沪科版八年级数学上册期末复习讲义(含答案)VIP

期末复习(一)平面直角坐标系01知识结构图02重难点突破重难点1平面直角坐标系中点的坐标特征【例1】(长沙中考)若点P(2m＋1，eq\f(3m－1,2))在第四象限，则m的取值范围是(C)A．m＜eq\f(1,3) B．m＞－eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)<m<eq\f(1,3) D．－eq\f(1,2)≤m<eq\f(1,3)根据点所在的位置和平面直角坐标系内点的坐标特征，构建方程或不等式(组)求解即可．1．(淮北月考)若点P(a＋1，1－2a)在x轴上，则a的取值为(B)A．a＝－1 B．a＝eq\f(1,2)C．a＝2 D．a＝－1或a＝eq\f(1,2)2．(济宁中考)已知点P(x，y)位于第四象限，并且x≤y＋4(x，y为整数)，写出一个符合上述条件的点P的坐标(1，－2)(答案不唯一)．3．(阜阳颍东区期末)已知点P(2，－6)到x轴的距离为a，到y轴的距离为b，则a－b＝4．重难点2建立坐标系表示点的坐标【例2】(蚌埠段考)象棋在中国有着三千多年的历史，属于二人对抗性游戏的一种．由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动．如图是一方的棋盘．如果“帅”坐标是(0，1)，“卒”坐标是(2，2)，那么“马”坐标是(C)A．(－2，1)B．(2，－2)C．(－2，2)D．(2，2)根据点的坐标建立坐标系的方法：若(a，b)是某坐标系中的点，当a＞0(a＜0)时，向左(向右)|a|个单位长度的铅直线即为y轴；当b＞0(b＜0)时，向下(向上)|b|个单位长度的水平线即为x轴．4．如图是在方格纸上画出的小旗图案，若用(0，0)表示点A，(0，4)表示点B，那么点C的位置可表示为(C)A．(0，3) B．(2，3) C．(3，2) D．(3，0)第4题图第5题图5．如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示太和门的点的坐标为(0，－1)，表示九龙壁的点的坐标为(4，1)，则表示下列宫殿的点的坐标正确的是(B)A．景仁宫(4，2) B．养心殿(－2，3)C．保和殿(1，0) D．武英殿(－3.5，－4)重难点3图形在坐标系中的平移【例3】(大连中考)在平面直角坐标系xOy中，线段AB的两个端点坐标分别为A(－1，－1)，B(1，2)，平移线段AB，得到线段A′B′.已知A′的坐标为(3，－1)，则点B′的坐标为(B)A．(4，2) B．(5，2) C．(6，2) D．(5，3)图形中任意一点的平移方向和距离都与图形的平移保持一致，所以我们可以通过图形上某一点的坐标变化确定出图形的平移方向和距离，从而确定其他点平移后对应点的坐标．6．(亳州高炉学校期末)点P(x，y)平移后得到点P′(x＋1，y－2)，其平移的方式是(D)A．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度C．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度7．(兰州中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A1B1C1D1，已知A(－3，5)，B(－4，3)，A1(3，3)，则点B1的坐标为(B)A．(1，2)B．(2，1)C．(1，4)D．(4，1)重难点4坐标系中的对称问题【例4】(广西中考)已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，如果△A′B′C′与△ABC关于x轴对称，那么点B的对应点B′的坐标为(C)A．(－1，4)B．(1，－4)C．(－1，－4)D．(－4，1)点M(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)，关于y轴对称的点的坐标为(－x，y)．8．(海南中考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是(－2，3)，先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，则点A的对应点A2的坐标是(B)A．(－3，2) B．(2，－3) C．(1，－2) D．(－1，2)第8题图第9题图9．如图，在平面直角坐标平面内，线段AB垂直于y轴，垂足为B，且AB＝2，如果将线段AB沿y轴翻折，点A落在点C处，那么点C的横坐标是－2.重难点5坐标系中的规律探索问题【例5】在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做整点．如图，设坐标轴的单位长度为1cm，整点P从原点O出发向右或向上运动，速度为1cm/s，则点P运动1s后可以到达(0，1)，(1，0)两个整点；它运动2s后可以到达(2，0)，(1，1)，(0，2)三个整点；运动3s后它可以到达(3，0)，(2，1)，(1，2)，(0，3)四个整点；….问：(1)当整点P从点O出发4s后可以到达的整点是(4，0)，(3，1)，(2，2)，(1，3)，(0，4)；(2)当整点P从点O出发8s后，在平面直角坐标系中描出它所能到达的整点，并顺次连接这些整点；(3)当整点P从点O出发14s后可到达整点(9，5)的位置．【思路点拨】由动点在第一象限运动所到达的整点坐标可知，这些整点的横、纵坐标的和等于运动的秒数，所以由此规律可以推得出发后4s可以到达的整点及要到达整点(9，5)需要的时间．通过观察、猜想、验证找到整点的横、纵坐标与运动的秒数之间的关系，然后由规律写出答案．10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中规律排列，如：(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，1)，(3，0)，(3，－1)，…，根据这个规律，第17个点的坐标为(6，－1)．11．(北京中考)在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A(0，4)，点B是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部(不包括边界)的整点个数为m.当m＝3时，点B的横坐标的所有可能值是3或4；当点B的横坐标为4n(n为正整数)时，m＝6n－3(用含n的代数式表示)．03复习自测一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．如图，在平面直角坐标系中，点E的坐标为(a，b)，则ab的值为(B)A．1 B．2 C．－1 D．－2第1题图第2题图2．(安徽模拟)如图，小手盖住的点的坐标可能是(B)A．(3，－4) B．(－4，－3)C．(－4，3) D．(4，2)3．如图，在平面直角坐标系中，点P(－3，5)关于y轴的对称点的坐标是(B)A．(－3，－5)B．(3，5)C．(3，－5)D．(5，－3)4．(六安校级月考)在平面直角坐标系中，点A(－2，－2m＋3)在第三象限，则m的取值范围是(C)A．m<－eq\f(3,2) B．m>－eq\f(3,2)C．m>eq\f(3,2) D．m<eq\f(3,2)5．已知点M到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，则M点的坐标为(D)A．(1，2)B．(－1，－2)C．(1，－2)D．(2，1)或(2，－1)或(－2，1)或(－2，－1)6．(蚌埠四校联考)对任意实数x，点(x，x2－2x)一定不在(C)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限7．如图是做课间操时，小明，小刚和小红三人的相对位置，如果用(4，5)表示小明的位置，(2，4)表示小刚的位置，则小红的位置可表示为(D)A．(0，0) B．(0，1) C．(1，0) D．(1，2)8．已知正方形ABCD的边长为3，点A在原点，点B在x轴正半轴上，点D在y轴负半轴上，则点C的坐标是(C)A．(3，3) B．(－3，3)C．(3，－3) D．(－3，－3)9．(安徽模拟)甲、乙两位同学用围棋子做游戏，如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形．则下列下子方法不正确的是(说明：棋子的位置用数对表示，如A点在(6，3))(C)A．黑(3，7)；白(5，3) B．黑(4，7)；白(6，2)C．黑(2，7)；白(5，3) D．黑(3，7)；白(2，6)10．