上海市金山区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题（带解析）

第1页/共1页2024学年第一学期期中诊断评估初三年级数学学科试卷（完卷时间：100分钟，满分：150分）2024．11一．选择题（每小题4分，共24分）1.下列各组图形一定相似的是（）A.所有的等腰三角形都相似 B.所有的等边三角形都相似C.所有的菱形都相似 D.所有的矩形都相似【答案】B【解析】【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可．【详解】解：A.任意两个等腰三角形的对应边不一定成比例，不一定相似，A错误；B.任意两个等边三角形对应角相等、对应边成比例，一定相似，B正确；C.任意两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，C错误；D.任意两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，D错误；故选B．【点睛】本题考查的是相似图形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形是解题的关键．2.如果C是线段的中点，那么下列结论中正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量的定义逐个判断即可得到答案；【详解】解：∵C是线段的中点，∴，，，故A、C、D选项错误，B选项正确，故选B．【点睛】本题考查向量相关定义，解题的关键是分清向量方向．3.如图为阿成调整他的计算机画面的分辨率时看到的选项，当他从建议选项调整成时，由于比例改变，画面左右会出现黑色区域，当比例不变就不会有此问题．判断阿成将他的计算机画面分辨率从调整成下列哪一种时，画面左右不会出现黑色区域?（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了比例性质，理解题意并掌握比例的化简是解题的关键．由题意得，当比例不变就不会出现黑色区域，先通过计算将比例化为最简比得到，再逐个分析选项中给出的分辨率及其比例，若比例化简后与相等则正确，否则错误，通过计算可得只有正确，其余均错误，即可得出正确选项．【详解】解：，由题意得，当比例不变就不会出现黑色区域，，比例不变，故A正确；，比例改变，故B错误；，比例改变，故C错误；，比例改变，故D错误．故选：A．4.点、、分别在的边、、上，，，下列不一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质．由平行线分线段成比例及相似三角形的性质逐一判断即可．【详解】解：，，，故A正确，不符合题意；D错误，符合题意；，，故B正确，不符合题意；，，，，，，，∴四边形是平行四边形，∴，∴，故C正确，不符合题意；故选：D．5.中，点是边上一点，联结，下列条件中，不能判定与相似的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定，由图可知，是与的公共角，所以再添加一组角相等或者添加夹的两边成比例即可判断．【详解】解：如图所示，A．，，，，故A不符合题意；B．，，，不能判定与相似，故B符合题意；C．，，故C不符合题意；D．，，，故D不符合题意；故选：B．6.如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④当是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是（）A.①③④⑤ B.①②③⑤ C.①②③④ D.①②④⑤【答案】C【解析】【分析】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．根据正方形的性质证明，可以判断①；然后证明，可以判断②；由，，根据正方形对角线上的点到，边上的距离相等，即可判定③；设正方形的边长为，当是的中点时，，根据相似三角形的判定与性质和勾股定理分别表示出，，进而可以判断④；设，则，，得，所以，当时，，证得，进而可以判断⑤．【详解】在正方形中，，，，，，，故①正确；，，，，故②正确；在正方形对角线上，到，的距离相等，，，，故③正确；设正方形的边长为，，当是的中点时，．由勾股定理得：，，，，，，，，，，，，，，，，，当是的中点时，，故④正确，当时，，，，，，，中边上的高与中边上的高相等，，，设，则，，，，当时，，，，，，故⑤不正确，综上所述：正确结论的序号是①②③④，故选：C．二．填空题（每小题4分，共48分）7.如果两个相似三角形对应边上的高之比是，那么它们的对应中线之比等于__________．【答案】【解析】【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应边上的高之比等于相似比，对应中线比也等于相似比．由此可解．【详解】解：两个相似三角形对应边上高之比是，这两个相似三角形的相似比为，它们的对应中线之比等于．故答案为：．8.解放军进行野外训练，要求从甲地到乙地，在一幅比例尺是1:60000的地图上，量得甲、乙两地的距离是40厘米．要求在4小时内到达，平均每小时要行军____千米．【答案】6【解析】【分析】已知比例尺、图上距离，求实际距离，根据图上距离÷比例尺=实际距离列式求得甲、乙两地的实际距离，再根据路程÷时间=速度，进一步求出行军速度．【详解】故答案为：6．【点睛】此题主要考查比例尺、图上距离、实际距离三者之间的数量关系：比例尺=图上距离÷实际距离，灵活变形列式解决问题．9.