热点01 数与式（10大题型+满分技巧+限时分层检测）（解析版）

热点01数与式中考数学中数与式部分主要考向分为四类：一、实数与特殊角的三角函数值（每年2~4道，9~16分）二、整式与因式分解（每年2~4道，7~10分）三、分式（每年1~3题，3~13分）四、二次根式（每年1~3题，3~12分）在数学中考中，数与式部分主要考察实数及其运算、数的开方与二次根式、整式与因式分解、分式及其运算；而这些考点中，对实数包含的各种概念的运用的考察占了大多数，但是试题难度设置的并不大，属于中考中的基础“送分题”，题目多以选择题、填空题以及个别计算类简单解答题的形式出现；但是，由于数学题目出题的多变性，虽然考点相同，并不表示出题方向也相同，所以在复习时，需要考生对这部分的知识点的原理及变形都达到熟悉掌握，才能在众多的变形中，快速识别问题考点，拿下这部分基础分。考向一：实数及其运算【题型1实数内的基本概念】满分技巧实数内的基本概念包括：数轴、相反数、绝对值、倒数、有理数、无理数、科学记数法；做这种概念类题目时记牢以下4点：①熟悉各概念的基本定义，特别注意各概念中0的特殊存在；②必须读对题意，问的是什么就想对应的考点；③如果是选择题，确保4个选项都要全看完，再说选哪个选项；④做到数轴、绝对值相关的问题，注意需不需要分类讨论。1．（2023•岳阳）2023的相反数是A． B． C．2023 D．【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．【解答】解：2023的相反数是．故选：．2．（2023•泰安）的倒数是A． B． C． D．【分析】根据倒数的定义直接进行解答即可．【解答】解：根据倒数的定义得：的倒数是；故选：．3．（2023•自贡）如图，数轴上点表示的数是2023，，则点表示的数是A．2023 B． C． D．【分析】结合已知条件，根据实数与数轴的对应关系即可求得答案．【解答】解：，点表示的数是2023，，点在点左侧，点表示的数为：，故选：．4．（2023•日照）芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为A． B． C． D．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．【解答】解：．故选：．5．（2023•淄博）的运算结果等于A．3 B． C． D．【分析】利用绝对值的性质可得出答案．【解答】解：，故选：．6．（2023•金昌）9的算术平方根是A． B． C．3 D．【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案．【解答】解：9的算术平方根是3，故选：．7．（2023•巴中）下列各数为无理数的是A．0.618 B． C． D．【分析】明确无理数是无限不循环小数；有理数分为整数和分数．【解答】解：，；；均为有理数，是无理数．故选：．8．（2023•天津）估计的值在A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【分析】一个正数越大，其算术平方根越大，据此即可求得答案．【解答】解：，，即，那么在2和3之间，故选：．【题型2实数的比较大小】满分技巧实数比较大小的常见方法：①法则法：正数＞0＞负数；②数轴法：数轴上的数，右边的总比左边的大；③绝对值法：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；④平方法：两个正数比较大小，谁的平方大，谁本身就大，两个负数比较大小，谁的平方大，谁本身反而小；注意：个别实数的比较大小会结合其他基本概念或计算，这类问题要同时兼顾结合考点的性质再做比较1．（2023•徐州）如图，数轴上点、、、分别对应实数、、、，下列各式的值最小的是A． B． C． D．【分析】结合数轴得出，，，四个数的绝对值大小进行判断即可．【解答】解：由数轴可得点离原点距离最远，其次是点，再次是点，点离原点距离最近，则，其中值最小的是，故选：．2．（2023•扬州）已知，，，则、、的大小关系是A． B． C． D．【分析】一个正数越大，其算术平方根越大，据此进行判断即可．【解答】解：，，即，则，故选：．3．（2023•南京）整数满足，则的值为A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据夹逼法估算无理数的大小即可求出的值．【解答】解：，即，整数，故选：．4．（2023•甘孜州）比较大小：2．（填“”或“”【分析】先把2写成，然后根据被开方数大的算术平方根也大即可得出比较结果．【解答】解：，又，，故答案为：．5．（2023•自贡）请写出一个比小的整数4（答案不唯一）．【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可．【解答】解：，，而，，比小的整数有4（答案不唯一），故答案为：4（答案不唯一）．6．（2023•德州）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，比较大小：0．