如图，△ABC的顶点坐标分别为A(－4，－3)，B(0，－3)，C(－2，1)．若将B点向右平移2个单位长度后再向上平移4个单位长度到达B1点．若设△ABC的面积为S1，△AB1C的面积为S2，则S1，S2的大小关系为(B)A．S1≥S2 B．S1＝S2C．S1<S2 D．S1>S2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．已知两点A(4，2)，B(4，－3)，则经过A，B两点的直线与y轴平行．12．(蚌埠期末)在平面直角坐标系中，点M(－3，－4)先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，此时点M的坐标为(0，－6)．13．已知点A(a，3)，过点A向x轴、y轴作垂线，两条垂线与两坐标轴围成的图形的面积是15，则a的值是±5．14．如图，已知A1(1，0)，A2(1，－1)，A3(－1，－1)，A4(－1，1)，A5(2，1)，…，则点A2019的坐标是(－505，－505)．三、解答题(本大题共5小题，满分40分)15．(6分)(陕西中考)已知点P(a＋1，2a－1)关于x轴的对称点在第一象限，求a的取值范围．解：依题意，得点P在第四象限，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋1>0，,2a－1<0.))解得－1＜a＜eq\f(1,2).∴a的取值范围是－1＜a＜eq\f(1,2).16．(6分)如图，面积为12的△ABC向x轴正方向平移至△DEF的位置，相应坐标如图所示(a，b为常数)．(1)求点E，D的坐标(用含a，b的式子表示)；(2)求四边形ACED的面积．解：(1)E(－a，0)，D(－2a，b)．(2)由题意，得OE＝－2a－(－a)＝－a，AD＝－2a，OA＝b.∵S△ABC＝12＝eq\f(1,2)(－a)b，∴－ab＝24.∴S四边形ACED＝－2ab－(－eq\f(1,2)ab)＝－eq\f(3,2)ab＝36.17．(9分)各写出3个满足下列条件的点，并在平面直角坐标系中描出它们：(1)横坐标与纵坐标相等；(2)横坐标与纵坐标互为相反数；(3)横坐标与纵坐标的和是6.观察各小题中3个点的位置，指出它们有什么特点．解：(1)答案不唯一，如(1，1)，(6，6)，(－2，－2)，它们在第一、三象限的角平分线上．图略．(2)答案不唯一，如(1，－1)，(－2，2)，(3，－3)，它们在第二、四象限的角平分线上．图略．(3)答案不唯一，如(2，4)，(3，3)，(－2，8)，它们在直线x＋y＝6上．图略．18．(9分)(淮北杜集区月考)△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，已知A(－2，3)，B(－1，1)，C(0，2)．(1)作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；(2)将△A1B1C1向右平移4个单位长度，作出平移后的△A2B2C2；(3)在x轴上求作一点P，使PB1＋PC2的值最小，并写出点P的坐标(不写解答过程，直接写出结果)．解：(1)如图所示．(2)如图所示．(3)如图所示，作出B1关于x轴的对称点B′，连接B′C2，交x轴于点P，此时PB1＋PC2的值最小，可得点P的坐标为(2，0)．19．(10分)在平面直角坐标系中，对于任意两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的“识别距离”，给出如下定义：若|x1－x2|≥|y1－y2|，则点P1(x1，y1)与点P2(x2，y2)的“识别距离”为|x1－x2|；若|x1－x2|＜|y1－y2|，则点P1(x1，y1)与点P2(x2，y2)的“识别距离”为|y1－y2|.(1)已知点A(－1，0)，点B为y轴上的动点．①若点A与点B的“识别距离”为2，写出满足条件的B点的坐标(0，2)或(0，－2)；②直接写出点A与点B的“识别距离”的最小值为1；(2)已知C(m，eq\f(3,4)m＋3)，D(0，1)，求点C与点D的“识别距离”的最小值及相应的C点坐标．解：依题意，得|m－0|＝|eq\f(3,4)m＋3－1|.解得m＝8或－eq\f(8,7).当m＝8时，“识别距离”为8；当m＝－eq\f(8,7)时，“识别距离”为eq\f(8,7).所以当m＝－eq\f(8,7)时，“识别距离”最小，为eq\f(8,7)，此时C(－eq\f(8,7)，eq\f(15,7))．

期末复习(二)一次函数01知识结构图02重难点突破重难点1自变量的取值范围【例1】已知函数y＝eq\f(\r(2x＋1),x－2)，则自变量x的取值范围是(D)A．x≠2B．x＞2C．x≥－eq\f(1,2)D．x≥－eq\f(1,2)且x≠2几种常见类型函数自变量的取值范围如下：类型取值范围整式型全体实数分式型使分母不为零的实数偶次根式型使被开方数为非负数的实数零(负整数)次幂的底数使底数不为零的实数混合型各个代数式中自变量取值范围的公共部分1．(西昌中考)下列函数中自变量x的取值范围是x＞1的是(A)A．y＝eq\f(1,\r(x－1)) B．y＝eq\r(x－1)C．y＝eq\f(1,\r(x)－1) D．y＝eq\f(1,\r(1－x))2．(泰州中考)要使y＝eq\f(\r(3－x),\r(x－1))有意义，则x应该满足(C)A．0≤x≤3 B．0＜x≤3且x≠1C．1＜x≤3 D．0≤x≤3且x≠1重难点2函数图象【例2】(合肥月考)合肥万达主题公园的“极速升降”项目惊险而刺激，乘坐着先匀速“极速上升”到达顶端，立即又以相同的速度下降到达地面．下列最能反映乘坐时距离地面的高度y(m)与运行时间x(s)之间函数关系的图象是(C)ABCD判断函数图象从以下几方面考虑：(1)看图象的升降趋势，当函数随着自变量的增加而增加时，图象呈上升趋势，反之，呈下降趋势；(2)看图象的曲直，函数随着自变量的变化而均匀变化的，图象是直线，函数随着自变量的变化不均匀变化的，图象是曲线；(3)表示函数不随自变量的变化而变化，即函数是一个定值时，图象与横轴平行．3．小兵从家步行到公交车站台，等公交车去学校．图中的折线表示小兵的行程s(km)与所花时间t(min)之间的函数关系．下列说法错误的是(D)A．他离家8km共用了30minB．他等公交车时间为6minC．他步行的速度是100m/minD．公交车的速度是350m/min4．(广元中考)为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市出台了新的居民用电收费标准：(1)若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.60元/度计算；(2)若每户居民每月用电量超过100度，则超过部分按0.8元/度计算(未超过部分仍按每度电0.60元/度计算)．现假设某户居民某月用电量是x(单位：度)，电费为y(单位：元)，则y与x的函数关系用图象表示正确的是(C)ABCD重难点3一次函数的图象和性质【例3】(蚌埠期末)直线y＝－kx＋k－3与直线y＝kx在同一坐标系中的大致图象可能是图中的(B)ABCD一次函数的图象和性质，列表如下：k＞0k＜0图象过象限一二三一三一三四一二四二四二三四增减性y随x的增大而增大y随x的增大而减小5．(呼和浩特中考)一次函数y＝kx＋b满足kb＞0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过(A)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限6．(怀化中考)一次函数y＝－2x＋m的图象经过点P(－2，3)，且与x轴、y轴分别交于点A，B，则△AOB的面积是(B)A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4) C．4 D．8重难点4一次函数与方程(组)、不等式的关系【例4】如图，若直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(a，2)，则关于x的不等式x＋1≥mx＋n的解集为x≥1．一次函数与不等式关系密切，求解的关键是从“形”的角度观察对应的自变量的取值范围．7．(安徽模拟)如图，直线y＝kx＋b经过A(－2，－1)和B(－3，0)两点，则不等式组eq\f(1,2)x＜kx＋b＜0的解集为－3＜x＜－2.第7题图第8题图8．(北京中考)如图，直线y1＝kx＋b过点A(0，2)，且与直线y2＝mx交于点P(1，m)，则不等式组mx＞kx＋b＞mx－2的解集是1＜x＜2.重难点5一次函数的应用【例5】(荆门中考)A城有某种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．