江苏省常州市2024-2025学年高二上学期11月期中考试 数学 含答案

2024年秋学期高二期中质量调研数学试卷2024.11注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.经过，两点的直线倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出斜率，从而可求倾斜角.详解】，故倾斜角30°，故选：A2.如果抛物线y2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为A.（1,0） B.（2,0） C.（3,0） D.（－1,0）【答案】A【解析】【详解】由抛物线的焦点坐标为，准线方程为可知，抛物线的焦点坐标为，故选A．3.双曲线实轴长是虚轴长的2倍，则实数m的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据基本量的关系可求实数的值.【详解】双曲线方程可化为：，其中，因为实轴长是虚轴长的2倍，故，故，故选：D.4.已知圆关于直线对称，则圆C中以为中点的弦长为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根据直线过圆心求出，再求出弦心距后可求弦长.【详解】圆的标准方程为：，故，半径，故即，以即为中点的弦，与垂直，而，故弦长为：，故选：D5.过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（点A在第一象限），若直线l的倾斜角为，则的值为（）A.3 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】求出两点的纵坐标后可求的值.【详解】设，，由题设因为直线l的倾斜角为，故，由可得，解得或，故，，故，故选：C.6.如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点，．若过点的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由切线的性质，可得，，再结合椭圆定义，即得解【详解】因为过点的直线圆的切线，，，所以．由椭圆定义可得，可得椭圆的离心率．故选：A7.已知，分别是双曲线（a，）的左、右焦点，A为双曲线的右顶点，线段的垂直平分线交双曲线于点P，其中，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的定义，结合勾股定理、离心率的定义进行求解即可.【详解】如图，设线段的垂直平分线与x轴的交点为B，不妨设P在第一象限，则，，再由勾股定理得：，所以，等式两边同除以整理可得得或舍去故选：C8.设直线l：，圆C：，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在点M，使，则m的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把问题转化成点到直线的距离的范围问题求解.【详解】圆：，所以，圆的半径为：.“在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在点M，使”可转化为“圆心到直线的距离不大于2”.由.故选：B【点睛】方法点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.设a为实数，直线，，则（）A.当时，不经过第一象限 B.充要条件是C.若，则或 D.恒过点【答案】AB【解析】【分析】利用反证法可判断A的正误，利用平行或垂直的判断方法可判断BC的正误，求出过的定点后可判断D的正误.【详解】对于A，若过第一象限的点，则，且，但故，矛盾，故不过第一象限，故A正确；对于B，若，则，故或，由直线可得，而当时，两条直线的方程分别为：，，此时两条直线平行，符合，反之，也成立，故的充要条件为，故B正确；对于C，若，，故或，但不为零，故C错误；对于D，直线可化为：，由可得，即直线过定点，故D错误；故选：AB10.某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面m千米，远地点B（离地面最远的点）距地面n千米，并且F、A、B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a、2b、2c，则（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据题设条件可得，逐项判断后可得正确的选项.【详解】由题设，，所以，，故AB正确，C错误，而，故D正确.故选：ABD.11.已知F、为椭圆C：的左、右焦点，直线l：（）与椭圆C交于A，B两点，轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则（）A.四边形周长为8 B.的最小值为C.直线BE的斜率为2k D.【答案】ABD【解析】【分析】由椭圆的定义判断A，结合基本不等式求得最小值判断B，设，得出坐标，求出斜率判断C，由直线与椭圆相交求得点坐标后根据斜率即可判断D．【详解】由已知，，A正确；，则，当且仅当，即时等号成立，B正确；设，则，，，则，C错；直线方程为，由，消去得，显然是此方程的一个解，则，，因此，，，所以与垂直，D正确．故选：ABD．【点睛】方法点睛：直线与椭圆相交问题，常常设交点坐标为，设直线方程为，代入椭圆方程后应用韦达定理得，如果直线方程是以直线与椭圆相交的一个点为基础得出的方程，那么该点的坐标（横坐标或纵坐标）就是相应一元二次方程的一个解，从而利用韦达定理易求得另一解．