2024年上海数学中考一轮复习 锐角的三角比全章复习与测试含详解

第25章锐角的三角比全章复习与测试

【知识梳理】

1.锐角的三角比定义：一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比.

正切：把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫这个锐角的正切.即tanA=幺当坐■；

NA的邻边

余切：把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫这个锐角的余切.即cotA=幺磐%:

NA的对边

正弦：把直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫这个锐角的正弦.即sinA=4^5^

斜边

/A的邻边

余弦：把直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫这个锐角的余弦.即cosA=

斜边

2.性质

①当锐角增大时，这个锐角的正切与王弦值都增大，这个锐角的余切与余弦值都减小;

②若ZA+ZB=90°,则tanA=cotB;sinA=cosB；

③tanAcotA=l.

3.特殊角的三角比

a=30ca=60°a=45°

tana♦不1

cota百1

T

sina\_72

2~22

cosa石\_V2

222

已知锐角，求三角比；

4.锐角的三角比

已知锐角的三角比，求锐角.

5.解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程.

6.直角三角形的边角关系（AABC中，ZC=90°）

①三边关系：/+/=（?；

〈②锐角关系：乙4+/8=90。；

③边角关系：tanA=3;cot4=2；sinA=3;cosA=

bac

7.解直角三角形的应用

（1）仰角与俯角

在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角;

视线

铅

一

水

平线

角

仰

垂

角

此

线

视线

（2）坡度：坡面的铅垂高度h和水平宽度/的比叫做坡面的坡度，记作"即i=4；坡度表示形式：i=

坡面与水平面的夹角叫坡角，记为a；坡度i与坡角a的关系：i=g=tana.

【考点剖析】

一.锐角三角函数的定义（共5小题）

1.（2023•虹口区一模）如图，在RtZxABC中，ZC=90°,AC=\,BC=2,那么cosA的值为（）

V5

B.2C.D.

A.i5

2.（2023•长宁区一模）在△48C中，ZC=90°,已知AC=3,AB=5,那么NA的余弦值为（）

3_4

AC.D.

-i5

3.（2023•松江区一模）已知RlZVlBC中,ZC=90°,AC=2,BC=3,那么下列结论正确的是（）

29

A.ran/l=—B.cot4=—C.sinA=—D.cosA=—

3333

4.（2023•青浦区一模）在中，ZC=90°,如果coS=3,AC=6,那么BC=

5.（2022秋•黄浦区期中）在aABC机ZC=90°,如果8c=3,taM=2,那么AC=

3

二.特殊角的三角函数值（共6小题）

6.（2023•松江区一模）已知taM=7向，则锐角A的度数是（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

7.（2023•徐汇区一模）计算：8s60：sin60：=

cot30-tan45

8.（2023•金山区一模）已知a是锐角，且cosa=Y2,那么a=

2

9.（2023•崇明区一模）计算：4cos30°-cos45°tan60°+2sin245°.

10.（2023•普陀区一模）计算：-----2干60---------4cot30°•cos^O0.

2sir.45+tan45

11.（2023•奉贤区一模）计算：4cos300・sin6（）°+------------"..............—

2tan45-cot30

三.解直角三角形（共7小题）

12.（2023•普陀区一模）在RtZXABC中，已知N4CB=90°,tan8=2,AC=4,那么8c的长是（）

3

A.6B.3C.2>/5D.V5.

13.（2023•普陀区一模）在△ABC中，AC=5,8C=12,A8=13,那么sin8=.

14.（2023•宝山区一模）在平面直角坐标系x。｝•中，已知点A（2,1〕与原点。的连线与x轴的正半轴的夹角为仇

那么tanp的值是（）

A.2B.—C.返D.V5

25

15.（2023•金山区二模）已知△ABC中，/84C=90°,AB=3,tanC=3,点。是线段BC上的动点，点E在线

4

段4c上，如果点七关于直线AO对称的点尸恰好落在线段4c上，那么C£的最大值为.

16.（2023•闵行区二模）阅读理解：如果一个三角形中有两个内角《、0满足2a+0=9O°,那么我们称这个三角形

为特征三角形.问题解决：如图，在中，/AC8为钝角，人8=25,tanA=4,如果△人8C是特征三角形，

那么线段4c的长为.

