热点01 数与式（10大题型+满分技巧+限时分层检测）（原卷版）

热点01数与式中考数学中数与式部分主要考向分为四类：一、实数与特殊角的三角函数值（每年2~4道，9~16分）二、整式与因式分解（每年2~4道，7~10分）三、分式（每年1~3题，3~13分）四、二次根式（每年1~3题，3~12分）在数学中考中，数与式部分主要考察实数及其运算、数的开方与二次根式、整式与因式分解、分式及其运算；而这些考点中，对实数包含的各种概念的运用的考察占了大多数，但是试题难度设置的并不大，属于中考中的基础“送分题”，题目多以选择题、填空题以及个别计算类简单解答题的形式出现；但是，由于数学题目出题的多变性，虽然考点相同，并不表示出题方向也相同，所以在复习时，需要考生对这部分的知识点的原理及变形都达到熟悉掌握，才能在众多的变形中，快速识别问题考点，拿下这部分基础分。考向一：实数及其运算【题型1实数内的基本概念】满分技巧实数内的基本概念包括：数轴、相反数、绝对值、倒数、有理数、无理数、科学记数法；做这种概念类题目时记牢以下4点：①熟悉各概念的基本定义，特别注意各概念中0的特殊存在；②必须读对题意，问的是什么就想对应的考点；③如果是选择题，确保4个选项都要全看完，再说选哪个选项；④做到数轴、绝对值相关的问题，注意需不需要分类讨论。1．（2023•岳阳）2023的相反数是A． B． C．2023 D．2．（2023•泰安）的倒数是A． B． C． D．3．（2023•自贡）如图，数轴上点表示的数是2023，，则点表示的数是A．2023 B． C． D．4．（2023•日照）芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为A． B． C． D．5．（2023•淄博）的运算结果等于A．3 B． C． D．6．（2023•金昌）9的算术平方根是A． B． C．3 D．7．（2023•巴中）下列各数为无理数的是A．0.618 B． C． D．8．（2023•天津）估计的值在A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【题型2实数的比较大小】满分技巧实数比较大小的常见方法：①法则法：正数＞0＞负数；②数轴法：数轴上的数，右边的总比左边的大；③绝对值法：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；④平方法：两个正数比较大小，谁的平方大，谁本身就大，两个负数比较大小，谁的平方大，谁本身反而小；注意：个别实数的比较大小会结合其他基本概念或计算，这类问题要同时兼顾结合考点的性质再做比较1．（2023•徐州）如图，数轴上点、、、分别对应实数、、、，下列各式的值最小的是A． B． C． D．2．（2023•扬州）已知，，，则、、的大小关系是A． B． C． D．3．（2023•南京）整数满足，则的值为A．3 B．4 C．5 D．64．（2023•甘孜州）比较大小：2．（填“”或“”5．（2023•自贡）请写出一个比小的整数．6．（2023•德州）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，比较大小：0．（填“”“”或“”7．（2023•湖州）已知，是两个连续整数，，则的值是．【题型3实数的运算】满分技巧实数的运算是实数内各种概念法则运算的结合，一般以简答题为主，个别会出填空题，这也就决定了实数的运算需要我们注意的三个方面：①实数的运算必须熟悉的几个法则：零指数幂运算、负指数幂运算、绝对值的化简、根式的化简计算、特殊角的三角函数值计算等；②实数的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；③实数的运算，先确定化简的正负，再进行合并计算。1．（2023•天津）的值等于A．1 B． C． D．22．（2023•安徽）计算：．3．（2023•菏泽）计算：．4．（2023•西藏）计算：．5．（2023•济南）计算：．考向二：整式与因式分解【题型4代数式求值】满分技巧代数式求值类问题解题步骤：①根据已知条件转化含字母的整体部分的值；②转化待求式，得上一步整体表达式的倍数的表达式；③将整体部分的值代入计算。1．（2023•南通）若，则的值为A．24 B．20 C．18 D．162．（2023•巴中）若满足，则代数式的值为A．5 B．7 C．10 D．3．（2023•淮安）若，则的值是．【题型5整式的计算与化简求值】满分技巧完全拿下这部分分数，首先需要我们完全熟悉整式中的所有计算公式，特别是完全平方公式与平方差公式，变形也得掌握；其次要掌握整式的混合运算的顺序；最后，整式的化简求值，必须先化简，再带入数据求值。1、常见必会计算公式：①am•an＝am+n（m，n是正整数）②（am）n＝amn（m，n是正整数）③（ab）n＝anbn（n是正整数）④am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）⑤（a±b）2＝a2±2ab+b2⑥（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b22、完全平方公式的常见变形：3、其他技巧：整式的化简计算，其实就是去括号法则与合并同类项法则的联合应用，所以两个法则的注意事项也是整式化简的注意事项。1．（2023•张家界）下列运算正确的是A． B． C． D．2．下列运算中，结果正确的是A． B． C． D．3．（2023•凉山州）已知是完全平方式，则的值是．4．（2023•南充）先化简，再求值：，其中．5．（2023•内蒙古）先化简，再求值：，其中，．【题型6因式分解】满分技巧因式分解的步骤：一提（公因式），二套（乘法公式），三十字（十字相乘法）；注意：第一步就要提彻底。1．（2023•济宁）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是A． B． C． D．2．（2023•杭州）分解因式：A． B． C． D．3．（2023•东营）因式分解：．考向三：二次根式【题型7二次根式有意义的条件】满分技巧二次根式有意义的条件：被开方数整体≥0注意：和分式结合的二次根式，不仅要满足被开方数整体≥0，还要同时满足分母≠01．