高等数学（经济类）全书习题解答第4章（中值定理与导数应用）

PAGEPAGE11习题解答习题4.11.验证罗尔定理对函数在区间上的正确性．解：因为在区间上连续在内可导且,所以由罗尔定理知至少存在一点使得．而知，由连续函数的介值定理知，确实存在使得．2.函数在区间上是否满足柯西中值定理的条件？若满足条件，求出定理中的.解容易验证在区间上满足柯西中值定理的条件．又，而，即，化简上式得：，故3.不用求出函数的导数，说明方程有几个根？并指出它们所在的区间.（1）解由于f(x)在(－∞,＋∞)内连续、可导，且f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=0所以f(x)在[0,1]、[1,2]、[2,3]上满足罗尔定理条件因此存在、、，为的根．由于得最高次数为3，因此只有三个根，分别在(0,1),(1,2),(2,3)内．（2）解容易验证在区间上满足罗尔定理的条件，因此存在为的根（无数个）；其中4.设实数满足，证明方程在内至少有一个实根．证明：作辅助函数，则在上连续，在内可导，且，．所以满足罗尔定理的条件．又，由罗尔定理知至少存在一点使得．即方程在内至少有一个实根．5.利用中值定理证明下列不等式：（1）；证明(1)设则f(x)在[ba]上连续在(ba)内可导由拉格朗日中值定理存在(ba)使f(a)f(b)f()(ab)即而所以．（2）；证明（）设f(x)lnx则f(x)在[ab]上连续在(ab)内可导由拉格朗日中值定理存在(ab)使f(b)f(a)f()(ba)，即因为，所以，所以.（3）； 证明（3）设则在上连续在内可导由拉格朗日中值定理存在使即而所以．（4）.证明（4）设则在上连续在内可导由拉格朗日中值定理存在使,即：，因为，所以，从而所以.6.证明：证明设，因为所以其中C是一常数取又因此．7.若函数在区间内具有二阶导数，且，其中，证明：至少存在一点，使得．证明：由题意可知在区间上连续在内可导，且．由罗尔定理，存在使．类似地也存在使．进一步，可知在区间上满足罗尔定理条件，因此存在，使得．8.设函数在闭区间上满足罗尔定理的条件，且不恒等于常数，证明：在内至少存在一点，使得．证明：因为，且不恒等于常数，所以至少存在一点，使得．不妨设，显然在闭区间上满足拉格朗日中值定理，于是至少存在一点，使得．同理可证得情形．9.f(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0.试证：在内至少存在一点，使得．证明：设，显然F(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，且F(a)=F(b)=0，由罗尔定理，至少存在一点，使得，即，从而．10.证明：若函数在内满足关系式，且，那么．证明：作辅助函数，易见在内连续可导，并且,所以其中C是一常数，即，.又由知．所以.习题4.21.利用罗必达法则求下列极限：（1）；解：原式==.（2）；解：原式==.（3）；解：原式====.（4）；解：原式===.（5）；解：原式==-∞.（6）解：原式＝===.（7）解：原式===.（8）解：原式==.（9）；解：原式==2.（10）解：原式====（11）；解：原式=====.（12）；解：原式==，又.所以，原式==.（13）；解：原式==，又，所以，原式=.（14）；解：原式==，又====，所以，原式==（15）；解：原式==，又，所以，原式=（16）；解：原式==.（16）；解：原式==，又，所以，原式=.（18）；解：原式==＝e－1.（19）；解：原式==.2.问与取何值时，有.解：因为极限为0，所以当x→0时，分子极限为0，故3+a=0，a=-3，进一步，得3.验证极限存在，但不能用罗必达法则计算出来．解：原式==，所以，极限存在．但是=不存在，不能用罗必达法则．4.设，其中具有二阶导数，并且，，求．解：.习题4.31.将多项式展开成的多项式．解：因为，，，所以按的幂展开的多项式为2.应用马克劳林公式，按的幂展开函数．解：因为，，，，，所以按的幂展开的多项式为3.求函数的阶带有拉格朗日型余项的马克劳林公式.解：因为，从而，4.求函数的带有拉格朗日型余项的3阶马克劳林公式.解：，，，，从而的3阶马克劳林公式为，5.求函数按的幂展开的带有皮尔诺型余项的阶泰勒公式.