2024年中考数学复习考点帮：考点15 等腰三角形（解析版）

考点15等腰三角形

g命题趋势

等腰三角形的性质及判定是初中数学最为重要的知识点之一，也是重要几何模型的“发源地”，

最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的。而数学中考中，等腰三角形单独出题的可能

性还是比较大的，多以选择填空题型出现，但是因为等腰三角形可以放在很多模型中，所以等腰三角形结

合其他考点出成压轴题的几率特别大，所占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点。

存知号导图

判定：到线段两跳距离相等的点在这条线段的垂直平分线上

存重w考向

一、等腰三角形的性质和判定

二、角平分线的性质定理与判定定理

三、线段垂直平分线的性质定理与判定定理

考向一：等腰三角形的性质和判定

一.等腰三角形的性质和判定

定义有两边长相等的三角形是等腰三角形，相等的两边长叫做腰，第三边叫做底

轴对称性：一般等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴

性质等边对等角

三线合一（顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合）。

判定①定义法；②等角对等边

二.等边三角形的性质和判定

定义三边长都相等的三角形是等边三角形

轴对称性：等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴

性质等边三角形三个角都相等，分别都等于60°

三线合一（等边三角形三边上均存在三线合一）。

定义法

判定有两个角相等的等腰一:角形是等边三角形

有两个角等于60°的三角形是等边三角形

>特别注意：当一个三角形的角平分线与高线，或者中线出现重合时，虽然不能直接

得等腰三角形，但是也可以用三角形全等来证明该三角形是等腰三角形。

>等边三角形面积的求解方法：S正三角形=岸边长2

典例引微

,一▲」

1.等腰三角形的周长为15cm,其中一边长为3c7".则该等腰三角形的腰长为（）

A.3cmD.6cmC.3c，〃或6cD.3c，?i或9c7〃

【分析】已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论.

【解答】解：当腰是3cM时，则另两边是3。小9cm.而3+3V9,不满足三边关系定理，因而应舍去.

当底边是3c机时，另两边长是6cM6cm.则该等腰三角形的底边为3cM.

故选：B.

2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°,则它的底角的大小是（）

A.25°B.20°C.25°或65°D.20，或70°

【分析】分两种情况讨论：①若NAV90°；②若NA>90°；先求出顶角/BAG即可求出底角的度数.

【解答】解：分两种情况讨论：

①若NAV900,如图1所示：

,：BDLAC,

AZ4+/4«D=90°,

•；480=50°,

AZA=90°-50°=40°,

VAB=AC,

・・・/A8C=NC=上(1800-40°)=70°；

2

②若NA>90°,如图2所示：

同①可得：ND48=90°-50°=40°,

・・・/BAC=180°-40°=140°,

*：AB=AC,

/.ZABC=ZC=-1(180°-140°)=20°；

2

综上所述：等腰三角形底角的度数为70°或20°,

故选：D.

3.如图，等腰△A8C中，AB=AC=\0,BC=5,A8的垂直平分线OE交AE于点。，交AC于点E,则4

8EC的周长为（）

【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE,然后求出△BEC周长=

AC+8C,再根据等腰三角形两腰相等可得AC=A8,代入数据计算即可得解.

【解答】解：YOE是48的垂直平分线，

:・AE=BE,

/.2BEC^^z=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC,

•・•腰长4B=10,

：.AC=AB=\O,

•••△8七。周长=10+5=15.

故选：C.

4.如图，在△43C中，D为BC边上一点,BD=AD=AC,NA4C=108°,则NZMC的度数为（）

【分析】由8O=AO=AC得N1=N2,Z3=Z4,由N4=N1+N2得，Z3=Z4=2Z1=2Z2,由/

84c=108°得N2+N3=180°・NBAC=180°-108°=72°,即可求出N2=24°,最后便可求出N

OAC的度数.

【解答】解：

AZ1=Z2,Z3=Z4,

VZ4=Z1+Z2,

A/3=N4=2N1=2/2,

•・・/BAC=108°,

/.Z2+Z3=180°-NBAC=180°-108°=72°,

/.Z2+2Z2=72°,

，/2=24°,

AZ1=24°,

AZDAC=ZBAC-Z1=108°-24°=84°,

故选：D.

