热点05 二次函数的图象及简单应用（8大题型+满分技巧+限时分层检测）（解析版）

热点05二次函数的图象及简单应用中考数学中《二次函数的图象及简单应用》部分主要考向分为五类：一、二次函数图象与性质（每年1道，3~4分）二、二次函数图象与系数的关系（每年1题，3~4份）三、二次函数与一元二次方程（每年1~2道，4~8分）四、二次函数的简单应用（每年1题，6~10分）二次函数是初中数学三中函数中知识点和性质最多的一个函数，也是中考数学中的重点和难点，考简答题时经常在二次函数的几何背景下，和其他几何图形一起出成压轴题；也经常出应用题利用二次函数的增减性考察问题的最值。此外，二次函数的性质、二次函数与系数的关系、二次函数上点的坐标特征也是中考中经常考到的考点，都需要大家准确记忆二次函数的对应考点。只有熟悉掌握二次函数的一系列考点，才能在遇到对应问题时及时提取有用信息来应对。考向一：二次函数图象与性质【题型1二次函数的图象与性质】满分技巧对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象：形状：抛物线；对称轴：直线；顶点坐标：；2、抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a的正负后，附加一定的自变量x取值范围；3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。1．（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】首先确定二次函数的顶点坐标，然后根据点的坐标特点写出顶点的位置．【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2+2，∴顶点坐标为（﹣1，2），∴顶点在第二象限．故选：B．2．（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（）A．对称轴为直线x＝﹣2 B．顶点坐标为（2，3） C．函数的最大值是﹣3 D．函数的最小值是﹣3【分析】利用二次函数的性质进行判断即可．【解答】解：二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3的图象的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣3），x＝2时，y有最大值为y＝﹣3，故选：C．3．（2023•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（）A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值【分析】将（0，6）代入二次函数解析式，进而得出m的值，再利用对称轴在y轴左侧，得出m＝3，再利用公式法求出二次函数最值．【解答】解：由题意可得：6＝m2﹣m，解得：m1＝3，m2＝﹣2，∵二次函数y＝x2+mx+m2﹣m，对称轴在y轴左侧，∴m＞0，∴m＝3，∴y＝x2+3x+6，∴二次函数有最小值为：＝＝．故选：D．【题型2二次函数图象上点的坐标特征】满分技巧牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质1．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4【分析】过A作AH⊥x轴于H，根据正方形的性质得到∠AOB＝45°，得到AH＝OH，利用待定系数法求得a、c的值，即可求得结论．【解答】解：过A作AH⊥x轴于H，∵四边形ABCO是正方形，∴∠AOB＝45°，∴∠AOH＝45°，∴AH＝OH，设A（m，m），则B（0，2m），∴，解得am＝﹣1，m＝，∴ac的值为﹣2，故选：B．2．若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x+1）2上的是（）A．（m，n+1） B．（m+1，n） C．（m，n﹣1） D．（m﹣1，n）【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把点P（m，n）代入y＝ax2（a≠0）即可求出n＝am2，然后将四个选项中的坐标代入y＝a（x+1）2中，看两边是否相等，即可判断该点是否在抛物线上．【解答】解：∵点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，∴n＝am2，把x＝m代入y＝a（x+1）2得a（m+1）2≠n+1，故点（m，n+1）不在抛物线y＝a（x+1）2上，故A不合题意；把x＝m+1代入y＝a（x+1）2得a（m+2）2≠n，故点（m+1，n）不在抛物线y＝a（x+1）2上，故B不合题意；把x＝m代入y＝a（x+1）2得a（m+1）2≠n﹣1，故点（m，n﹣1）不在抛物线y＝a（x+1）2上，故C不合题意；把x＝m﹣1代入y＝a（x+1）2得a（m﹣1+1）2＝am2＝n，故点（m﹣1，n）在抛物线y＝a（x+1）2上，D符合题意；故选：D．3．（2023•十堰）已知点A（x1，y1）在直线y＝3x+19上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝x2+4x﹣1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9 B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6 C．﹣9＜x1+x2+x3＜0 D．﹣6＜x1+x2+x3＜1【分析】求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的x的值，即可求得x1取值范围，根据抛物线的对称性求得x2+x3＝﹣4，从而求得x1+x2+x3的取值范围．【解答】解：令3x+19＝x2+4x﹣1，整理得x2+x﹣20＝0，解得x1＝﹣5，x2＝4，∴直线y＝3x+19与抛物线的交点的横坐标为﹣5，4，∵y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，顶点为（﹣2，﹣5），把y＝﹣5代入y＝3x+19，解得x＝﹣8，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则﹣8＜x1＜﹣5，x2+x3＝﹣4，∴﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9，故选：A．【题型3二次函数图象与几何变换】满分技巧1、二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是：①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。2、二次函数一般式往顶点式转化，可以用顶点公式转化，也可以用配方法1．（2023•广西）将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（）A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+3）2+4 C．y＝（x﹣3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣4【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解得即可．【解答】解：将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是y＝（x﹣3）2+4．故选：A．2．（2023•西藏）将抛物线y＝（x﹣1）2+5平移后，得到抛物线的解析式为y＝x2+2x+3，则平移的方向和距离是（）A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度【分析】先确定两个抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定抛物线平移的情况．【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2+5的顶点坐标为（1，5），抛物线y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2），而点（1，5）向左平移2个，再向下平移3个单位可得到（﹣1，2），所以抛物线y＝（x﹣1）2+5向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线y＝x2+2x+3．故选：D．3．（2023•益阳）我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数y＝2x的图象向上平移1个单位得到y＝2x+1的图象；将二次函数y＝x2+1的图象向左平移2个单位得到y＝（x+2）2+1的图象，若将反比例函数y＝的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是y＝﹣3．【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由题意，将反比例函数y＝的图象向下平移3个单位，得到的图象对应的函数表达式为y＝﹣3．故答案为：y＝﹣3．