(1)设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；(2)现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16460元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来；(3)现该运输公司决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元(a≤200)作为优惠，其他费用不变，如何调运，使总费用最少？【思路点拨】(1)A城运往C乡的农机为x台，则可得A城运往D乡的农机为(30－x)台，B城运往C乡的农机为(34－x)台，B城运往D乡的农机为[40－(34－x)]台，从而可得出W与x的函数关系；(2)根据题意，可知w≥16460，从而求得x的取值范围，且x为整数，于是得到有3种不同的调运方案，写出方案即可；(3)根据题意，得W＝(140－a)x＋12540，所以当a＝200时，可得w与x的函数关系式，然后由函数的增减性可算出w的最小值，从而得到结论．【解答】(1)W＝250x＋200(30－x)＋150(34－x)＋240(6＋x)＝140x＋12540(0＜x≤30)．(2)根据题意，得140x＋12540≥16460，∴x≥28.∵x≤30，∴28≤x≤30.∴有3种不同的调运方案．第一种调运方案：从A城调往C乡28台，调往D乡2台，从B城调往C乡6台，调往D乡34台；第二种调运方案：从A城调往C乡29台，调往D乡1台，从B城调往C乡5台，调往D乡35台；第三种调运方案：从A城调往C乡30台，调往D乡0台，从B城调往C乡4台，调往D乡36台．(3)W＝(250－a)x＋200(30－x)＋150(34－x)＋240(6＋x)＝(140－a)x＋12540，∴当a＝200时，W最小＝－60x＋12540，此时x＝30，W最小＝10740.此时的方案：从A城调往C乡30台，调往D乡0台，从B城调往C乡4台，调往D乡36台．解最优方案问题的步骤：(1)设出实际问题中的变量；(2)建立一次函数模型；(3)利用待定系数法求得一次函数表达式；(4)确定自变量的取值范围；(5)根据一次函数增减性确定自变量取值；(6)作答．9．(淮北月考)移动公司推出两种话费套餐，套餐一：每月收取月租34元后，送50分钟的通话时间，超过部分每分钟收费0.20元，并约定每月最低消费40元，低于40元一律按40元收取；套餐二：每月没有最低消费，但每分钟均收取0.40元的通话费用．若分别用y1，y2(单位：元)表示套餐一、套餐二的通话费用，用x(单位：分钟)表示每个月的通话时间．(1)分别求y1，y2关于x的函数表达式；(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象，并直接写出两个函数图象的交点坐标；(3)①结合图象，如何选择话费套餐，才可使每月支付的通话费用较少？②若小亮的爸爸这个月的通话费用是64元，求这两种套餐的通话时间相差多少分钟？解：(1)y1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(40（0≤x≤80），,0.2x＋24（x＞80），))y2＝0.4x(x≥0)．(2)过点A(0，40)和点(80，40)画线段AB，且过点B(80，40)和点P(120，48)画射线BP，得到折线ABP就是函数y1的图象；过点O(0，0)和点P(120，48)画线段OP就得y2的图象．这两个函数图象的交点坐标为(120，48)．(3)①由图象可知，当x＜120时，y2＜y1，选择套餐二每月支付的通话费用较少；当x＝120时，y2＝y1，选择两种套餐每月支付的通话费用一样多；当x＞120时，y2＞y1，选择套餐一每月支付的通话费用较少；②由于64＞40，当y1＝64时，0.2x＋24＝64，解得x＝200；当y2＝64时，0.4x＝64，解得x＝160.两种套餐的通话时间相差200－160＝40(分钟)．(套餐一比套餐二通话时间多40分钟)03复习自测一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．(淮北濉溪县期末)函数y＝eq\r(2x＋1)中自变量x的取值范围是(A)A．x≥－eq\f(1,2) B．x≥0C．x≥eq\f(1,2) D．x＞－eq\f(1,2)2．若正比例函数的图象经过点(－1，2)，则这个图象必经过点(D)A．(1，2) B．(－1，－2)C．(2，－1) D．(1，－2)3．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是(D)A．－2 B．－1C．0 D．24．一次函数y＝(k－2)x＋3的图象如图所示，则k的取值范围是(B)A．k＞2B．k＜2C．k＞3D．k＜35．(温州中考)已知点(－1，y1)，(4，y2)在一次函数y＝3x－2的图象上，则y1，y2，0的大小关系是(B)A．0＜y1＜y2 B．y1＜0＜y2 C．y1＜y2＜0 D．y2＜0＜y16．(淮北月考)按照下列运算程序，当输入x＝－2时，输出的y的值是(A)eq\x(输入x)→eq\x(\a\al(y＝2x－3（x≤－1）,y＝x2＋x＋1（x＞－1）))→eq\x(输出y)A．－7B．－5C．1D．37．小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象l1，l2，如图所示，他解的这个方程组是(D)A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋2,y＝\f(1,2)x－1)) B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋2,y＝－x))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝3x－8,y＝\f(1,2)x－3)) D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋2,y＝－\f(1,2)x－1))第7题图第8题图8．(宜宾中考)如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是(C)A．乙前4秒行驶的路程为48米B．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米C．两车到第3秒时行驶的路程相等D．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度9．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P从起点B出发，沿BC，CD逆时针方向向终点D匀速运动．设点P所走过路程为x，则线段AP，AD与长方形的边所围成的图形面积为y，则下列图象中能大致反映y与x函数关系的是(A)10．(枣庄中考)如图，直线y＝eq\f(2,3)x＋4与x轴，y轴分别交于点A，B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PC＋PD值最小时，点P的坐标为(C)A．(－3，0)B．(－6，0)C．(－eq\f(3,2)，0) D．(－eq\f(5,2)，0)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．(眉山中考)若函数y＝(m－1)x|m|是正比例函数，则该函数的图象经过第二、四象限．12．一个y关于x的函数同时满足两个条件：①图象过点(2，1)；②当x>0时，y随x的增大而减小．这个函数表达式为y＝－x＋3(答案不唯一)(写出一个即可)．13.(淮北月考)某图书馆规定，图书借阅费用标准是：借阅图书3天内(含3天)2元，借阅图书超过3天，超过的部分每天收费1.1元．小红同学在该图书馆借阅一种图书阅读了x天(x>3)，则她借阅图书的费用y(元)与借阅时间x(天)之间的函数表达式是y＝1.1x－1.3(x>3)．14．火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y(米)与火车行驶时间x(秒)之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：①火车的长度为120米；②火车的速度为30米/秒；③火车整体都在隧道内的时间为25秒；④隧道长度为750米．其中正确的结论是②③.(把你认为正确结论的序号都填上)三、解答题(本大题共4小题，满分40分)15．