5.如图，在△ABC中，AB=AC,A。平分NB4C,DEA.AB,DF1AC,E,尸分别为垂足，则下列四个结

论：（1）/DEF=4DFE；（2）AE=AB（3）4。平分/瓦）尸；（4）AD垂直平分E/，其中正确的有（1）

(2)⑶⑷.(填序号)

【分析】由在△ABC中，AB=AC,AD平分N8AC,DELAB,DF±AC.根据角平分线的性质，可得

DE=DF,即可证得NOE尸=N。/E；又由等角的余角相等，可得N4OE=N/WF,然后由角平分线的性

质，证得AE=AF,又由等腰三角形的三线合一的性质，证得4。垂直平分Er.

【解答】解：(1)・.・A。平分N8AC,DE1AB,。尸_LAC,

:,DE=DF,

：・/DEF=NDFE；正确：

(2)平分NB4C,DE.LAB,QF_LAC,

AZADE=ZADF,ED=FD,

.\AE=AF,正确；

(3)*：AE=AF,40平分NB4C,

・・冷。垂直平分E尸，故(4)正确；

由(2)知理)="),

平分NEZ)产；

故(3)正确.

故答案为：(1)(2)(3)(4).

6.等接△ABC中，AB=AC,点E为底边上一点，以点E为圆心，E4长为半径画弧，交A8于点。，

测得NCAE=80°,ZE4D=54°,则NDEB=31°.

【分析】根据角的和差关系结合等腰三角形的性质可求NC,根据三角形内角和定理可求N4EC,根据等

腰三角形的性质可求NAED,再根据平角的定义即可求解.

【解答】解：・・・NCAE=80°,ZEAZ)=54°,

/.ZCAB=134°,

a：AB=AC,

：.ZC=(180°-134°)4-2=23°,

AZAEC=1800-ZCAE-AC=1T,

由作图可知EA=ED,

：.^EDA=54°,

/.ZAED=180°-54°X2=72°,

/.ZDEfi=180°-77°-72°=31°.

故答案为：31.

7.如图所示，在坐标平面中，A(0,4),C为x轴负半轴上一点，CO=3,AC=5,若点尸为y轴上一动

点，以PC为腰作等腰三角形△PCQ,已知NCPQ=2NACO=2a(a为定值)，连接OQ,则OQ的最小

值为卫.

【分析】延长AC至点”,连接PM,使PM=AP,证出NCPM=NAPQ,进而证明△CPMgZ\QE4(SAS),

得到N%Q=NM=NC4O,求出OC=OM当OQ_LAN时，OQ有最小值，利用S“0N=SA4OC,求出

OQ的最小值.

【解答】解：延长4C至点M,连接PM,使PM=AP,

■:乙4co=a,

・・・/M=NCAO=90°-a,

AZAPQ=180°-2a,

:.乙APM=2a=/CPQ,

：・4CPM=/APQ,

又；CP=PQ,PM=PAt

:・XCPMm2QPA(SAS),

：,/PAQ=AM=ACAO.

：・OC=ON,

・••当0Q_L4N时，OQ有最小值，

.：SSON=SAAOC，

•••y-OC-OA=y-ANOQ»

・・・3X4=5OQ,

解得OQT，

・・・。。的最小值是看，

故答案为：12.

8.如图，已知点尸是射线MN上一动点，NAMN=35°,当N4为110°或72.5°或35°时,

是等腰三角形.

【分析】若△4MP为等腰三角形则有人M=AP、4M=MP和三种情况，分别利用等腰一：角形的

两底角相等可求得NA的值.

【解答】解：若△AMP为等腰三角形则有4M=4尸、和MP=4户三种情况，

①当AM=AP时，则有NM=/APM=35°,

AZA=110°；

②当时，则NA=NAPM=72.5°；

③当MP=AP时，则NA=N4MN=35。，

综上可知NA为110°或72.5°或35°,

故答案为：110°或72.5。或35°.

9.在如图所示的3X3方格中，以4B为边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形有4个.

B

【分析】根据等腰三角形的定义，分别以A、4为圆心，48长为半径画弧，即可得出第三个顶点的位置.

【解答】

解：如图所示,

分别以A、B为圆心，长为半径画弧，则圆弧经过的格点。、Q、C3、C4,即为第二个顶点的位置;

故以A8为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出4个.

故答案为：4

10.如图所示，NAO3=60°,。是50延长线上的一点，0C=12cm,动点P从点C出发沿C3以3aMs

的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以2cMs的速度移动，如果点P、Q同时出发，用/（s）表示移

时，△PO。是等腰三角形.