考向二：二次函数图象与系数的关系【题型4二次函数图象与系数的关系】满分技巧1、二次函数图象与系数a、b、c的关系a的特征与作用b的特征与作用(a与b“左同右异”）c的特征与作用2、二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶①a、b、c单个字母的判断，a由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点判断;②含有a、b两个字母时，考虑对称轴;③含有a、b、c三个字母，且a和b系数是平方关系，给x取值，结合图像判断，例如∶二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当x=1时，y=a+b+c，当x=-1时，y=a-b+c，当x=2时，y=4a+2b+c当x=-2时，y=4a-2b+c;另：含有a、b、c三个字母，a和b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶④含有b2和4ac，考虑顶点坐标，或考虑△.⑤其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。1．（2023•阜新）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点为（3，0），对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（）A．abc＜0 B．2a+b＝0 C．4ac＞b2 D．点（﹣2，0）在函数图象上【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得出，a、b、c的正负，进而得出abc的正负；利用对称轴为直线x＝1，可得出2a+b与0的关系；由抛物线与x轴的交点情况，可得出b2与4ac的大小关系；由抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），再结合对称轴为直线x＝1，可得出另一个交点坐标．【解答】解：A：由二次函数的图形可知：a＞0，b＜0，c＜0，所以abc＞0．故A错误．B：因为二次函数的对称轴是直线x＝1，则＝1，即2a+b＝0．故B正确．C：因为抛物线与x轴有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2．故C错误．D：因为抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），且对称轴为直线x＝1，所以它与x轴的另一个交点的坐标为（﹣1，0）．故D错误．故选：B．2．（2023•眉山）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列四个结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③3a+c＝0；④当﹣3＜x＜1时，ax2+bx+c＜0．其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据二次函数图象的开口方向，顶点的位置、与y轴交点的位置可对a，b，c的符号进行判断，进而可对结论①进行判断；根据抛物线的对称轴及与x轴的交点可对二次函数图象上的点（﹣2，4a﹣2b+c）的位置进行判定，进而可对结论②进行判断；根据二次函数的图象与x轴的两个交点坐标可对结论③、结论④进行判断，据此可得出此题的答案．【解答】解：①∵二次函数图象的开口向上，∴a＞0，∵二次函数图象的顶点在第三象限，∴，∵a＞0，∴b＞0，∵二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，∴abc＜0，故结论①正确；②对于y＝ax2+bx+c，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c，∴点（﹣2，4a﹣2b+c）在二次函数的图象上，又∵二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为（﹣3，0），∴点（﹣2，4a﹣2b+c）在x轴下方的抛物线上，∴4a﹣2b+c＜0，故结论②正确；③∵二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为（1，0），（﹣3，0），∴，消去b得：3a+c＝0，故结论③正确；④∵二次函数图象的开口向上，与x轴的两个交点坐标分别为（1，0），（﹣3，0）∴当﹣3＜x＜1时，二次函数图象的在x轴的下方，∴y＜0，即：ax2+bx+c＜0，故结论④正确．综上所述：结论①②③④正确．故选：D．3．（2023•娄底）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＞0；③a﹣b＞m（am+b）（m为任意实数）；④若点（﹣3，y1）和点（3，y2）在该图象上，则y1＞y2；其中正确的结论是（）A．①② B．①④ C．②③ D．②④【分析】根据二次函数的图象和性质依次判断即可．【解答】解：∵二次函数开口向下，且与y轴的交点在x轴上方，∴a＜0，c＞0，∵对称轴为x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0，∴abc＞0，故①错误；∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，x＝0时，y＝c＞0，∴当x＝﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，∴②正确；∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，∴当x＝﹣1时，y有最大值a﹣b+c，∴当x＝m时，函数值不大于a﹣b+c，∴a﹣b+c≥am2+bm+c．∴a﹣b≥m（am+b）（m为任意实数），∴③错误；点（﹣3，y1）到对称轴的距离为：﹣1﹣（﹣3）＝2，（3，y2）到对称轴的距离为：3﹣（﹣1）＝4，∵抛物线开口向下，∴y1＞y2，∴④正确．故选：D．4．（2023•黄石）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（﹣3，0），且对称轴为直线x＝﹣1．有以下结论：①a+b+c＝0；②2c+3b＝0；③当﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1时，有y1＜y2；④对于任何实数k＞0，关于x的方程ax2+bx+c＝k（x+1）必有两个不相等的实数根．其中结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据二次函数的对称轴为直线x＝﹣1和经过点C（﹣3，0），再结合抛物线的对称性即可解决问题．【解答】解：因为二次函数的图象过点C（﹣3，0），且对称轴为直线x＝﹣1，所以由抛物线的对称性可知，点（1，0）也在抛物线上．将（1，0）代入二次函数解析式得，a+b+c＝0．故①正确．因为抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，所以，即b﹣2a＝0．又a+b+c＝0，则将a＝﹣b﹣c代入b﹣2a＝0得，2c+3b＝0．故②正确．因为﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，所以点A离对称轴更近．则当a＞0时，y1＜y2；当a＜0时，y1＞y2．故③错误．由ax2+bx+c＝k（x+1）得，ax2+（b﹣k）x+c﹣k＝0．又a+b+c＝0，2c+3b＝0，得．则（b﹣k）2﹣4a（c﹣k）＝（）2﹣4×（）（c﹣k）＝．又k＞0，所以＞0．即该方程有两个不相等的实数根．故④正确．故选：C．5．（2023•青岛）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与正比例函数y＝kx的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为﹣3，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1．下列结论：①abc＜0；②3b+2c＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝kx的两根为x1＝﹣3，x2＝2；④k＝a．其中正确的是①③.（只填写序号）【分析】依据题意，根据所给图象可以得出a＞0，c＜0，再结合对称轴x＝﹣1，同时令ax2+bx+c＝kx，从而由根与系数的关系，逐个判断可以得解．【解答】解：由图象可得，a＞0，c＜0，又﹣＝﹣1，∴b＞0．∴abc＜0．∴①正确．由题意，令ax2+bx+c＝kx，∴ax2+（b﹣k）x+c＝0．又二次函数y＝ax2+bx+c的图象与正比例函数y＝kx的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为﹣3，点B的横坐标为2，∴ax2+（b﹣k）x+c＝0的两根之和为﹣3+2＝﹣1，两根之积为﹣3×2＝﹣6．∴﹣＝﹣1，＝﹣6．∴6a+c＝0．又b＝2a，∴3b+c＝0．∴3b+2c＝c＜0．∴②错误，③正确．∵﹣＝﹣1，b＝2a，∴k＝a．∴④错误．故答案为：①③．