2024年上海高考数学考前30天冲刺复习 专题19空间向量与立体几何三大考点与真题训练 含详解

专题L9空间向量与立体几何三大考点与真题训练

考点一：空间几何体

一、单选题

1.（2023•上海静安•统考一模）“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.《九章算

术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影

响.书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺.问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，

一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底而长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条

件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）平方尺.

A.142,TB.1407rC.138乃D.128乃

2.（2022•上海金山•统考一模）已知正四面体48CO的棱长为6,设集合。=｛尸］的42斤，点0e平面

BCD）,则C表示的区域的面积为（）

A.兀B.34C.44D.6兀

3.（2022•上海奉贤•统考一模）紫砂壶是中国特有的手工制造陶十.工艺品，其制作始于明朝正德年间.紫砂

壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石飘壶、潘壶等.其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台.如图给

出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm）,那么该壶的容积约接近于（）

A.100cm3B.200cm'C.300cm3D.400cn?

二、填空题

4.（2023-上海・统考模拟预测）在棱长为1的正方体相C。-A4CQ中，"为底面A8c。的中心,

AQ=2AA，义«0，1），N为线段AQ的中点，则下列命题中正确的序号为_________.

①CN与QM共面；

②三棱锥A-DMN的体积跟2的取值无关；

③当义=；时，过AQ,M三点的平面截正方体所得截面的周长为史号叵：

④/I」时，AMA.QM.

4

5.（2023•上海静安•统考一模）有一种空心钢球，质量为140.2g,测得球的外直径等于5.Ocm,若球壁厚度均

匀，则它的内直径为cm.（钢的密度是7.9g/cm3,结果保留一位小数）.

6.（2023-上海黄浦・统考一模）若一个圆锥的侧面展开图是面积为二二的半圆面，则该圆锥的体积

为.

7.（2022•上海闵行•上海市七宝中学校考模拟预测）已知四面体的棱长为1或2,且该四面体不是正四面体，

则这样的不同四面体的个数为

8.（2022•上海徐汇•上海中学校考模拟预测）正三棱锥P-A8C的四个顶点同在一个半径为2的球面匕若正

三楂锥的侧棱长为2百，则正三棱锥的底面边长是

三、解答题

9.（2023•上海闵行•上海市七宝中学校考模拟预测）一个圆锥的底面半径为2颂，高为6c勿，在其内部有一个

高为*c/〃的内接圆柱.

（1）求圆锥的侧面积；

（2）当片为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值.

10.（2022•上海闵行•上海市七宝中学校考模拟预测）如图，在四棱锥P-中，底面A8CQ是矩形，PA

垂直于平面ABC。，A4=4,人0=3,夕。=后，点E、M分别在线段A3、PC上，其中E是A4中点,

(1)当4=1时，证明：直线"E平行于平面0A。；

⑵当义=2时，求三棱锥M-3CO的体积.

11.(2022•上海浦东新•统考一模)如图，三棱锥P-A4C中，侧面必砸直于底面4%、，PA=PB,底面4伙堤

斜边为，步的直角三角形，且乙钻C=20。，记妫痴勺中点，明口梏中点.

(1)求证：PCLAEX

(2)若A8=2,直线"与底面力回所成角的大小为60°,求四面体2比的体积.

12.(2022•上海宝山•统考一模)如图，棱长为2的正方体4BCZ)-A8CQ中，机N、粉别是CQ、C。、

（2）求异面直线PR与以所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）

（3）求三棱锥P-MNB的体积.

考点二:点、直线、平面之间的位置关系

一、单选题

1.（2023•上海黄浦•统考一模）如图，四边形/以第是边长为1的正方形，M。_1平面力仇X,平面力四9,且

MD=N8=1,点明的中点.则下列结论中不正确的是（）

C.直线0与4雁异面直线D.直线曲与平面4必无公共点

2.（2023•上海•统考模拟预测）如图，。是正方体ABC。-A4GA边AC；上的动点，下列哪条边与边8P始终

异面（）

D

A.DD】B.ACC.AD}D.BQ

二、填空题

3.（2023-上海・统考模拟预测）在棱长为1的正方体A86-A禺G。中，M为底面相8的中心,

AQ=/IAA，2«0，1），N为线段AQ的中点，则下列命题中正确的序号为________.

①C7V与QM共面；

②三棱锥A-OMN的体积跟丸的取值无关；

③当义=；时，过AQ,“三点的平面裁正方体所得截面的周长为生驾独I；

④时，AMA.QM.