解：因为，所以6.求函数的带有皮尔诺型余项的阶马克劳林展开式．解：因为，从而.7.求常数、、的值以及的表达式，使下式成立．解：设，则，所以因此，，，8.应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值，并估计误差：（1）；（3）解：（1）因为（介与之间），所以，而（介与之间），因此.（2）；解：（2）因为，，（介与之间），所以，而.（3）；解：（3）因为，，（介与之间），所以，.9.利用泰勒公式求下列极限:(1)(2)(3)解(1)=0(2)设，则，，故所以=1(3)习题4.41.确定下列函数的单调区间：（1）；解：（1）函数的定义域为，且，令，得驻点，列表得x(-¥,-1)-1(-1,1)1(1,+¥)y¢0+0y↘↗↘可见函数在(-¥,-1]、[1,+¥)内单调减少,在[-1,1]内单调增加．（2）；解：（2）函数的定义域为，且，令，得驻点，列表得：x(-¥,-1)-1(-1,1)1(1,+¥)y¢0+0y↘↗↘可见函数在(-¥,-1]、[1,+¥)内单调减少,在[-1,1]内单调增加．（3）；解：（3）函数的定义域为，，令，得驻点，列表得：x(0,1/2)1/2(1/2,+¥)y¢0+y↘↗所以函数在(0,1/2]内单调减少,在[1/2,+¥)内单调增加．（4）；解：（4）函数的定义域为，且，令，得驻点，列表得：x(0,1)1(1,2)y¢+0y↗↘所以函数在[0,1]内单调增加,在[1,]内单调减少．（5）；解：（5）函数的定义域为，且，令，得驻点，列表得：x(-¥,-1)-1(-1,1/2)1/2(1/2,+¥)y¢00+y↘↘↗可见函数在(-¥,1/2]内单调减少,在[1/2,+¥)内单调增加．（6）（）；解：（6）函数的定义域为，且，令，得驻点，列表得：xy¢0+0-y↘↗↘可见函数在,内单调减少,在内单调增加．（7）；解：（7）函数的定义域为，且．令，得驻点，另外为函数的不可导点．列表得：xy¢+不存在+0不存在+y↗↗↘↗可见函数在,内单调增加,在内单调减少．（8）；解：（8）函数的定义域为，且，令，得驻点，另外为函数的不可导点．列表得：x(-¥,0)0(0,)(,+¥)y¢+不存在-0+y↗↘０↗可见函数在,内单调增加,在内单调减少．2.证明下列不等式：（1）当时，；证明：（1）设,则f(x)在[1,+¥)内连续．因为所以f(x)在(1,+¥)内是单调增加的，从而当x>1时f(x)>f(1)=0,即亦.()（2）当时，；证明：（2）设，则f(x)在[0,/2]内连续，在(0,/2)内可导．因为所以f(x)在(0,/2)内是单调增加的，从而当x>0时f(x)>f(0)=0,即．再设，则g(x)在(0,/2)内可导，并且所以g(x)在(0,/2)内是单调减少的，从而当时，有，即，亦．综上所叙：当时，有．（3）当时，；证明：（3）设,则f(x)在[0,+¥)内连续．因为所以f(x)在(0,+¥)内是单调增加的，从而当x>0时f(x)>f(0)=0,即亦.()（4）当时，；证明：（4）设,则f(x)在[0,/2)内连续．因为，令，由可知在[0,/2)是单调增加的，即．从而，于是f(x)在[0,/2)内是单调增加的，有，．即当时，．（5）当时，；证明：（5）设，因为，故当时，单调增加，从而，即，亦即，.(6)当、为正整数，且时，．证明：（6）设，则在上连续，且，令，由可知在（0,+¥)是单调减少的，即．从而，于是f(x)在（0,+¥)是单调减少的．因此当、为正整数，且时，有亦即.3.设常数，讨论方程在内实根的个数．解：设，则．令，得驻点，．当时，，在上单调增加，；当时，，在上单调减少，.故由零点定理知，在，内分别至少有一零点，由单调性，方程在内实根的个数为2.4.单调函数的导函数是否必为单调函数？解：单调函数的导函数不一定是单调函数．如，因为，并且在任何有限区间内只有有限个零点，因此在内为单调增加函数，但它的导函数在内却不是单调函数．5.求下列函数的极值：（1）；解：(1)函数的定义域为(-,+),且,驻点为列表x(-,0)0(0,1)1(1,+)y+0-0+y↗7极大值↘6极小值↗可见函数在x=0处取得极大值7,在x=1处取得极小值6.