江苏省金陵海门中学2024-2025学年高三上学期期中调研数学试题VIP

海门中学2024/2025学年第一学期高三期中考试数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．已知集合，，则的真子集的个数为（）A．7 B．8 C．16 D．152．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．设，都是不等于1的正数，则“”是“”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．已知，则（）A． B． C． D．5．已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（）A． B．在方向上的投影向量为C．若，则 D．若，则6．已知数列的前项和为，其中，且，则（）A． B． C． D．7．函数，其中，其最小正周期为，则下列说法错误的是（）A．B．函数图象关于点对称C．函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为D．若，则函数的最大值为8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（）A．函数有两个零点 B．当时，C．的解集是 D．都有二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知函数，，则（）A．与的值域相同 B．与的最小正周期相同C．曲线与有相同的对称轴 D．曲线与有相同的对称中心10．已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（）A．若是等差数列，且，则B．若是等比数列，且，则C．若，则是等差数列D．若是公比大于1的等比数列，则11．已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的是（）A．函数是奇函数 B．C．函数的图象关于点对称 D．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知函数，若，，且，则的最小值是________．13．已知的外心为，内角，，的对边分别为，，，且．若，则________．14．若存在实数，使得对于任意的，不等式恒成立，则取得最大值时，________．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（13分）已知的内角，，的对边分别为，，，且．（1）求；（2）若，则面积为，求、的值．16．（15分）已知数列中，．（1）证明数列是等比数列；（2）若数列的通项公式为，求数列的前项和．17．（15分）已知直三棱柱中，，，分别为和的中点，为棱上的动点，．（1）证明：平面平面；（2）设，是否存在实数，使得平面与平面所成的角的余弦值为？18．（17分）在平面直角坐标系中，，分别是椭圆的右顶点、上顶点，若椭圆的离心率为，且点到直线的距离为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于，两点，其中点在第一象限，点在轴下方且不在轴上，设直线，的斜率分别为，．①求证：为定值，并求出该定值；②设直线与轴交于点，求面积的最大值．19．（17分）已知函数，且在区间上的最小值为0．（1）求实数的取值范围；（2）设函数在区间上的导函数为，对任意实数恒成立，则称函数在区间上具有性质．①求证：函数在区间具有性质；②记，其中，求证：．高三数学参考答案一、选择题1-5ADBDB6-8CDC9ABC10AB11BCD12．813．14．四、解答题：15．（13分）解：（1）由正弦定理得，，又，，，，，，，．（2）面积为，，，，，由得，即，，，或，．16．（15分）解：（1）因为，所以，即，为常数，故数列是等比数列．（2）由（1）知，数列是首项为4，公比为2的等比数列，所以，即，所以，故，所以，两式相減得，，所以．17．（15分）解：（1）由于在直三棱柱中，有平面，而在平面内，故．同时有，且，故．由于，，且和在平面内交于点，故平面．由于在平面内，故．取的中点，由于，分别是和的中点，故，而，故，即．由于，分别是和的中点，可以得到，所以有平行四边形，故．设和交于点，由于，，，从而得到全等于，故．这就得到，从而，即．而，故．由于，即，而，和在平面内交于点，故平面．由于平面，在平面内，故平面平面．（2）有，又因为平面，和在平面内，故，．由于，，两两垂直，故我们能够以为原点，，，分别作为，，轴正方向，建立空间直角坐标系．由于题设条件和需要求证的结论均只依赖于线段间的比值，不妨设，这就得到，，，，，，，．据题设有，显然，此时．从而有，，，．设和分别是平面和平面的法向量，则，．即，，从而可取，．此时平面与平面所成的角的余弦值为，故条件等价于，即，解得，所以存在，使得平面与平面所成的角的余弦值为．18．（17分）解：（1）设椭圆的焦距为．因为椭圆的离心率为，所以，即．由，得，即．所以直线的方程为，即．因为原点到直线的距离为，所以，解得，所以，所以椭圆的标准方程为．（2）设直线的方程为，其中，且，即．设直线与椭圆交于点，．联立消去并整理，得，则，．①，为定值，得证．②方法一：易知直线的方程为，令，得，故．设直线与轴交于点．直线的方程为，令，得，故．联立消去并整理，得，解得或（舍去），则．所以的面积由①可知，，故，代入上式，得．因为点在轴下方且不在轴上，故或，即，所以．显然，当时，，当时，，故只需考虑，令，则，所以，当且仅当，即，时取等号，所以面积的最大值为．方法二：易知直线的方程为，令，得，故．设直线与轴交于点．易直线的方程为，令，得，故．由①可知，，故，所以是线段的中点．故的面积，其中为点到直线的距离．思路1显然，当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时，取最大值．设直线的方程为，即．联立消去并整理，得，由，解得（正值舍去），所以平行直线与直线之间的距离为，即的最大值为．所以面积的最大值为．思路2因为直线的方程为，所以．依题意，，，，故，所以．因为点在楠圆上，所以，即．所以，当且仅当时取等号，故，所以，即面积的最大值为．19．（17分）解：（1），，，，，，等号不同时取，所以当时，，在区间上单调递增，．若，即，，则在区间上单调递增，所以在区间上的最小值为，符合题意．若，即，此时，，又函数在区间的图象不间断，由零点存在性定理可知，存在，使得，且当时，，即在区间上单调递减，所以，与题意矛盾，舍去．综上所述，实数的取值范围是．（2）①由（1）可知，当时，．要证函数在区间上具有性质．即证当时，．即证当时，．令，，则，即，．又，所以在