B

17.（2023•松江区一模）如图，RtZ\ABC中，NAC8=90°,CZ）_LA8于点。，如果AC=3,A8=5,那么cos/8C。

的值是_____________________

18.（2023•奉贤区一模）在△A8C中，如果A3=AC=7,3C=1O,那么cos3的值是

四.解直角三角形的应用（共4小题）

19.（2023•松江区一模）如图，为测量一条河的宽度，分别在河岸一边相距。米的4、B两点处，观测对岸的标志

物P,测得N/^B=a、NP04=0,那么这条河的宽度是（）

C.---------——-米D.----------——-米

tanQ.+tanptana-tanp

20.（2023•杨浦区一模）如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动，已知细绳从悬挂点。到球心的长度为50厘

米，小球在左右两个最高位置时・，细绳相应所成的角为74。，那么小球在最高和最低位置时的高度差为

厘米.（参考数据;sin37°〜0.60,cos37°〜0.80,tan37°—0.75.）

21.（2023•宝山区二模）“小房子”是一种常见的牛奶包装盒（如图1）,图2是其一个侧面的示意图，由“盒身”

矩形8COE和“房顶”等腰三角形ABE组成.已知BC=4.5厘米，CD=8厘米，AB=AE=5厘米.

（1）求“房顶”点A到盒底边C。的距离；

（2）现设计了牛奶盒的一个新造型，和原来相比较，折线段A"的长度（即线段4,与4c的和）及矩形HC/圮

的面积均不改变,且sin/48E=且，BOCD,求新造型“盒身”的高度（即线段8c的长）.

13

图1

22.（2023•徐汇区二模）小明家的花酒的实景图及其侧面示意图分别如图1、图2所示，花洒安装在离地面高度160

厘米的A处，花洒的长度为2（）厘米.

（1）已知花洒与墙面所成的角/%。=120°,求当花洒喷射出的水流CO与花洒4。成90°的角时，水流喷射

到地面的位置点C与墙面的距离.（结果保留根号）

（2）某店铺代理销售这种花洒，上个月的销售额为2400元，这个月由于店铺举行促销活动，每个花洒的价格比

上个月便宜20元，因此比上个月多卖出8个的同时销售额也上涨了400元，求这个此款花洒的原价是多少元？

B

图1图2

五.解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共3小题）

23.（2023•虹口区一模）如果某个斜坡的坡度是1：近，那么这个斜坡的坡角为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

24.（2023♦普陀区二模）如图，斜坡A/3的坡度ii=l：弧,现需要在不改变坡高A"的情况下将坡度变缓，调整

后的斜坡AC的坡度，2=1：2.4,已知斜坡AB=10米，那么斜坡4C=米.

25.（2023•奉贤区二模）图是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，它的

示意图.经过测量，支架的立柱AB与地面垂直（NB4C=90°）,AB=2.7米，点A、C、M在同一水平线上，

斜村'BC与水平线AC的夹角NACB=33°,支撑杆OEJ_/3C,垂足为E,该支架的边4Q与8C的夹角/。5七=

66。，又测得CE=2.2米.

（1）求该支架的边的长；

（2）求支架的边3。的顶端。到地面AM的距离.（结果精确到0.1米）

（参考数据：sin33°-0.54,sin66°-0.91,cos33°-0.84,cos66°-0.40,tan330-0.65,tan6据-2.25）

六.解直角三角形的应用•仰角俯角问题（共4小题）

26.（2023•崇明区一模）飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标A点的俯角为a,那

么此时飞机与目标4点的距离为千米.（用a的式子表示）

27.（2023•杨浦区二模）如图，某水渠的横断面是以44为直径的半圆O,其中水面截线MN〃人从小明在A处测

得点B处小树的顶端。的仰角为14°,已知小树的高为1.75米.

