高中数学 第三章 三角恒等变换 新人教版必修4

【创新设计】(浙江专用)2016-2017高中数学第三章三角恒等变换新人教版必修4目标定位1.了解学习两角和与差的三角函数公式的必要性.2.理解用三角函数线、向量推导名称简记符号公式适用条件两角差的余弦α,β为任意角即时自测(3)以0x为始边作角α,终边与单位圆交于点A,则A点的坐标为(3)A(cosa,sin4.计答案类型一运用公式求值【例1】求下列各式的值：解(1)原式=cos40°cos70°+sin70°sin40°【训练1】求下列各式的值：解(1)原式=sin(90°-44°)cos类型二给值求值问题中,,,,解,,,,规律方法三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换是最基本的变换.常见的有：α=(α+β)-β,α=β-(β事且解,,又∵β=(a+β)-a,类型三给值求角问题(互动探究)【例3】已知α、β均为锐角，且,cos探究点一要求α-β的值，可以先求什么?提示可以先求cos(α-β)的值.提示还需求sinα,sinβ.提示应注意α-β的范围.解∵α、β均为锐角，规律方法解给值求角问题的一般步骤(1)求角的某一个三角函数值.(2)确定角的范围.(3)根据角的范围写出所求的角.中【训练3】已知中事求β的值.由0<又因为由β=α-(α-β)得所以1.公式的结构特点公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式.2.公式的适用条件公式中的α,β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”,如中的相当于公式中的角相当于公式中的角β.3.公式的“活”用公式的运用要“活”,体现在顺用、逆用、变用.而变用又涉及两个方面：(1)公式本身的变用，如cos(α-β)-cosαcosβ=sina(2)角的变用，也称为角的变换，如cosa=cos[(α+β)-β],cos2β=cos[(α+β)-(α-β)].故选A.答案A2.cos165°等于()B答案14.已知sin,sin且180°<α<270°,90°<β<180°,求cos(α-β)的值.答案B2.化简cos(45°-α)cos(α+15°)-sin(45°-α)sin(α+15°)的结果为()答案A3.若事事,并且α、β均为锐角且a<β,则α+β的值为()口解析答案C5.若垂垂,事事甲,又∵β为锐角，∴0<a+β<π.,,解于y轴对称，则m的最小值是()个单位长度后，得到此时关于y轴对称，则,k∈Z,所以m x=cos(x+φ),则φ的一个可能值为()解析故φ的一个可能值为是--_----①²+②²得：(sinα+sinβ)²+(cosα+cosβ)²=1,整理得：2+2cos(a-β)=1,12.若解析12.若解析则cos(a-β)的值为--------.即答案事事cos(a+β).事所所 所以=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(214.已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sin(2)若ka+b与a-kb的长度相等，求β-α的值(k为非零的常数).所以a+b与a-b互相垂直.(2)解因为ka+b=(kcosα+cosβ,ksina+sinβ),=√k+1-2kcos(β-α).所以cos(β-α)=0,又因为0<a<β<π,所以0<β-a<π,3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)目标定位1.能利用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式.2.能应用两角和与差的正弦、余弦公式解决有关问题.3.理解和、差角的相对性，能对角进行合理、正确的拆分.4.能对公式进行简单的逆用.1.两角和与差的余弦公式C(a-a:cos(α-β)=cos--C(a+8:cos(α+β)=cos--2.两角和与差的正弦公式 3.两角互余或互补(1)若其α、β为任意角，我们就称α、β互余.例如：与互余.(2)若α+β=π,其α,β为任意角，我们就称α、β互补.例如：补，互补. 互(1)cos(α+β)=cosα+cosβ对任意角都不成立.(×)事,等式成立.心口答案A则sinC等于()解析sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+=sinAcosB+cosAsinB答案A类型一利用和(差)角公式化简【例1】化简下列各式：(3)sin(54°-x)cos(36°+x)+c=0.(2)原式=sin14°cos16°+sin(90°-14°)·cos(90°-16°)(3)原式=sin[(54°-x)+(36°+x)]=sin90°=1.