【分析】根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点P在线段0。上时；（2）当点P在CO的延长

线上时.分别列式计算即可求.

【解答】解：分两种情况：（1）当点P在线段0C上时,

设t时后△POQ是等腰三角形,

有OP=OC-CP=OQ,

即12-3r=2n

解得，尸乌;

5

（2）当点P在CO的延长线上时，此时经过C0时的时间已用5s,

当APO。是等腰三角形时，t：ZPOQ=60°,

•••△POQ是等边三角形，

:.OP=OQ.

即31-12=2/,

解得，尸⑵

故答案为卫或12.

5

CpoB

11.如图，/XABC中，AB=BC,ZC=60°,4。是BC上的高，DE//AC,图中与80（8。除外）相等的

线段共有（）条.

小

BDC

A.1B.2C.3D.4

【分析】由已知条件可判断△ABC为等边三角形，根据等边三角形的性质可得5Q=CQ,再根据平行线

的性质可得NBEO=N£D8=60°,可得△8EO是等边三角形，即可得出再根据8力=

CD,ED//AC,可得七。是△ABC的中位线，即可得出8E=AE,即可得出答案.

【解答】解：/XABC中，AB=BC,ZC=60°,

•••△ABC为等边三角形，

•・飞。是BC上的高，

:・BD=CD,

♦：DE〃AC,

：・/BED=/EDB=600,Z5=60°,

・•・ABED是等边三角形，

:,BD=ED=BE,

•；BD=CD,ED//AC,

是△ABC的中位线，

：・BE=AE,

：,BD=AE.

，图中与8。（8。除外）相等的线段有CO、DE、BE、AE共4条.

故选：D.

12.已知：如图，八人8右和八。五仁都是等边二角形.力是AC延长线上一点，4。与"内相交于点P.AC.

8E相交于点M,AD.CE相交于点M则下列五个结论：①AO=6E；②/BMC=NANC;③NAPM=

60°；④4N=BM；⑤ACMN是等边三角形.其中，正确的有（）

【分析】根据先证明△BCEgZLACQ,得出人。=83根据已知给出的条件即可得出答案;

【解答】解：:△ABC和△DEC都是等边三角形，

：.AC=BC,CD=CE,NACB=NECD=60°,

:./ACB+NACE=ZECD+ZACE,即N8CE=ZACD,

:,△BCE/AACD(SAS),

：,AD=BE,故选项①正确；

VZACB=ZACE=60°,由△BCEg/XACO得：/CBE=NCAD,

：・4BMC=NANC,故选项②正确；

由△BCE且△ACO得：NCBE=NCAD,

•；/ACB是△ACO的外角，

/.^ACB=ZCAD+ZADC=^CBE+ZADC=6Q0,

又乙APM是△PB。的外角，

・・・/APM=NCBE+NADC=60°,故比项③正确；

在AACN和△8CM中，

rZCAN=ZCBM

<AC=BC，

ZACN=ZBCM=600

:.△ACNdBCM,

；.AN=BM,故选项④正确；

:.CM=CN,

•••△CMN为等腰三角形，・・・NMCN=60°,

•••△CMN是等边三角形，故选项⑤正确:

故选：D.

13.如图.已知A。平分/AMC,7DF.R=7FRC=600.若用?=5,。内=2,则RC=7

【分析】作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出△BEM为等边三角形，得出七=5,从而

得出8N的长，进而求出答案.

【解答】解：延长上。交8C于M,延长AO交BC于N,如图，

•：AB=AC,A。平分/8AC,

.•・4N_L8C',BN=CN,

•：/EBC=NDEB=60°,

•••△BEM为等边三角形，

:・BM=EM=BE=5,ZEMB=6O0,

VDE=2,

・・・0M=3,

•・YN_LBC,

・・・/ONM=90°,

：・4NDM=30°,

.・.NM=L)M=3.

22

:・BN=BM-MN=5-旦=工

22

・・・BC=2BN=7.

14.如图，点。是等边△ABC内一点，N4OB=110°,NBOC=a.以0C为一边作等边三角形OCD,连

接AC、AD.

（I）当a=lSO。时.试判断八4。。的形状，并说明理由:

（2）探究：当a为多少度时，△40。是等腰三角形？

【分析】（1）首先根据已知条件可以证明△8OC0ZXAOC,然后利用全等三角形的性质可以求出

的度数，由此即可判定△AO。的形状；

（2）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解.