4

三、解答题

4.(2023•上海•统考模拟预测)如图，在正三棱柱A8C-A4G中，44=村。=2,£>,£分别为Cg,的中

点.

(1)证明：ED〃平面ABC；

(2)求宜线CC,与平面A,BD所成角的大小.

5.（2023•上海•统考模拟预测）已知三棱锥P-ABC中，PA_L平面ABC,ABA.AC,PA=AB=3,AC=4t

BC中点，过点，份别作平行于平面外8的直线交AC、PC于点、E,F.

⑴求直线户”与平面A4C所成角的大小；

（2）证明：用£力平面248,并求直线ME到平面218的距离.

6.（2023•上海静安•统考一模）如图所示，在矩形力比见」，AB=4,AD=2,£是面向中点，妫力珊中点,

以//为折痕将V/W注■向上折起，使〃点折到“点，且

（1）求证：PO1面48%

⑵求力片面川”所成角0的正弦值.

7.（2023•上海黄浦•统考一模）如图所示，四棱锥尸-A8CO中，底面ABCO为菱形，旦直线PAJ■平面ABCD

又梭％=A8=2,E为C7）的中点，ZABC=60°.

（I）求证：直线AE_L平面RIB；

（H）求直线AE与平面PC。的正切值.

考点三：空间向量与立体几何

一、单选题

1.（2022•上海•统考模拟预测）妇图，正方体A8CO-48QQ中，J促/。的中点，则（）

A.直线与直线用。相交，直线MBu平面ABC1

B.直线MB与直线RC平行，在线M3_L平面AG。

C.直线MB与直线”异面，直线MZ?_L平面人。。|优

D.直线M3与直线A。垂直，直线平面40。

2.（2022•上海嘉定•校考模拟预测）在正方体ABCD-ABCa中，E、r分别是线段AZ?、上的动点，且

直线E尸与A4所成的角为arcianVJ,则下列直线中与EF所成的角必为arctan5的是（）.

A.CDB.BDC.BC】I）.DC、

二、填空题

3.（2023•上海黄浦•统考一模）已知向量〃=（-〃?,1,3）,2=（2川），若4〃〃，则/〃〃的值为_____.

4.（2023•上海•统考模拟预测）已知空间向量OAO&OC都是单位向量，且OA_LOaOA_LOC,O8与OC的夹

角为60）,若产为空间任意一点,且|OP|=1,满足10Poe国。户08凶OPOAI，则OPOC的最大值为

5.（2023•上海闵行•上海市七宝中学校考模拟预测）已知平面&的一个法向量为，％=（1,2,-2）,平面夕的一个

法向量为%=（-2,-4次），若a〃4，则2的值为__________.

6.（2022•上海长宁-统考一模）若04=（1,-2,0b0/3=（21,0）,0。=（1/,3）,则三楂锥A48由J体积为

三、解答题

7.（2022•上海金山•统考一模）如图，在四棱锥中，己知底面A8C£>,底面ABC。是正方形,

PA=AB.

（1）求证：直线平面PAC；

（2）求直线PC与平面心。所成的角的大小.

8.（2022•上海徐汇•统考一模）如图，在直三棱柱ABC・AMG中，AB=AC=2,M=4,ABJ.AC,

BEJ.AB1交AA于点足妫cc,的中点.

⑵求直线向。与平面八8。所成角的大小.

9.(2022•上海虹口・统考一模)妇图，在三棱柱A8C・入屿中，底面486是以力彷斜边的等腰直角三角形,

侧面AACC为菱形,点A在底面上的投影为力祝中点且4?=2.

(1)求证：BD1CC,；

⑵求点C到侧面AA^B的距离；

(3)在线段A片上是否存在点E,使得直线班与侧面人人田B所成角的正弦值为半？若存在，请求出4E的长；若

不存在，请说明理由.

10.(2022•上海静安•统考二模)在四棱锥尸一月灰刀中，底面是边长为2的菱形，ZW=60°,对角线力片做

相交于点0,〃0_L平面版⑦，期与平面月8功所成的角为60°.

(1)求四棱锥八力应加＜J体积；

(2)若£是分的中点，求异面直线以'与以所成角的大小(结果用反三角函数值表示).

11.(2022•上海青浦・上海市青浦高级中学校考模拟预测)如图，在直三棱柱A4G-ABC中，

A8=8C=2,/A8C=1,点?、。分别为44、8c的中点，与底面A8C所成的角为arctan2.