考向三：二次函数与一元二次方程【题型5抛物线与x轴交点问题】满分技巧1、求抛物线与x轴的交点，就是让抛物线解析式的y=0，就得到了一元二次方程，而①一元二次方程的解法、②根的判别式、③根与系数的关系等性质也就分别对应①抛物线与x轴交点横坐标、②交点个数、③交点横坐标与其对称轴的关系的考点；2、求抛物线与直线的交点时，联立抛物线与直线的解析式，得新的一元二次方程时，上述结论与用法大多依然适用，使用时注意联想和甄别。1．（2023•自贡）经过A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）两点的抛物线y＝﹣x2+bx﹣b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，则线段AB的长为（）A．10 B．12 C．13 D．15【分析】根据二次函数的性质可知＝﹣，再根据经过A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）两点的抛物线y＝﹣x2+bx﹣b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，可知Δ＝b2﹣4×（﹣）×（﹣b2+2c）≥0，然后可以得到b和c的关系，求出b和c的值，再根据点A和点B的坐标，即可计算出线段AB长．【解答】解：∵经过A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）两点的抛物线y＝﹣x2+bx﹣b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，∴＝﹣，Δ＝b2﹣4×（﹣）×（﹣b2+2c）≥0，∴b＝c+1，b2≤4c，∴（c+1）2≤4c，∴（c﹣1）2≤0，∴c﹣1＝0，解得c＝1，∴b＝c+1＝2，∴AB＝|（4b+c﹣1）﹣（2﹣3b）|＝|4b+c﹣1﹣2+3b|＝|7b+c﹣3|＝|7×2+1﹣3||14+1﹣3|＝12，故选：B．2．（2023•娄底）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（1，0）、点B（3，0），与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当CD∥x轴时，CD＝4．【分析】先根据点A和点B的坐标求出该抛物线的对称轴，再根据二次函数具有对称性，即可得到点D的横坐标，从而可以求得CD的长．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（1，0）、点B（3，0），∴该抛物线的对称轴为直线x＝＝2，∵抛物线与y轴相交于点C，点D在抛物线上，CD∥x轴，∴点D的横坐标为：2×2﹣0＝4，∴CD＝4﹣0＝4，故答案为：43．（2023•郴州）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝9．【分析】利用判别式Δ＝b2﹣4ac＝0即可得出结论．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，∴方程x2﹣6x+m＝0有唯一解．即Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4m＝0，解得：m＝9．故答案为：9．4．（2023•泰州）二次函数y＝x2+3x+n的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是﹣3（答案不唯一）.（填一个值即可）【分析】根据根与系数的关系即可求解．【解答】解：设二次函数y＝x2+3x+n的图象与x轴交点的横坐标为x1、x2，即一元二次方程x2+3x+n＝0的根为x1、x2，由根与系数的关系得：x1+x2＝﹣3，x1•x2＝n，∵二次函数y＝x2+3x+n的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，∴x1，x2为异号，∴n＜0，故答案为：﹣3（答案不唯一）．4．（2023•黑龙江）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点P，使得S△PBC＝S△ABC，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把A（﹣3，0），B（1，0）两点，代入抛物线y＝ax2+bx+3，解方程组即可得到抛物线的解析式；（2）分别求得A、B、C的坐标，与BC的解析式y＝﹣3x+3；作PE∥x轴交BC于E，设点P的横坐标为t，分别求得P点坐标为（t，﹣t2﹣2t+3）与E点坐标为（，﹣t2﹣2t+3）；然后利用S△PBC＝S△ABC列方程解答即可．【解答】解：（1）由抛物线与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，代入抛物线y＝ax2+bx+3得：，解得：；∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在，理由如下：∵A（﹣3，0），B（1，0），∴AB＝4，抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于点C，令x＝0，则y＝3，∴C点坐标为（0，3），OC＝3，∴S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6，∴S△PBC＝S△ABC＝3；作PE∥x轴交BC于E，如图：设BC的解析式为：y＝kx+b，将B、C代入得：，解得：，∴BC的解析式为：y＝﹣3x+3；设点P的横坐标为t，则P（t，﹣t2﹣2t+3），则E的纵坐标为：﹣3x+3＝﹣t2﹣2t+3，解得：x＝，∴E（，﹣t2﹣2t+3）；∴PE＝﹣t＝，∴S△PBC＝××3＝3，解得：t＝﹣2或3；∴P点纵坐标为：﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3；或﹣（3）2﹣2×（3）+3＝﹣12，∴点P的坐标为（﹣2，3）或（3，﹣12）．【题型6二次函数与不等式】满分技巧1、当抛物线与x轴相交、与直线相交时，只要有交点，就可以接着考察两图象的上下关系，进而得不等式，根据图象直接写出不等式的解集。2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。1．（2023•新疆）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝mx+n与抛物线y2＝ax2+bx﹣3相交于点A，B．结合图象，判断下列结论：①当﹣2＜x＜3时，y1＞y2；②x＝3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解；③若（﹣1，t1），（4，t2）是抛物线上的两点，则t1＜t2；④对于抛物线y2＝ax2+bx﹣3，当﹣2＜x＜3时，y2的取值范围是0＜y2＜5．其中正确结论的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】①根据函数的图象特征即可得出结论．②根据二次函数与二次方程根的关系即可得出结论．③将点（﹣2，5）、（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得出解析式，再求出t的值即可得出结论．④由图象和③可得出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性以及二次函数图象即得出y得取值范围．【解答】解：①∵直线y1＝mx+n与抛物线y2＝ax+bx﹣3相交于点A，B，∴由图象可知：当﹣2＜x＜3时，直线y1＝mx+n在抛物线y2＝ax+bx﹣3的上方，∴y1＞y2，∴①正确．②由图象可知：抛物线y2＝ax+bx﹣3有两个交点，∴方程ax2+bx﹣3＝0有两个不相等的实数根．∴x＝3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解，∴②正确．③将点（﹣2，5）、（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得：，解得：，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，当x＝﹣1时，t1＝0，当x＝4时，t2＝5，∴t1＜t2，∴③正确．④由③可知（﹣2，5）与点（4，5）关于对称轴x对称，∴对称轴x＝＝1．将x＝1代入抛物线解析式得y＝﹣4，∴当﹣2＜x＜1时，﹣4＜y＜5．当﹣2＜x＜3时，﹣4≤y＜5．∴④错误．故选：B．2．（2023•通辽）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2b+3c＜0；④不等式ax2+bx+c＜﹣x+c的解集为0＜x＜2．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用二次函数的图象和性质依次判断即可．【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，∴a＞0，b＜0，c＞0，∴abc＜0，∴①正确．∵当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②错误．