【解答】解：（1）•••△oco是等边三角形，

:.OC=CD,

而AABC是等边三角形，

：.BC=AC,

•・・/AC8=NOCD=60°,

:,乙BCO=NACD,

在ABOC与△4QC中，

rOC=CD

•・•<ZBCO=ZACD*

BC=AC

:•△BOC"AADC,

・•,乙BOC=Z1ADC,

而/8OC=a=150°,NOOC=60°,

•・./AOO=150°-60°=90°,

•♦.△A。。是直角三角形；

(2)•・•设/CBO=NC4O=a,ZABO=b,/B4O=c,NCAO=d,

则a+b=60°,b+c=180°-110°=70°,c+J=60°,

：.b-d=\O°,

J(600-a)-J=10°,

•••o+QSO。，

即//”。=50°，

①要使人。=4。,需/4。。=/4。。・

A1900-a=a-60°,

・・.a=125°5

②要使04=。。，需NO4O=NAOO,

Al10°+80°+60°+a=360°

Aa=110°；

③要使00=40,需NOAO=NAOO,

1100+50°+60°+a=360°,

.,.a=140°.

所以当a为110°、125°、140°时，三角形A。。是等腰三角形.

15.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,过点A作8C的平行线交N4BC的角平分线于点O,连接CZ）.

（1）求证：△A8为等腰三角形；

（2）若/84。=140°,求NACO的度数.

【分析】（1）利用平行线的性质得出N1=N3,进而利用等腰三角形的性质得出AC=A。即可；

（2）由（1）知N1=N2=N3,根据已知条件得到/1=/2=/3=工（180°-ZBAD）=20°,根据

2

等腰三角形的性质得到NACB=NABC=40°,根据平行线的选择得到NADC+NAC£>=180°,于是得

到结论.

【解答】（1）证明：：①）平分NA8C

AZ1=Z2.

*：AD//BC>

・•・Z2=Z3.

r.zi=Z3.

.\AR=AD.

'：AB=AC,

**•AC=ADr

•••△48为等腰三角形；

(2)解：由(1)知，Z1=Z2=Z3S

VZBAD=140°,ZBAD+Z1+Z3=18O°,

r.Zl=Z2=Z3=A(1800-ZBAD)=20°,

2

A^ABC=40°,

*：AB=AC,

・・・/ACB=NA3C=40°,

由(1)知，AD=AC,

・・・/ACO=N4OC=/8OC+/3=NBDC+20°,

■:AD//BC,

・・・/AOC+N8C£>=180°,

A40°+(NBOC+200)+(N8OC+20。)=180°,

，/BOC=50°,

AZ4DC=70°,

*：AC=AD,

・・・/AC£>=NAOC=70°.

Dc

16.如图，在△ABC中，AB=AC,。为C4延长线上一点，Q£_L6C于点E,交AB于点F,若AF=BF.

求证：(1)△A。尸是等腰三角形.

(2)DF=2EF.

【分析】(1)由等腰三角形的性质和余角的性质可证得ND=NOR,根据等腰三角形的判定即可证得结

论；

(2)过A作A，_LOE于”，由等腰三角形的性质可得£>"="/,根据全等三角形的判定证得△AFHg

△BFE,得到。〃=尸"=£：尸，即可求出。尸=2E尸.

【解答】证明：(1)*：AB=AC,

:.4B=/C,

VDE±BC,

:・NB+NBFE=NC+ND=90°,

：・/D=NBFE,

,:乙BFE=4DFA,

AZD=ZDM,

***AD=AF'r

••.△AO尸是等腰三角形；

(2)过4作A”_LOE于"，

VDE1BC,

AZAHF=ZBEF=90°,

由(1)知，AD=AF,

:・DH=FH,

在△AFH和48/话中，

rZAHF=ZBEF

<NAFH=NBFE，

AF=BF

:・2AF晔4BFECAAS),

:,FH=EF,

:.DH=FH=EF,EC

：.DF=2EF.

