数学学案：例题与探究一元二次不等式及其解法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精典题精讲例1解关于x的不等式（a∈R）:x2—（a+a2）x+a3＞0。思路分析：首先考虑是否可以因式分解,分解之后可知作为方程的根是a,a2，需要对两根进行比较大小,所以要进行讨论。解:将不等式x2—（a+a2）x+a3＞0变形为（x—a）（x—a2）＞0。当a＜0时，有a＜a2,解集为｛x|x＜a或x＞a2｝;当0＜a＜1时，有a＞a2，解集为{x｜x＜a2或x＞a｝；当a＞1时，有a＜a2，解集为｛x｜x＜a或x＞a2｝;当a=0时，解集为｛x｜x≠0｝；当a=1时,解集为｛x｜x≠1｝.绿色通道：熟练掌握一元一次和一元二次不等式的解法是解不等式的基础,对含变量系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论,分类时要注意不重、不漏。黑色陷阱:本题最易出现的问题是分类不全，关键是标准把握不好,没有以a和a2的大小为标准讨论,应分大于、等于、小于三类讨论.变式训练解关于x的不等式＞1(a≠1）。思路分析：解分式不等式一般按照移项、通分、分解因式、转化为整式不等式的模式进行。含参不等式要对参变量的范围进行讨论，本题要对x的系数a-1分情形讨论,同时又要考虑两根的大小。解：原不等式可化为＞0，即［（a—1）x+(2—a)］（x-2）＞0.当a＞1时，原不等式与（x-)（x—2)＞0同解.若≥2，即0≤a＜1时，原不等式无解;若＜2,即a＜0或a＞1，于是a＞1时，原不等式的解为（—∞，）∪（2，+∞)。当a＜1时,若a＜0,解集为（，2）；若0＜a＜1，解集为（2，);若a=0时,解集为.综上所述,当a＞1时,解集为(-∞，)∪(2，+∞)；当0＜a＜1时，解集为（2，)；当a=0时,解集为；当a＜0时，解集为(，2）.例2若不等式(a-2）x2+2（a-2）x—4＜0恒成立，求a的取值范围.思路分析：要使一个二次函数恒小于0,只需使二次项系数小于0,并且恒在x轴下方。注意二次项系数为0的情况.解：（1)当a-2=0，即a=2时，-4＜0，恒成立。（2）当a-2≠0时,由（a-2)x2+2(a-2）x—4＜0恒成立,得∴—2＜a＜2.由（1）(2），知-2＜a≤2.∴a的取值范围是（-2，2]。黑色陷阱：忽视对x2项的系数为零的情形的讨论,直接由（a-2）x2+2(a—2）x—4＜0恒成立，得a-2＜0，4(a-2)2+16(a-2）＜0来求解。变式训练设f(x)=ax2+bx+c,若f（1）=，问是否存在a、b、c∈R,使得不等式x2+≤f（x）≤2x2+2x+对一切实数x都成立，证明你的结论。思路分析：本题主要应用判别式法解决二次函数恒成立问题,同时尽量寻找等量关系减少变量的个数。解:由f(1)=，得a+b+c=。令x2+=2x2+2x+x=—1,由f(x）≤2x2+2x+，推得f(—1)≤.由f(x)≥x2+，推得f(-1)≥，∴f（-1）=。∴a—b+c=.故2(a+c）=5，a+c=且b=1.∴f(x)=ax2+x+（—a)。依题意，知ax2+x+(—a）≥x2+对一切x∈R成立，∴a≠1且Δ=1—4(a-1）（2—a)≤0，得(2a—3)2≤0。∴a=.∴f（x)=x2+x+1.易验证x2+x+1≤2x2+2x+对x∈R都成立。∴存在实数a=，b=1，c=1，使得不等式x2+≤f(x）≤2x2+2x+对一切x∈R都成立.例3解不等式＜x。思路分析:解分式不等式要向整式不等式转化,可分分母大于零、小于零两种情形化去分母；也可移项、通分、分解因式再转化，往往移项后转化为整式不等式的方法较简单。高次不等式一般利用数轴标根法（也叫穿根法).解：移项整理，将原不等式化为由于x2+x+1＞0恒成立，知原不等式等价于,即(x+1）（x—2)（x—3)＞0,把方程(x+1)(x—2)（x-3）=0的三个根x1=—1,x2=2,x3=3顺次标在数轴上,然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如图3—3-1的阴影部分.图3-3-1所以原不等式的解集为｛x｜-1＜x＜2或x＞3}。绿色通道：通过本题要很好地总结分式不等式、高次不等式的解法，注意同解变形.使用标根法，要先化为标准形式,即各因式x的系数为正数，然后按照自右而左，自上而下，穿奇不穿偶的方法进行。黑色陷阱：此题易出现去分母得x2+2x-2＜x(3+2x-x2）的错误解法。另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理。