“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，如果如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离约为分米，那么该兵马俑的眼睛到下巴的距离约为__________分米（结果保留根号）．【答案】【解析】【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解答关键．设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为，根据黄金分割的定义列出方程求解．【详解】解：设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为，由题意得，解得，该兵马俑的眼睛到下巴的距离为．故答案为：．10.如图，、是边、上的两点，且，，则________．【答案】【解析】【分析】由，，根据平行线分线段成比例定理，又由，即可求得的值．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意比例线段的对应关系．11.如图，已知直线，直线分别交直线、、于、、三点，直线分别交直线、、于、、三点，如果，，，那么长为_____．【答案】【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例，列出比例式将已知数据代入即可求解．【详解】，，，，，．故答案为：．12.点是平行四边形边延长线上一点，联结交于点，联结交于点，如果，那么__________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．首先根据平行四边形的性质可得，，结合可证明，再证明，由相似三角形的性质可得，即可获得答案．【详解】解：如图，∵四边形为平行四边形，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：．13.梯形中，，且，若，．请用，来表示_____．【答案】【解析】【分析】此题考查了平面向量．根据平行四边形法则得到，即可用、表示．【详解】解：如图，∵，，，∴，∴，故答案为：．14.在中，，于，如果，，那么的长是______．【答案】【解析】【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质．证明，则，代入数据即可求出答案．【详解】解：如图，∵于，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，故答案为：．15.在中，，、在边上，且在、之间，，，如果是等边三角形，那么等边的边长为_____．【答案】6【解析】【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，先根据等边三角形的性质及三角形的内角和定理得出，，进而可证明，再根据相似三角形的性质得出，求解即可，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决此题的关键．【详解】如图，设等边的边长为x，∴，，∵，，∴，∵，∴，，∴在中，，∴，同理可得，∴，∴，即，∴，解得或(边长不能为负舍去)，故答案为：6．16.在锐角中，是边上的高，，如果矩形内接于中，点、分别在边、上，点、在边上，那么矩形的周长是______．【答案】24【解析】【分析】本题考查了相似三角形性质，解题关键是根据相似三角形的性质得出矩形两邻边的关系．根据相似三角形的性质得出和的关系，再求周长即可．【详解】解：如下图，∵矩形内接于中，∴，∴，∵是上的高，∴，∵，∴，∴，矩形的周长为．故答案为：24．17.定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做准直角三角形．已知在直角中，，，，如图，如果点在边上，且是准直角三角形，那么____．【答案】或．【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．分两种情况讨论，由相似三角形的性质和锐角三角函数可求解【详解】当时，如图，过点D作于H，在中，，，，∴，∵，，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，当时，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，综上所述：或；18.在中，，，点，，分别在边，，上，连接，，，已知点和点关于直线对称．如果，且，那么______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，勾股定理，连接，首先根据轴对称的性质，三角形内角和定理和等边对等角得到，设，然后利用勾股定理即可求出的长度，进而求出的长度即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接，∵点和点关于直线对称∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴可设，∵，∴由勾股定理得，∴解得，∴，∴故答案为：．三．解答题（本大题共7题，满分78分）19.已知、、是的三边长，且，求：（1）的值．（2）若的周长为18，求各边的长．【答案】（1）；（2），，．【解析】【分析】本题考查比例的性质，比例的应用等知识，设，从而用表示出是解题的关键．（1）设，从而用表示出，再代入化简即可得解；（2）根据的周长为18，即，从而将（1）中的结论代入求出t即可得解．