考向二：角平分线的性质与判定

一.角平分线的性质定理与判定定理

性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。

判定定理：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

方依技巧

角平分线常见的处理策略:

1.角平分线+〃一等腰4

特别地：①AD为向平分线；@DEIIAB;@AE=ED

若以上3个条件中有2个成立，则刎余的那个就会成立。

即：三条件谶又“知2得1”

!☆其中：

|1.平行线的引入方法常见的有：

；①直接给出的平行；②平行四边形及特殊平行四边形；③梯形的上下底边；

；④辅助线作出的平行；⑤其他条件证明得到的平行；

；2.当等腰△是结论时，常接着用等腰△的性质；

|3.“知2得1”在圆中应用时，常用"角平分线+等腰T〃"，进而得某角二RtN,证直线与圆相切。

2.角平分线十_L一等腰△；

（即“三线合一"的你应用，此类问题常和圆的性质结合考察）

3.见角平分线，作双垂一得全等或线段相等，亦可以用;

（作“_L”，即作“高”；有“高”想“面积”，进而拓展想“等积法”;

再往后还可延伸“平行线等积模型”、面积比=底边之比等）

其中，“得线段相等”是因为其性质定理；更深一步

的应用方向可以是：

①用于“等处代换“；②再证全等的条件；③将“双垂”

者作“双高线”，进而得两个△面积之间的关系；④当角

平分线多于1条时，可能要结合其判定定理证其他线也是

角平分线

4.见角平分线，作对称

（即截长补短构全等）A

5.圆中：由角平分线得角相等，进而推知1得4；

6.重要思想f倍半角模型：

与角平分线有关的问题，经常会出现“倍半角”关系，可利用“倍半角模型”解题。

典例引

,----▲41

1.三条公路将A,B,C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，使集

贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（）

A.三边高线的交点B.三条垂直平分线的交点

C.三边中线的交点D.三个角的平分线的交点

【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可.

【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，

根据角平分线的性质，集贸市场应建在NA、乙B、NC的角平分线的交点处.

故选:D.

2.如图，在△A8C中，ZC=90°,AO平分NCA8,若A3=10,8=3,则△48。的面积是（）

【分析】过点。作。于区根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得OE=CZ）,再利用三角

形的面积公式列式计算即可得解.

【解答】解：如图，过点。作OE_LAB于E,

VZC=90°,平分N8AC,

:,DE=CD=3,

・•・'ABD的面积=/郎四］义10X3=15-

乙乙

故选：C,

3.如图，已知△ABC的面积为10,8P平分NABC,且AP_LBP于点P,则aBPC的面积是（）

A.10B.8C.5D.4

【分析】延长4P交8。于£根据已知条件证得△A8P0△EBP,根据全等三角形的性质得到

得出&A8P=SaE5P,SAACP=5A£CP,SApgC

【解答】解：延长AP交8c于E,

二•BP平分NA8C,

:.NABP=NEBP,

工NAPB=NEPB=90°,

在Z\ABP和△EBP中，

rZABP=ZEBP

<BP=BP，

ZAPB=ZEPB

:.△ABPqAEBP(ASA),

:,AP=PE,

S^BP=S&EBP.S&ACP=S^ECP，

SAPBC^SAABC卷X10=5，

故选：c,

4.如图，N8OP=N4OP=15。，PC//OB,PO_LO8于0,PC=4,则P0的长度为（）

DB

A.2B.3C.4

【分析】作PEYOA于E,根据角平分线的性质可得PE=PD,根据平行线的性质可得N4CP=NA08

=30°,由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得即可求得PQ.

【解答】解：作PEJ_Q4于E,

*：4A0P=/B0P,PDLOB,PELOA.

：,PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），

•・・/BOP=NAOP=15°,

••・/AO8=30°,

,:PC〃OB,

，/ACP=NAO8=30°,

・••在RdPCE中，PE=APC=AX4=2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），

:・PD=PE=2,

故选：A.

5.如图：已知在△ABC中，NACB=9（T,BC=6,AC=8,CE为△ABC的角平分线，EF//AC,则£尸

的长度是（）

c

A.匹B.建C.匹D.4

776

【分析［根据E/ZMC,得到Er_L8C,过点E作EO_L4C,易得：EF=ED,利用等积法，求出E尸的

长度即可.

【解答】解：•：EF//AC,

・・・/EF8=NAC8=90°,

：.EFLBC,

过点E作瓦＞_LAC,交AC于点。，

•••CE为△ABC的角平分线，

:.DE=EF,

■:SMBC=SMEC+S.CEB,即：工・AC・BC=2・AC・E£>+^・8C・EF=2・(AC+BC)・EF,

2222

A6X8=(6+8)*EF,

故选:B.