（1）求异面直线网与QG所成角的大小（结果用反三角函数表示）；

（2）求点C与平面AQG的距离.

【真题训练】

一.选择题（共4小题）

1.（2023・_L海）如图所示，在正方体A5C。-AISICIDI中，点尸为边Ai&uq动点，则下列直线中，始终与直线6P

C.AD\D.B\C

2.（2022•上海）如图正方体A8CQ-中，P、Q、R、S分别为桂A8、BC、BBi、CQ的中点，联结4S,

BiD.空间任意两点V、N,若线段MN上不存在点在线段4S、BiD上,则称两点可视，则下列选项中与点。i可

A.点尸B.点BC.点、RD.点。

3.（2022•上海）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0

点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（）

A.0B.2C.4D.12

4.（2020•上海）在棱长为10的正方体ABC。-AIBICQ中，。为左侧面AQQIAI上一点，已知点P到加Qi的距离为3,

产到A4的距离为2,则过点P且与AC平行的直线交正方体丁尸、Q两点，则。点所在的平面是（）

A.AA\B\BB.BB\C\CC.CC\D\DD.ABCD

二.填空题（共3小题）

5.（2022•上海）已知圆柱的高为4,底面积为9m则圆柱的侧面积为.

6.（2021•上海）已知圆柱的底面半径为1,高为2,则圆柱的侧面积为.

7.（2021•上海）已知圆柱的底面圆半径为1,高为2,八8为上底面圆的一条直径，C是下底面圆周上的一个动点，则

△A8c的面积的取值范围为.

三.解答题（共7小题）

8.（2（）20•上海）已知四棱锥尸-ABCD,底面ABC。为正方形，边长为3,PDL^^ABCD.

（1）若尸C=5,求四棱锥A6C。的体积；

（2）若直线AO与8尸的夹角为60°,求P。的长.

9.（2021•上海）四棱锥底面为正方形A8CQ,边长为4,E1为48中点，PEJ_平面A3CD

（1）若△P4B为等边三角形，求四棱锥P-ABC。的体积；

（2）若C。的中点为F,PF与平面ABCD所成角为45°,求PC与A。所成角的大小.

10.（2020•上海）已知48CQ是边长为1的正方形，正方形48CD绕A8旋转形成一个圆柱.

（1）求该圆柱的表面积；

（2）正方形ABCD绕A6逆时针旋转三至求线段CQ1与平面A3CQ所成的角.

11.（2022•上海）如图所示三棱锥，底面为等边△ABC,。为AC边中点，目.PO_L底面48C,AP=AC=2.

（1）求三棱锥体积VP-/1BC；

（2）若M为3。中点，求PM与面PAC所成角大小.

12.（2023•上海）已知三棱锥尸-八8c中，PAJ_平面ABC,ABVAC,PA=AB=3,AC=4,M为BC中点，过点"分别

作平行于平面P48的直线交AC、PC于点E,F.

（1）求直线PM与平面48。所成角的大小；

（2）求直线ME到平面PA8的距离.

13.（2022•上海）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为。、。】，441为圆柱的母线，底面半径长为1.

3）若A4i=4,M为A4i的中点，求直线MO1与上底面所成角的大小：（结果用反三角函数值表示）

（2）若圆柱过。。|的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积.

14.（2021•上海）如图，在长方体HBCD-A1如CD1中,已知A8=BC=2,AA\=3.

（1）若尸是棱401上的动点，求三棱锥的体积；

（2）求直线A3i与平面ACCIAI的夹角大小.

专题1.9空间向量与立体几何三大考点与真题训练

考点一：空间几何体

一、单选题

1.（2023•上海静安•统考一模）“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.《九章算

术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影

响.书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺.问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，

一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条

件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）平方尺.

A.142,TB.140乃C.138乃D.128乃

【答案】C

【分析】将四棱锥的外接球转化为长方体的外接球，然后求外接球表面积即可.

【详解】

如图所示，这个四棱锥的外接球和长方体的外接球相同，所以外接球的半径为/?=立土工二£=亚朋，外接球

22

的表面积5=44正=138乃.

故选：C.

2.（2022•上海金山•统考一模）已知正四面体ABCO的棱长为6,设集合C={P||AP|W25，点Pc平面

46},则C表示的区域的面积为（）

A.兀B.34C.4TTD.67r

【答案】C

【分析】过点A作AO_L平面BC。于点。，利用正四面体的特点求出BOMO的长，从而得到OP02,即得到其表

示圆及其内部，则得到其表示的区域面积.

