB平面⊥，BCD，所以AB⊥BC，因为===1，所以∠ACB=45°，34BCD=π，故展开后所以彩带的最小长度为此平面图中BD长.3BD=BC2+CD2−2BCCDcosBCD=12+1−2cosπ=2+2，2由余弦定理得：4所以彩带的最小长度为2+2；【小问3详