(8分)已知y与x＋2成正比例，且当x＝1时，y＝－6.(1)求y与x之间的函数表达式；(2)若点M(m，4)在这个函数的图象上，求m的值．解：(1)根据题意，设y＝k(x＋2)．把x＝1，y＝－6代入，得－6＝k(1＋2)．解得k＝－2.∴y与x之间的函数表达式为y＝－2(x＋2)，即y＝－2x－4.(2)把点M(m，4)代入y＝－2x－4，得4＝－2m－4.解得m＝－4.16．(10分)如图，直线AB与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B(0，－2)．(1)求直线AB的表达式；(2)若直线AB上一点C在第一象限且点C的坐标为(2，2)，求△BOC的面积．解：(1)设直线AB的表达式为y＝kx＋b(k≠0)．将A(1，0)，B(0，－2)代入表达式，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＋b＝0，,b＝－2.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝2，,b＝－2.))∴直线AB的表达式为y＝2x－2.(2)S△BOC＝eq\f(1,2)×2×2＝2.17．(10分)设关于x的一次函数y＝a1x＋b1与y＝a2x＋b2，则称函数y＝m(a1x＋b1)＋n(a2x＋b2)(其中m＋n＝1)为此两个函数的生成函数．(1)当x＝1时，求函数y＝x＋1与y＝2x的生成函数的值；(2)若函数y＝a1x＋b1与y＝a2x＋b2的图象的交点为P，判断点P是否在此两个函数的生成函数的图象上，并说明理由．解：(1)当x＝1时，y＝m(x＋1)＋n(2x)＝m(1＋1)＋n(2×1)＝2m＋2n＝2(m＋n)．∵m＋n＝1，∴y＝2.(2)点P在此两个函数的生成函数的图象上．理由：设点P的坐标为(a，b)，∵a1×a＋b1＝b，a2×a＋b2＝b，∴当x＝a时，y＝m(a1x＋b1)＋n(a2x＋b2)＝m(a1×a＋b1)＋n(a2×a＋b2)＝mb＋nb＝b(m＋n)＝b.∴点P在此两个函数的生成函数的图象上．18．(12分)(绥化中考)周末，小芳骑自行车从家出发到野外郊游，从家出发0.5小时到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地，小芳离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，行驶10分钟时，恰好经过甲地，如图是她们距乙地的路程y(km)与小芳离家时间x(h)的函数图象．(1)小芳骑车的速度为20km/h，H点坐标为(eq\f(3,2)，20)；(2)小芳从家出发多少小时后被妈妈追上？此时距家的路程多远？(3)相遇后，妈妈载上小芳和自行车同时到达乙地(彼此交流时间忽略不计)，求小芳比预计时间早几分钟到达乙地？解：(2)设直线AB的表达式为y1＝k1x＋b1，将点A(0，30)，B(0.5，20)代入y1＝k1x＋b1，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＝30，,0.5k1＋b1＝20.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝－20，,b1＝30.))y1＝－20x＋30.∵AB∥CD，∴设直线CD的表达式为y2＝－20x＋b2.将点C(1，20)代入表达式，得b2＝40.∴y2＝－20x＋40.设直线EF的表达式为y3＝k3x＋b3.将点E(eq\f(4,3)，30)，H(eq\f(3,2)，20)代入表达式，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)k3＋b3＝30，,\f(3,2)k3＋b3＝20.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k3＝－60，,k3＝110.))∴y3＝－60x＋110.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－60x＋110，,y＝－20x＋40，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1.75，,y＝5.))∴点D坐标为(1.75，5)．30－5＝25(km)．∴小芳出发1.75h后被妈妈追上，此时距家25km.(3)将y＝0代入直线CD的表达式，得－20x＋40＝0.解得x＝2.将y＝0代入直线EF的表达式，得－60x＋110＝0.解得x＝eq\f(11,6).2－eq\f(11,6)＝eq\f(1,6)(h)＝10(分钟)．答：小芳比预计时间早10分钟到达乙地．

期末复习(三)三角形中的边角关系、命题与证明01知识结构图02重难点突破重难点1三角形的三边关系【例1】(莆田中考)已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是(B)A．13cm B．6cmC．5cm D．4cm“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”是判断三条线段能否构成三角形的重要依据．在实际判断时，不需要去将三角形的任意两边都相加，然后判断其和是否大于第三边．只需选取较小的两边相加，判断其和是否大于最大边即可．1．(湛江中考)在下列长度的四根木棒中，能与长度为3cm，7cm的两根木棒钉成一个三角形的是(C)A．3cm B．4cmC．9cm D．10cm2．(合肥瑶海区期中)如图，为估计荔香公园小池塘岸边A，B两点之间的距离，小明在小池塘的一侧选取一点O，测得OA＝15m，OB＝10m，则A，B间的距离可能是(B)A．5mB．15mC．25mD．30m3．(濉溪期中)一等腰三角形，一边长为9cm，另一边长为5cm，则等腰三角形的周长是19_cm或23_cm．重难点2命题与逆命题【例2】命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是有两个角互余的三角形是直角三角形．对于一些简单命题的逆命题可直接交换此命题的条件和结论，而遇到一些高度概括的命题时，则需改写后再交换．特别注意：在交换一个命题的条件和结论时，语言表达要准确，防止用词不当而造成错误．例如，本题的逆命题就不能写成“两个锐角互余的三角形是直角三角形”．4．(泉州中考)下列四个命题中，是假命题的是(B)A．三角形三边垂直平分线的交点有可能在一边上B．过三点一定可以画三条直线C．成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分D．三角形的内角和等于180°5．(南京中考)请写出一个原命题是真命题，逆命题是假命题的命题：对顶角相等(答案不唯一)．6．(福建中考)请给假命题“两个锐角的和是锐角”举出一个反例：α＝50°，β＝60°，α＋β>90°(答案不唯一)．重难点3三角形的内角和定理及推论【例3】如图，已知在△ABC中，D点在AC上，E点在BC的延长线上．求证：∠ADB＞∠CDE.【思路点拨】因为∠ADB和∠CDE并不在一个三角形上，所以没有办法直接证明，因此需要一个中间量来过渡一下，从图中不难发现，∠DCB正好是∠ADB和∠CDE联系的桥梁．【解答】∵∠DCB是△DCE的一个外角，(外角定义)∴∠DCB＞∠CDE.(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)∵∠ADB是△BCD的一个外角，(外角定义)∴∠ADB＞∠DCB.(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)∴∠ADB＞∠CDE.(不等式的性质)证明角的不等关系，往往不能直接证明，所以借助外角就成了解决问题的法宝．7．如图，已知AB∥CD，则(A)A．∠1＝∠2＋∠3B．∠1＝2∠2＋∠3C．∠1＝2∠2－∠3D．∠1＝180°－∠2－∠38．(安庆调研)如图甲，四边形纸片ABCD中，∠B＝120°，∠D＝50°.若将其右下角向内折出△PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如图乙所示，则∠C等于(C)A．80° B．85° C．95° D．110°重难点4推理与证明【例4】如图1，已知直线l1∥l2，直线l3分别和直线l1，l2交于点C，D，在C，D之间有一点P，如果P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化？若点P在C，D两点的外侧运动时(P点与点C，D不重合)，试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间又有怎样的关系？