(4)法一原规律方法化简三角函数式的标准和要求(2)使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少(3)使三角函数式的次数尽可能低.(4)使分母中尽量不含三角函数式和根式.【训练1】化简：类型二利用和(差)角公式求值【例2】若■垂垂甲.事规律方法在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角事···,,,=cos(a+β)cos(α-β)-sin=cos(a+β)cos(a-β)+sin(类型三两角和与差的正弦、余弦公式在解三角形中的应用(互动探究)【例3】在△ABC中，si,co求cosC.[思路探究]探究点一A、B、C之间有怎样的关系?提示A+B+C=π.求cosA的值，由求sinB的值，值确定吗?提示应注意由三角函数值的符号，确定角A、B的范围.解若,,则且规律方法在应用公式时，要注意角的范围，特别在三角形中，A+B+C=π,A,B,C∈(0,【训练3】(1)(2015·常州高一检测)在△ABC中，若sinAsinB<cosAcosB,则△ABC的形状为--------.A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰非直角三角形解析(1)∵sinAsinB<cosAcosB∴cos∴C为钝角.(2)由条件sin(A-B)cosB+cos(A-BsinB≥1得sinA≥1,即sinA=1.A为直角.故选答案(1)钝角三角形(2)C1.公式Ca+与S=0的联系、结构特征和符号规律我们只要牢固掌握”中心”公式cos(α一β)的由来及表达方式，也就掌握了其他三个公式.对于公式S-,与Sa-p,可记为“异名相乘，符号同”.2.使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sinβcos(α+β)-cosβsin(α+β)时，不要将cos(α+β)和sin(α+β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：3.运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解.课堂达标自主反烟区答案C2.已知sin7B口重重答案B3.化简sin(45°+A)-sin(45°的值.,,的值.,,②②,,由①,②解得sin答案B垂解析垂事事事事重,。,。答案CA.-1B.0C.1解析cosacosβ-sinasinβ=cos(α+β)=0.答案D4.已知锐角α、β满足,cos,则α+β=---_.解析∵α,β为锐角，,cos答案5.化简的结果是-----_.答案cosa6.求下列各式的值.=cos(90°+15°)cos15°-sin(9=sin45°cos母(2)由事事又∵aa9.若函数f(x)=(1+√3tanx)cosx,则f(x)的最大值为()C.1+√3答案B10.在三角形ABC中，三内角分别是A、B、C,若sinCA.直角三角形B.正三角形∴sinAcosB-cosAsinB=0.答案C解析12.已知α,β为锐角，且S----所所以所甲0且sin又∵=sin(a-β)·cosβ+cos(α-β)·14.证明：sin(a+β)sin(α-β)=sin²α-sin²β,并利用该式计算sin²20°+=sin²a-sin²asin²β-si=sin²20°+sin(60°+20°)·目标定位1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanatan_-β).(1)公式Ta+p中，只有α,β满时，(1+tanα)(1+tanβ)=-2.(×)时，(1+tanα)(1+tanβ)=2.2.若解析答案BA.1C.-2D.不确定解析(1+tanA)·(1+tanB)=1+(tanA+tanB)+tanAtanB=1+tan(A+B)(1-tanAtanB)+ta=1+1-tanAtanB+tanAtanB=2.答案B,解得tanβ=3.类型一利用和(差)角的正切公式求值【例1】求下列各式的值：∴原式=1-tan15°tan30°+tan15°tan30°=1.β(或tana-tanβ),tan(a+β)(或tan(a-β))三者知二可表示或求出第三个.【训练1】求下列各式的值.类型二给值求角问题争【例2】已知tan且α,β为锐角，求a+2β的值.争.3ma)-规律方法此类题是给值求角题，解题步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值，②确定所求角的范围.此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解求角α+β.解由已知得类型三和(差)角的正切公式的综合应用(互动探究)B-1,试判断△ABC的形状.