∵抛物线过点（2，0），∴4a+2b+c＝0，∴b＝﹣2a﹣，a＝﹣，∵a+b+c＜0，∴a﹣2a﹣+c＜0，∴2a﹣c＞0，∴﹣b﹣c﹣c＞0，∴﹣2b﹣3c＞0，∴2b+3c＜0，∴③正确．如图：设y1＝ax2+bx+c，y2＝﹣x+c，由图知，y1＜y2时，0＜x＜2，故④正确．故选：C．考向四：二次函数的应用【题型7利用二次函数的性质求最值】满分技巧1、利用二次函数的性质求解最值多出现在销售问题中，利用二次函数解决销售中最大利润问题一般步骤如下：①设自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入②用含自变量的代数式表示销售商品成本③用含自变量的关系式分别表示销售利润，根据销售利润=单件利润×销售量，得到函数表达式④根据函数表达式求出最值及取得最值时的自变量的值2.利润最大化问题与二次函数模型牢记两公式：①单位利润=售价-进价；②总利润=单件利润×销量；谨记两转化：①销量转化为售价的一次函数；②总利润转化为售价的二次函数；函数性质的应用：常利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值；1．（2023•临沂）综合与实践：问题情境小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：数据整理：（1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：售价（元/盆）1820222630日销售量（盆）5450463830模型建立（2）分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系．拓广应用（3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，①要想每天获得400元的利润，应如何定价？②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？【分析】（1）根据销售单价从小到大排列即可；（2）设销售量为y盆，售价为x元，y＝kx+b，用待定系数法可得y＝﹣2x+90；（3）①根据每天获得400元的利润，列方程可得答案；②设每天获得的利润为w元，得：w＝（x﹣15）（﹣2x+90）＝﹣2x2+120x﹣1350＝﹣2（x﹣30）2+450，由二次函数性质可得答案．【解答】解：（1）根据销售单价从小到大排列得下表：售价（元/盆）1820222630日销售量（盆）5450463830故答案为：18，54；20，50；22，46；26，38；30，30；（2）观察表格可知销售量是售价的一次函数；设销售量为y盆，售价为x元，y＝kx+b，把（18，54），（20，50）代入得：，解得，∴y＝﹣2x+90；（3）①∵每天获得400元的利润，∴（x﹣15）（﹣2x+90）＝400，解得x＝25或x＝35，∴要想每天获得400元的利润，定价为25元或35元；②设每天获得的利润为w元，根据题意得：w＝（x﹣15）（﹣2x+90）＝﹣2x2+120x﹣1350＝﹣2（x﹣30）2+450，∵﹣2＜0，∴当x＝30时，w取最大值450，∴售价定为30元时，每天能够获得最大利润450元．3．（2023•十堰）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒．根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为x元，日销售量为p盒．（1）当x＝60时，p＝400；（2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？（3）小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大．”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为60≤x≤80．”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论．【分析】（1）根据每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒，可以得到p与x之间的函数关系式，把x＝60代入解析式计算即可；（2）根据每盒利润×销售盒数＝总利润可得W关于x的关系式，由二次函数性质可得答案；（3）根据题意，在正确的x的范围中求出日销售额的最大值，判断小强是否正确，根据题意列出不等式，结合x的范围求出不等式的解集，判断小红是否正确．【解答】解：（1）由题意可得，p＝500﹣10（x﹣50）＝﹣10x+1000，即每天的销售量p（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式是p＝﹣10x+1000，当x＝60时，p＝﹣10×60+1000＝400，（x≥50），故答案为：400．（2）由题意可得，W＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000，由题可知：每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，∴，即，解得50≤x≤65．∴当x＝65时，W取得最大值，此时W＝8750，答：当每盒售价定为65元时，每天销售的利润W（元）最大，最大利润是8750元；（3）小强：∵50≤x≤65，设日销售额为y元，y＝x•p＝x（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1000x＝﹣10（x﹣50）2+25000，当x＝50时，y值最大，此时y＝25000，当x＝65时，W值最大，此时W＝8750，∴小强正确．小红：当日销售利润不低于8000元时，即W≥8000，﹣10（x﹣70）2+9000≥8000，解得：60≤x≤80，∵50≤x≤65，∴当日销售利润不低于8000元时，60≤x≤65．故小红错误，当日销售利润不低于8000元时，60≤x≤65．【题型8将实际问题转化为二次函数模型】满分技巧题型一：利用二次函数解决抛物线形问题解决此类问题一般步骤：①合理建立直角坐标系，把已知数据转化为点的坐标；②根据题意，把所求问题转化为求最值或已知x的范围就y的值的问题。题型二：二次函数在实际生活中的应用利用二次函数解决生活中的实际问题时，一般先根据题意建议二次函数表达式，并确定自变量的取值范围，然后利用二次函数的图象与性质解决问题。1．（2023•天津）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】设AD边长为xm，则AB边长为长为m，根据AB＝6列出方程，解方程求出x的值，根据x取值范围判断①；根据矩形的面积＝192．解方程求出x的值可以判断②；设矩形菜园的面积为ym2，根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值可以判断③．【解答】解：设AD边长为xm，则AB边长为m，当AB＝6时，＝6，解得x＝28，∵AD的长不能超过26m，∴x≤26，故①不正确；∵菜园ABCD面积为192m2，∴x•＝192，整理得：x2﹣40x+384＝0，解得x＝24或x＝16，∴AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2，故②正确；设矩形菜园的面积为ym2，根据题意得：y＝x•＝﹣（x2﹣40x）＝﹣（x﹣20）2+200，∵﹣＜0，20＜26，∴当x＝20时，y有最大值，最大值为200．故③正确．∴正确的有2个，故选：C．2．（2023•长春）2023年5月28日，C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇．此时相遇点H距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A′、B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H'距地面19米．【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令x＝0求平移后的抛物线与y轴的交点即可．【解答】解：由题意可知：A（﹣40，4）、B（40，4）．H（0，20），设抛物线解析式为：y＝ax2+20，将A（﹣40，4）代入解析式y＝ax2+20，解得：a＝﹣，∴y＝﹣+20，消防车同时后退10米，即抛物线y＝﹣+20向左平移后的抛物线解析式为：y＝﹣+20，令x＝0，解得：y＝19，故答案为：19．3．（2023•河南）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，CA＝2m，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系y＝﹣0.4x+2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系y＝a（x﹣1）2+3.2．（1）求点P的坐标和a的值；（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．