【思路点拨】若P点在C，D之间运动时，只要过点P作出l1的平行线即可知道∠APB＝∠PAC＋∠PBD；若点P在C，D两点的外侧运动时(P点与点C，D不重合)，则可以分为图2和图3两种情形，同样分别过点P作出l1或l2的平行线，即有∠APB＝∠PBD－∠PAC或∠APB＝∠PAC－∠PBD.【解答】若P点在C，D之间运动时，∠APB＝∠PAC＋∠PBD.理由：如图1，过点P作PE∥l1，则∠APE＝∠PAC.又∵l1∥l2，∴PE∥l2.∴∠BPE＝∠PBD.∴∠APE＋∠BPE＝∠PAC＋∠PBD，即∠APB＝∠PAC＋∠PBD.若点P在C，D两点的外侧运动时(P点与点C，D不重合)，则有两种情形：①如图2，结论：∠APB＝∠PBD－∠PAC.理由：过点P作PE∥l1，则∠APE＝∠PAC.又∵l1∥l2，∴PE∥l2.∴∠BPE＝∠PBD.∴∠APB＝∠BPE－∠APE，即∠APB＝∠PBD－∠PAC.②如图3，结论：∠APB＝∠PAC－∠PBD.理由：过点P作PE∥l2，则∠BPE＝∠PBD.又∵l1∥l2，∴PE∥l1.∴∠APE＝∠PAC.∴∠APB＝∠APE－∠BPE，即∠APB＝∠PAC－∠PBD.解答动态问题时，要从动中求静，运用分类讨论的数学思想方法，在运动变化过程中探索问题的不变性，既要考虑问题的一般情形，也要考虑问题的特殊情形．9．如图，A，B，C三点在同一直线上，∠1＝∠2，∠3＝∠D.求证：BD∥CE.证明：∵∠1＝∠2，∴AD∥BE.∴∠D＝∠DBE.∵∠3＝∠D，∴∠3＝∠DBE.∴BD∥CE.03复习自测一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．下列语句不是命题的是(C)A．三角形的两边之和大于第三边B．射线不是几何图形C．同位角相等吗D．两个锐角的和不可能大于90°2．(茂名中考)若某三角形的两边长分别为3和4，则下列长度的线段能作为其第三边的是(B)A．1 B．5 C．7 D．93．(十堰中考)如图，AB∥DE，FG⊥BC于点F，∠CDE＝40°，则∠FGB＝(B)A．40° B．50°C．60° D．70°第3题图第4题图4．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝x，BC＝6，则腰长x的取值范围是(B)A．0＜x＜3 B．x＞3C．3＜x＜6 D．x＞65．直角三角形两锐角平分线相交所夹的钝角为(B)A．125° B．135°C．145° D．150°6．已知在△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于(A)A．40° B．60°C．80° D．90°7．△ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，则这个三角形是(B)A．等边三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形8．(合肥瑶海区期末)一副三角板有两个直角三角形如图叠放在一起，则∠α的度数是(A)A．165° B．120° C．150° D．135°9．(呼伦贝尔中考)锐角三角形的三个内角是∠A，∠B，∠C，如果α＝∠A＋∠B，β＝∠B＋∠C，γ＝∠C＋∠A，那么α，β，γ这三个角中(A)A．没有锐角 B．有1个锐角C．有2个锐角 D．有3个锐角10．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，且分别交AB，AD，AC及BC的延长线于点E，H，F，G，则下列四个式子中正确的是(C)A．∠1＝eq\f(1,2)(∠2－∠3)B．∠1＝2(∠2－∠3)C．∠G＝eq\f(1,2)(∠3－∠2)D．∠G＝eq\f(1,2)∠1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．将命题“两点确定一条直线”改写成“如果……那么……”的形式：如果过两个已知点作直线，那么能且只能作一条直线．12．如图，点B，C，E，F在一直线上，AB∥DC，DE∥GF，∠B＝∠F＝72°，则∠D＝36°．第12题图第13题图13．(宿迁中考)如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为32.14．(合肥四十二中期中)如图，已知△ABC的面积是60.若CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上的中线，则四边形ADOE的面积为20．三、解答题(本大题共5小题，满分40分)15．(6分)写出以下命题的逆命题，判断逆命题的真假．若为假命题，请举反例．(1)一次函数y＝kx＋b，若k＞0，b＜0，则它的图象不经过第二象限；(2)等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等．解：(1)逆命题：若一次函数y＝kx＋b的图象不经过第二象限，则k＞0，b＜0.是假命题，反例：当k＞0，b＝0时，图象不经过第二象限．(2)逆命题：一边上的中点到其余两边的距离相等的三角形是等腰三角形．真命题．16．(8分)如图，BP和CP是△ABC的两条外角平分线．(1)求证：∠BPC＝90°－eq\f(1,2)∠A；(2)根据第(1)问的结论猜想：三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？解：(1)证明：∵BP和CP是△ABC的两条外角平分线，∴∠P＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－eq\f(1,2)(∠CBD＋∠BCE)＝180°－eq\f(1,2)(∠A＋∠ACB＋∠BCE)＝180°－eq\f(1,2)(∠A＋∠180°)＝90°－eq\f(1,2)∠A.(2)根据(1)的结论可知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，故三角形是锐角三角形．17.(8分)如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA.(1)∠EAC与∠B相等吗？为什么？(2)若∠B＝50°，∠CAD∶∠E＝1∶3，求∠E的度数．解：(1)∠EAC＝∠B.理由如下：∵∠EAD＝∠EDA，∠EDA＝∠B＋∠BAD，∠EAD＝∠CAD＋∠EAC，∴∠EAC＋∠CAD＝∠B＋∠BAD.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∴∠EAC＝∠B.(2)设∠BAD＝∠CAD＝x°，∵∠B＝50°，∴∠EAD＝∠EDA＝∠BAD＋∠B＝(x＋50)°.又∵∠CAD∶∠E＝1∶3，∴∠E＝3x°.∵∠E＋∠EAD＋∠EDA＝180°，∴3x＋x＋50＋x＋50＝180.∴x＝16.∴∠E＝48°.18．(8分)如图，∠A＝∠B，∠C＝α，DE⊥AC于点E，FD⊥AB于点D，探索∠EDF与α的关系．并说明理由．解：∠EDF＝90°－eq\f(1,2)α.理由如下：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝∠B，∠C＝α，∴∠A＝90°－eq\f(1,2)α.又∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°.∴∠A＋∠ADE＝90°.又∵FD⊥AB，∴∠ADE＋∠EDF＝90°.∴∠EDF＝∠A＝90°－eq\f(1,2)α.19．(10分)(阜阳月考)已知：如图，∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点(A，B，C不与点O重合)，连接AC交射线OE于点D.设∠OAC＝x°.(1)如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是20°；②当∠BAD＝∠ABD时，x＝120°；当∠BAD＝∠BDA时，x＝60°；(2)如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．解：当点D在线段OB上时，∵OE是∠MON的平分线，∴∠AOB＝eq\f(1,2)∠MON＝20°.∵AB⊥OM，∴∠AOB＋∠ABO＝90°.∴∠ABO＝70°.①若∠BAD＝∠ABD＝70°，则x＝20；②若∠BAD＝∠BDA＝eq\f(1,2)×(180°－70°)＝55°，则x＝35；③若∠ADB＝∠ABD＝70°，则∠BAD＝180°－2×70°＝40°，∴x＝50.当点D在射线BE上时，∵∠ABE＝110°，且三角形的内角和为180°，∴只有∠BAD＝∠BDA＝35°，此时x＝125.综上可知，存在x＝20，35，50，125，使得△ADB中有两个相等的角．

