高等数学（经济类）全书习题解答第8章（多元微积分）

PAGEPAGE20习题解答习题8.11.指出下列各点在直角坐标系中的哪个卦限；；；。解：Ⅱ；Ⅴ；Ⅷ；Ⅳ.2.指出下列各点在直角坐标系中的位置；；；。解：xOy面；yOz面；y轴；x轴.3.求点关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标。解：（1）各坐标面:xOy面，；yOz面，；zOx面，.（2）各坐标轴：x轴，；y轴，；z轴，.（3）坐标原点：.4.求点到各坐标轴的距离。解：点到x轴的距离为；点到y轴的距离为；点到z轴的距离为.5.在面上，求与三点、、等距离的点。解：设该点为，根据题意，，解上述方程组，有，故所求点为：．6.一动点到点的距离是到点距离的两倍，求动点的轨迹方程。解：设动点的坐标为，由题意有，，即，化简得.7.建立以点为球心，且过点的球面方程。解：球心到球面上点的距离为所以所求球面方程.8.方程表示什么曲面？解：通过配方，原方程可化为，与球面方程比较可知，此方程表示球心在点、半径为的球面．9.画出下列方程所表示的曲面（1）；（2）；（3）；（4）；解：略.10.画出下列方程所表示的二次曲面图形（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。解：略.11.指出下列方程所表示的曲线：（1）；（2）；（3）.解：（1）方程组中第一个方程表示球心在原点，半径为的球面，方程组中第二个方程表示平行于面的平面．方程组就表示上述平面与球面的交线。显然交线是一个圆。（2）方程组中第一个方程表示椭圆抛物面，其顶点在原点，开口向上半空间。方程组中第二个方程表示平行于面的平面．方程组就表示上述平面与椭圆抛物面的交线。显然交线是一个抛物线，开口向上。（3）方程组中第一个方程表示双叶双曲面，其中心在原点。方程组中第二个方程表示平行于面的平面．方程组就表示上述平面与双叶双曲面的交线。显然交线是一个双曲线，其实轴平行于轴，虚轴平行于轴。12.求过、、三个点的平面方程。解：不妨假设分别为、、，因此所求平面的法向量可取=×，而，，所以根据平面的点法式方程，所求平面的方程为，即.13.已知动点到平面的距离与点到点的距离相等，求动点的轨迹方程。解：由两点间的距离公式，得整理上述表达式，得.14.指出下列旋转曲面是什么曲线绕哪个轴旋转而成的，并画出曲面的图形：（1）；（2）；（3）；解：（1）坐标面上的椭圆绕轴旋转一周；或者坐标面上的椭圆绕轴旋转一周.（2）坐标面上的双曲线绕轴旋转一周；或者坐标面上的双曲线绕轴旋转一周.（3）坐标面上的双曲线绕轴旋转一周；或者坐标面上的双曲线绕轴旋转一周.曲面的图形（略）.15.平面与球面的交线是圆，写出该圆的方程，并求出该圆的半径。解：交线方程为.球心到平面的距离为，因此交线圆的半径为.习题8.2已知，试求，和．解，2．设，求．解设，则，，所以，从而．3．求下列各函数的定义域：（1）；解要使表达式有意义，必须故所求函数的定义域为（2）；解要使表达式有意义，必须故所求函数的定义域为（3）（）；解要使表达式有意义，必须故所求函数的定义域为（4）．解要使表达式有意义，必须故所求函数的定义域为4．求下列函数极限：（1）；解由连续性，原式＝＝．（2）；解由连续性，原式＝＝．（3）；解原式＝＝＝＝（4）．解原式＝．5．证明下列极限不存在：（1）；（2）．证（1）因为当沿直线趋于时，，它是随的值的不同而改变的，所以极限不存在．（2）因为当沿直线趋于时，，当沿直线趋于时，，由于，所以极限不存在．习题8.31．求下列函数的偏导数：（1）；解；。（2）；解，，；（3）；解，；（4）；解，；（5）；解，；（6）；解，，；（7）．解，，。2．计算下列各题：（1）设，求和；解＝，＝，将点（1，2）代入上面结果，得，（2）设，求；解取对数得,上式两边对y求导得，所以，将点（1，1）代入上面结果，得。（3）设，求；解∵，∴＝（4）设，求及．解，，∴．3．设，证明：．证明：，，。4．设，其中可导，证明：．解即。5．曲线在点（，1，）处的切线对轴的倾角是多少？解设该切线与轴的倾角为，∴由偏导数的几何意义得，从而．6．求下列函数的二阶偏导数，，．（1）；解，，，，（2）；解，，，，．（3）；解，，，，。（4）．解，，，。7．设，求，，．解，，，从而，，．8．设，试证：．证明：，，，由对称性得，，∴。原式得证。习题8.41．求下列函数的全微分：（1）；解因为，，所以。（2）；解因为，，所以（3）；解因为，，所以。（4）；解因为，，所以。（5）；解因为，，，所以=．（6）．解因为，，，所以=．2．计算下列函数在给定点处的全微分：（1），；（2），．解（1），，=（2），，=+3．求函数当的全微分和全增量．解，，全增量。*4．计算下列近似值：（1）；（2）．解取，令，，，，于是，，．