数学学案：例题与探究数列

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精典题精讲例1分别写出下列数列的一个通项公式:(1),…；(2)4,，…；(3)5,55，555,5555，…；(4)1，1，，…。思路解析：(1）因为数列的各项是正负项交替出现，所以用(—1)n来调节，数列各项的绝对值可以分成整数、分数的分子和分母三部分，整数部分是奇数1,3,5，7，9，…，分母是4,9，16,25,36,…，正好是平方数，可以归纳出数列的通项公式为an=(-1）n［(2n-1）+］。（2）将这数列前4项改写成分数的形式:，可得通项公式an=（—1）n+1.(3)由于9，99,999，9999，…的通项公式是10n—1,所以将题中数列各项改写,可得5=×9,55=×99，555=×999，5555=×9999,即（5,55,555，5555）=(9,99,999，9999），可得通项公式an=(10n—1）.(4）原数列可写成：，…,得通项公式为an=.答案:（1)an=（—1)n［(2n—1）+］；（2)an=(-1）n+1；（3)an=（10n-1);（4)an=.绿色通道：熟练地掌握一些基本数列的通项公式:（1)数列-1,1，-1，1，…的通项公式是an=（-1)n；（2）数列1，2，3，4，…的通项公式是an=n；(3）数列1,3，5，7，…的通项公式是an=2n—1;（4)数列2，4，6，8，…的通项公式是an=2n；（5)数列1,2，4,8，…的通项公式是an=2n-1；（6)数列1，4，9，16，…的通项公式是an=n2；(7)数列，，,,…的通项公式是an=(其中n∈N+）.变式训练根据下面数列的前几项，写出适合它们的一个通项公式。（1),…；(2）,2，,…；（3），…;(4）11,102，1003,10004，….思路解析：(1)因为数列的各项是正负项交替出现，所以用(-1）n来调节，统一成分数的形式,分别观察分子与分母的规律可知，分子为n(n+2），分母为奇数（2n+1），从而可得an=(-1)n.（2)可把每一项统一写成分数，分母都是2，分子是项数的平方，可得an=。（3)每一项的分母可以看成连续两个奇数的乘积，可得an=.（4）每一项可看成两个数的和,10的序号次方加上序号，可得an=10n+n.答案：（1）an=（—1)n;(2）an=；（3）an=；(4)an=10n+n。例2在数列｛an｝中，a1=1，4an+1—anan+1+2an=9(n∈N+)，写出它的前4项并归纳出用n表示an的式子。思路分析:通过已知条件，可以找到an与an+1的递推关系式，再通过所求的递推关系可以求出这个数列的前4项。解:∵4an+1-anan+1+2an=9(n∈N+)，∴an+1(4—an）+2an=9.∴an+1(4—an）=9-2an.∴an+1=。∴a2=,a3=,a4=.则求出的这个数列的前4项为1，,可归纳出通项公式为an=。绿色通道:有的题目中没有直接给出数列的递推关系，可以观察已知条件设法找到，再按照前面的方法,将n=1，2,3，4代入即可得.黑色陷阱：在求数列前四项时，很容易直接利用递推关系式4an+1-anan+1+2an=9（n∈N+)来求，这样计算量大，且很容易出错。遇到比较复杂的关系时，要先化简,后带入数值计算，可达到减少运算量的目的。变式训练1已知数列{an｝满足a1=1，an+1=2an+1，写出该数列的前五项及它的一个通项公式.思路分析:首项给出，递推公式也已经给出，可依次求出a2,a3，…，只要按递推的“程序”计算即可,然后由各项间的规律写出一个通项公式。解：由递推公式an+1=2an+1及a1=1，可得a2=3,a3=7，a4=15，a5=31，∴数列的前五项分别为1,3，7,15,31.∴通项公式为an=2n—1.变式训练2(2006重庆高考，文14）在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2（n≥1)，则该数列的通项an=____________.