期末复习(四)全等三角形01知识结构图02重难点突破重难点1全等三角形的性质与判定【例1】(合肥肥东县期末)在△ABC中，AD为△ABC的角平分线．(1)如图1，∠C＝90°，∠B＝45°，点E在边AB上，AE＝AC，请写出图中所有与BE相等的线段，并说明理由；(2)如图2，∠C≠90°，如果∠C＝2∠B，求证：AB＝AC＋CD.【思路点拨】(1)证明线段相等基本方法：①找三角形全等；②等角对等腰；③等量代换；(2)证明两条线段长度之和等于一条线段的长度，可以考虑在AB上截取AE＝AC，连接DE，构造三角形全等．【解答】(1)与BE相等的线段是DE和DC，理由：∵AD为△ABC的角平分线，∴∠CAD＝∠EAD.在△AED和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AC，,∠EAD＝∠CAD，,AD＝AD，))∴△AED≌△ACD(SAS)．∴DE＝DC，∠DEA＝∠C＝90°.∴∠DEB＝90°.∵∠B＝45°，∴∠B＝∠BDE.∴BE＝DE.∴BE＝DE＝DC.(2)证明：在AB上截取AE＝AC，连接DE.∵AD为△ABC的角平分线，∴∠CAD＝∠EAD.在△AED和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AC，,∠EAD＝∠CAD，,AD＝AD，))∴△AED≌△ACD(SAS)．∴∠C＝∠AED，CD＝ED.∵∠C＝2∠B，∴∠AED＝2∠B.∵∠AED＝∠B＋∠EDB，∴∠B＝∠EDB.∴ED＝EB.∴EB＝CD.∵AB＝AE＋EB，∴AB＝AC＋CD.本例中用到的方法叫“截长法”，是将较长的线段截短，构造三角形全等，从而达到求解目的．也可采用“补短法”，即将不共线的两条线段AC，CD组合成一条线段，延长AC，将较短的线段补长，构造三角形全等，这两种方法通常适合于证明线段的和差问题．1．如图，已知点B是线段AC的中点，且有DB＝EB，∠EBA＝∠DBC.求证：AD＝CE.证明：∵点B是线段AC的中点，∴AB＝CB.又∵∠EBA＝∠DBC，∴∠DBE＋∠EBA＝∠DBE＋∠DBC，即∠DBA＝∠EBC.在△ABD和△CBE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CB，,∠DBA＝∠EBC，,DB＝EB，))∴△ABD≌△CBE(SAS)．∴AD＝CE.2．如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连接CD，EB.(1)图中还有几对全等三角形？请你一一列举；(2)求证：CF＝EF.解：(1)△ADC≌△ABE，△CDF≌△EBF.(2)证明：连接AF.∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AB＝AD，BC＝DE，∠ABC＝∠ADE＝90°.又∵AF＝AF，∴Rt△ABF≌Rt△ADF(HL)．∴BF＝DF.又∵BC＝DE，∴BC－BF＝DE－DF，即CF＝EF.重难点2开放问题【例2】(铜陵模拟)已知命题：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，且AD＝BE，∠A＝∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明．【思路点拨】本题中要证△ABC≌△DEF，已知的条件有一组对应边AB＝DE(AD＝BE)，一组对应角∠A＝∠FDE.要想证得全等，根据全等三角形的判定，缺少的条件是一组对应角(AAS或ASA)，或者是一组对应边AC＝DF(SAS)．只要有这两种情况就能证得三角形全等．【解答】是假命题．以下任一方法均可：①添加条件：AC＝DF.证明：∵AD＝BE，∴AD＋BD＝BE＋BD，即AB＝DE.在△ABC和△DEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DE，,∠A＝∠FDE，,AC＝DF，))∴△ABC≌△DEF(SAS)．②添加条件：∠CBA＝∠E.证明：∵AD＝BE，∴AD＋BD＝BE＋BD，即AB＝DE.在△ABC和△DEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠FDE，,AB＝DE，,∠CBA＝∠E，))∴△ABC≌△DEF(ASA)．③添加条件：∠C＝∠F.证明：∵AD＝BE，∴AD＋BD＝BE＋BD，即AB＝DE.在△ABC和△DEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠FDE，,∠C＝∠F，,AB＝DE，))∴△ABC≌△DEF(AAS)．证明三角形全等或者是证明一组三角形(可以证明是全等的)中的两条边(对应边)相等、一组角(对应角)分别相等的开放型问题，一般方法是结合判定两三角形全等的几种方法进行分析，一般三角形添加条件的方法如：SSS，SAS，ASA，AAS等；特别注意两个三角形中有一组角及两组边分别对应相等时，当一组边是该组角的对边时，两个三角形不一定全等．3．如图，△ABC的高BD，CE相交于点O.请你添加一对相等的线段或一对相等的角的条件，使BD＝CE.你所添加的条件是∠DBC＝∠ECB或∠EBC＝∠DCB或AB＝AC或AE＝AD等．4．(北海中考)如图，OP平分∠AOB，且OA＝OB.(1)写出图中三对你认为全等的三角形(注：不添加任何辅助线)；(2)从(1)中任选一个结论进行证明．解：(1)△APO≌△BPO，△ADO≌△BCO，△OCP≌△ODP，△ACP≌△BDP.(2)选△APO≌△BPO.证明：∵OP平分∠AOB，∴∠AOP＝∠BOP.又∵OP＝OP，OA＝OB，∴△APO≌△BPO(SAS)．重难点3探索说理问题【例3】(例2变式)如图，点A，E，B，D在同一条直线上，AE＝DB，AC＝DF，AC∥DF.请探索BC与EF有怎样的位置关系？并说明理由．【思路点拨】根据所给条件，可证△ACB≌△DFE，得到∠CBA＝∠FED，从而得到BC与EF有怎样的位置关系．注意它们不是数量关系．【解答】BC∥EF.理由如下：∵AE＝DB，∴AE＋BE＝DB＋BE，即AB＝DE.∵AC∥DF，∴∠A＝∠D.∵AC＝DF，∴△ACB≌△DFE(SAS)．∴∠CBA＝∠FED.∴BC∥EF.探索线段关系，有数量关系与位置关系．若探索线段相等，可考虑它们所在两个三角形是否全等，若探索位置关系，可考虑所对应的角的关系．5．(绍兴中考)如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．(1)若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB＝AD＝2cm，BC＝5cm，如图，量得第四根木条CD＝5cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由；(2)若固定一根木条AB不动，AB＝2cm，量得木条CD＝5cm，如果木条AD，BC的长度不变，当点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点A，C，D能构成周长为30cm的三角形，求出木条AD，BC的长度．解：(1)相等．理由：连接AC.在△ACD和△ACB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝AC，,AD＝AB，,CD＝CB，))∴△ACD≌△ACB(SSS)．∴∠B＝∠D.(2)设AD＝x，BC＝y，①当点C在点D右侧时，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2＝y＋5，,x＋（y＋2）＋5＝30，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝13，,y＝10.))②当点C在点D左侧时，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋5＋2，,x＋（y＋2）＋5＝30，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝8，,y＝15.))此时AC＝17，CD＝5，AD＝8，5＋8＜17，不合题意．∴AD＝13cm，BC＝10cm.03复习自测一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分)1．利用全等三角形测量距离的依据是(B)A．