（2）；解：（2）函数的定义域为(-,+),且,驻点为列表x(-,-3/2)-3/2(-3/2,-1/2)-1/2(-1/2,1)1(1,+)y+0-0+0+y↗0极大值↘-27/2极小值↗↗可见函数在x=-3/2处取得极大值0,在x=-1/2处取得极小值-27/2.（3）；解：（3）函数的定义域为(-,+),且．令，驻点为列表x(-,0)0(0,+)y-0+y↘0极小值↗可见函数在x=0处取得极小值0.（4）；解：（4）函数的定义域为(-,+),且,驻点为，不可导点为．列表x(-,-a)-a(-a,0)0(0,a)a(a,+)y-不存在+0-不存在+y↘0极小值↗极大值↘0极小值↗可见函数在处取得极小值0,在处取得极大值.（5）；解：（5）函数的定义域为(-,+),且,驻点为，不可导点为．列表x(-,-1)-1(-1,1/2)1/2(1/2,5)5(5,+)y-不存在+0-0+y↘0极小值↗极大值↘0极小值↗可见函数在处取得极小值0,在处取得极大值.（6）（）；解：（6）,驻点为．列表x(-,)(,+)y+0-y↗极大值↘可见函数在处取得极大值.（7）；解：（7）函数的定义域为(-,+),且，驻点为，．由于，知为极大值；，知为极小值．（8）.解：（8）函数的定义域为,且，驻点为,列表x(0,12/5)12/5(12/5,+)y-0+y↘-1/24极小值↗可见函数在处取得极小值.6.问为何值时，函数在处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值．解：,，要使函数在处取得极值,必有,即，.当时,.因此,当时,函数f(x)在处取得极值,而且取得极大值,极大值为.7.求下列函数的最大值或最小值，如果都存在，均求出：（1），；解：（1），令,得驻点为．（其中不在定义域内）计算函数值得，，. 经比较得出函数的最大值为，最小值为.（2），；解：（2），，在内，函数的驻点为，不可导点为.计算函数值得，，，，.经比较得出函数的最大值为，最小值为.（3），；解：（3），令,得驻点为．计算函数值得,,经比较得出函数的最大值为，最小值为.（4），；解：（4），令,得驻点为（其中不合）．列表得x(0,1)1(1,+)y+0-y↗极大值↘所以函数在x=1处取得极大值.又因为驻点只有一个,所以这个极大值也就是最大值,即函数在x=1处取得最大值,最大值为.（5），.解：（5），令,得驻点为．列表得x(-,)(,0)y-0+y↘极小值↗所以函数在处取得极小值.又因为驻点只有一个,所以这个极小值也就是最小值,即函数在处取得最小值,最小值为.8.把长为的线段截为两段，怎样截法能使以这两个线段为边所组成的矩形的面积最大?解：设截得一段长为x，则另一段长为l-x，令得(0,+)内唯一驻点.因为,所以为极大值点,同时也是最大值点.因此从中点处截，能使面积最大。9.从一块边长为的正方形铁皮的各角上截去相等的方块，作成一个无盖的盒子，问截去多少，方能使作成的盒子容积最大?解：设截去边长为x的方块，则盒子容积为令，因为，所以是(0,+)内唯一驻点.因为,所以为极大值点,同时也是最大值点。因此截去边长为的小方块，能使作成的盒子容积最大。10.某厂每批生产某种商品个单位的费用为(元)，得到的收入为(元)，问每批生产多少个单位产品时利润最大?解：令得(0,+)内唯一驻点x=250.因为,所以x=250为极大值点，同时也是最大值点。因此，每批生产250个单位产品时利润最大.11.设某厂每天生产某种产品单位时的总成本函数为(元),问每天生产多少个单位的产品时，其平均成本最低?解：令得(0,+)内唯一驻点x=140.因为,所以x=140为极小值点,同时也是最小值点.因此,每日生产140个单位的产品时,平均成本最低.12.某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品的需求函数为，且最大需求量为6，其中表示需求量，表示价格.求使收益最大的产量、最大收益和相应价格.解：≤x≤令得(0,+)内唯一驻点x=2.因为,所以x=2为极大值点，同时也是最大值点。因此，使收益最大的产量x=2、最大收益、相应价格.13.某工厂生产某产品，日总成本C中固定成本为100个单位，每多生产1个单位产品，成本增加20个单位，该商品的日需求量为，其中p为产品单价。求日产量为多少时工厂日总利润最大?