（2023•无锡）若二次根式有意义，则的取值范围为A． B． C． D．2．（2023•绥化）若式子有意义，则的取值范围是．【题型8二次根式的运算】满分技巧①二次根式的加减，先根据二次根式的性质公式化简，再合并同类二次根式；②二次根式的乘除，按照二次根式的运算公式直接计算；③二次根式混合运算顺序同实数混合运算顺序一样；④二次根式的运算结果必须化简成最简二次根式。1．（2023•西宁）下列运算正确的是A． B． C． D．2．（2023•泰州）计算等于A． B．2 C．4 D．3．（2023•内蒙古）实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简：．4．（2023•陕西）计算：．考向四：分式及其运算【题型9分式有意义与分式值为零】满分技巧分式有意义：分母≠0；分式值为零：分子=0且分母≠01．（2023•北京）若代数式有意义，则实数的取值范围是．2．（2023•凉山州）分式的值为0，则的值是A．0 B． C．1 D．0或13．（2023•衡阳）已知，则代数式的值为．【题型10分式的计算与化简求值】满分技巧①分式的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的，能约分的先约分②分式的化简求值问题中，一般先化简，再求值，且化简结果应为整式或最简分式。技巧总结：分式的化简求值问题中，加减通分，乘除约分，结果最简，喜欢的数适当的大，适合的数排除分母。1．（2023•绥化）化简：．2．（2023•江西）化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：（1）甲同学解法的依据是，乙同学解法的依据是；（填序号）①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．3．（2023•武汉）已知，计算的值是A．1 B． C．2 D．4．（2023•眉山）先化简：，再从，，1，2中选择一个合适的数作为的值代入求值．（建议用时：15分钟）1．（2023•湘西州）的相反数是A． B． C． D．20232．（2023•金华）某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分别是，，，，其中最低气温是A． B． C． D．3．（2023•长春）下列运算正确的是A． B． C． D．4．（2023•娄底）2023的倒数是A．2023 B． C． D．5．（2023•济宁）下列各式运算正确的是A． B． C． D．6．（2023•攀枝花）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（2023•淮安）若在实数范围内有意义，则的取值范围是．8．（2023•南京）计算的结果是．9．（2023•常州）9的算术平方根是．10．（2023•乐山）若、满足，则．11．（2023•福建）已知，且，则的值为．12．（2023•金华）计算：．13．（2023•无锡）计算：（1）；（2）．14．（2023•长沙）先化简，再求值：，其中．15．（2023•北京）已知，求代数式的值．16．（2023•浙江）观察下面的等式：，，，，（1）写出的结果；（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）；（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．（建议用时：20分钟）1．（2023秋•黄冈期末）下列四个数中，绝对值最大的是A．2 B． C．0 D．2．（2024•雁塔区校级一模）的倒数是A． B．2024 C． D．3．（2023•湘西州）的相反数是A． B． C． D．20234．（2023•李沧区三模）刻蚀机是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，中国自主研发的6纳米刻蚀机已获成功，6纳米就是0.000000006米．数据0.000000006用科学记数法表示为A． B． C． D．5．（2024•周至县一模）计算的结果是A． B． C． D．6．（2023秋•凉山州期末）已知，则的值是A．6 B． C． D．87．（2023秋•海淀区期末）下列运算中，正确的是A． B． C． D．8．（2024•大渡口区模拟）估算的结果A．在7和8之间 B．在8和9之间 C．在9和10之间 D．在10和11之间9．（2024•碑林区校级一模）比较大小：2（填“”、“”或“”．10．（2023秋•邗江区期末）4的算术平方根是．11．（2023•越秀区一模）若在实数范围内有意义，则的取值范围是．12．（2023•南宁三模）因式分解：．13．（2024•碑林区校级一模）写出一个绝对值小于的负整数是（写出符合条件的一个即可）14．（2024•浙江模拟）定义一种运算，计算．15．（2022春•玄武区期末）比较大小：．（填，，16．（2023•兴宁区二模）若最简二次根式与是同类二次根式，则．17．（2023•武胜县模拟）若，则代数式的值等于．18．（2024•大渡口区模拟）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“差中数”．例如：四位数4129，，是“差中数”；又如：四位数5324，，不是“差中数”．若一个“差中数”为，则这个数为；如果一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是．19．（2024•福田区校级自主招生）计算：．20．（2024•长沙模拟）计算：．21．（2023•南山区二模）计算：．22．（2023•东城区一模）已知，求代数式的值．23．（2023•长安区校级二模）先化简，再求值：，其中，．24．（2024•灞桥区校级一模）先化简，再从，0，中选取适合的数字求这个代数式的值．25．（2023•台江区模拟）先化简，再求值：，其中．26．（2023•栾城区校级模拟）某校组织学生外出研学，旅行社报价每人收费300元，当研学人数超过50人时，旅行社给出两种优惠方案：方案一：研学团队先交1500元后，每人收费240元；方案二：5人免费，其余每人收费打九折（九折即原价