【详解】过点A作4O_L平面于点。，

WljBO=-BC-sin-=-x6x^=25/3,

3332

A0=届2_2=J62T2可=24

因为卜日42b，如Jo/>=Jap2-402M,（2近）2—（2"）2=2,

则。表示的区域为以。为圆心，2为半径的圆及其内部，

面积为知，

故选：C.

3.（2022•上海奉贤•统考一模）紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间.紫砂

壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石飘壶、潘壶等.其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台.如图给

出了一个石期I壶的相关数据（单位：cm）,那么该壶的容积约接近于（）

A.10Ocm'B.200cm'C.300cm'D,400cm5

【答案】B

【分析】根据圆台的体积公式计算即可.

【详解】解：设肋圆台下底面圆半径，r为上底面圆半径，高为h，

则R=5,r=3,/:=4,

.・•%台=g汕(2+舟+/)

=-7rx^.(25+15+9)=^^«200(cm3|,

33

故选：B.

二、填空题

4.（2023•上海・统考模拟预测）在棱长为1的正方体ABC。-4圈CQ中，"为底面A3c。的中心,

AQ=/?AA，&（。，1），N为线段AQ的中点，则下列命题中正确的序号为__________.

①CN与QM共面；

②三棱链A-OMN的体积跟2的取值无关;

③当义=!时，过A,Q,M三点的平面截正方体所得截面的周长为士2土马叵；

33

④4」时，AM1QM.

4

【答案】①②③

【分析】根据中位线可得线线平行，进而可判断①，根据等体积法可判断②，利用线线平行确定截面形状为等腰

梯形，即可利用边的长度求解③，根据长度关系即可判断④.

【详解】连接ACQC,在ACQ中，因为M,N为八CAQ的中点，

所以MN//CQ,所以CN与。加共面，所以①正确；

=

因为N到平面人〃C/）的£1［肉为定值;，且S4D1W~51ADC=：，由吸L=Vv/v>w,

一24

所以三棱锥A-的体积跟2的取值无关，所以②正确;

।uuuo1uuum

当a时，取”二：D£,连接"C,则"Q//AG，又所以〃Q//AC,所以共

面，即过AQ,M三点的正方体的截面为ACaQ,

由A0=C"=JW=萼，则ACHQ是等腰梯形，且Q〃=；AG=¥，

所以平面截正方体所得截面的周长为人五+*+2乂61=业产，所以③正确；

取ADAQ的中点分别为N,E,连接EN,EM,则EM?=MN?+EN?=[+1=g,

44

在直角三角形MEQ中，QA/2=£M2+EQ2=（£j+（；）+12=^,

则ZIM'Q/＞八0：所以AM_LQM不成立，所以④不正确.

所以正确的命题序号是①©③.

5.（2023・上海静安•统考一模）有一种空心钢球，质量为140.2g,测得球的外直径等于5.0cm,若球壁厚度均

匀，则它的内直径为__________cm.（钢的密度是7.9g/cm3,结果保留一位小数）.

【答案】4.5

【分析】设空心钢球的内直径为2“表示空心钢球的体积，由条件列方程求「即可.

【详解】设空心钢球的内直径为则空心钢球的体积为外cm',

因为空心钢球的质量为140.2g,钢的密度是7.9g/cm\

所以匡仔［-R］x7.9=140.2,所以/=律|114°-2x3

3\2）3\2）7.9x47：

解得”225,所以2“4.5,

故答案为：4.5.

6.（2023•上海黄浦•统考一模）若一个圆锥的侧面展开图是面积为二不的半圆面，则该圆锥的体积

为.

【答案】卓广

【详解】由面积为:丁的半I员I面，可得圆的半径为2,即I员I锥的母线长为2.圆锥的底面周长为二［所以底面半径

为1.即可得到圆锥的高为6.所以该圆锥的体积为史乃.

3

7.（2022•上海闵行•上海市七宝中学校考模拟预测）己知四面体的棱长为1或2,且该四面体不是正四面体，

则这样的不同四面体的个数为

【答案】3

【分析】分析出1和2可以构成的三角形有哪些，进而可分性出符合条件的四面体的个数.

【详解】四面体的棱长为1或2,但该四面体不是正四面体，可以构成一个底面边长为1的正三角形，侧棱长均为2

的正三棱锥，1和2可以构成的三角形有：边长为1的正三角形，边长为2的正三角形，边长为1,2,2的三角形，

除了上述正三棱锥外，还可以是四个1,2,2的三角形拼成的三棱桂；两个边长为2的正三角形和两个1,2,2的

三角形拼成的三棱锥，

综上，这样的不同四面体的个数为3.