（1）求直径A8的长;

（2）如果要使最大水深为2.8米，那么此时水面的宽度MN约为多少米.（结果精确到0.1米，参考数据：tan76°

=4,V6=2.4）

28.（2023•宝山区一模）如图，某小区车库顶部3c是居民健身平台，在平台上垂直安装了太阳能灯A从己知平台

斜坡CD的坡度i=V3,坡长为6米.在坡底。处测得灯的顶端4的仰角为45°,在坡顶C处测得灯的顶

端A的仰角为60°,求灯的顶端A与地面OE的距离.（结果保留根号）

29.（2023•长宁区二模）为了测量某建筑物的高度BE,从与建筑物底端8在同•水平线的点A发，沿着坡比为

/=1：2.4的斜坡行走一段路程至坂顶。处，此时测得建筑物顶端£的仰角为30°,再从。处沿水平方向继续

行走100米后至点C处，此时测得建筑物顶端E的仰角为60°.建筑物底端B的俯角为45°,如图,已知点

A、B、C、。、E在同一平面内，求建筑物BE的高度与AO的长.（参考数据：73^1.732）

七.解直角三角形的应用一方向角问题（共3小题）

30.（2022秋•闵行区期末）如图，一艘船从4处向北偏西30°的方向行驶5海里到B处，再从B处向正东方向行

驶8海里到C处，此时这艘船与出发点A处相距海里.

31.（2022秋•黄浦区月考）2020年6月23日，我国第55颗北斗卫星，即北斗全球卫星导航系统最后一颗组网卫

星发射成功.北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行.某中学从A地出发，组织学生利用导航到。地

区进行研学活动，已知C地位于4地的正北方向，且距离A地24千米.由于4、。两地间是一块湿地，所以导

航显示的路线是沿北偏东600方向走到4地，再沿北偏西37°方向走一段距离才能到达C地，求人4两地的

距离（精确到1千米）.

（参考数据：sin37°比0.6,cos37s^0.8,tan37°^0.7,&F.4,孤F.7）

32.（2022秋•杨浦区校级期末）湖中小岛上码头C处•名游客突发疾病，需要救援.位于湖面8点处的快艇和湖

岸川处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援.计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与

救援船相遇后将该游客转运到救援船上.已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，旦在

C的正南方向1000米处.

（I）求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：正732）

（2）救援船的平均速度为180米/分，快艇的平均速度为320米/分，在接到通知后，快艇能否在6分钟内将该游

客送上救援船？请说明理由.（接送游客上下船的时间忽略不计）

【过关检测】

一、单选题

1.3tan60°的值为（）

AS「36

B.出U•---D.375

62

“1

2.在A48C中,ZC=90°,tanA=—,则sinB=()

3

A,巫2「3D,巫

B.c.—

103410

3.如图，已知应△力胸中，Zf=90°,除3,464,则sin/1的值为（）.

4.如图，在AABC中，ZC=90°,sinA=|,则等于（）

5.在△力旗中，N小90°,a、b、c分别为N//、/B、NO的对边，下列各式成立的是（）

A.炉a,sinBB.a-b•cos^C.srb•tan^D.炉a•tanB

6.在Rt△力欧中，/心90°,若将各边长度都扩大为原来的2倍，则N4的正弦值（）

A.扩大2倍B.缩小2倍C.扩大4倍I）.不变

二、填空题

7.Ssina=—,则2=

2

8.如果方程x2-4x+3=0的两个根分别是Rt^ABC的两条边，^ABC最小的角为A,那么tanA的值为

9.如图，已知直线4〃/2〃/3〃。，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形力筋的四个顶点分别在四条直

线上，则sina=.

10.如图,AD±CD,AB=10,BC=20,ZA=ZC=30°,则AD的长为；CD的长为

11.已知=g-sina,则锐角。的取值范围是

12.在一ABC中，AB=8,NABC=30°,AC=5,则BC二.

13.如四，等腰梯形ABCD中，AD〃BC,NDBC=45°,翻折梯形ABCD,使点B重合于点D,折痕分别交边AB、BC于

点F、E,若AI)=2,BC=8.则(DBE的长为.(2)NCDE的正切值为.

14.在AABC中，ZC=90°,如果sinA=;，AB=6,那么BC二

15.已知NA为锐角，且tan35°cotA=l,则NA=_______度.

16.如图，在sABC中，ZACB=120°,AC=4,BC=6,过点A作BC的垂线，交BC的延长线于点D,则tanB的值为

17.菱形力砥9中，已知18=4,NB：Zr=l：2,那么劭的长是.

18.如图，已知中，ZACB=90°,点J/是AB的中点，将AM沿CM所在的直线翻折，点M落在点4处,

AM_L/3,且交BC于点、。,4D:OW7的值为.

三、解答题

19.计算：2cos60°+cot30°tan450-sin30°tan60°.