解：L=pQ-C=20(17-Q)·Q-(100+20Q)=-20Q2+320Q-100令得(0,+)内唯一驻点Q=8.因为,所以Q=8为极大值点，同时也是最大值点.因此,日产量为8个单位时,工厂日总利润最大.14.某商场每年销售出某商品2400件(设商场均匀销售)，每件成本150元，一件产品库存一年所需库存费为其成本的2%，每次订货需花费100元，问全年分多少批定货产品的定货费与库存费之和最小，并求出最小费用.解：设全年订货费与库存费之和为C，批次为x，则令得(0,+)内唯一驻点x=6.因为,所以x=6为极小值点,同时也是最小值点。因此，全年分6批订货费用之和最小，最小费用为C(6)=1200元.15.一房地产公司有50套公寓要出租．当月租金定为1000元时，公寓能全部租出去；当月租金每增加50元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元的维修费，问房租定为多少元时可获得最大收入？解：设房租定为x元,纯收入为R元.当x1000时,R=50x-50100=50x-5000,且当x=1000时,得最大纯收入45000元.当x1000时,.令R=0得(1000,+)内唯一驻点x=1800.因为,所以x=1800为极大值点,同时也是最大值点.最大值为R=57800.因此,房租定为1800元可获最大收入.习题4.51.求下列曲线的凹凸区间与拐点（1）；解：（1）函数的定义域为(-,+),且，.令y¢¢=0,得.列表得x(-¥,)(,+¥)y¢¢-0+yÇ拐点È所以曲线在(-¥,]内是凸的,在[,+¥)内是凹的,拐点为(,).（2）；解：(2)函数的定义域为(-,+),且，.令y¢¢=0,得.列表得x(-¥,-1)-1(-1,1)1(1,+¥)y¢¢-0+0-yÇln2拐点Èln2拐点Ç可见曲线在(-¥,-1]和[1,+¥)内是凸的,在[-1,1]内是凹的,拐点为(-1,ln2)和(1,ln2).(3)；解：(3)函数的定义域为，且，．列表得x(-¥,0)(0,+¥)y¢¢+-yÈÇ可见曲线在(-¥,0)内是凹的,在(0,+¥)内是凸的．（4）；解：(4)函数的定义域为,且，.令y¢¢=0,得.列表得x(-¥,-1)(-1,2)2(2,+¥)y¢¢--0+yÇÇ拐点È可见曲线在(-¥,-1)和(-1,2]内是凸的,在[2,+¥)内是凹的,拐点为(2,).（5）；解：(5)函数的定义域为,且，.令y¢¢=0,得，不可导点为．列表x(-¥,-2)-2(-2,0)0(0,+¥)y¢¢-0+不存在-yÇ拐点È1拐点Ç可见曲线在(-¥,-2]和[0,+¥)内是凸的,在[-2,0]内是凹的,拐点为、.（6）；解：(6)函数的定义域为,且，.令y¢¢=0,得，不可导点为．列表x(-¥,-1/5)-1/5(-1/5,0)0(0,+¥)y¢¢-0+不存在+yÇ拐点È1非拐点È可见曲线在(-¥,-1/5]内是凸的,在[-1/5,0]和[0,+¥)内是凹的,拐点为．2.问和为何值时，点是曲线的拐点？解：y¢=3ax2+2bx,y¢¢=6ax+2b.要使(1,3)成为曲线y=ax3+bx2的拐点,必须y(1)=3且y¢¢(1)=0,即a+b=3且6a+2b=0,解此方程组得,．3.已知函数在点处取得极值，且点是曲线的拐点，求常数的值．解：，，依条件有，即，解之得：．4.证明曲线有三个位于同一直线上的拐点．证明：．令，得.当时，，因此曲线在内是凸的．当时，，因此曲线在内是凹的．当时，，因此曲线在内是凸的．当时，，因此曲线在内是凹的．所以曲线有拐点、、由于，因此这三个拐点位于同一直线上．5.求下列曲线的渐近线：（1）；解：（1），，所以函数有水平渐近线和铅直渐近线．（2）；解：（2），所以函数有水平渐近线．（3）；解：（3），所以函数有铅直渐近线x=1、x=-1．（4）；解：（4），，所以函数有水平渐近线和铅直渐近线．（5）解：（5），所以函数有铅直渐近线x=1、x=-1．6*.求下列曲线的渐近线：（1）；解：，所以函数有铅直渐近线x=1=1=a，b==2，所以x→+∞时曲线有斜渐近线y=x+2．（2）；解：=+∞，=0所以x→-∞时曲线有水平渐近线．=1=a，b==ln1=0，所以x→+∞时曲线有斜渐近线y=x．（3）；解：，所以函数有铅直渐近线x=0=e=a，（原已改为）b=＝e－e＝0，（作变换方便）所以曲线有斜渐近线y=ex．