河北省示范性高中2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题 含解析

河北省示范性高中高一年级期中质量检测联合测评数学班级__________姓名__________注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用交集的概念进行求解.【详解】.故选：B2.以下函数中，在上单调递增且是偶函数的是（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】利用基本初等函数的单调性和奇偶性，结合选项依次判断即可．【详解】对于A，函数为奇函数，故选项A错误；对于B，函数为偶函数，且在上,单调递减，故选项B错误；对于C，函数为偶函数，且在上单调递减，故选项C错误；对于D，函数为偶函数，且在上,单调递增且恒为正，故在单调递增，故选项D正确．故选：D3.下列各组函数中，两个函数是同一函数的是（）A.与 B.与C.与 D.与【答案】D【解析】【分析】两函数的定义域和对应法则均相同，为同一函数，对四个选项一一作出判断，得到答案.【详解】A选项，的定义域为R，的定义域为，两函数定义域不同，A错误；B选项，的定义域为，的定义域为，定义域不同，B错误；C选项，的定义域为，的定义域为R，两函数定义域不同，C错误；D选项，令，解得，故定义域为，令，解得，故的定义域为，又，故对应法则相同，故两函数为同一函数，D正确.故选：D4.已知幂函数在区间上单调递减，则（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】首先利用幂函数的定义，得出，根据方程求出的值，然后再将的值代入函数解析式，检验所得函数的单调性，即可得出符合条件的的值．【详解】由于是幂函数，所以，解得或.当时，函数为，满足在上为减函数，符合题意；当时，函数为，不满足在上为减函数，不符合题意．故，故选：A.5.下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，，则【答案】C【解析】【分析】A选项，两边同时除以得到；B选项，两边分别同时乘以和，得到；CD选项，同AB一样，由不等式性质进行推导.【详解】A选项，因为，所以，两边同时除以得，，A错误；B选项，因为，所以两边同时乘以得，两边同时乘以得，故，B错误；C选项，因为，，则，C正确；D选项，因为，所以，又，故，所以，D错误.故选：C6.已知函数，若，则（）A.2或-2或-1 B.2或-1 C.2或-2 D.-2【答案】D【解析】【分析】分和两种情况，代入得到方程，舍去不合要求的解，得到答案.【详解】若，则，解得或2（舍去），若，则，解得（舍去），综上，.故选：D7.已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据一次函数以及幂函数的单调性，结合分段函数的的性质即可列不等式进而即得.【详解】根据题意，函数是R上的增函数，必有，解可得，即的取值范围为故选：C．8.已知函数的图象关于y轴对称，若，且，都有，则下列结论正确的是（）A.最大值为B.C.函数的图象关于点中心对称D.若，则【答案】D【解析】【分析】A选项，将条件变形后，由定义法得到在上单调递增，结合的图象关于y轴对称，求出有最小值，A错误；B选项，在上单调递减，B错误；C选项，的图象关于直线对称，C错误；D选项，先得到，由在上单调递增得到D正确.【详解】A选项，，且，都有，即，故在上单调递增，又的图象关于y轴对称，故在上单调递减，故有最小值，A错误；B选项，在上单调递减，故，B错误；C选项，由平移法则知的图象关于直线对称，C错误；D选项，若，则，当，则，当，则，综上，，又在上单调递增，故，D正确.故选：D二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.设集合，，且，则实数a的值可以是（）A.2 B.1 C. D.0【答案】ACD【解析】【分析】求出，分，和三种情况，得到实数a的值.【详解】，因为，当时，，满足要求，当时，，当时，，解得，综上，或2或.故选：ACD10.下列结论中正确有（）A.“”是“”的必要不充分条件B.已知命题“，”，则该命题的否定为“，”C.“”是“”的充分不必要条件D.“关于的方程至多有一个实数根”的必要条件可以是【答案】BD【解析】【分析】A选项，解方程得到或0，A错误；B选项，存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定；C选项，解不等式得到或，C错误；D选项，由根的判别式得到不等式，求出，由得到D正确.【详解】A选项，，解得或0，故“”是“”的充分不必要条件，A错误；B选项，命题“，”的否定为“，”，B正确；C选项，，解得或，故“”是“”的必要不充分条件，C错误；D选项，由题意得，解得，由于，故“关于的方程至多有一个实数根”的必要条件可以是，D正确.故选：BD11.下列说法正确的有（）A.若，则函数的最大值为B.已知，则的最小值为C.若正数x、y满足，则的最小值为3D.设x、y为正实数，且，则的最小值为6【答案】BCD【解析】【分析】A选项，利用基本不等式直接进行求解；B选项，分离常数后，利用基本不等式进行所求皆；C选项，利用基本不等式“1”的妙用进行求解；D选项，表达出，故，由基本不等式求出答案.【详解】A选项，，，当且仅当，时，等号成立，故A错误；B选项，，因为，所以，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，故B正确；C选项，正数x、y满足，则，当且仅当，即时，等号成立，C正确；D选项，x、y为正实数，且，则，，当且仅当，即时，等号成立，D正确.