在锐角三角形月式1中，若siM=立，8=75。，求cos。的值.

20.

2

21.如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN,已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，

在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60。方向

上.

（1）MN是否穿过原始森林保护区，为什么？（参考数据：73^1.732）

（2）若修路工程顺利进行,要使修路工程比原计划提前5天完成,需将原定的工作效率提高25%,则原计划完成这

项工程需要多少天？

22.如织，商丘市睢阳区南湖中有一小岛，湖边有一条笔直的观光小道，现决定从小岛架一库与观光小道垂直的小

桥PD,小坤在小道上测得如下数据：AB=200.0米,NPAB=38.5°,ZPBA=26.5°.请帮助小坤求出小桥PD的长.（结

果精确到。1米）（参考数据：sin38.5°*0.62,cos38.5°^0.78,tan38.5°*0.80,sin26.50*0.45,

cos26.5°^0.89,tan26.5°^0.50）

23.小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离.他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得

ZACF=45°,再向前行走100米到点D处，测得NBDF=60°.若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的

距离.

24.如羽是某货站传送货物的平面示意图.为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使

其由45°改为30°.已知原传送带AB长为4米.

（1）求新传送带AC的长度；

（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理

由.（说明：⑴⑵的计算结果精确到“1米，参考数据：力-1.41,行-1.73,垂22.24,“-2.45）

25.如图，在RIZXABC中，ZA=90°,AB=6,AC=8,D、E分别是边AB、AC的中点，点P从点D出发沿DE方向

运动，过点P作PQJ_BC于Q,过点Q作QR〃BA交AC于R,当点Q与点C重合时，点P停止运动.设BQ=x,QR=

y.

⑴求点D到BC的距离；

(2)求『关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)：

(3)是否存在点P,使是以PQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请

说明理由

第25章锐角的三角比全章复习与测试

【知识梳理】

1.锐角的三角比定义：一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比.

正切：把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫这个锐角的正切.即tanA=幺当坐■；

NA的邻边

余切：把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫这个锐角的余切.即cotA=幺磐%:

NA的对边

正弦：把直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫这个锐角的正弦.即sinA=4^5^

斜边

/A的邻边

余弦：把直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫这个锐角的余弦.即cosA=

斜边

2.性质

①当锐角增大时，这个锐角的正切与王弦值都增大，这个锐角的余切与余弦值都减小;

②若ZA+ZB=90°,则tanA=cotB;sinA=cosB；

③tanAcotA=l.

3.特殊角的三角比

a=30ca=60°a=45°

tana♦不1

cota百1

T

sina\_72

2~22

cosa石\_V2

222

已知锐角，求三角比；

4.锐角的三角比

已知锐角的三角比，求锐角.

5.解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程.

6.直角三角形的边角关系（AABC中，ZC=90°）

①三边关系：/+/=（?；

〈②锐角关系：乙4+/8=90。；

③边角关系：tanA=3;cot4=2；sinA=3;cosA=

bac

7.解直角三角形的应用

（1）仰角与俯角

在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角;

视线

铅

一

水

平线

角

仰

垂

角

此

线

视线

（2）坡度：坡面的铅垂高度h和水平宽度/的比叫做坡面的坡度，记作"即i=4；坡度表示形式：i=

坡面与水平面的夹角叫坡角，记为a；坡度i与坡角a的关系：i=g=tana.

【考点剖析】

一.锐角三角函数的定义（共5小题）

1.（2023•虹口区一模）如图，在RtZ\A3c中，ZC=90°,AC=\,BC=2,那么cosA的值为（

【分析】根据勾股定理，可得人B的长，根据锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边，可得答案.

【解答】解：在RtZXABC中，ZC=90°,AC=\,BC=2,由勾股定理，得

A5=VAC2+BC2=^-

由锐角的余弦，得cosA=±S=j=^

AB巡5

故选：C.

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐舛的余弦等于锐角的邻边比斜边是解题的关健.

2.（2023•长宁区一模）在△A8C中，ZC-900,已知AC—3,—5,那么/A的余弦值为（）

3434

A.B.C.D.

4355

【分析】利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答.

【解答】解：在RtZXAbC'中，AC=3,A4=5,

—瑞福

故选：C.