故答案为：3.

8.（2022•上海徐汇・上海中学校考模拟预测）正三棱锥P-A8C的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正

三棱锥的侧棱长为26,则正三棱锥的底面边长是

【答案】3

【分析】先画出该三棱锥图像，然后利用边角关系求解即可.

【详解】画出正三棱锥的图形如图，

p

三角形ABC的中心为E,连接PE,球的球心。在尸石上，连接OA，

取E4的中点尸，连接贝I」产。=2=Q4,PF=£,5=1,

一PFO^_PEA,所以==，七=-j=,AE=有，

AEPAAE26

底面三角形的高为延，底面三角形的边长为明或=巫,"=3.

222

故答案为：3

三、解答题

9.（2023•上海闵行•上海市七宝中学校考模拟预测）一个圆锥的底面半径为2c创高为6c/〃，在其内部有一个

高为xcm的内接圆柱.

（1）求圆锥的侧面积；

（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值.

【答案】（1）4V10^（cm?）（2）K=3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6不5?

【解析】（1）先计算母线长为2M（cm）,再计算侧面积得到答案.

⑵设圆柱的底面半径为r切，计算得到52=4[。-3）2—9],根据二次函数知识得到最值.

【详解】（1）圆锥的母线长为V?百=2jI5（cm），

・•・圆锥的侧面积，=乃x2x2布=4加乃（cm?）.

（2）该几何体的轴截面如图所示.

设圆柱的底面半径为TM，由题意，知；=唱，=浮.

2o3

・・・圆柱的侧面积s?=2m=与（*+6*=-y[（x-3）2-9],

，当x=3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为命5?.

【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，圆柱体积的最大值，意在考查学生的计算能力.

10.（2022•上海闵行•上海市七宝中学校考模拟预测）如图，在四棱锥P-A4C。中，底面ABC。是矩形，PA

垂直于平面A8cO,A8=4,AD=3t。（7=后，点£、M分别在线段48、PC上，其中E是48中点，

PM

=2,连接ME.

MC

（1）当4=1时，证明：直线ME平行于平面必。；

（2）当2=2时，求三楂锥例-AU力的体积.

【答案】（1）证明见解析

⑵2

【分析】（1）取夕。中点心联结MN、AN,证明四边形4EMN为平行四边形，然后得到ME//AN即可;

（2）首先求出幺的长度，然后可得点M到平面ABC。的距离，然后可求出答案.

【详解】（1）

取尸。中点N,联结MN、AN,

因为MN是jPCD的中位线,

故MNHCD,旦MN=>CD,

2

又AEHCD,且

故四边形AEMN为平行四边形，

所以ME"AN,乂ME不在平面抬。内，4V在平面外。内,

所以ME平行于平面PAD；

(2)因为A3=4,AD=3,PC=x/34,Q4垂直于平面AACO,4Cu平面44CQ,

所以R4_LAC,PA=V34-9-16=3,

因为三PM7;=2,所以点用到平面A8CD的距离为1,

MC

所以九一即=：x；x4x3xl=2.

11.（2022•上海浦东新,统考一模）如图，三棱锥P-ABC中，恻面砌睡宜于底面/以7,PA=PB,底面/I比是

斜边为.仍的直角三角形，RZABC=30°,记妫月郁J中点，阴阳I勺中点.

B

（1）求证：PC1AE；

（2）若A6=2,直线心底面/I/所成角的人小为60。，求四面体上QC的体积.

【答案】（D证明见解析

【分析】（1）由面面垂直性质定理证明P0/底面ABC,由此证明8_L4E,再证明AE_LOC,由线面垂直判定

定理证明AE_L平面POC,最后证明PC_LAE；（2）结合线面角的定义可得/PCO=60,结合锥体体积公式求四面

体外M勺体枳.