（填“”“”或“”【分析】由数轴可得，则，，从而求得答案．【解答】解：由数轴可得，则，，那么，故答案为：．7．（2023•湖州）已知，是两个连续整数，，则的值是9．【分析】与为整数，且，故可以得到与的值．【解答】解：由题可知，，，，故．故答案为：9．【题型3实数的运算】满分技巧实数的运算是实数内各种概念法则运算的结合，一般以简答题为主，个别会出填空题，这也就决定了实数的运算需要我们注意的三个方面：①实数的运算必须熟悉的几个法则：零指数幂运算、负指数幂运算、绝对值的化简、根式的化简计算、特殊角的三角函数值计算等；②实数的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；③实数的运算，先确定化简的正负，再进行合并计算。1．（2023•天津）的值等于A．1 B． C． D．2【分析】根据特殊锐角的三角函数值及二次根式的加法法则计算即可．【解答】解：原式，故选：．2．（2023•安徽）计算：3．【分析】直接利用立方根的性质化简，进而得出答案．【解答】解：原式．故答案为：3．3．（2023•菏泽）计算：1．【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：．故答案为：1．4．（2023•西藏）计算：．【分析】利用负整数指数幂，特殊锐角的三角函数值，零指数幂，立方根的定义进行计算即可．【解答】解：原式．5．（2023•济南）计算：．【分析】先根据绝对值、负整数指数幂、零指数幂和特殊角的三角函数值对原式进行化简，然后再合并即可．【解答】解：．考向二：整式与因式分解【题型4代数式求值】满分技巧代数式求值类问题解题步骤：①根据已知条件转化含字母的整体部分的值；②转化待求式，得上一步整体表达式的倍数的表达式；③将整体部分的值代入计算。1．（2023•南通）若，则的值为A．24 B．20 C．18 D．16【分析】由已知条件可得，然后将变形后代入数值计算即可．【解答】解：，，，故选：．2．（2023•巴中）若满足，则代数式的值为A．5 B．7 C．10 D．【分析】首先将已知条件转化为，再利用提取公因式将转化为，然后整体代入即可得出答案．【解答】解：，，．故选：．3．（2023•淮安）若，则的值是3．【分析】将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答即可．【解答】解：，，原式．故答案为：3．【题型5整式的计算与化简求值】满分技巧完全拿下这部分分数，首先需要我们完全熟悉整式中的所有计算公式，特别是完全平方公式与平方差公式，变形也得掌握；其次要掌握整式的混合运算的顺序；最后，整式的化简求值，必须先化简，再带入数据求值。1、常见必会计算公式：①am•an＝am+n（m，n是正整数）②（am）n＝amn（m，n是正整数）③（ab）n＝anbn（n是正整数）④am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）⑤（a±b）2＝a2±2ab+b2⑥（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b22、完全平方公式的常见变形：3、其他技巧：整式的化简计算，其实就是去括号法则与合并同类项法则的联合应用，所以两个法则的注意事项也是整式化简的注意事项。1．（2023•张家界）下列运算正确的是A． B． C． D．【分析】根据完全平方公式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则，逐项分析判断即可求解．【解答】解：．，故该选项不符合题意；．，故该选项不符合题意；．，故该选项符合题意；．，故该选项不符合题意；故选：．2．下列运算中，结果正确的是A． B． C． D．【分析】根据整式的运算法则将各项计算后进行判断即可．【解答】解：，则不符合题意；，则不符合题意；，则符合题意；，则不符合题意；故选：．3．（2023•凉山州）已知是完全平方式，则的值是．【分析】利用完全平方式的意义解答即可．【解答】解：是完全平方式，，，或，．故答案为：．4．（2023•南充）先化简，再求值：，其中．【分析】原式第一项利用平方差公式就是，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，将的值代入计算即可求出值．【解答】解：，当时，原式．5．（2023•内蒙古）先化简，再求值：，其中，．【分析】根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式的运算法则以及合并同类项法则把原式化简，把、的值代入计算即可．【解答】解：原式，当，时，原式．【题型6因式分解】满分技巧因式分解的步骤：一提（公因式），二套（乘法公式），三十字（十字相乘法）；注意：第一步就要提彻底。1．（2023•济宁）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是A． B． C． D．【分析】本题考查因式分解十字相乘，提公因式等相关知识．