变式训练（2005江西高考卷,17)已知函数f（x）=（a，b为常数）且方程f（x）-x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4。（1)求函数f(x）的解析式;（2)设k＞1，解关于x的不等式f（x)＜.思路分析:本题(2）是典型的含参不等式，需就k的情形分开讨论，又是分式、高次不等式，要注意等价转化,熟练应用标根法等基本方法.解：（1）将x1=3，x2=4分别代入方程—x+12=0，得所以f(x）=(x≠2）.(2）不等式即为＜,可化为＜0，即（x-2)（x-1)（x-k)＞0。①当1＜k＜2时,解集为x∈（1,k）∪（2,+∞);②当k=2时,不等式为(x—2)2(x-1)＞0,解集为x∈(1，2)∪（2，+∞);③当k＞2时,解集为x∈（1，2)∪(k，+∞)。例4已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0。（1）若方程有两根，其中一根在区间（—1，0)内，另一根在区间(1，2）内，求m的范围.（2）若方程两根均在区间（0，1)内,求m的范围。思路分析：根据二次方程对应的函数，画出相应的示意图，然后利用函数性质用不等式将所要求的条件加以限制。解：（1）条件说明抛物线f(x）=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2）内，画出示意图，得图3—3-2∴.(2）据抛物线与x轴交点落在区间(0，1）内，列不等式组。〔0＜—m＜1是因为对称轴x=-m应在区间（0,1）内〕绿色通道:二次方程f（x）=ax2+bx+c=0的实根分布及条件：(1）方程f(x)=0的两根中一根比r大,另一根比r小a·f(r)＜0。(2）二次方程f（x)=0的两根都大于r(3)二次方程f(x）=0在区间（p，q）内有两根黑色陷阱：用二次函数的性质对方程的根进行限制时,条件不严谨是解答本题的易错点.应结合图形，应用性质，从判别式、对称轴、端点值等几个方面考虑。变式训练1设不等式x2—2ax+a+2≤0的解集为M，如果M[1,4］,求实数a的取值范围。思路分析:M［1，4]有两种情况：其一是M=，此时Δ＜0；其二是M≠,此时Δ≥0，分两种情况计算a的取值范围。解：设f(x)=x2-2ax+a+2，有Δ=（-2a）2—4（a+2）=4(a2—a—2).(1)当Δ＜0时，-1＜a＜2，M=［1，4］。（2）当Δ=0时，a=-1或2.当a=—1时，M=｛—1｝［1,4］；当a=2时，m={2｝［1，4］。(3）当Δ＞0时，a＜—1或a＞2.设方程f(x）=0的两根x1，x2，且x1＜x2，那么M=［x1，x2］，M［1,4］1≤x1＜x2≤4即解之，得2＜a≤.∴M［1，4］时，a的取值范围是（-1，］.变式训练2己知三个不等式:①|2x—4｜＜5—x;②≥1；③2x2+mx-1＜0。(1）若同时满足①②的x值也满足③，求m的取值范围；（2）若满足的③的x值至少满足①和②中的一个，求m的取值范围。解:记①的解集为A，②的解集为B,③的解集为C.解①得A=(-1,3）；解②得B=［0，1）∪(2,4］，∴A∩B=[0,1）∪(2,3)。（1）因同时满足①②的x值也满足③,∴A∩BC。设f(x)=2x2+mx+1,由f（x)的图象可知方程的小根小于0，大根大于或等于3时,即可满足A∩BC.∴∴m≤。（2)因满足③的x值至少满足①和②中的一个，∴CA∪B，而A∪B=（—1,4］，因此C(—1，4]。∴方程2x2+mx—1=0的小根大于或等于-1，大根小于或等于4，因而解之，得≤m≤1。问题探究问题怎样解高次不等式及分式不等式，解题时应注意什么问题?导思：解决这类题要根据不等式的性质，进行同解变形，向一次、二次的整式不等式转化.探究：高次不等式也是一种很常见的不等式,在许多问题中都牵涉到解高次不等式。另外，许多分式不等式也可以转化为高次不等式,解高次不等式主要使用以下两种方法.以不等式(x+3)(x-2)（x—4）＞0为例.方法一:原不等式可化为几个不等式(组)进行求解.此种方法的本质是分类讨论，强化了“或”与“且”，进一步渗透了“交”与“并"的思想方法.方法二：不等式(或方程)有三个零点：—3，2，4，先在数轴上标出零点,这些零点把数轴分成了4个区间(如图3—3—3）。图3-3-3针对这些区间,逐一讨论各因式的符号情况,列表如下:因式x+3x-2x—4(x+3）(x-2）（x—4)当x＞4时++++当2＜x＜4时++-—当—3＜x＜2时+—-+当x＜—3时————从上表可看出(x+3)(x—2）（x-4）＞0的解集为｛x｜—3＜x＜2或x＞4｝.方法三：先在数轴上标出零点（标出根）.图3-3—4根标出来后，不是分区间进行验证讨论,而是直接标出综合因式（x+3）（x—2）(x—4)的正负号，再根据题目要求