全等三角形的对应角相等B．全等三角形的对应边相等C．大小和形状相同的两个三角形全等D．三边对应相等的两个三角形全等2．若△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝60°，则∠F的度数等于(C)A．70° B．60°C．50° D．以上都不对3．如图，∠1＝∠2，∠E＝∠A，EC＝AD，则判定△ABD≌△EBC时，运用的判定定理是(C)A．SSSB．ASAC．AASD．SAS4．下列三角形中，与△ABC全等的是(C)5．已知△ABC≌△DEF ，BC＝EF＝5cm，△ABC的面积是20cm2，那么△DEF中EF边上的高是(B)A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm6．如图，AC，BD是长方形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则图中与△ABC全等的三角形共有(D)A．1个 B．2个C．3个 D．4个第6题图第7题图7．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是(C)A．BC＝EC，∠B＝∠EB．BC＝EC，AC＝DCC．BC＝EC，∠A＝∠DD．∠B＝∠E，∠A＝∠D8．(阜阳期末)如图，在△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中(B)A．全部正确 B．仅①和②正确C．仅①正确 D．仅①和③正确第8题图第9题图9．(合肥蜀山区期末)如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.若∠1＝38°，则∠BDE的度数为(A)A．71° B．76° C．78° D．80°10．(合肥庐江县期中)如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，BE交AC于点F.若EF＝AF，BE＝7.5，CF＝6，则EF的长度为(C)A．2.5 B．2C．1.5 D．1提示：延长AD到点G，使DG＝AD，连接BG.∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.又∵DG＝DA，∠GDB＝∠ADC，∴△GDB≌△ADC(SAS)．∴AC＝BG＝CF＋AF＝6＋AF，∠DAC＝∠G.∵EF＝AF，∴∠DAC＝∠AEF.∴∠G＝∠AEF＝∠BEG.∴BE＝BG＝7.5.∴6＋AF＝BG＝7.5.∴AF＝1.5＝EF.故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．如图所示，两个三角形全等，其中已知某些边的长度和某些角的度数，则x＝60°.第11题图第12题图12．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点．若AB＝11cm，CF＝5cm，则BD＝6cm.13．如图，在3×3的正方形网格中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝225°．第13题图第14题图14．(昆明中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC，∠ACB的平分线BD，CE相交于点O，且BD交AC于点D，CE交AB于点E.某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE.上述结论一定正确的是①③④.三、解答题(本大题共6小题，满分50分)15．(6分)如图所示，要测量湖中小岛E距岸边A和D的距离，作法如下：(1)任作一条线段AB，取中点O；(2)连接DO并延长使CO＝DO；(3)连接BC；(4)用仪器测量E，O在一条线上，并交CB于点F，要测量AE，DE，只需测量BF，CF即可，为什么？解：由条件可知，△AOD≌△BOC，∴BC＝AD.∵∠A＝∠B，AO＝BO，∠AOE＝∠BOF，∴△AOE≌△BOF(ASA)．∴AE＝BF.∴DE＝CF.因此只要测出BF，CF即可知AE，DE的长度了．16．(8分)(重庆中考B卷)如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB＝CE，AC＝CD.求证：∠B＝∠E.证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ECD.在△ABC和△CED中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CE，,∠BAC＝∠ECD，,AC＝CD，))∴△ABC≌△CED(SAS)．∴∠B＝∠E.17．(8分)如图所示，将一长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，点D落在点E处，折痕为MN，图中有全等三角形吗？若有，请找出并证明．解：有，△ABN≌△AEM.证明：∵四边形NCDM翻折得到四边形NAEM，∴AE＝CD，∠E＝∠D＝90°，∠EAN＝∠C＝90°.∴AB＝AE，∠B＝∠E，∠DAB＝∠EAN，即∠BAN＋∠NAM＝∠EAM＋∠NAM.∴∠BAN＝∠EAM.在△ABN和△AEM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠E，,AB＝AE，,∠BAN＝∠EAM，))∴△ABN≌△AEM(ASA)．18.(8分)如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于点F，BD分别交CE，AE于点G，H.试猜测线段AE，BD的位置关系和数量关系，并说明理由．解：猜测AE＝BD，AE⊥BD.理由如下：∵∠ACD＝∠BCE＝90°，∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，即∠ACE＝∠DCB.∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∴AC＝CD，CE＝CB.∴△ACE≌△DCB(SAS)．∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB.又∵∠AFC＝∠DFH，∠CAE＋∠AFC＝90°，∴∠DFH＋∠FDH＝90°.∴∠DHF＝90°.∴AE⊥BD.19．(10分)如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A＋∠C＝180°，求证：AD＝CD.证明：过点D作DE⊥AB交BA的延长线于点E，作DF⊥BC于点F，又∵BD平分∠ABC，∴DE＝DF.∵∠BAD＋∠C＝180°，∠BAD＋∠DAE＝180°，∴∠DAE＝∠C.在△ADE和△CDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DAE＝∠DCF，,∠AED＝∠CFD＝90°，,DE＝DF，))∴△ADE≌△CDF(AAS)．∴AD＝CD.20．(10分)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F.(1)求证：CE＝CF；(2)将图1中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其他条件不变，如图2所示，试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．解：(1)证明：∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠EAD.∵∠ACB＝90°，∴∠CAF＋∠CFA＝90°.又∵CD⊥AB，∴∠EAD＋∠AED＝90°.∴∠CFA＝∠AED.∵∠AED＝∠CEF，∴∠CFA＝∠CEF.∴CE＝CF.(2)猜想：BE′＝CF.证明：过点E作EG⊥AC，垂足为G.∵AF平分∠CAB，ED⊥AB，∴ED＝EG.由平移的性质可知：E′D′＝ED，∴E′D′＝EG.∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠DCB＝90°.∵CD⊥AB，∴∠B＋∠DCB＝90°.∴∠ACD＝∠B.在Rt△CEG和Rt△BE′D′中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠GCE＝∠B，,∠CGE＝∠BD′E′，,EG＝E′D′，))∴△CEG≌△BE′D′(AAS)．∴CE＝BE′.由(1)可知CE＝CF，∴BE′＝CF.