6.如图，/XABC中，ZABC./尸。的角平分线8尸、CP交于点P,延长力、BC,PM上BE于M,PN±

BF于N,则下列结论：①AP平分NE4C；@ZABC+2ZAPC=180°；③/84C=2N8PC；®S^PAC=S

【分析】过点尸作PDJ_4C于。,根据角平分线的判定定理和性质定理判断①;证明RtAB4M^RtAB4D,

根据全等三角形的性质得判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形

的性质判断④.

【解答】解：①过点尸作POL4C于。，

平分NABC,PC平分N产CA,PM1BE,PNJLBF,PDLAC,

:・PM=PN,PN=PD,

:・PM=PD,

•；PM_LBE,PDA.AC,

・•"/)平分NEAC,故①正确：

@'：PMA.AB,PN上BC,

・・・/48C+90°+NMPN+90。=360°,

・・・/A8C+NMPN=l80°,

在Rt△以M和RtABAD中，

(PM=PD

IPA=PA,

，Rt△以M丝RlABA。(HL),

:./APM=NAP。，

同理：RtAPCD^RtAPCA^(HL),

:2CPD=NCPN,

:.4MPN=24APC,

：.ZABC+2ZAPC=180°,②正确；

③；必平分NC4EBP平分NABC,

；・NCAE=/ABC+NAC8=2N%M,ZPAM=^ZABC+^APB,

2

・・・/AC8=2NAPB,③正确；

④由②可知Rt△%M也RtZ\B4。(HL),RtAPCD^RtAPCN(HL),

ASMPD=SAMAP»S&CPD=SANCP，

5AAMC=5AA/4P+SANCP»故④正确，

故选：D.

E

“CNr

7.如图，A、8两点分别在射线OM,ON上，点C在NMON的内部，RAC=BC,CD.LOM,CELON,

垂足分别为O，E,RAD=BE.

(1)求证：OC平分NMON；

(2)若AO=3,80=4,求40的长.

【分析】(1)根据全等三角形的判定定理推出RtAADC^RtABEC,根据全等三角形的性质得出CD=

CE,再得出答案即可；

(2)根据全等三角形的性质得出AQ=BE=3,根据全等三角形的判定定理推出RtZXOOCgRtZXOEC,

用根据全等三角形的性质得出。。=08,再求出答案即可.

【解答】(1)证明：*：CD±0MtCE_ON,

••・/AOC=NCE8=90°,

在RlAADC和RtABEC中,

fAC=BC

lAD=BE，

ARtAADC^RtABEC(HL),

:・CD=CE,

•HOM,CELON,

：.OC平分4M0N；

(2)解：VRtAADC^RtABEC,40=3,

：.BE=AD=3f

•••80=4,

，OE=OB+BE=4+3=1,

*/CDICM,CF.ION,

：・NCDO=NCEO=90°,

在RlADOC和RlAEOC中,

[oc=oc,

(CD=CE'

ARtADOC^RtAEOC(HL),

：,OD=OE=1,

\MD=3,

:.OA=OD+AD=7+3=10.

8.如图，点A,B,C三点在一直线上，在BC同侧作△8CO、ABCE,若BE,CE分别平分NABO,/BCD,

过点B作NCBD的平分线交CE于点F.

(1)已知NE=27°,求的度数；

(2)若BE〃CD,BO=8,求线段BE的长；

(3)在(2)的条件下，若BF=6,求线段CO的长.

【分析】（1）由NE+NEBD=NDFNDCE,再由角平分线定义，三角形外甭的性质，可推出NO=2NE；

（2）由平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，可以推出

（3））延长5尸交0c于G,作3H_LEC于H,由勾股定理可以求出3的长，列出关于尸G的方程，求

出尸G,再由勾股定理求出CG的长，即可求出。的长.

【解答】解：（1）BE,CE分别平分NABD,NBCD,

:./EBD=L/ABD,NDCE=L/BCD,

22

♦：4ABD=ND+NDCB,

：./EBD=LND+工NDCB,

22

<NE+NEBD=ND+NOCE,

ZE+AzD+-izDCfi=ZD+-1ZBCD,

222

AZD=2ZE=54°；

(2)VRE//DC,

：.Z.D=NEBD,NDCB=NEBA,/E=/DCE,

•：4EBD=NEBA,NDCE=NBCE,

：・4D=/DCB,/E=NECB,

:・BE=BC,BD=BC,

••・BE=BO=8；

(3)延长5产交OC于G,作5”_LEC于”，

■:4EBD=L/ABD,NDBF=Z/DBC,

22

：・"BD+/DBF=Z(N48O+NO8C),

2

r.ZEBF=AzABC=90°,

2

/.£F=^BE2+BF2=^g2+62=io,

,:EF・BH=BE・BF,

••・10B"=8X6,

：.BH=4.S,

•••C//=VBC2-BH2=V82-4.82=64*

ra=VBF2-BH2=V62-4.82=3-6'