【分析】（1）在y＝﹣0.4x+2.8中，令x＝0可解得点P的坐标为（0，2.8）；把P（0，2.8）代入y＝a（x﹣1）2+3.2得a的值是﹣0.4；（2）在y＝﹣0.4x+2.8中，令y＝0得x＝7，在y＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2中，令y＝0可得x＝﹣2+1（舍去）或x＝2+1≈3.83，由|7﹣5|＞|3.83﹣5|，即可得到答案．【解答】解：（1）在y＝﹣0.4x+2.8中，令x＝0得y＝2.8，∴点P的坐标为（0，2.8）；把P（0，2.8）代入y＝a（x﹣1）2+3.2得：a+3.2＝2.8，解得：a＝﹣0.4，∴a的值是﹣0.4；（2）∵OA＝3m，CA＝2m，∴OC＝5m，∴C（5，0），在y＝﹣0.4x+2.8中，令y＝0得x＝7，在y＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2中，令y＝0得x＝﹣2+1（舍去）或x＝2+1≈3.83，∵|7﹣5|＞|3.83﹣5|，∴选择吊球方式，球的落地点到C点的距离更近．（建议用时：40分钟）1．（2023•大连）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣1，当0≤x≤3时，函数的最大值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2【分析】根据二次函数的图象，结合当0≤x≤3时函数图象的增减情况，即可解决问题．【解答】解：由二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣1可知，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝＝1．又1﹣0＜3﹣1，所以当x＝3时，函数取得最大值，y＝32﹣2×3﹣1＝2．故选：D．2．（2023•台州）抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＜0，则直线y＝ax+k一定经过（）A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限【分析】根据已知条件可得出ax2﹣kx﹣a＝0，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可．【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，∴kx＝ax2﹣a，∴ax2﹣kx﹣a＝0，∴，∴，当a＞0，k＜0时，直线y＝ax+k经过第一、三、四象限，当a＜0，k＞0时，直线y＝ax+k经过第一、二、四象限，综上，直线y＝ax+k一定经过一、四象限．故选：D．3．（2023•安徽）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（）A．y＝x2+1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝2x+1 D．y＝﹣2x+1【分析】根据各函数解析式可得y随x的增大而减小时x的取值范围．【解答】解：选项A中，函数y＝x2+1，x＜0时，y随x的增大而减小；故A不符合题意；选项B中，函数y＝﹣x2+1，x＞0时，y随x的增大而减小；故B不符合题意；选项C中，函数y＝2x+1，y随x的增大而增大；故C不符合题意；选项D中，函数y＝﹣2x+1，y随x的增大而减小．故D符合题意；故选：D．4．（2023•邵阳）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2+4ax+3（a是常数，a≠0）上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x＝﹣2；②点（0，3）在抛物线上；③若x1＞x2＞﹣2，则y1＞y2；④若y1＝y2，则x1+x2＝﹣2，其中，正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据题目中的二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+4ax+3的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，∴①正确；当x＝0时，y＝3，则点（0，3）在抛物线上，∴②正确；当a＞0时，x1＞x2＞﹣2，则y1＞y2；当a＜0时，x1＞x2＞﹣2，则y1＜y2；∴③错误；当y1＝y2，则x1+x2＝﹣4，∴④错误；故正确的有2个，故选：B．5．（2023•河南）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象一定不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据图象确定a，b的符号，即可得到答案．【解答】解：由函数图象可得，a＜0，﹣＞0，∴b＞0，∴y＝ax+b的图象过一，二，四象限，不过第三象限，故选：C．6．（2023•湖北）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中：①a﹣b+c＝0；②若点（﹣3，y1），（2，y2），（4，y3）均在该二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；③若m为任意实数，则am2+bm+c⩽﹣4a；④方程ax2+bx+c+1＝0的两实数根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1，x2＞3．正确结论的序号为（）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④【分析】由抛物线经过（﹣1，0）可判断①，由各点到抛物线对称轴的距离大小可判断从而判断②，由x＝1时y取最大值可判断③，由抛物线的对称性可得抛物线与x轴交点坐标，从而判断④．【解答】解：∵抛物线经过（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，①正确，∵a＜0，∴抛物线开口向下，点（﹣3，y1），（2，y2），（4，y3）均在该二次函数图象上，且点（﹣3，y1）到对称轴的距离最大，点（2，y2）到对称轴的距离最小，∴y1＜y3＜y2，②错误；∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，∵a﹣b+c＝0，∴c＝b﹣a＝﹣3a，∵抛物线的最大值为a+b+c，∴若m为任意实数，则am2+bm+c⩽a+b+c，∴am2+bm+c⩽﹣4a，③正确；∵方程ax2+bx+c+1＝0的两实数根为x1，x2，∴抛物线与直线y＝﹣1的交点的横坐标为x1，x2，由抛物线对称性可得抛物线与x轴另一交点坐标为（3，0），∴抛物线与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0），∵抛物线开口向下，x1＜x2，∴x1＜﹣1，x2＞3，④正确．故选：B．7．（2023•巴中）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1与抛物线y＝x2交于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论正确的个数为（）①x1•x2＝﹣4．②y1+y2＝4k2+2．③当线段AB长取最小值时，则△AOB的面积为2．④若点N（0，﹣1），则AN⊥BN．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由题意，将问题转化成一元二次方程问题去解决即可得解．【解答】解：由题意，联列方程组∴可得得x1，x2满足方程x2﹣kx﹣1＝0；y1，y2满足方程y2﹣（2+4k2）y+1＝0．依据根与系数的关系得，x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣4，y1+y2＝4k2+2，y1•y2＝1，∴①、②正确．由两点间距离公式得，AB＝＝＝4（k2+1）．∴当k＝0时，AB最小值为4．∴S△AOB＝×1×AB＝2．∴③正确．由题意，kAN＝，kBN＝，∴kAN•kBN＝•＝＝＝﹣k2﹣1．∴当k＝0时，AN⊥BN；当k≠0是，AN与BN不垂直．∴④错误．故选：C．8．（2023•福建）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）经过A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是﹣1＜n＜0．【分析】由题意可知：抛物线的对称轴为x＝1，开口向上，再分点A在对称轴x＝1的左侧，点B在对称轴x＝1的右侧和点B在对称轴x＝1的左侧，点A在对称轴x＝1的右侧两种情况求解即可．【解答】解：抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，∵a＞0，∴抛物线开口向上，∵y1＜y2，∴若点A在对称轴x＝1的左侧，点B在对称轴x＝1的右侧，由题意可得：，不等式组无解；若点B在对称轴x＝1的左侧，点A在对称轴x＝1的右侧，由题意可得：，解得：﹣1＜n＜0，∴n的取值范围为：﹣1＜n＜0．故答案为：﹣1＜n＜0．9．（2023•乐至县）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，且过点（1，0）．