【详解】（1）连接P。，因为尸A=PB,所以尸0_L48,

侧面垂直于底面ABC,POu平面%B,平面小3c平面A8C=A8,

所以P。工底面ABC,AEu底面ABC,所以POJ_AE,

那3C是斜边为A8的直角三角形，且ZA8C=30,所以AC=；A8,

又因为妫力删中点，所以。。二加日月氏所以4^为等边三角形，

又跳优的中点，所以4E_LOC,

因为尸O_LAE,AE1OC,POOC=OfPO、OCuPOC,

所以4£1平面POC,又PCu平面尸OC,

所以PC_LAE；

p

（2）rh（1）知PO工底面所以直线尸。与底面/i比所成角为NPCO,因为直线左与底面/比所成角的大小为

60,zPCO=60,

因为AB=2,所以。C=1,在RtZXPOC中,PO=tan60°=^3,

SAOC=；1x1xsin60°=今,所以VPA0C=；x*丫G=:.

12.（2022•上海宝山•统考一模）如图，棱长为2的正方体人8。。-4弟；。中，，从M夕分别是CQ、C.C,

AA的中点.

（2）求异面直线与他V所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）

（3）求三棱锥P-MA火的体积.

【答案】（1）证明见详解;

⑵…㈣

10

⑶5,

【分析】（1）由己知可证明A4/CA和MN/M3，即可证明MN/伙2,进而得出结果；

（2）MN//CD,,所以NPQC即等于异面直线尸2与拗所成角，在VPRC中，求出各边长，用余弦定理即可求出;

（3）根据已知可得，四边形为梯形，SvMNB=；SvMA5,则％W根据等体积法可知

Vp-M%B=Vw-P^S，求出匕》-,“4日»即可解出.

【详解】（1）证明:

图1

如图1,连结MN、A出、CD,.

由己知可得，\DJIBC,AR=BC,所以四边形4SCA为平行四边形，则A8//CR.

又极粉别是G。、CC的中点，所以MN//CR,且MN=gg,

所以跳“、A、硒点共面

如图2,连结。尸、CP.

因为。平面ADDM，OPu平面4）。同，所以CDtDP.

因为，。是'A的中点，所以PA=PA=1.

又所以尸+A尸=」.同理6=人.

在RtPDC中，PC=\lD产+CD?=3.又DC=个DD；+DC?=2近,

在VPCA中，有PC=3,RC=2丘,PD、=也,

乂MN"CD\,所以异面直线PA与MN所成角的大小即等于直线与C。所成角的大小，即等于

arccos

如图3,MP.MB'PN,M%,NB,

因为且MN=；AB,且J/、"、％、硒点共面，

所以四边形MN4/为梯形，设梯形高为〃，则SVM,V8=；XMM〃，S,，z=；xAB,h,

所以SvHNB=gxMN・h=；x；AB・h，SvM，w

zzz乙

设P到平面MNB即到平面MNA、B的距离为〃,

=

则Vp-A/AB=~XSV"NB'd,Vp=7XSVAFAB'd'则=~X~X\'AMB'~~P-M'B'且^P-MA,8匕-PfAB.

JAMfiJ。乙L

因为匕仅//平面4844，。蜴_1平面4%4，MuCQ1,

所以M到平面ABB.的距离等于线段CQ到平面ABB.A.的距离（:禹=2.

=x

又S"A石AB=—x\x2=\,所以Vw-"7^\1P\BX2=-X1X2=—,

44。J，

所以，Vp_MNB=g%-WA8=gx[=g

考点一:点、直线、平面之间的位置关系

一、单选题

1.（2023•上海黄浦•统考一模）妇图，四边形/I成隰边长为1的正方形，加。_1平面/出C。，附工平面月仇”且

MO=NA=1,点G为求的中点.则下列结论中不正确的是（)

A.MCYANB.平面QCM//平面力£¥

C.直线G8与阳促异面直线D.直线谢平面4股无公共点

【答案】D

【分析】根据给定条件，证明AN//DG判断A；利用线面、面面平行的判定推理判断B；取〃W中点，证得四边形

A8Go是梯形判断CD作答.

【详解】因为M/7_L平面力比〃N8工平面力质力，则MD//NB,

取八员CRAN的中点EE,〃，连接EF,EG,FH,GH,如图，点以.礼的中点，

足——f------

则EGNMD//NBI/FH,EG=^MD=^NB=FH,于是四边形E"7G是平行四边形，

GHHEF,GH=EF,在正方形A8CD中，EF//AD,EF=AD,则GH//ADG”=AO,

因此四边形八DGA为平行四边形，AN//DG,而MD=CZ）=1,点明的中点，

有。G1MC,所以MCJ.4V,A正确；

因为MD3NB,M/）u平面£07,八归0平面DCM,则NB//平面力CM,

又ABNCD,COu平面DCM,人80平面DCM,则AB//平面DCM,

而NBAB=B,NB、A8u平面ABN，所以平面DCM〃平面/切V,B正确；

取如冲点、0,连接GO,AO,则有GO"CD//AB,GO=；CD=；AB,即四边形A8GO为梯形，

因此直浅4。8G必相交，而人Ou平面加0,于是直线融与平面/血陌公共点，D错误；

显然点Aw平面人8GO,点平面八8GO,直线8Gu平面八BGO.点八后直线8G,所以直线而与4促异面直

线，C正确.