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

3.（2023•松江区一模）已知RlZSABC中,ZC=90°,AC=2,BC=3,那么下列结论正确的是（）

299

A.rarL4=—B.cot4=—C.sinA——D.cosA=—

3333

【分析】先利用勾股定理求出的长,然后再利用锐角三角函数的定义，进行计算逐一判断即可解答.

【解答】解：VZC=90°,AC=2,8C=3,

•*-A5=VAC2+BC2=722+32，

.ABC3“AC2.4

..taa.4=—=—,cotA=—=—.SIIL4=

AC2BC3肄常…瑞/YE

故选：B.

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

4.（2023•青浦区一模）在△ABC中，ZC=90°,如果col4=3,4c=6,那么BC=2.

【分析】利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答.

【解答】解：在RtZXAAC中，NC=90°,COL4=3,AC=6,

：.BC=-AC-=A=2,

cotA3

故答案为：2.

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

5.（2022秋•黄浦区期中）在△ABC中，ZC=90°,如果BC=3,tan>4=—,那么AC=—

3-2―

【分析】根据tanA=Z,于是得到区=2,即可求出AC.

3AC3

【解答】解：在△4BC中，ZC=90°,BC=3,

2BC

3而‘

：,AC=—,

2

故答案为:9,

~2

【点评】本题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，利用了方程的思想，熟练掌握定义及定

理是解本题的关键.

二.特殊角的三角函数值（共6小题）

6.（2023•松江区一模）已知依偌=7%，则锐角4的度数是（）

A.30°B.45°C.60。D.75°

【分析】直接根据lan600=«进行解答即可.

【解答】解：人为锐角，tan600=V3,

/.ZA=60°.

故选：C.

【点评】本题考杳的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键.

7.（2023•徐汇区一模）计算：cos60：-sin60：=1

cot30-tan452~

【分析】把特殊角的三角函数值，代入原式即可计算

1V3

原式=常

【解答】解:

1_

2

故答案为：

2

【点评】本题考查特殊角的三角函数值，关键是要熟记特殊角的三角函数值,

8.（2023•金山区一模）己知a是锐角，且cosa=Y2,那么a=45°.

2

【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案.

【解答】解：Ta是锐角，且cosa=浮，

2

Aa=450

故答案为:450.

【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.

9.（2023♦崇明区一模）计算：4cos300-cos450tan600+2sin2450.

【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案.

【解答】解：原式=4X返-返xd§+2X（亚）2

222

=2^/3・返■+2X2

22

=2通.迎+L

2

【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.

1（）.（2023•普陀区一模）计算；-----2,小60------4cot300-cos230q.

2sir45+tan45

【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可.

【解答】解:原武=备4vH

V3（V2-1）-373

(V2+1)(V2-1)

=V6-V3-373

=V6-4^3.

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

II.（2023•奉贤区一模）计算：4cos30。•sin600+-------------」......-.

2tan45-cot30

【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案.

【解答】解：原式=4X^X噂+——

222X1-V3

__W1__

（2-V3）（2-*V3）

=3+2+V3

=5+V3.

【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.

三.解直角三角形（共7小题）

12.（2023•普陀区一模）在RtZ\A4C中，已知N4C8=90°,tanB=2,AC=4,那么AC的长是（）

3

A.6B.3C.2V5D.V5.

【分析】根据三角函数中正切值的定义解决此题.

【解答】解：如图.

：.BC=6.

故选：A.

【点评】本题主要考查正切值，熟练掌握正切值的定义是解决本题的关键.

13.(2023•普陀区一模)在△43C中，AC=5,8c=12,A4=13,那么sin4=—

一13一

【分析】首先根据题意得出△4BC为直角三角形，再画出图形，其中AC=5,BC=12,AB=13；然后根据sinB

=或计算即可.

AB

【解答】解:VAC=5,5c=12,AB=13f

222

：.AC+BC=ABt

•••△ABC是直角三角形，

如图所示：

在RI/XA8C中，AC=5,BC=12,A8=13,

【点评】本题考解直角三角形，牢记锐角三角函数的定义是解题关键.

14.（2023•宝山区一模）在平面直角坐标系中，已知点A（2,I〕与原点。的连线与x轴的正半轴的夹角为0,

那么canp的值是（）

A.2B.—C.返D.V5

25

【分析】过点A作/W_Lx轴，垂足为B,根据垂直定义可得乙46。=90°,根据已知可得08=2,48=1,然后

在太△480中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.