现有以下结论：①abc＜0；②5a+c＝0；③对于任意实数m，都有2b+bm≤4a﹣am2；④若点A（x1，y1）、B（x2，y2）是图象上任意两点，且|x1+2|＜|x2+2|，则y1＜y2，其中正确的结论是（）A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④【分析】根据题意和函数图象，利用二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由图象可得，a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①正确，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，且过点（1，0）．∴﹣＝﹣2，a+b+c＝0，∴b＝4a，∴a+b+c＝a+4a+c＝0，故5a+c＝0，故②正确，∵当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c取得最小值，∴am2+bm+c≥4a﹣2b+c，即2b+bm≥4a﹣am2（m为任意实数），故③错误，∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，若点A（x1，y1）、B（x2，y2）是图象上任意两点，且|x1+2|＜|x2+2|，∴y1＜y2，故④正确；故选：C．10．（2023•丽水）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（）A．5 B．10 C．1 D．2【分析】根据二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：令h＝0，得：10t﹣5t2＝0，解得：t＝2或t＝0（不合题意舍去），∴那么球弹起后又回到地面所花的时间是2秒；故选：D．11．（2023•菏泽）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍点”．在﹣3＜x＜1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（）A．﹣≤c＜1 B．﹣4≤c＜﹣3 C．﹣≤c＜6 D．﹣4≤c＜5【分析】由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x，根据二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”转化为y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一个交点，求Δ≥0，再根据x＝﹣3和x＝1时两个函数值大小即可求出．【解答】解：由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x，在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，即在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一个交点，令3x＝﹣x2﹣x+c，整理得，x2+4x﹣c＝0，则Δ＝b2﹣4ac＝16+4c≥0，解得c≥﹣4，把x＝﹣3代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣6+c，代入y＝3x得y＝﹣9，∴﹣9＞﹣6+c，解得c＜﹣3；把x＝1代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣2+c，代入y＝3x得y＝3，∴3＞﹣2+c，解得c＜5，综上，c的取值范围为：﹣4≤c＜5．故选：D．12．（2023•南充）抛物线y＝﹣x2+kx+k﹣与x轴的一个交点为A（m，0），若﹣2≤m≤1，则实数k的取值范围是（）A．≤k≤1 B．k≤﹣或k≥1 C．﹣5≤k≤ D．k≤﹣5或k≥【分析】由抛物线y＝﹣x2+kx+k﹣与x轴有交点，可得k2+4（k﹣）≥0，故k≤﹣5或k≥1；分两种情况：①当k≤﹣5时，可得﹣（﹣2）2﹣2k+k﹣≥0，②当k≥1时，﹣（﹣2）2﹣2k+k﹣≤0，分别解不等式可得答案．【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+kx+k﹣与x轴有交点，∴Δ≥0，即k2+4（k﹣）≥0，∴k2+4k﹣5≥0，解得：k≤﹣5或k≥1；抛物线y＝﹣x2+kx+k﹣对称轴为直线x＝，①当k≤﹣5时，抛物线对称轴在直线x＝﹣2左侧，此时抛物线y＝﹣x2+kx+k﹣与x轴的一个交点为A（m，0），﹣2≤m≤1，如图：∴﹣（﹣2）2﹣2k+k﹣≥0，解得：k≤﹣，∴k≤﹣；②当k≥1时，抛物线对称轴在直线x＝右侧，此时抛物线y＝﹣x2+kx+k﹣与x轴的一个交点为A（m，0），﹣2≤m≤1，如图：∴﹣（﹣2）2﹣2k+k﹣≤0，解得：k≥﹣，∴k≥1；综上所述，k≤﹣或k≥1；故选：B．13．（2023•宁波）已知二次函数y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0），下列说法正确的是（）A．点（1，2）在该函数的图象上 B．当a＝1且﹣1≤x≤3时，0≤y≤8 C．该函数的图象与x轴一定有交点 D．当a＞0时，该函数图象的对称轴一定在直线x＝的左侧【分析】将点（1，2）代入抛物线的解析式即可对选项A进行判断；将a＝1代入抛物线的解析式求出顶点坐标为（2，﹣1），据此可对选项B进行判断；令y＝0，则ax2﹣（3a+1）x+3＝0，然后判断该方程判别式的符号即可对选项C进行判断；求出抛物线的解析式为：，然后根据a＞0得，据此可对选项C进行判断．【解答】解：①对于y＝ax2﹣（3a+1）x+3，当x＝1时，y＝a×12﹣（3a+1）×1+3＝2﹣2a∵a≠0，∴y＝2﹣2a≠2，∴点A（1，2）不在该函数的图象上，故选项A不正确；②当a＝1时，抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），即当x＝2时，y＝﹣1＜0，故得选项B不正确；③令y＝0，则ax2﹣（3a+1）x+3＝0，∵Δ＝[﹣（3a+1）]2﹣4a×3＝（3a﹣1）2≥0，∴该函数的图象与x轴一定有交点，故选项C正确；④∵该抛物线的对称轴为直线：，又∵a＞0，∴，∴该抛物线的对称轴一定在直线的右侧，故选项D不正确．故选：C．14．（2023•随州）如图，已知开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（6，0），对称轴为直线x＝2．则下列结论正确的有（）①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③方程cx2+bx+a＝0的两个根为x1＝，x2＝﹣；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜2＜x2且x1+x2＞4，则y1＜y2．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置判断①；由抛物线的对称性可判断②；由二次函数与方程的关系，以及根与系数的关系可判断③；由二次函数的性质可判断④．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线交y轴于正半轴，∴c＞0，∵﹣＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；∵抛物线对称轴为直线x＝2，x＝5时，y＞0，∴x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故②正确；由cx2+bx+a＝0可得方程的解x1+x2＝﹣，x1x2＝，∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（6，0），对称轴为直线x＝2，∴抛物线与x轴另一个交点为（﹣2，0），∴方程ax2+bx+c＝0的两个根为﹣2，6，∴﹣＝4，＝﹣12，∴﹣＝＝﹣，＝﹣而若方程cx2+bx+a＝0的两个根为x1＝，x2＝﹣，则﹣＝＝，＝）＝﹣，故③错误；∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，若x1＜2＜x2且x1+x2＞4，则点P（x1，y1）到对称轴的距离小于Q（x2，y2）到直线的距离，∴y1＞y2，故不正确．故选：B．15．（2023•宜昌）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），则铅球推出的距离OA＝10m．【分析】令y＝0，得到关于x的方程，解方程即可得出结论．【解答】解：令y＝0，则﹣（x﹣10）（x+4）＝0，解得：x＝10或x＝﹣4（不合题意，舍去），∴A（10，0），∴OA＝10m．故答案为：10．16．（2023•巴中）规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y＝x+3与y＝﹣x+3互为“Y函数”．若函数y＝x2+（k﹣1）x+k﹣3的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为（3，0）或（4，0）．