故选：D

【点睛】结论点睛：经过平面内一点和外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线.

2.（2023•上海・统考模拟预测）如图，。是正方体A8CQ-A4cA边AG上的动点，下列哪条边与边斯始终

异面（）

A.DD、B.ACC.ARD.4c

【答案】B

【分析】根据异面直线的知识确定正确答案.

【详解】P在边AG上运动，则8PU平面ABG,

当P运动到AG的中点耳时，成与QR相交，A选项错误.

AC〃AG,A,CG，A四点共面，

KPc平面ACGA=P，PEAC，所以BP与AC是异面直线，B选项正确.

当?运动到点C时，8P//AQ.B0与80相交，所以CD选项错误.

故选：B

二、填空题

3.(2023•上海・统考模拟预测)在棱长为1的正方体ABCO-A耳GR中，M为底面"C。的中心,

AQ=/12A，2G(OJ),N为线段A。的中点，则下列命题中正确的序号为

①CN与QM共面；

②三棱锥A-OMN的体积跟2的取值无关；

③当4=g时，过AQ,“三点的平面截正方体所得截面的周长为生生土名叵；

④％="!■时，AMJ.QM.

4

【答案】①②③

【分析】根据中位线可得线线平行，进而可判断①，根据等体积法可判断②，利用线线平行确定截面形状为等腰

梯形，即可利用边的长度求解③，根据长度关系即可判断④.

【详解】连接ACQC,在,AC0中，因为M,N为AC,AQ的中点，

所以MN//CQ,所以CN与。例共面，所以①正确；

==

因为N到平|HjA8C7）的距肉为定值■，且S~S=1，由KtDMS-VvAMf»

~AOK12ADC4

所以三棱锥A-DMN的体积跟力的取值无关，所以②正确；

Iiiuim1iiuira

当a时，取。”=鼻。£,连接HC,则"Q/M.G，又AC//G，所以HQ//AC,所以AM,。共

JD

面，即过AQ.M=点的正方体的截面为AC77Q,

由AQ=c”=JiT|=孚，贝IJACHQ是等腰梯形，且=#,

所以平面截正方体所得截面的周长为/=拒+#+2*，7|=逑苧叵，所以③正确；

当a时，AQ=j，可得M/2=!，AQ2=AA2+AQ2=]+2=11

4421616

取AQ，AR的中点分别为N,E,连接EN,EM,则EM2=MN2+£N2=，+I=?,

44

2

在直角三角形MEQ中，QM2=EM2+EQ2=（］+（；）+i=^,

则AM2+QM?>AQ。所以AM_LQM不成立，所以④不正确.

所以正确的命题序号是①@③.

故答案为：①②®.

三、解答题

4.（2023•上海•统考模拟预测）如图，在正三棱柱ABC-ABC中，从4=从。=2,分别为的中

（1）证明：ED〃平面ABC；

(2)求直线cc,与平面\BD所成角的大小.

【答案】(1)证明见解析

呜

【分析】(1)取A8中点广，连接CRb,证明OE//B,根据线面平行的判定定理即可证明QE〃平面ABC.

(2)分别取4cAG中点。,Q，连接。。一。8,以。为原点，。8,。。,。。所在的直线分别为1轴，丁轴，z轴建

立空间直角坐标系，利用空间向量的方法计算即可求出结果.

【详解】(1)证明：

取中点尸，连接CREF,

因为正三棱柱ABC-A妫G，

所以CCJ/AA，且CG=A4)=2,

因为E为线段A声的中点，

所以口〃/切且“'=3".

所以EF〃CC\且EF=l,

因为。为CG中点，所以8=1.

所以EF//CD且EF=CD.

所以四边形CDEF是平行四边形.

所以DE//CF.

又因为OE(Z平面ABC,CFu平面ABC,

所以DE〃平面ABC.

(2)解：

分别取4cAe中点aq,连接

因为A8C-A8c是正三棱柱，

所以。。"44，AA，平面ABC,08LAC.

所以O，_L平面A8C.

所以OOJOB,OO,1OC.