结论?提示条件可变形为：提示条件可变形为：,,,规律方法三角形中的问题，A+B+C=π肯定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它寻找1.公式Ta±g)的适用范围由正切函数的定义可知α、β、a+β(或α-β)的终边不能落在y轴上，即不为(k∈Z).入求解便可.利用整体思想代入求解.(3)角的配凑：公式Ta±g中α,β只代表了角的某一形式，其可能是单纯的α,β,也可能是某些小团体3.公式T(a±g)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.如等于()等于()事解析由已知：s,解析答案D解析4.已知A,B都是锐角，且,sin事求A+B的值.,,事课时作业班提升区1.在△ABC中，若tanAtanB=tanA+tanB+1,则cosC的值是()日事人,那么等于()解析答案C事则α+β的值是()B口解析事答案C4.已知a、β均为锐角，且解析a+tana+tan5.在△ABC中，CostanB=2,则tan2C=_-----_.,解析.'C,0<A<π,6.已知,,(1)求tanα的值；(2)求2α-β的值.而事(2)原式=1-tan59°-tan76°+tan59°tan76°=1+1-tan59°tan76°+tan8.如图，在平面直角坐标系x0y中，以0x轴为始边作两个锐角α、β,它们的终边分别与单(1)求tan(α+β)的值；(2)求α+2β的值.∵α、β为锐角，重重又∵α,β为锐角，A.1答案A10.A,B,C是△ABC的三个内角，且tanA,tanB是方程3x-5x+1=0的两个实数根，则△ABC是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.无法确定解析∴C为钝角.解析答案.解(1)∵m·n=1,解由已知3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式目标定位1.能利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出倍角公式.2.能利用这些公式进行和、差、倍角的求值和简单的化简.3.理解和、差、倍角的相对性，能对角进行合理、正确的拆分.4.能对公式进行简单的逆用.1.倍角公式2.倍角公式常用变形事事3,重重1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”)提示(1)α=2kπ,k∈Z,成立.(2)cos2α=cos(α+α)=c故适用.2.cos²75°+cos²15°+cos75°cos答案C等于()答案B答案类型一给角求值问题【例1】求下列各式的值：解(2)原式=cos(2×750°)=cos1500°(3)原式=tan(2×150°)=tan规律方法此类题型(1)(2)(3)小题直接利用公式或逆用公式较为简单，而(4)小题分式一般发现其特征(二倍角形式),逆用正弦二倍角公式，使得问题中可连用正弦二倍角公式，所以【训练1】求下列各式的值：解类型二给值求值问题(互动探究)的值.【例2】已知的值.■探究点一已知角与未知角之间有怎样的联系?提示探究点二以上两种角的变换思路哪种更简单?提示本着先化简再求值的思路更简单.解规律方法在解题过程中要注意抓住角的特点解题，同时要注意挖掘题目中的隐含条件：十x与存在互余关系.特别要注意利用这些条件来确定某些三角函数值的符号.""相减得而所以事且α,β∈(0,π),求2α-β的值.类型三给值求角问题【例3】已知事且α,β∈(0,π),求2α-β的值.解,规律方法在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然【训练3】已知,,,,又又8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3αα的二倍；的二倍；2.二倍角的余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛.二倍角的常用形式：①1+cos21.函数A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为π的偶函数D.最小正周期的偶函数解析答案A的值等于()4.已知,事1.如图，圆0的半径为1,A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线0A,终边为射线OP,过点P作直线0A的垂线，垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]的图象大致为()AC解析如图所示，当时，则P(cosx,sinx),M(cosx,0),作MM⊥OP,M;X符合.答案B的值是()只有B选项的图象答案C3.若则的值为()答案B4.