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.点与点关于直线l：对称，则的值为________．【答案】【解析】【分析】根据垂直关系和中点在直线上可求，从而可求的值.【详解】因为，故，而中点为，故，所以，所以，故答案为：.13.已知点，，点满足直线斜率之积为，则的最小值为________．【答案】-7【解析】【分析】先求出的轨迹方程，再结合向量数量积的坐标形式可求最小值.【详解】设Px,y，则，故，整理得到：，而故，而，故，故答案为：-714.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，点满足，则点的轨迹为圆，设其圆心为，已知直线：经过定点，则的面积的最大值为________．【答案】【解析】【分析】求出的轨迹和定点后可求的面积的最大值.【详解】设Px,y，则，整理得到：，故，轨迹圆的半径为，直线可化为，故直线过定点，中，边上的高的最大值为轨迹圆的半径，而，故面积的最大值为，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知直线的方程为，若直线过点，且．（1）求直线和直线的交点坐标；（2）已知直线经过直线与直线的交点，且在x轴上截距是在y轴上的截距的，求直线的方程．【答案】（1）2,1（2）或【解析】【分析】（1）先求直线的方程，联立，的方程，解方程组可得交点坐标.（2）设直线的点斜式方程，利用直线在两坐标轴上的截距的数量关系列方程，可求斜率，得到直线的方程.【小问1详解】经过点且与垂直的直线为：：，即.由.所以直线和直线的交点坐标为：2,1.【小问2详解】因为直线与两坐标轴都相交，故斜率一定存在且不为0.设：.交轴于点：，交轴于点：.由或.所以的方程为：或.16.已知圆：，圆：（），直线：，：．（1）若圆与圆相内切，求实数m的值；（2）若，被圆所截得的弦的长度之比为，求实数的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据半径与圆心距的关系可求实数的值.（2）根据弦长的长度之比可得关于的方程，从而可求实数的值.【小问1详解】由题设可得，，因为圆与圆相内切，故，其中，解得.【小问2详解】到的距离为，到的距离为，故，解得.17.已知双曲线C：（，）的一条渐近线为，且一个焦点到渐近线的距离为2．（1）求双曲线方程；（2）过点（的直线与双曲线左、右两支分别交于两点，动点M满足，求点M的轨迹方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据渐近线及焦点到渐近线的距离可求基本量，从而可求双曲线的方程；（2）设直线，联立直线方程和双曲线方程后结合韦达定理可用表示的坐标，从而可求其轨迹.【小问1详解】因为双曲线渐近线的方程为：，则，而焦点到渐近线的距离为2，故（为半焦距），故，故，故双曲线方程为：.【小问2详解】由题设可得的斜率必定存在，设直线，，由可得，因为直线与双曲线左、右两支分别交于两点，故，故，又，而，因，故，所以，故，故，代入后可得，因为，故，故的轨迹方程为：.18.如图，已知抛物线C：（）的焦点F，且经过点，．（1）求A点的坐标；（2）直线l交抛物线C于M，N两点，过点A作于D，且，证明：存在定点Q，使得DQ为定值．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由抛物线定义有求，由在抛物线上求m即可得的坐标.（2）令，，，联立抛物线得到一元二次方程，应用韦达定理，根据及向量垂直的坐标表示列方程，求k、n数量关系，确定所过定点，再由易知在以为直径的圆上，即可证结论.【小问1详解】由抛物线定义知：，则，故，又在抛物线上，则，可得，故.【小问2详解】设，，由（1）知：，所以，，又，故，所以，因为的斜率不为零，故设直线，联立，整理得，且，所以，，则，，综上，，当时，过定点；当时，过定点，即共线，不合题意；所以直线过定点，又，故在以为直径的圆上，而中点为，即为定值，得证.19.《文心雕龙》有语：“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意指自然界的事物都是成双成对的．已知动点P与定点的距离和它到定直线l：的距离的比是常数（）．设点P的轨迹为曲线H，若某条直线上存在这样的点P，则称该直线为“齐备直线”．（1）若，求曲线H的方程；（2）若“齐备直线”：与曲线H相交于A，B两点，点M为曲线H上不同于A，B的一点，且直线MA，MB的斜率分别为，，试判断是否存在λ，使得取得最小值？说明理由；（3）若，与曲线H有公共点N的“齐备直线”与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且N为线段ST的中点，求证：直线与曲线H有且仅有一个公共点．【答案】（1）（2）存在使得取得最小值4，理由见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）把点满足的条件用坐标表示出来，整理化简即可；（2）把点满足的条件用坐标表示出来整理可得的方程，利用两点表示斜率公式求出，进而，结合基本不等式计算即可求解；（3）由（2）得曲线：，设，求出点的坐标，进而可得的坐标，代入双曲线方程，求出的关系，联立双曲线方程，整理化简可得一元二次方程，利用即可证明.【小问1详解】当时，定直线：，比值：.设，则点到定点的距离与它到定直线的距离之比为，即，两边平方，整理得：，即为曲线的方程.【小问2详解】因为动点P与定点的距离和它到定直线l：的距离的比是常数（），所以，整理得，即，即为曲线的方程.设，则，，得，当且仅当即时，等号成立，所以存在使得取得最小值4.【小问3详解】由（2）知，当时，曲线：，双曲线的渐近线