原式＝．（2）取，令，，，，于是，，．原式＝．*5．设有边长为m与m的矩形，当边增加5cm而边减少10cm，求此矩形对角线增量的近似值．解设矩形对角线长为z，则有．把，，代入，得．即此矩形对角线增量的近似值约为-5cm．习题8.51．设，而，求全导数．解．2．设，而，求全导数．解．3．设，而，求全导数．解．4．设，而，求和．解；．5．设，而，求和．解；．6．设，求和．解令则，；．7．求下列函数的一阶偏导数，其中具有一阶连续偏导数：（1）；解（1），．（2）；解，，．（3）；解，．（4）．解，，．8．设，其中可导，求．解令，，则可看成由，复合而成，所以，，从而．9．设，其中为可导函数，证明：．解令，则，，所以．10．求下列函数的，，（其中具有二阶连续偏导数）：（1）；（2）．解（1）由得，所以，，注意：在上述恒等变形中，因为具有二阶连续偏导数，所以有。（2）由得，所以，，。注意：在上述恒等变形中，因为具有二阶连续偏导数，所以有。11．设，具有二阶连续偏导数，求．解由得，所以注意：在上述恒等变形中，因为具有二阶连续偏导数，所以有。习题8.61.设，求．解令，则，所以，2．设，求．（题目已经改为写题）设，求．解令，即，，所以，3．求下列方程所确定的隐函数的偏导数和：（1）；（2）．解（1）令，则，，，所以，.（2）令，即，，，所以，.4．设，求．解令，则，，，所以，，所以。5．设，求全微分．解令，则，，，所以，，因此。6．设，证明：．解令，则，，，所以。7．设具有连续偏导数，证明由方程所确定的函数满足．解令，则，，，所以8．设函数由方程确定，求、．解令，则，，，所以，,注意到z是x、y的函数，将再对x求偏导，得.注意到z是x、y的函数，将再对y求偏导，得9．设函数由方程确定，求．解令，则，，，所以，,将x=0,y=0代入得z=2，点（0，0，2）处，注意到z是x、y的函数，将再对y求偏导，得将x=0,y=0，z=2及代入得。习题8.71．求函数的极值．解解方程组得驻点为，．函数的二阶偏导数为，，．在点处，，，，因为，，所以函数在该点有极大值．2．求函数的极值．解解方程组得驻点为，（）．函数的二阶偏导数为，，．在点处，，，，因为，，所以函数在该点有极大值．在点处，，，，因为，所以不是极值．3．求函数的极值．解解方程组得驻点为．函数的二阶偏导数为，，．在点处，，，，因为，，所以函数在该点有极小值．4．求函数（）的极值．解解方程组得驻点为，（）．函数的二阶偏导数为，，．在点处，，，，因为，，所以函数在该点有极大值．在点处，，，，因为，所以不是极值．5．求函数在约束条件下的极大值．解作拉格朗日函数，令，解之得：∴极大值．6．在平面上求一点，使它到及三直线的距离平方之和为最小．解设所求点为,距离平方之和为，则，即，令得，由实际意义知，所求点为。7．要造一个容积为常数的长方体无盖水池，问如何安排水池的尺寸时，才能使它的表面积最小．解设箱子的长、宽分别为，容量为，则箱子的高为．箱子的表面积为这是x、y的二元函数．令解上述方程组，得根据题意可知，表面积A的最小值一定存在，现在只有唯一驻点，因此当长、宽均为，高为时，表面积A最小．8．求内接于半径为的半圆且有最大面积的矩形．解设矩形的长为、高为，则．问题归结为求面积在条件下的极值．作拉格朗日函数，，令，解之得：．由题意可知的最大值一定存在，所以最大值只能在唯一的驻点取得，因此当矩形两边分别为时，可得最大面积的矩形．8,9两个题目已经改过习题8.81.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1），其中；解区域的面积=，区域的面积=，因为，所以：；（2），其中D是圆周围成的闭区域；解对区域D上的任意点，都有：，，所以：；（3），其中D是由直线围成的闭区域．解对区域D上的任意点，都有：，，所以：．2.利用二重积分的性质，估计下列积分的值：（1）其中；解积分区域D的面积，在D上，的最大值和最小值分别为，由性质6，得；（2）其中；解积分区域D的面积，在D上，的最大值和最小值分别为，由性质6，得；（3）其中D是两坐标轴与直线围成的闭区域．解积分区域D的面积，在D上，的最大值和最小值分别为，由性质6，得．习题8.91.计算下列二重积分：（1）其中；解；（2），其中D是由两坐标轴及直线所围成的闭区域；解；（3），其中D是顶点分别为的三角形闭区域；解；(4)，其中．解．2.画出积分区域，并计算下列二重积分：（1）其中D是由两条抛物线所围成的闭区域；解图略；（2），其中D是由所围成的闭区域；解图略；（3），其中；解图略；（4），其中D是由直线所围成的闭区域．解图略．3.化二重积分为二次积分（分别给出两种不同的积分次序），其中积分区域D分别为：（1）由两坐标轴及直线所围成的闭区域；解图略或；（2）由及所围成的闭区域；解图略或（3）由及所围成的闭区域．