设sin2α=-sinα,则tan2α的值是--_-----.则5.若则tanα的值等于------_曲,(2)若cOs,解事所以sin争争所以sin2θ=2sinθcoscos2θ解(1)原式=sin6°cos48°cos24°cos12°,(1)求sinx的值.则(2)因为答案C解析。)口答案A所以周期解析事事13.设(1)当m=0时，求f(x)(2)若f(x)的最大值求m的值.解(1)因为所以于是于是得(1)求f(x)的最小正周期.最小正周期习题课两角和与差的正弦、余弦和正切公式目标定位1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换.1.已知1.已知解析答案B则tan2α等于()等式左边分子、分母同除cosα等式左边分子、分母同除cosα得，解得tan答案B3.设θ为第二象限，若则sinθ+cosθ=---解析即解得sin,cos且θ为第二象限角，答案4.若t事事则的值为()····,答案A之85D.-1答案B6.函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为--_-----=sin(x+φ)cosφ+cos(x+φ)sinφ-2=sin(x+φ)cosφ-cos(x+φ)sinφ=sin[(x+φ)-φ]=sinx,∴f(x)的最大值为1.答案1题型一利用和、差、倍角公式求值化简【例1】(1)sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)·cos(110°-x)的值为()A.√2解析(1)原式=sin(65°-x)·cos(x-20°)+cos(65°-x)cos[90°-(x-20°)]=sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)sin(x-20(3)原规律方法运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα+tanβ=tan(α+β)·(1-tanatanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力。【训练1】(1)若,口又∵答案(1)A(2)题型二形如asinx+bcosx的三角式的化简及应用(互动探究)【例2】(1)函数y=sinx+cosx+sinxcOsx的值域为--_----_(2)已知函数[思路探究]探究点一(1)中sinx+cosx与sinx·cosx,x∈R有怎样的关系?提示令t=sinx+cosx,则特别要注意t的范围.探究点二(2)中函数可以怎样化简?提示f(x)解析式可以化成asinx+bcosx的形式.则从而x=π+2kπ,或,k∈Z.答案,,。,∴函数f(x)的值域为[1,2].tanφ为辅助角即即解②求使成立的x的取值集合.所以函数f(x)的最大值为2,最小值为-2,即实数a的取值范围是(2,+0).于是k∈Z.故使成立的x的取值集合为题型三角的变换【例3】(1)已知α,β均为锐角，且--------,cosβ=-------_.争事事重重,选A.规律方法1.解决三角形函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.(1)当把“所求角”变成“已知角”2.常见的配角技巧：2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,事【训练3】(1)设α、β都是锐角，且则cosβ等于()解析(1)依题意得s又α,β均为锐角，所以于是cosβ=cos[(α+β)-α]和差角公式变形：tanx±tany=tan(x±y)·(1Ftanx·tany);倍角公式变形：降幂公,,2.重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”;变角：对角的分拆要尽化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.3.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通.4.在(0,π)范围内，所对应的角α+β不是唯一的.5.在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值.事事B口,22答案C,得答案C解得sin2α=0或当sin2α=0时，代入2sin2α=1+cos2α,解析∵tana=4,∴cosα≠0,分子、分母都除以cos²α解析6.在锐角三角形ABC中，若B=2A,取值范围.又C为锐角，且C=π-B-A=π-3A,,,,,所所又手(1)求cos手两边同时平方，得(2)因事(1)求f(x)的最小正周期及最值.(2)令判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由.