故选：BCD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知函数的定义域是，则函数的定义域是_________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，结合复合函数的定义域列式求解即得．【详解】若函数y=fx的定义域是，则函数需要满足：则，解得，所以的定义域是．故答案为：13.已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为_________.【答案】或.【解析】【分析】先求出时的解析式且，分，和，解不等式，求出答案.【详解】当时，，故，因为是定义在上的奇函数，所以，故，所以，，满足，当时，令，解得，故，当时，令，解得或，故，综上，的解集为或.故答案为：或.14.已知，，满足不等式，则实数m的取值范围是_________.【答案】或【解析】【分析】由题意得到，求出，，从而得到不等式，求出答案.【详解】，，满足不等式，故只需，其中，当且仅当时，等号成立，关于的函数，当且仅当时，等号成立，所以，解得或，综上，实数m的取值范围是或，故答案为：或四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知全集，集合，集合.（1）求集合；（2）设集合，若集合，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解分式不等式得到或，根据补集和交集概念求出答案；（2）得到为的真子集，且，从而得到不等式，求出答案.【小问1详解】，等价于，解得或，故或，，，【小问2详解】由（1）知，，是的充分不必要条件，故为的真子集，又，故，解得，故实数a的取值范围是.16.某厂要建一个长方体形状的露天蓄水池，其蓄水量为，高为，底面一条边长为5m，施工方给的造价：四个侧面造价为100元/，底面造价为80元/.（1）设此蓄水池的总造价为y元，求y关于x的函数关系式；（2）如果你是施工方，请帮该厂设计一个总造价最低的方案，给出具体的数据参考.【答案】（1），；（2）长方体的高为4m，底面长宽分别为10m和5m时，总造价最低.【解析】【分析】（1）由题意表达出长方体底面的另一条边长为m，从而表达出y关于x的函数关系式；（2）在（1）的基础上，利用基本不等式求出的最小值和此时所满足的条件，得到答案.【小问1详解】长方体蓄水池的底面面积为，长方体底面的另一条边长为m，故，；【小问2详解】，故由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，此时m，故当长方体的高为4m，底面长宽分别为10m和5m时，总造价最低.17.设函数，.（1）若在上单调递减，求实数的取值范围；（2）求关于的不等式的解集.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）分、两种情况讨论，在时，直接检验即可；在时，根据二次函数的单调性可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围；（2）将所求不等式变形为，分、、三种情况讨论，结合一次不等式和二次不等式的解法可得出原不等式的解集.【小问1详解】因为函数在上单调递减，当时，即函数在上单调递减，合乎题意；当时，因为二次函数在上单调递减，可得，解得.综上所述，实数的取值范围是.【小问2详解】不等式可化为，当时，原不等式即为，解得；当时，方程的两根分别为，.（i）当时，，解原不等式可得；（ii）当时，，解原不等式可得或.综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.18.已知集合，实数满足.（1）若集合，且，，是集合中最小的三个元素，求集合A；（2）在（1）条件下，若实数b构成的集合为B，且集合，若实数，且关于x的方程有实数解，请列出所有满足条件的有序数对.【答案】（1）（2），.【解析】【分析】（1）根据单调性得到最小的三个元素，得到答案；（2）先求出，得到，分和，结合根的判别式得到满足的条件，求出所有满足条件的有序数对.【小问1详解】随着的增大而增大，又，故集合中最小的三个元素依次为，故；【小问2详解】，当时，或1，当时，与元素互异性矛盾，舍去，满足要求，当时，或2，两者均满足要求，当时，（舍去），综上，，，，关于x的方程有实数解，当时，，解得，满足要求，故均可，满足条件的有序数对有，当，需满足，即，若，则，满足条件的有序数对有，若，则，满足条件的有序数对有，若，则，满足条件的有序数对有，若，则，满足条件的有序数对有，综上，满足条件的有序数对有，.19.已知实数，函数，.（1）试判断函数的奇偶性；（2）用定义证明函数在上单调递增，并判断在是否也单调，如果单调，判断是增函数还是减函数.（3）当，时，用表示、的最大者，记为，求的最值.【答案】（1）偶函数（2）证明见解析，函数在上是增函数（3）最小值为，最大值为【解析】【分析】（1）利用函数奇偶性的定义可判断出函数hx（2）任取、且，作差，变形，判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立；同理结合函数单调性的定义可判断出函数在上的单调性；（3）化简函数在上的解析式，并分析函数在区间上的单调性，即可求出函数在上的最小值和最大值.【小问1详解】因为实数，函数，，则，其中，，则函数hx为偶函数.【小问2详解】因为，任取、且，则，，则，即，所以，函数在上为增函数，函数在上也为增函数，理由如下：因为，任取、且，则，，则，即，所以，函数在上为增函数.【小问3详解】当时，，，则，因为，当时，