解图略或4.交换下列二次积分的次序：（1）；解图略；（2）；解图略；（3）；解图略；（4）；解图略；（5）．解图略．5.通过交换积分次序计算下列二重积分：（1）；解；（2）．解．6.设连续，证明：．证：交换积分次序，得．7.计算由四个平面所围成的柱体被平面及截得的立体的体积．解记，则．8.求由平面及抛物面所围成的立体的体积．解记，则．9.求由曲面及所围成的立体的体积．解记，则．10.利用“对称性”计算下列二重积分：（1），其中；LINKWord.Document.8"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\桌面\\(工科）第10章重积分习题答案.doc""OLE_LINK1"\a\r解积分区域D关于y轴对称，且函数关于x是奇函数，故有；（2），其中；LINKWord.Document.8"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\桌面\\(工科）第10章重积分习题答案.doc""OLE_LINK1"\a\r解积分区域D关于x轴对称，且函数关于y是偶函数，关于y是奇函数，故有；（3），其中．LINKWord.Document.8"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\桌面\\(工科）第10章重积分习题答案.doc""OLE_LINK1"\a\r解积分区域D关于x轴和y轴都对称，且函数关于x和y是都偶函数，故有．11.画出积分区域，把积分表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D是：（1）；解图略；（2）；解图略；（3）；解图略；（4）；解图略；（5）．解图略．12.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：（1）；解图略；（2）；解图略；（3）；解图略；（4）．解图略．13.把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：（1）；解图略；（2）；解图略；（3）；解图略．（4）．解图略．14.利用极坐标计算下列二重积分：（1），其中D由圆周所围成的闭区域；解图略；（2），其中；解图略；（3），其中D由圆周及直线所围成的在第一象限内的闭区域；解图略；（4），其中解图略．15.选用适当的坐标计算下列各题：（1），其中D是由直线所围成的闭区域；解图略；（2），其中D是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；解图略．（3）其中D是由直线及曲线所围成的闭区域；解图略；（4），其中；解图略．（5）其中．解图略原式．16.求圆柱面被平面及抛物面截得的立体的体积．解记，则．总习题81.选择题（1）=（）．A．B．C．D．解原式=,∴选D.（2）函数在点（0，0）处（）．A．连续但不存在偏导数B．存在偏导数但不连续C．既不连续又不存在偏导数D．既连续又存在偏导数解因为当沿直线趋于时，，它是随的值的不同而改变的，所以极限不存在，从而在（0，0）处不连续。又=，=，∴选B.（3）函数满足，且，则（）．A．B．C．D．解，，又，∴,故有，所以，∴选B.（4），是函数在点处取得极值的（）．A．必要条件，但非充分条件B．充分条件，但非必要条件C．充分必要条件D．既非充分条件，又非必要条件解由多元函数极值的必要条件知，，只是函数在点处取得极值的必要条件，但非充分条件，∴选A。.（5）下列结论中正确的是（）．A.若闭区域D由圆周围成，则B.C.若，则D.若，则解由轮换对称性立得：；即选项B正确．（6）设平面区域，，则（）．A.B.C.D.解如图，D分成四个部分，由于区域关于y轴对称，；区域关于x轴对称，；故，即选项A正确．（7）设函数连续，则（）．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解由于积分区域是由围成的，故；即选项C正确．（8）设函数连续，且，其中D是由所围成闭区域，则（）．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解记（常数），则，积分得即，因为，，所以，，从而，即选项C正确．2.填空题（1）设函数，则．解因为，，所以。（2）设函数，则．解，∴。（4）若函数在点处取得极值，则常数．解由题意得（5）设，则根据重积分的几何意义可得：．解表示以为底，以半球面为顶的曲顶柱体体积，故．（6）设函数连续，，若记，则．解交换积分次序，得，所以，．（7）将化为极坐标下的二次积分，得．解记，则．3.设求．解当（x,y）=(0,0)时，=，当（x,y）≠(0,0)时，,4.设