∴g(x)为偶函数.口得答案A10.若则的值为()解析答案B,11.若t,又由答案解析=-2sin²B+2sinB-(1-2sin²B)=2sinB-1,(1)求f(x)的最小正周期；所以函数f(x)的最小正周期当3.2简单的三角恒等变换目标定位1.了解和、差、倍角公式的特点，并进行变形应用.2.理解三角变换的基本特点和基本功能.3.了解三角变换中蕴含的数学思想和方法. 1.二倍角余弦公式cos2α3.半角公式(有理形式)4.辅助角公式其中其中,φ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a,b)决定.1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(3)y=sinx-cosx,x∈R的值域为[-2,2].(×)提示(4)三角恒等变换主要指角的变换与函数名称的变换.答案D3.若Cos且α∈(0,π),则的值为()解析答案B4.已知α是第二象限角，且解析α是第二象限角，且cOS类型一降幂公式的应用【例1】(1)求sin22.5°的值.解,用用规律方法(1)对于特殊角的一半求函数值，可以通过降幂，转化为特殊角.(2)对于式子中含有1+cosθ,1-cosθ形式时，可以逆用降幂公式，消去常数1.类型二辅助角公式【例2】将下列三角式化成Asin(wx+φ)的形式.(2)√3sinx+cosx.(3)sinx-√3cosx.解(1)原式其中φ、θ称为应用.【训练2】化简【例3】求证：探究点一由左到右证明，应采取什么变换?提示弦化切.探究点二由右到左证明，应采取什么变换?提示切化弦，规律方法在三角恒等式的证明中，化繁为简是化简三角函数式的一般原则，按照目标确定【训练3】求证：证明原式可变形为=2sin2θ(cos2θ+sin=2sin2θcos2θ+2sin²2θ=sin4θ+1-cos4θ=左边.1.学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式.3.研究形如f(x)=asinx+bcosx的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式.因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一.对一些特殊的系数a、b应熟练掌握，例如sin;心心解析答案Bα∈(π,2π),故答案C解析答案-14.已知sinθ+2cos所,,,的值分别为()A之之用口442,,,答案B口当答案D由由得所以令k=0得单调递增区间答案D答案5.函数的最小正周期是-----.解析答案π(1)求f(x)的最小正周期.(2)g(x)与f(x)的图象关于直线x=1对称，求当时，g(x)的最大值.解;∴y=g(x)的最大值为由已知得8.已知α为钝角，β为锐角，且sin,sin求的值.解因为α为钝角，β为锐角，sin,sin,cos重重因,,所以9.当y=2cosx-3sinx取得最大值时，tanx的值是()·答案B4解析∵α是第三象限角，cos4答案A11.若8sinα+5cosβ=6,8cosα+5sinβ=10,则sin(α+β)=答案12.函数f(x)=cos¹x+sinxcosx的最大值是--------解析所以当答案(2)设函数f(x)=a·b,求f(x)的最大值.又从而所以当时，取最大值1,所以f(x)的最大值(2)设函数g(x)对任意x∈R,有g(x)在区间[-π,0]上的解析式.解且当求故f(x)的最小正周期为π.故①当由于对任意x∈R,从而②当从而综合①,②得g(x)在[-π,0]上的解析式为习题课简单的三角恒等变换目标定位1.能利用和、差、倍角的公式进行基本的变形，并证明三角恒等式；2.能利用三角恒等变换研究三角函数的性质；3.能把一些实际问题转化为三角问题，通过三角变换解决.2.若cos(α-β)cosα+sin(α-β)sin又则的值为,答案C,故选C.,事事那么等于()事的平移得到()解析可由y=2sinx的图象向左平个单位得到C.最小正周期为2π的偶函数解析所以最小正周期为答案D6.函数y=1-2cos²2x的最小正周期是------- 题型一三角变换中角的统一【例1】(1)化简：④sin²(-18°)+cos²48°-sin(-18°)cos48°;∴原式sin²α+cos²(30°-α)-sinαcos(30°-α)法二规律方法三角变换包括角的变换与函数名称的变换，而角的变换是内因，起决定性作用；其中角的变换的主要形式，就是角的统一，这是三角变换的精粹.【训练1】证明：证明故原式成立.题型二用辅助角公式研究三角函数性质(互动探究)【例2】已知函数f(x)=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x.(2)当时，求f(x)的最小值及取得最小值时x的集合.