【解答】解：是完全平方公式，不是因式分解的形式，故选项错误，，故选项错误，，故选项正确，，故选项错误．故答案为：．2．（2023•杭州）分解因式：A． B． C． D．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：．故选：．3．（2023•东营）因式分解：．【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．【解答】解：，故答案为：．考向三：二次根式【题型7二次根式有意义的条件】满分技巧二次根式有意义的条件：被开方数整体≥0注意：和分式结合的二次根式，不仅要满足被开方数整体≥0，还要同时满足分母≠01．（2023•无锡）若二次根式有意义，则的取值范围为A． B． C． D．【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可．【解答】解：由题意得：，解得：．故选：．2．（2023•绥化）若式子有意义，则的取值范围是且．【分析】根据分式的分母不为0和二次根式的被开平方数大于等于0进行求解．【解答】解：由题意得且，解得且，故答案为：且．【题型8二次根式的运算】满分技巧①二次根式的加减，先根据二次根式的性质公式化简，再合并同类二次根式；②二次根式的乘除，按照二次根式的运算公式直接计算；③二次根式混合运算顺序同实数混合运算顺序一样；④二次根式的运算结果必须化简成最简二次根式。1．（2023•西宁）下列运算正确的是A． B． C． D．【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别计算，进而判断得出答案．【解答】解：．无法合并，故此选项不合题意；．，故此选项不合题意；．，故此选项符合题意；．，故此选项不合题意．故选：．2．（2023•泰州）计算等于A． B．2 C．4 D．【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：．故选：．3．（2023•内蒙古）实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简：．【分析】根据二次根式的非负性进行化简去绝对值即可．【解答】解：由数轴可知：，，．故答案为：．4．（2023•陕西）计算：．【分析】利用有理数的乘法法则，二次根式的运算法则，零指数幂进行计算即可．【解答】解：原式．考向四：分式及其运算【题型9分式有意义与分式值为零】满分技巧分式有意义：分母≠0；分式值为零：分子=0且分母≠01．（2023•北京）若代数式有意义，则实数的取值范围是．【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：，解得：，故答案为：．2．（2023•凉山州）分式的值为0，则的值是A．0 B． C．1 D．0或1【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算．【解答】解：分式的值为0，且，解得：，故选：．3．（2023•衡阳）已知，则代数式的值为．【分析】根据分式的减法法则把原式化简，把的值代入计算即可．【解答】解：原式，当时，原式，故答案为：．【题型10分式的计算与化简求值】满分技巧①分式的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的，能约分的先约分②分式的化简求值问题中，一般先化简，再求值，且化简结果应为整式或最简分式。技巧总结：分式的化简求值问题中，加减通分，乘除约分，结果最简，喜欢的数适当的大，适合的数排除分母。1．（2023•绥化）化简：．【分析】先通分计算括号里的分式加减，再计算除法．【解答】解：，故答案为：．2．（2023•江西）化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：（1）甲同学解法的依据是②，乙同学解法的依据是；（填序号）①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．【分析】（1）甲同学的解法两个分式先通分依据是分式的基本性质，乙同学根据乘法分配律先算乘法，后算加法，这样简化运算，更简便了．（2）选择乙同学的解法，先因式分解，再约分，最后进行加法运算即可．【解答】解：（1）甲同学的解法是：先把括号内两个分式通分后相加，再进行乘法运算，通分的依据是分式的基本性质，故答案为：②．乙同学的解法是：根据乘法的分配律，去掉括号后，先算分式的乘法，再算加法，故答案为：③．（2）选择乙同学的解法．．3．（2023•武汉）已知，计算的值是A．1 B． C．2 D．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出，继而可得答案．【解答】解：原式，，，原式．故选：．4．（2023•眉山）先化简：，再从，，1，2中选择一个合适的数作为的值代入求值．【分析】先把括号里进行通分，再计算除法，最后代入求解．【解答】解：，且，当时，原式．（建议用时：15分钟）1．（2023•湘西州）的相反数是A． B． C． D．