期末复习(五)轴对称图形与等腰三角形01知识结构图02重难点突破重难点1轴对称图形与轴对称【例1】(六安期末)下列图标中是轴对称图形的是(D)确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．1．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，正方形ABCD和△EFG的顶点都在小正方形的格点上．(1)在图中画出△EFG关于直线AC对称的△EMN(点F的对称点为点M，点G的对称点为点N)；(2)请直接写出正方形ABCD与△EMN重叠部分的面积．解：(1)△EMN如图所示．(2)重叠部分的面积为2.重难点2线段垂直平分线的性质与判定【例2】如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，连接CD交BE于点F.求证：BE垂直平分线段CD.【思路点拨】先根据“HL”证明Rt△EBC与Rt△EBD全等，可得ED＝EC，即点E在线段CD的垂直平分线上．又由BD＝BC可知点B在线段CD的垂直平分线上．最后根据两点确定一条直线得证BE就是线段CD的垂直平分线．【解答】证明：∵BD＝BC，∴点B在线段CD的垂直平分线上．又∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠EDB＝∠ECB＝90°.在Rt△EBC和Rt△EBD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BE＝BE，,BC＝BD，))∴Rt△EBC≌Rt△EBD(HL)．∴EC＝DE.∴点E在线段CD的垂直平分线上．∵两点确定一条直线，∴BE垂直平分CD.掌握线段的垂直平分线的定理是解决此类问题的基本方法．2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E.已知∠BAE＝10°，则∠C的度数为(B)A．30°B．40°C．50°D．60°3．如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在线段AE的垂直平分线上，AB＋BD与DE的长度有什么关系？并加以证明．解：AB＋BD＝DE.证明：∵AD⊥BC，BD＝DC，∴AB＝AC.又∵点C在线段AE的垂直平分线上，∴AC＝EC.∵AC＋CD＝AB＋BD，∴EC＋CD＝AB＋BD，即AB＋BD＝EC＋CD＝DE.重难点3等腰三角形的性质与判定【例3】如图，在△ABC中，D，E分别是AC和AB上的一点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD；④OB＝OC.(1)上述四个条件中，哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形：①③或②③或①④或②④；(2)根据你所选的条件，证明△ABC是等腰三角形．【思路点拨】(1)是一道条件开放性试题，答案不唯一．可以根据等腰三角形的判定方法去寻找添加的条件．(2)从中任选一对利用等腰三角形的性质、判定及三角形全等有关知识可以证明．【解答】选取①④，即∠EBO＝∠DCO，OB＝OC.证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.又∵∠EBO＝∠DCO，∴∠OBC＋∠EBO＝∠OCB＋∠DCO，即∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．条件开放性试题的特点是要得到某一个结论还缺少条件，需要补充完整，其解决方法类似于分析法，假如结论成立，逐步探索其成立的条件．4．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC的延长线上，BD＝CE，DE交BC于点M，MD＝ME.求证：△ABC是等腰三角形．证明：过点D作DF∥AC，交BC于点F，则∠FDM＝∠E.又∵MD＝ME，∠DMF＝∠EMC，∴△FDM≌△CEM(ASA)．∴DF＝CE.又∵BD＝CE，∴DF＝DB.∴∠B＝∠DFB.又∵DF∥AC，∴∠DFB＝∠ACB.∴∠B＝∠ACB.∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．5．(凉山州中考)如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.求证：(1)AC＝EF；(2)EF∥AD且EF＝AD.证明：(1)∵在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC.又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AE＝BA，AB＝2AF.∴AF＝BC.在Rt△BCA和Rt△AFE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BA＝AE，,BC＝AF，))∴△BCA≌△AFE(HL)．∴AC＝EF.(2)∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝60°，AC＝AD.∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝90°.又∵∠AFE＝90°，∴∠DAB＝∠AFE.∴EF∥AD.∵AC＝EF，AC＝AD，∴EF＝AD.重难点4角平分线的性质与判定【例4】已知∠MAN，AC平分∠MAN.(1)在图1中，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：AB＋AD＝AC；(2)在图2中，若∠MAN＝120°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【思路点拨】在图1中，由条件知△ABC与△ADC都是含30°角的特殊直角三角形，故有AB＝AD＝eq\f(1,2)AC，从而证得(1)；有了(1)的证明经验，比较图2与图1，很容易想到过点C分别作AM，AN的垂线来证明(2)．【解答】(1)证明：∵AC平分∠MAN，∠MAN＝120°，∴∠CAB＝∠CAD＝60°.∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＝30°.∴AB＝AD＝eq\f(1,2)AC.∴AB＋AD＝AC.(2)AB＋AD＝AC成立．证明：过点C分别作AM，AN的垂线，垂足分别为E，F.∵AC平分∠MAN，∴CE＝CF.∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠ABC.∵∠CED＝∠CFB＝90°，∴△CED≌△CFB(AAS)．∴ED＝FB.∴AB＋AD＝AF＋FB＋AE－ED＝AF＋AE.由(1)可知AF＋AE＝AC，∴AB＋AD＝AC.对于探究线段之间的关系，在解题过程中可以画出准确图形，通过测量进行猜测，然后再证明验证．6．如图，在△ABC中，点D在BC上，记△ABD的面积为S1，△ACD的面积为S2，若S1∶S2＝AB∶AC，则AD是△ABC的角平分线．请说明理由．解：∵△ABD的面积等于AB与它边上的高的乘积的一半，△ACD的面积等于AC与它边上的高的乘积的一半，又∵S1∶S2＝AB∶AC，∴AB与AC边上的高相等，即点D到AB，AC的距离相等．∴AD是△ABC的角平分线．7．(合肥包河区月考)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF.(1)求证：CF＝EB.(2)若AB＝12，AF＝8，求CF的长．解：(1)证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC.在Rt△CDF和Rt△EDB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DF＝DB，,DC＝DE，))∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)．∴CF＝EB.(2)设CF＝x，则AE＝12－x，在Rt△ACD和Rt△AED中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝AD，,DC＝DE，))∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)．∴AC＝AE，即8＋x＝12－x，解得x＝2，即CF＝2.8．(广州中考)如图，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，且FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H.(1)求证：∠BEC＝∠ADC；(2)请你判断FE与FD之间的数量关系，并证明．解：(1)证明：∵AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，∠BAC＝90°－∠ABC＝30°，∴∠DAC＝∠DAB＝eq\f(1,2)∠BAC＝15°，∠ACE＝eq\f(1,2)∠ACB＝45°.∴∠ADC＝∠BAD＋∠ABD＝75°，∠BEC＝∠BAC＋∠ACE＝75°.∴∠BEC＝∠ADC.(2)相等．