【分析】根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，分情况讨论求出它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标．【解答】解：当k＝0时，函数解析式为y＝﹣x﹣3，它的“Y函数”解析式为y＝x﹣3，它们的图象与x轴都只有一个交点，∴它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为（3，0）；当k≠0时，此函数为二次函数，若二次函数的图象与x轴只有一个交点，则二次函数的顶点在x轴上，即，解得k＝﹣1，∴二次函数的解析式为＝，∴它的“Y函数”解析式为，令y＝0，则，解得x＝4，∴二次函数的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为（4，0），综上，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为（3，0）或（4，0）．故答案为：（3，0）或（4，0）．17．（2023•武汉）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，c＜0）经过（1，1），（m，0），（n，0）三点，且n≥3．下列四个结论：①b＜0；②4ac﹣b2＜4a；③当n＝3时，若点（2，t）在该抛物线上，则t＞1；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，则．其中正确的是②③④（填写序号）．【分析】①根据图象经过（1，1），c＜0，且抛物线与x轴的一个交点一定在（3，0）或（3，0）的右侧，判断出抛物线的开口向下，即a＜0，再把（1，1）代入y＝ax2+bx+c得a+b+c＝1，即可判断①错误；②先得出抛物线的对称轴在直线x＝1.5的右侧，得出抛物线的顶点在点（1，1）的右侧，得出，根据4a＜0，利用不等式的性质即可得出4ac﹣b2＜4a，即可判断②正确；③先得出抛物线对称轴在直线x＝1.5的右侧，得出（1，1）到对称轴的距离大于（2，t）到对称轴的距离，根据a＜0，抛物线开口向下，距离抛物线的对称轴越近的函数值越大，即可得出③正确；④根据方程有两个相等的实数解，得出Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0，把（1，1）代入y＝ax2+bx+c得a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c，求出a＝c，根据根与系数的关系得出，即，根据n≥3，得出求出m的取值范围，即可判断④正确．【解答】解：①图象经过（1，1），c＜0，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的交点都在（1，0）的左侧，∵（n，0）中n≥3，∴抛物线与x轴的一个交点一定在（3，0）或（3，0）的右侧，∴抛物线的开口一定向下，即a＜0，把（1，1）代入y＝ax2+bx+c得：a+b+c＝1，即b＝1﹣a﹣c，∵a＜0，c＜0，∴b＞0，故①错误；②∵a＜0，b＞0，c＜0，，∴方程ax2+bx+c＝0的两个根的积大于0，即mn＞0，∵n≥3，∴m＞0，∴，即抛物线的对称轴在直线x＝1.5的右侧，∴抛物线的顶点在点（1，1）的上方或者右上方，∴，∵4a＜0，∴4ac﹣b2＜4a，故②正确；③∵m＞0，∴当n＝3时，，∴抛物线对称轴在直线x＝1.5的右侧，∴（1，1）到对称轴的距离大于（2，t）到对称轴的距离，∵a＜0，抛物线开口向下，∴距离抛物线越近的函数值越大，∴t＞1，故③正确；④方程ax2+bx+c＝x可变为ax2+（b﹣1）x+c＝0，∵方程有两个相等的实数解，∴Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0．∵把（1，1）代入y＝ax2+bx+c得a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c，∴（a+c）2﹣4ac＝0，即a2+2ac+c2﹣4ac＝0，∴（a﹣c）2＝0，∴a﹣c＝0，即a＝c，∵（m，0），（n，0）在抛物线上，∴m，n为方程ax2+bx+c＝0的两个根，∴，∴，∵n≥3，∴，∴．故④正确．综上，正确的结论有：②③④．故答案为：②③④．18．（2023•绍兴）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．（1）当b＝4，c＝3时，①求该函数图象的顶点坐标；②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围；（2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．【分析】（1）先把解析式进行配方，再求顶点；（2）根据函数的增减性求解；（3）根据函数的图象和系数的关系，结合图象求解．【解答】解：（1）①∵b＝4，c＝3时，∴y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，∴顶点坐标为（2，7）．②∵﹣1≤x≤3中含有顶点（2，7），∴当x＝2时，y有最大值7，∵2﹣（﹣1）＞3﹣2，∴当x＝﹣1时，y有最小值为：﹣2，∴当﹣1≤x≤3时，﹣2≤y≤7．（2）∵x≤0时，y的最大值为2；x＞0时，y的最大值为3，∴抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，∵抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2，∴c＝2，又∵，∴b＝±2，∵b＞0，∴b＝2．∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+2．19．（2023•北京）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，设抛物线的对称轴为x＝t．（1）若对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，求t的值；（2）若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围．【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可，（2）根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出（x1，y1）与（x2，y2）的中点在对称轴的右侧，再根据对称性即可解答．【解答】解：（1）∵对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，∴a+b+c＝4a+2b+c，∴3a+b＝0，∴＝﹣3．∵对称轴为x＝﹣＝，∴t＝．（2）∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，∴，x1＜x2，∵y1＜y2，a＞0，∴（x1，y1）离对称轴更近，x1＜x2，则（x1，y1）与（x2，y2）的中点在对称轴的右侧，∴＞t，即t≤．20．（2023•南京）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3（a为常数，a≠0）．（1）若a＜0，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点．（2）若a＝﹣1，求证：当﹣1＜x＜0时，y＞0．（3）若该函数的图象与x轴有两个公共点（x1，0），（x2，0），且﹣1＜x1＜x2＜4，则a的取值范围是a＞3或a＜﹣1．【分析】（1）证明b2﹣4ac＞0即可解决问题．（2）将a＝﹣1代入函数解析式，进行证明即可．（3）对a＞0和a＜0进行分类讨论即可．【解答】证明：（1）因为（﹣2a）2﹣4×a×3＝4a2﹣12a，又因为a＜0，所以4a＜0，a﹣3＜0，所以4a2﹣12a＝4a（a﹣3）＞0，所以该函数的图象与x轴有两个公共点．（2）将a＝﹣1代入函数解析式得，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，所以抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向下．则当﹣1＜x＜0时，y随x的增大而增大，又因为当x＝﹣1时，y＝0，所以y＞0．（3）因为抛物线的对称轴为直线x＝，且过定点（0，3），又因为该函数的图象与x轴有两个公共点（x1，0），（x2，0），且﹣1＜x1＜x2＜4，所以当a＞0时，a﹣2a+3＜0，解得a＞3，故a＞3．当a＜0时，a+2a+3＜0，解得a＜﹣1，故a＜﹣1．综上所述，a＞3或a＜﹣1．故答案为：a＞3或a＜﹣1．21．（2023•杭州）设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：x…﹣10123…y…m1n1p…（1）若m＝4，①求二次函数的表达式；②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．（2）若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．