思路解析:由an+1=an+2(n≥1)，知数列后一项比前一项大2,所以数列为1，3,5，7，….所以数列的通项an=2n-1。答案：2n-1例3已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n.求｛an｝的通项公式。思路分析：利用Sn,Sn-1,an之间的关系an=Sn-Sn—1（n≥2），求解通项公式。解：当n=1时，a1=S1=-1;当n≥2时,an=Sn—Sn—1=(2n2-3n)-［2（n-1)2—3(n-1）］=4n-5。当n=1时，上式也成立,故an=4n—5。绿色通道：对于任何一个数列，它的前n项和Sn与通项an都有这样的关系：an=若a1适合an(n≥2），则用一个公式表示an，若a1不适合an(n≥2），则要用分段形式表示an。黑色陷阱：在求通项公式时，直接利用an=Sn-Sn-1,而不考虑首项是否符合.在由前n项和公式求解通项公式时,要先求出a1,然后检验是否满足an(n≥2）的表达式.变式训练已知数列{an｝的前n项和Sn=3n—2。求{an｝的通项公式.解：当n=1时，a1=S1=1；当n≥2时，an=Sn-Sn—1=(3n-2）—(3n-1—2)=2×3n—1；而n=1时，上式不成立.所以数列的通项公式为例4已知an=（n∈N+)，则数列｛an}的最大项为_________________.思路解析：设｛an｝中第n项最大,则有∴8≤n≤9，即a8,a9最大。答案：a8，a9绿色通道：求一个数列{an}的最大项的问题，只需要找到数列中的一项，不小于它的前一项，也不小于它的后一项，这一项就是数列中的最大项.可以列出一个不等式组，也可以考虑数列的单调性进行求解.最小项可以同法求解.黑色陷阱:求最大项时，易得出漏掉等号。应注意数列中的项可以是相同的，所以不应漏掉等号。变式训练已知数列｛an｝的通项公式为an=n2-5n+4，(1）数列中有多少项是负数？（2）n为何值时,an有最小值？并求出最小值.思路分析：an与n之间构成二次函数关系，可结合二次函数知识去进行探求，同时要注意n的取值范围。解：（1)由n2—5n+4＜0，解得1＜n＜4。∵n∈N+,∴n=2，3.∴数列有两项是负数。(2）∵an=n2-5n+4=（n—）2-,可知对称轴方程为n=.又∵n∈N+，故n=2或3时,an有最小值,其最小值为22—5×2+4=-2。问题探究问题为了测试某种金属的热膨胀性质，将这种金属的一根细棒加热，从100℃开始第一次量细棒长度，以后每升高50℃量一次，把依次量得的数据组成的数列｛ln｝用图象画出,如图2-1—1，根据图象回答下列问题：图2—1-1(1)第5次量得金属棒的长度是多少？此时金属棒的温度是多少？(2)求｛ln｝的通项和金属棒长度l(m）关于温度T（单位：℃)的函数关系式.（3)在30℃的温度条件下,如果把两块这种矩形金属板平铺在一个平面上，这个平面的最高温度可达到500℃，问铺设时两块金属板之间至少要留出多宽的空隙？导思：在图象上,当n=5时,对应的纵坐标为第5次量得金属棒的长度；求数列{ln｝的通项公式，可以根据这个数列的前6项：2。001，2。002,2.003，2。004,2。005，2.006归纳出ln=0。001n+2.另外，从图象上看出这是一条直线上的点,所以可直接利用待定系数法设ln=kn+b，然后将其中的两个点，如(1,2。001）、(2,2。002)代入直线方程，也可得｛ln}的通项公式。要求出“铺设时两块金属板之间至少要留出多宽的空隙"，实际上是求两种温度下的长度之差。探究：从图上不难看到第5次量得金属棒长度是2.005m,这时温度为(5-1)×50+100=300℃。设ln=dn+b，由待定系数法,得通项公式ln=0。001n+2.由题意，得T=50(n—1)+100=50n+50。∴n=.代入通项公式,得所求函