：・CF=CH-FH=2.8,

,:BD=BC,8G平分NCBO,

・・・BG_LDC,

VCG2=BC2-BG1=CF2-FG1,

A82-(6+FG)2=2.82-FG2,

・・・FG=1.68,

22=224-

・・・CG=4CF2-FG2r2.8-1.68

：.CD=2CG=4A8.

考向三：线段垂直平分线的性质与判定

线段垂直平分线的性质定理与判定定理

性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等。

判定定理：到线段两端的距离相等点在这条线段的垂直平分线上。

角平分线与线段垂直平分线常见辅助线的区别:

角平分线：过点作到边的垂线段；

线段垂直平分线：连接两个端点

1.下列说法正确的是（）

A.三角形的角平分线将三角形的面积平分

B.三角形的外角一定大于它的任意一个内角

C.在△4BC中，若N4+N8=NC,则这个三角形是直角三角形

D.若线段AB垂直平分线段CQ,则线段。。必垂直平分线段

【分析】利用线段垂直平分线的性质，三角形的中线，三角形的内角和定理，逐一判断即可解答.

【解答】解：4、三角形的中线将三角形的面积平分，故4不符合题意；

8、三角形的外角一定大于它的任意一个与它不相邻的内角，故B不符合题意；

。、在△ABC中，若NA+NB=NC,则这个三角形是直角三角形，故。符合题意；

。、若线段A8垂直平分线段CD,而线段CD不一定垂直平分线段48,故。不符合题意；

故选：C.

2.如图，在△A8C中，。后是A8的垂直平分线，BC=10,AC=14,则△BCD的周长为（)

E

D

8C

A.14B.24C.10D.26

【分析】依据。石是△4BC中4B边的垂直平分线，即可得到4O=B。，再根据8C=10,AC=14,即可

得到△BCE的周长.

【解答】解：TOE是△ABC中A8边的垂直平分线，

:.AD=BB,

又；8C=10,4c=14,

/.2BCD的周长=BC+CD+BD

=BC+CD+AED

=BC+AC

=24,

故选：B.

3.如图，ZBAC=\05°,AB=AC,若MP和NQ分别垂直平分A8和AC,则NB4Q的度数是（）

【分析】由4B=AC,ZBAC=100°,可求得NB+NC的度数，又由MP,NQ分别垂直平分4B,AC,

根据线段垂直平分线的性质，可得AP=BP,AQ=CQ,继而求得NB4P+/CA。的度数，则可求得答案.

【解答】解：YA8=AC,N8AC=105°,

・・・/8+NC=180°-ZBAC=15°,

■:MP,NQ分别垂直平分48,AC,

：.AP=BP,AQ=CQ,

：./BAP=NB,NG4Q=NC,

，/B4P+NC4Q=75°,

：./PAQ=ZBAC-(N8AP+NCAQ)=30°.

故选：C.

4.如图，锐角三角形ABC中，直线/为BC的垂直平分线，直线〃?为NABC的角平分线，/与相相交于P

点，若NA=65°,ZACP=22°,则的度数是()

A

【分析】连接以，根据线段垂直平分线的性质得到P8=PC,得至l[NPBC=NPCB,根据角平分线的定

义得到NP8C=NA5P,根据三角形内角和定理列式计算即可.

【解答】解：连接外，

•・•直线L为8C的垂直平分线，

・・・PB=PC,

工乙PBC=/PCB,

•・,直线PM为NABC的角平分线，

:./PBC=NABP,

设则NPCB=NA8P=x,

/.j+x+x+65°+22°=180°,

解得，x=31°,

故选：A.

A

5.如图，在RtaABC中，D为BC上一点:DE1AB,且AE=BE,若NG4D=4N8,BD=6,则AC=()

A

CDB

A.3B.3V3C.4D.5

【分析】根据线段垂直平分线的性度，等腰二角形的判定和性质，二角形外角的性质即可得到结论.