【分析】（1）①利用待定系数法即可求得；②利用二次函数的性质得出结论；（2）根据题意m≤0，由﹣＝1，得出b＝﹣2a，则二次函数为y＝ax2﹣2ax+1，得出m＝a+2a+1≤0，解得a≤﹣．【解答】解：（1）①由题意得，解得，∴二次函数的表达式是y＝x2﹣2x+1；②∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小；（2）∵x＝0和x＝2时的函数值都是1，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴（1，n）是顶点，（﹣1，m）和（3，p）关于对称轴对称，若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且m≤0，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴二次函数为y＝ax2﹣2ax+1，∴m＝a+2a+1≤0，∴a≤﹣．22．（2023•淮安）已知二次函数y＝x2+bx﹣3（b为常数）．（1）该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为（3，0），①b的值是﹣2，点B的坐标是（﹣1，0）；②当0＜y＜5时，借助图象，求自变量x的取值范围；（2）对于一切实数x，若函数值y＞t总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）；（3）当m＜y＜n时（其中m、n为实数，m＜n），自变量x的取值范围是1＜x＜2，求n与b的值及m的取值范围．【分析】（1）①依据题意，由二次函数y＝x2+bx﹣3过点A（3，0）代入可得b，进而得二次函数解析式，从而可以求出B；②依据题意，由①令y＝0，y＝5分别求出对应自变量进而可以得解；（2）依据题意，由不等式变形得x2+bx﹣3﹣t＞0，对于一切实数成立，即对函数y＝x2+bx﹣3﹣t与x轴无交点，可得Δ＜0，进而可以得解；（3）依据题意可得抛物线上横坐标为x＝1与x＝2的两点关于对称轴对称，从而求出b，进而得二次函数解析式，再由自变量x的取值范围是1＜x＜2，可得n的值，最后可以求出m的范围．【解答】解：（1）①由二次函数y＝x2+bx﹣3过点A（3，0），∴9+3b﹣3＝0．∴b＝﹣2．∴二次函数为：y＝x2﹣2x﹣3．令y＝0，∴x2﹣2x﹣3＝0．∴解得，x＝﹣1或x＝3．∴B（﹣1，0）．故答案为：﹣2；（﹣1，0）．②由题意，令y＝x2﹣2x﹣3＝5，∴x＝4或x＝﹣2．又∵a＝1＞0，∴二次函数图象开口向上．∴当0＜y＜5时，满足题意的自变量有两部分，∴﹣2＜x＜﹣1或3＜x＜4．（2）由题意，∵对于一切实数x，若函数值y＞t总成立，即x2+bx﹣3＞t恒成立．即x2+bx﹣3﹣t＞0．∵y＝x2+bx﹣3﹣t开口向上，∴Δ＝b2﹣4（﹣3﹣t）＜0．∴t＜﹣．（3）由题意，抛物线上横坐标为x＝1与x＝2的两点关于对称轴对称，∴对称轴x＝﹣＝．∴b＝﹣3．∴二次函数为y＝x2﹣3x﹣3＝（x﹣）2﹣．∴当x＝1或x＝2时，y＝﹣5，即此时n＝﹣5．由题意，∵m＜y＜﹣5时，自变量x的取值范围是1＜x＜2，∴m＜﹣．23．（2023•云南）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象为图象T．（1）求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；（2）是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）分一次函数和二次函数分别证明函数图象T与x轴总有交点即可；（2）当a＝﹣时，不符合题意；当a≠时，由0＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4，得x＝﹣或x＝，即x＝＝2﹣，因a是整数，故当2a+1是6的因数时，是整数，可得2a+1＝﹣6或2a+1＝﹣3或2a+1＝﹣2或2a+1＝﹣1或2a+1＝1或2a+1＝2或2a+1＝3或2a+1＝6，分别解方程并检验可得a＝﹣2或a＝﹣1或a＝0或a＝1．【解答】（1）证明：当a＝﹣时，函数表达式为y＝12x+6，令y＝0得x＝﹣，∴此时函数y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象与x轴有交点；当a≠时，y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4为二次函数，∵Δ＝（9﹣6a）2﹣4（4a+2）（﹣4a+4）＝100a2﹣140a+49＝（10a﹣7）2≥0，∴函数y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象与x轴有交点；综上所述，无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；（2）解：存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点，理由如下：当a＝﹣时，不符合题意；当a≠﹣时，在y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4中，令y＝0得：0＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4，解得x＝﹣或x＝，∵x＝＝2﹣，a是整数，∴当2a+1是6的因数时，是整数，∴2a+1＝﹣6或2a+1＝﹣3或2a+1＝﹣2或2a+1＝﹣1或2a+1＝1或2a+1＝2或2a+1＝3或2a+1＝6，解得a＝﹣或a＝﹣2或a＝﹣或a＝﹣1或a＝0或a＝或a＝1或a＝，∵a是整数，∴a＝﹣2或a＝﹣1或a＝0或a＝1．24．（2023•朝阳）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x/元…121314…每天销售数量y/件…363432…（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），然后用待定系数法求函数解析式；（2）依据利润＝单件利润×销售量列出方程，解答即可；（3）根据利润＝单件利润×销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由所给函表格可知：，解得：，故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+60；（2）根据题意得：（x﹣10）（﹣2x+60）＝192，解得：x1＝18，x2＝22又∵10≤x≤19，∴x＝18，答：销售单价应为18元．（3）w＝（x﹣10）（﹣2x+60）＝﹣2x2+80x﹣600＝﹣2（x﹣20）2+200∵a＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∵对称轴为直线x＝20，∴当10≤x≤19时，w随x的增大而增大，∴当x＝19时，w有最大值，w最大＝198．答：当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元．25．（2023•温州）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？【分析】（1）求出抛物线的顶点坐标为（2，3），设抛物线为y＝a（x﹣2）2+3，用待定系数法可得y＝﹣（x﹣2）2+3；当x＝0时，y＝﹣×4+3＝＞2.44，知球不能射进球门．（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3，把点（0，2.25）代入得m＝﹣5（舍去）或m＝1，即知当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．【解答】解：（1）∵8﹣6＝2，∴抛物线的顶点坐标为（2，3），设抛物线为y＝a（x﹣2）2+3，把点A（8，0）代入得：36a+3＝0，解得a＝﹣，∴抛物线的函数表达式为y＝﹣（x﹣2）2+3；当x＝0时，y＝﹣×4+3＝＞2.44，∴球不能射进球门．（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3，把点（0，2.25）代入得：2.25＝﹣（0﹣2﹣m）2+3，解得m＝﹣5（舍去）或m＝1，∴当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．26．（2023•济南）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，C（2，3），D（﹣1，3）．抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于点E（﹣2，0）和点F．（1）如图1，若抛物线过点C，求抛物线的表达式和点F的坐标；（2）如图2，在（1）的条件下，连接CF，作直线CE，平移线段CF，使点C的对应点P落在直线CE上，点F的对应点Q落在抛物线上，求点Q的坐标；（3）若抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与正方形ABCD恰有两个交点，求a的取值范围．【分析】（1）抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点C（2，3），E（﹣2，0），