探究点一什么形式的函数可以直接求周期，最值，单调区间等.提示y=Asin(wx+φ)或y=Acos(wx+φ)的形式.探究点二高次的三角式如何化简?提示常见方法①因式分解，②降幂公式.=(cos²x+sin²x)(cos²x-sin²x)-sin2x∴f(x)的最小正周期为π.规律方法将函数解析式化为y=Asin(wx+φ)的形式，才可以将问题化归为y=sinx或+φ)的形式，是解决问题的关键.(2)若f(α)=2,且求α的值.即所以时，函数f(x)min=-1所以(2)若f(α)=2,即或题型三三角变换在实际中的应用(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?解(1)因为又0≤t<24,所于是f(t)在(0,24)上取得最大值12,取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃.(2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温.故有又0≤t<24,因即10<t<18.故在10时至18时实验室需要降温.规律方法三角函数是描述具有周期性的现象的重要数学模型；通过三角变换，将复杂的三角式化为规范的三角式，是解决问题的关键.【训练3】点P在直径AB=1的半圆上移动，过P作圆的切线PT且PT=1,∠PAB=α,问α为何值时，四边形ABTP面积最大?解如图所示，∴∠APB=90°,又AB=1,又PT切圆于P点，∠TPB=∠PAB=α,,。,。2.利用三角函数值求角要考虑角的范围3.与三角函数的图象与性质相结合的综合问题.借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析5.计算形如y=sin(wx+φ),x∈[a,b]形式的函数最值时，不要将wx+φ的范围和x的范围混淆. 答案B2.若sin4则解析sa=sinacos7+cos答案ABB0°<α<90°,则cos0°<α<90°,则cosα=------.5.设--------.。。事所以令所以k就是单位圆x+y=1的左半圆上的动点P(-sin2x,cos2x)与定点Q(0,2)所成直线的斜率所以函数6.求函数y=sin²x+2sinxcOsx+3cos'x的最小值.即时，函数有最小值即时，函数最小值为2-√2.7.已知A,B,C三点的坐标分别为(3,0),(0,3),(cosα,sinα),(2).f(x)=cos(x-α)cosα-sin(x-α)sinα=cos.,,故函数在区上的取值范围是[-2,1].9.函数f(x)=sin'x+cos²x的最小正周期是()解析f(x)=sin⁴x+1-sin²x=sin⁴x-sin²x+1=-sin³等于()心口解析依题意有sinacosβ-cosasin事事而,)而,)于是sinβ=si=sinac故选D.解析,事解得tan答案解析2x-√2(1-cos2x)值时矩形ABCD的面积最大?并求最大面积.解如题图乙所示，设OE交AD于M,交BC于N,显然矩形ABCD关于OE对称，而M,N均为AD,BC的中点，在Rt△ONC,CN=sina,ON=cosα,,。2,。214.已知向量a=(sinθ,cosθ-2sinθ),b=(1,2).所以2sinθ=cosθ-2sinθ,于是又由0<θ<π知，或因此章末复习课两角和的正切两角和的正切角植等变换两角差的余弦1.本章的公式多不易记住，解决这个问题的最好办法就是掌握每个公式的推导过程：首先用向量方法推导出Ca-B,再用-β代替Ca-s;中的β得到Cca+sj;接着用诱导公式sin(α±β)2.熟练掌握常用的角的变换，是提高解题速度、提高分析问题和解决问题的能力的有效途径.这些变换技巧需要同学们在平时解题的过程中多多摸索，而探索的方法就是认真观察已知条件中的角与待求式中的角之间的关系.3.时刻注意考虑角的范围是避免解题出错的唯一方法，首先是本章的某些公式中的角就有范围限制，如中的α的限制条件是心且;.其次是题中的角的范围也是有限制的.方法一转化与化归思想事事事规律方法三角函数求值主要有三种类型，即(1)“给角求值”,一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式.(2)“给值求值”,即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.要注意角的范围.(3)“给值求角”,本质上还是“给值求值”,只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围.【训练1】已知π,0<β<π,求α、β的值.①²+②²得：1+2cos²α=2,或..:事事或事事方法二函数与方程思想解S因此f(x)的最小正周期为π,最大值解(1)函数有意义，则1+sinx+cosx≠0,由由或∴函数定义域为(2)设sin