【解答】解：VDE±AB,AE=BE,

垂直平分A8,

：.AD=BD=b,

:.乙DAB=4B,

•・・/C4D=4N8,

・"CAB=5/B,

VZC=90°,

：.ZCAB+ZB=90°,

；・NB=NDAB=15°,

A^ADC=ZB+ZBAD=30°,

・・.4C=工。=3,

2

故选:A.

6.在平面直角坐标系xOy中，点A(5,5),点8(1,1),点C(7,1),若点尸到点A、B、C的距离相

等，则点尸的坐标为(4,2).

【分析】根据线段垂直平分线的性质作出点尸，根据坐标与图形性质求出点P的坐标.

【解答】解：•・•点P到点A、8、C的距离相等，

・••点P是线段43、3c垂直平分线的交点，

故点P的坐标为(4,2),

故答案为：(4,2).

7.在平面直角坐标系xQy中，A,4为不重合的两个点，若点。到A,5两点的距离相等，则称点。是线

段AB的“公正点”.特别地，当60°WNAC8W180。时，称点C是线段A8的“近公正点”.

(1)已知A(1,0),B(3,0),在点C(2,0),D(1,2),E(2,-2.3),F(0,4)中，线段AB

的“公正点”为点。(2,0),点E(2,・2.3)；

(2)已知点M(0,3),作NOMN=60°,射线MN交x轴负半轴于点N.

①若点尸在y轴上，点P是线段的“公正点”，则点P的坐标是(0,・3):

②若点。(小b)是线段MN的“近公正点”，直接写出b的取值范围是-30W6.

【分析】(1)判断点C(2,0),D(1,2),E(2,-2.3),F(0,4)在直线x=2上即可；

(2)①画出相应的图形，根据坐标转化为线段的长，再根据直角三角形的边角关系得出答案即可；

②得出点Q的两个“临界值”，即b的“临界值”即可.

【解答】解：(1)如图，A(1,0),B(3,0),线段48的“公正点”在线段A8的中垂线上.

即“公正点”在直线x=2的直线上，

在C(2,0),D(1,2),E(2,-2.3),F(0,4)中只有点C、点E在直线x=2上，

故答案为：点C(2,0),点£(2,-2.3)；

(2)①如图，作MN的中垂线交)，轴的负半轴于Pi,

•；OM=3,NOMN=60°,

:・MN=2OM=6,ON=«OM=3«,

在RlZ\PiQM中，MQ=』MN=3,/OMN=60°,

2

；・PiM=6,

：.OP\=P\M-OM=(y-3=3,

・••点Pi(0,-3),

故答案为：(0,-3)；

②如图，连接PiN,由对称性可知△MNPi是正三角形,

此时，NMPiN=60°,

△MNPi是关于MN的对称三角形△MNP2是正三角形,

此时P2点的纵坐标为6,

•.•点0(〃，b)是线段MN的“近公正点”，

，6()°WNMQNW1800,

即点。在线段P|P2上,

当点。在点P1时，b=-3,

当点。在点Pi时，OE=6,即b=6,

:.b的取值范围为・3W6W6,

故答案为：・3Wb/6.

8.如图，RtZXABC中，NACB=90°,。是A8上一点，BD=BC,过点。作AB的垂线交AC于点E,求

证：BE垂直平分CD

【分析】证明根据全等三角形的性质得到ED=EC,根据线段垂直平分线的判定

定理证明.

【解答】证明：・・・NAC8=90°,DE_AB,

/.^ACB=ZBDE=90°,

在RtABDE和RtABCE中,

fBD=BC

lBE=BE,

ARtABDE^RtABCE,

：,ED=EC,

,:ED=EC,BD=BC,

・・・8E垂直平分CD.

逐跟踪训或

1.（2022•滨州）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中A8=4C,立柱A£）J_BC,且顶角N84C=120。，

则/C的大小为30°

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到N8=NC=30°.

【解答】解：•.F8=AC且NB4C=120°,

，/8=NC=』（1800-NB4C）=工乂60°=30°.

22

故答案为：30°.

2.（2022・北京）如图，在△ABC中，A力平分NBA。，DELAB.若4C=2,DE=\t则S“CD=1.

【分析】过。点作O〃_L4C于“，如曾，根据角平分线的性质得到OE=D"=1,然后根据三角形面积

公式计算.

【解答】解：过。点作OH_LAC于"，如图，

•••AO平分/8AC,DELAB,