习题4.61.作出下列函数的图形：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）(有斜渐近线).解：略习题4.71.生产某产品，每日固定成本为100元，每多生产一个单位产品，成本增加20元，该产品的需求函数为，试写出日总成本函数和总利润函数，并求边际成本函数和边际利润函数．解日总成本函数为，日边际成本函数为．由得，．于是，日总利润函数为．日边际利润函数为．2.某商品的需求量Q为价格p的函数．（1）求时的边际需求，并说明其经济意义；（2）求时的需求弹性，并说明其经济意义；（3）求时，若价格下降2%，总收益是增加还是减少？变化百分之几？解（1）因为边际需求函数为，故当时的边际需求为，其经济意义为：当价格为6时，价格上涨1个单位，需求量约减少24个单位．（2）因为需求弹性函数为故当时的需求弹性为，其经济意义为：当价格为6时，价格上涨1%，需求量约减少1.85%．（3）由有即当价格为6时，价格再下降2%时，总收益约增加1.69%．3.求下列函数的弹性(其中、为常数)：(1)(2)(3)(4)解：(1)(2)(3)(4)4.指出下列需求关系中，价格取何值时，需求是高弹性或低弹性的:(1)(2)解：(1)∵x>0∴0<p<4<－1，时,需求是高弹性的时,需求是低弹性的(2)<－1，时,需求是高弹性的时,需求是低弹性的总习题41.选择题（1）设满足方程，且，，则函数在点处（）（A）取得极大值（B）某个邻域内单调增加（C）取得极小值（D）某个邻域内单调减少．解：因为，又，，得到，由函数取得极值的第二充分条件知:函数在点处取得极大值,故选（A）.（2）设存在，且，，则下列结论成立的是（）（A）是的极小值点（B）是的极大值点（C）是曲线的拐点（D）是的驻点解：，由无穷小与函数极限的关系知：，其中为时的无穷小，于是（不妨假设）．从而在点的两侧的符号发生改变，即在经过点时，曲线的凹凸性发生了改变，故选（C）.（3）若，在内，，则在内（）（A），（B）， （C），（D），解：由可知为奇函数，并且对称于原点，容易得到选（C）.（4）曲线的铅直渐近线的条数是（）（A）0（B）1（C）2（D）3解：，为函数的可去间断点，所以，为曲线的铅直渐近线，故选（C）.（5）若函数在区间内二阶可导，且，则对任意正常数，必有（）（A）（B）（C）（D）不存在解：由拉格朗日中值定理：，其中介于之间，，故选（B）.（6）设在上，满足，则、和的大小顺序为（）（A）（B）（C）（D）解：由可知在上单调递增，所以．又，，因此选（B）.2.填空题（1）设当时，与是等价无穷小，则，．解：由题设有，因此要求.（2）．解：原式（3）设函数，则在处取极小值解：，，令，得到驻点，此时（4）设函数在区间内二阶可导，且曲线在点处与曲线相切，在内与曲线有相同的凹向，则方程在内有个实根．解：对曲线而言，，．故，，在内．由laylor公式，又，故存在，使得，由零点定理知，方程在上至少有一个实根．又因为，所以单调不减，且知单调递增，故在内只有一个实根．（5）设，则函数在内零点的个数为．解：，．令，得驻点．由驻点唯一以及知在取得最大值．注意到并且在单调递增，以及在单调递减，由零点定理知：在、上各有一个零点．3.求下列极限（1）；解：（1）原式（2）；解：（2）原式=.（3）；解：（3）原式因为，所以，于是，原式.（4）；解：（4）原式=.（5）；解：（5）原式，又，所以，原式=.（6）（其中）．解：（6）原式又所以，原式=.4.求函数的单调区间．解：易知在上连续，并且，因为在及内，在内，故所给函数在上单调递减，在上单调递增．5.已知数列，问前多少项和为最大．解：容易求出数列的前项和为：．取函数，则，令，得驻点．当时，；当时，；因此点为的极大值点．由于驻点唯一，所以该驻点也是最大值点．又，当，得到，，而，故前10项和为最大．6.求椭圆上纵坐标最大和最小的点．解：方程两边对求导得则．令得到，代入得，即为椭圆方程确定的隐函数的两个驻点．由几何性质知:的最大值、最小值是存在的，因此，对应的最大值、最小值：．从而纵坐标最大和最小的点分别是和．7.将长为的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆，问两段铁丝各为多长时，正方形与圆的面积之和最小．解：