【解答】解：如图：过点A作AZLLx轴，垂足为从

・・・NA8O=90°,

•・•点A(2,1),

；・OB=2,AB=1,

在中，tanB=^=1

OB2

【点评】本题考查了解直角三角形，坐标与图形性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题

的关键.

15.（2023•金山区二模）已知△ABC中，N84C=9（T,A8=3,tanC=G,点D是线段8c上的动点，点E在线

4

段4C上，如果点E关于直线AD对称的点尸恰好落在线段BC上，那么CE的最大值为@.

一5一

【分析】在直角中，根据正切函数定义得出4C=4,利用勾股定理求出8c=：AB2+AC2=5-根据轴对

称的性质得到AE=ARCE=AC-AE=4-AE=4-AF,当A尸取最小值时CE取最大值.根据垂线段最短

得出当A""L8C时，AF最小.根据三角形的面积求出Ar=迎典=」2,进而求出CE的最大值.

BC5

【解答】解：在△ABC中，ZBAC=90°,AB=3,tanC=—=—,

AC4

：,AC=4,

•,^C=VAB2+AC2=5-

丁点E关于直线AD对称的点尸恰好落在线段BC上，

：.AE=AF.

•・•点E在线段AC上，

,CE=AC-AE=4-AE=4-AF,

:.=AF取最小值时CE取最大值.

如图，当ATJLBC时,A尸最小.

'：S^ABC=­BC*AF=^AB^AC.

22

.AB-AC3X412

BC55

.\CE=4--=—,

55

即CE的最大值为

故答案为：I.

5

【点评】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数定义，勾股定理.，轴对称的性质，垂线的性质，三角形的面积

等知识.根据题意得到当4尸取最小值时CE取最大值是解题的关键.

16.（2023•闵行区二模）阅读理解：如果一个三角形中有两个内角a、B满足2a+B=90°,那么我们称这个三角形

为特征三角形.问题解决：如图，在AABC中，N4C8为钝缸4B=25,tanA=J，如果△ABC是特征三角形,

O

那么线段AC的长为—至

【分析】由题意可分：①设NA=a,N8=0,则在AB上截取一点。，使得CO=C4,此种情况不符合题意；②

设NA=0,NB=a,过点8作BEJ_AC于点E,过点C作CTLAB于点F,然后根据三角函数及勾股定理可进

行求解.

【解答】解：由题意可分：①设NA=a,N8=0,则在43上截取一点Q,使得CQ=C4,如图所示：

，NA=NAQC,

..A4

•tanA二

o

.4

tan/ADCf

：.NCDB为钝角,故不存在2a+B=90°；

②设NA=0,NB=a,过点8作BE_LAC于点E,过点C作C/L48于点尸，如图所示:

•••△A4C是特征三角形，即2a+0=9O°,且乙4+448笈=90。，

ZABE=2ZABC,

平分NA8E,

:・CF=CE,

..84

•tanA二二

.CFBE

••—9

AFAE

设A/=3x,CF=CE=4x,4C=58则有AE=9x,

，8E=⑵，

：AB=25,

在□△ABE中，由勾股定理得81/+144/=625,

解得：苗或x/（舍去），

•AT25

.A-3

故答案为：25.

3

【点评】本题主要考查三角函数及勾股定理，熟练掌握三角函数及勾股定理是解题的关键.

17.（2023•松江区一•模）如图，RtZ\A8C中，NAC4=9O°,CO_LA8于点。，如果AC=3,48=5,那么cosNBCO

的值是_3_.

【分析】由余角的性质得到NBCO=NA,求NA的余弦值即可.

【解答】解：•••/ACB=90°,C0_LAB于点。，

・•・NBCD+NACD=ZA+ZACD=9（）°,

/.ZBCD=ZA,

ACQ

・••cos乙BCD=cosA.

AB5

故答案为：信.

5

【点评】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角的余弦定义.

18.（2023•奉贤区一模）在△A8C中，如果A8=4C=7,8c=10,那么cos8的值是—.

~7~

【分析】过4作AOJ_BC于D,由等腰三角形的性质得出的长，由锐角的余弦即可求解.

【解答】解：过人作AQJ_8C于