2023【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．【解答】解：的相反数为2023．故选：．2．（2023•金华）某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分别是，，，，其中最低气温是A． B． C． D．【分析】明确在实数中负数小于0小于正数，且负数之间比较大小绝对值越大负数越小．【解答】解：由题可知：，所以最低气温是．故选：．3．（2023•长春）下列运算正确的是A． B． C． D．【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别判断得出答案．【解答】解：．，无法合并，故此选项不合题意；．，故此选项符合题意；．，故此选项不合题意；．，故此选项不合题意．故选：．4．（2023•娄底）2023的倒数是A．2023 B． C． D．【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．【解答】解：2023的倒数是．故选：．5．（2023•济宁）下列各式运算正确的是A． B． C． D．【分析】本题考查整式的乘法，同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方和完全平方公式等知识．【解答】解：，故选项错误，，故选项错误，，故选项错误，．故选：．6．（2023•攀枝花）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案．【解答】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④，故选：．7．（2023•淮安）若在实数范围内有意义，则的取值范围是．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：，解得：，故答案为：．8．（2023•南京）计算的结果是．【分析】先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．【解答】解：，故答案为：．9．（2023•常州）9的算术平方根是3．【分析】根据算术平方根的定义计算即可．【解答】解：，的算术平方根是3，故答案为：3．10．（2023•乐山）若、满足，则16．【分析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形，进而计算得出答案．【解答】解：，，．故答案为：16．11．（2023•福建）已知，且，则的值为1．【分析】根据，可得，再代入即可求出答案．【解答】解：，，，．故答案为：1．12．（2023•金华）计算：．【分析】先计算零次幂、化简二次根式，再代入特殊值的函数值算乘法并化简绝对值，最后算加减得结论．【解答】解：．13．（2023•无锡）计算：（1）；（2）．【分析】（1）先算开方，负整数指数幂，绝对值，再算加减即可；（2）先算括号里的运算，再把除法转为乘法，最后约分即可．【解答】解：（1）；（2）．14．（2023•长沙）先化简，再求值：，其中．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．【解答】解：，当时，原式．15．（2023•北京）已知，求代数式的值．【分析】根据已知可得，然后利用分式的基本性质化简分式，再把代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：，，，的值为2．16．（2023•浙江）观察下面的等式：，，，，（1）写出的结果；（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）；（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．【分析】（1）根据题目中的例子，可以写出的结果；（2）根据题目中给出的式子，可以得到；（3）将（2）中等号左边的式子利用平方差公式计算即可．【解答】解：（1），；（2）由题意可得，；（3），正确．（建议用时：20分钟）1．（2023秋•黄冈期末）下列四个数中，绝对值最大的是A．2 B． C．0 D．【分析】分别计算出四个选项的绝对值，然后再进行比较，找出绝对值最大的选项．【解答】解：、；、；、；、；，四个数中绝对值最大的是．故选：．2．（2024•雁塔区校级一模）的倒数是A． B．2024 C． D．【分析】根据题意利用倒数定义即可得出本题答案．【解答】解：，故选：．3．（2023•湘西州）的相反数是A． B． C． D．2023【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．【解答】解：的相反数为2023．故选：．4．（2023•李沧区三模）刻蚀机是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，中国自主研发的6纳米刻蚀机已获成功，6纳米就是0.000000006米．