【小问1详解】解：设，，，，代入，得；【小问2详解】由题意知，，则，解得，，，．20.如图，在中，是的重心，联结并延长交于点．（1）如果，，那么=________________(用向量、表示)；（2）已知，，点在边上，且，求的长．【答案】（1）（2）3；【解析】【分析】本题主要考查了平面向量，三角形的重心，相似三角形的判定与性质，（1）利用平面向量的定义解答即可；（2）利用三角形的重心的定义和相似三角形的判定与性质解答即可．【小问1详解】解：，，是的重心，联结并延长交于点，为的边上的中线，即点为的中点，，故答案为：．【小问2详解】是的重心，．，，，21.如图，在中，点在边上，点、点在边上，且，．（1）求证：；（2）如果，求的值【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．（）由平行线分线段成比例得到，即可得到，进而得到，即可证明，得到，即可求证；（）根据题意得，证明，再由相似三角形的性质即可求解；【小问1详解】证明：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；【小问2详解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∴．22.某班级的“数学学习小组心得分享课”上，小智、小明跟同学们分享了关于梯形的三个正确的研究结论：①如图1，梯形，，过对角线交点的直线与两底分别交于点、，则；②如图2，梯形，，过两腰延长线交点的直线与两底分别交于点、，则；③如图3，梯形，，过对角线交点作分别交、于点、，则．（1）请在答题纸上完成结论③的证明．（2）该小组还出了一个作图题考同学们：请运用上述相关结论用一把直尺将图4中两条平行的线段、同时平分．（保留作图过程痕迹）（注意：请务必在试卷的图示中完成作图草稿在答题卷上直接用铅笔完成作图，不要涂改．）【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，对于（1），根据，可得，进而得出，再根据比例的性质得，然后根据，可得，，根据相似三角形的对应边成比例得，即可得出答案；对于（2），先确定点P，再确定点O，然后连接可得答案，结合（1）（2）中的结论说明即可．【小问1详解】∵，∴，∴，∴.∵，∴，，∴，∴，∴；【小问2详解】如图所示．连接并延长交于点P，连接交于点O，连接并延长，分别交于点M，N，则即为所求作．由（1）知，由（2）知，∴，∴，∴，∴，∴平分线段．23.已知：如图，矩形的对角线、相交于点，点在边上，，垂足为点．（1）求证：；（2）过点作交于点，求证：．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查了三角形的性质与判定，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．（1）根据题意证明，利用相似三角形的性质得出即可；（2）证明，根据相似三角形的性质和矩形的性质即可得证．【小问1详解】证明：∵四边形是矩形，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∵∴，∴，∴；【小问2详解】证明：如图，∵，∴，在矩形中，，又∵，∴，∴，在矩形中，∴，∴，∵，∴．24.已知的顶点、的坐标分别是、B−2,0、点在轴正半轴，的面积为12．（1）求点的坐标；（2）若点在轴的正半轴，且是等腰三角形，请直接写出点的坐标；（3）已知点在轴上，如果，求点的坐标．【答案】（1）（2）点的坐标为或（3），点的坐标为或【解析】【分析】（1）根据题意，设，可得，由三角形的面积的计算方法即可求解；（2）根据勾股定理可得，根据等腰三角形的判定和性质分类讨论：当时；当时；当时；结合等腰三角形的性质，坐标与图形的特点分析即可求解；（3）根据题意可得，在上取的中点，可得，由此分类讨论：第一种情况，点在点的位置，可证，可得点；第二种情况，点在点的位置，根据题意可得，点关于轴对称，可得；由此即可求解．【小问1详解】解：∵点在轴正半轴，∴设，∵、B−2,0，的面积为12，∴，∴，即，解得，，∴；【小问2详解】解：∵，∴，∵，∴，当时，等腰三角形，∴，∴；当时，是等腰三角形，∵，∴，∴；当时，∵，∴此时点与点重合，不符合题意，舍去；∴点的坐标为或；【小问3详解】解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴在上取的中点，如图所示，∴，∴，∴，，，∵是的外角，∴，∵，∴，第一种情况，点在点的位置，∵，∴，∴，∴，∴；第二种情况，点在点的位置，∵，∴，∴点关于轴对称，∴；∴，点的坐标为或．【点睛】本题主要考查坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，理解坐标与图形的关系，掌握等腰三角形的判定和性质，勾股定理的运用，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质是解题的关键．25.如图1，AD、BD分别是的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．（1）求证：；（2）如图2，如果AE=AB，且BD：DE=2：3，求BC：AB的值；（3）如果∠ABC是锐角，且与相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值．【答案】（1）详见解析；（2）；（3）∠ABC=30°或者∠ABC=45°，或者【解析】【分析】(1)先根据题意证明以及，再适当变形即可得到答案；(2)