数据0.000000006用科学记数法表示为A． B． C． D．【分析】将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：，故选：．5．（2024•周至县一模）计算的结果是A． B． C． D．【分析】根据单项式乘单项式的法则计算即可．【解答】解：，故选：．6．（2023秋•凉山州期末）已知，则的值是A．6 B． C． D．8【分析】根据同底数幂的乘法求解即可．【解答】解：，，，故选：．7．（2023秋•海淀区期末）下列运算中，正确的是A． B． C． D．【分析】根据幂的乘方法则，积的乘方法则，同底数幂的乘法和除法法则逐项计算，即可判断．【解答】解：，故计算错误，不符合题意；，故计算错误，不符合题意；，故计算正确，符合题意；，故计算错误，不符合题意．故选：．8．（2024•大渡口区模拟）估算的结果A．在7和8之间 B．在8和9之间 C．在9和10之间 D．在10和11之间【分析】先根据二次根式乘除法的计算方法将原式化简后，再根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可．【解答】解：原式，，，即，故选：．9．（2024•碑林区校级一模）比较大小：2（填“”、“”或“”．【分析】根据，所以即可．【解答】解：，，．故答案为：．10．（2023秋•邗江区期末）4的算术平方根是2．【分析】根据算术平方根的定义进行计算即可．【解答】解：，的算术平方根是，故答案为：2．11．（2023•越秀区一模）若在实数范围内有意义，则的取值范围是．【分析】根据分式的分母不等于0即可得出答案．【解答】解：由题意，得，解得．故答案为：．12．（2023•南宁三模）因式分解：．【分析】先提公因式，分解成，而可利用平方差公式分解．【解答】解：．故答案为：．13．（2024•碑林区校级一模）写出一个绝对值小于的负整数是（答案不唯一）（写出符合条件的一个即可）【分析】运用算术平方根和绝对值的知识进行求解．【解答】解：，，是绝对值小于的负整数，故答案为：（答案不唯一）．14．（2024•浙江模拟）定义一种运算，计算．【分析】根据，用与的积减去2与的积，求出的值即可．【解答】解：，．故答案为：．15．（2022春•玄武区期末）比较大小：．（填，，【分析】首先比较出和的平方的大小关系，然后根据：哪个数的平方大，则哪个数也大，判断出它们的大小关系即可．【解答】解：，，，，，，故答案为：．16．（2023•兴宁区二模）若最简二次根式与是同类二次根式，则2．【分析】根据二次根式的性质把化简，再根据同类二次根式的概念列式计算即可．【解答】解：，则，解得：，故答案为：2．17．（2023•武胜县模拟）若，则代数式的值等于49．【分析】根据，得出，两边平方移项即可得出的值．【解答】解：，，，，故答案为：49．18．（2024•大渡口区模拟）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“差中数”．例如：四位数4129，，是“差中数”；又如：四位数5324，，不是“差中数”．若一个“差中数”为，则这个数为5138；如果一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是．【分析】①根据定义列出方程即可求出；②先根据数的特征设千位为9，再根据“差中根据各数数”的特征求出位上的数字互不相等且均不为0，解不定方程的整数解求出各数，再判断是否能被11整除即可．【解答】解：①为”差中数“，，，这个数为5138；②设满足条件的四位自然数是，又是差中数，，即，故或，各数位上的数字互不相等且均不为0，，，，，，当时，这个”差中数“是9817，不能被11整除，当时，这个”差中数“是9725，不能被11整除，当时，这个”差中数“是9541，不能被11整除，当时，这个”差中数“是9358，不能被11整除，当时，这个”差中数“是9174，能被11整除，一个”差中数“能被11整除，则满足条件的数的最大值是9174，故答案为：5138，9174．19．（2024•福田区校级自主招生）计算：．【分析】根据化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂进行计算即可求解．【解答】解：原式．20．（2024•长沙模拟）计算：．【分析】原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用立方根定义计算即可得到结果．【解答】解：原式．21．（2023•南山区二模）计算：．【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用乘方的意义计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式．22．（2023•东城区一模）已知，求代数式的值．【分析】利用多项式乘多项式、多项式乘单项式进行计算，然后再合并同类项，化简后，再代入求值即可．【解答】解：原式，，，原式．23．（2023•长安区校级二模）