以。为原点，。田。仁。。所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.

则4（0,-l,0），A（0T2）,C（0』,0），G（0J2）,8（G0,0）,O（0』,l）.

所以AB=（后,1,-2）,00=（0,0,2）,80=卜后,1.1）.

设平面A/。的法向量为〃=a，y,z）,

ABn=0"t+y-2z=0

所以即

BDn=0-\[3x+y+z=0

令y=l，解得X=6,Z=2,所以〃=(75,1,2).

设直线eq与平面4乃。所成角为凡owevg,

।.|cC,»n|173x0+1x0+2x2五

则偌加3,小曷二^7k=》

所以吟.

即直线8与平面所成角为:

5.（2023•上海•统考模拟预测）已知三棱锥P-A8C1中，PA_L平面ABC,AB_LAC,PA=A3=3,AC=4,为

8c中点，过点，盼别作平行于平面”4的直线交AC、PC于点E，F.

p

（1）求直线PM与平面ABC所成角的大小；

（2）证明：ME//平面相乩并求直线ME到平面%B的距离.

【答案】（1）arcsin

61

⑵2

【分析】（1）因为P4_L平面A8C,AB1AC,建立空间直角坐标系，分别求出直线PM的方向向量与平面

A8C的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案；

（2）由面面平行的性质定理可证得ME〃平面乃3,再证明AC_L平面附8,即可求出答案.

【详解】（1）囚为尸平面A6C,AB±AC,建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（0,0,0）,8（3,0,0）,C（0,4,0）,尸（0,0,3）,加（。,2,0）,£（0,2,0）,

所以「田=仔,2,一3）,设〃=（0,0,l）_L平面48C,

设直线PM与平面A8C所成角为e,

直线PM与平面融所成角的大小为a9粤

（2）因为平面R43//平面EFM,平面心Be平面PAC=%,

平面“Ml〕平面R1C=£E,所以小〃防，

同理EM//A5,,妫4C中点，

所以分别为ACPC的中点，

因为EM//A8,EM(Z平面0AB,ABu平面以8,

所以ME//平面Q4B,

因为PAJ_平面ABC,ACu平面A8C,所以21_LAC,

ABJ.AC,A4cPA=A,A反尸Au平面E4B,

所以AC_L平面RIB,又因为ME//平面E4B,

直线ME到平面E48的距离为|A国=2.

6.(2023•上海静安•统考一模)如图所示，在矩形被力中，A3=4,AD=2,£'是。汨勺中点，。为力£的中点,

以力明折痕将VADE向上折起，使〃点折到2点，且PC=尸3.

(1)求证：PO,亚ABCE；

(2)求力C与面目8所成角0的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)叵.

15

【分析】(1)取8C的中点/，连OF,PF,证明"JL8C,BCLPF,得到BC_£面尸。尸，从而证明

BCA.PO,然后可得PO人面ABCE：

(2)作OG//BC交A3于G，则OG_LO产，然后以点。为原点建立空间百•角坐标系，然后利用向量求解即可.

【详解】(1)

由题意，可得P4=PE,OA=OE,贝JPO_L4£,

取8曲中点八连明尸产，可得Ob〃A3,所以OF_L8C,

因为P8=PC,BCIPF,且打'OF=F,所以工平面PO广，

又因为POu平面PO/，所以8c_LPO.

又由a'与力限相交直线，所以尸O1平面ABCE.

(2)

作OG//8C交4B于G,则OG_LOF

如图建立空间直角坐标系，

则A(l,-L0),8(1,3,0),C(T,3,0),P(0,Ox/I),A《=(-2,4,0),AP=(TJ近),AB=(0,4,0),

设平面尸A8的法向量为〃=«xz),则卜I：=："*：+&z=。，所以可取〃=(a,0/),

〃・AB=4y=0

2夜二屈

所以AC与面048所成角。的正弦值sin0=cos（〃,4C）

2x/5-x/3-151

7.（2023•上海黄浦♦统考一模）如图所示，四楂锥P-A8c。中，底面A8CD为菱形，且直线用1•平面ABCD

又棱H=A3=2,E为。。的中点，入48c=60。.

（I）求证：直线AE_L平面以B：

（II）求直线AE与平面PC。的正切值.

【答案】（1）见解析（2）至

3

【分析】试卷分析：（1）由线面垂直的判定定理证明，EALAB,EAA,PA,得胡，平面为8；（2）//四直线AE

与平面也断成角，所以tanZAEP=g=3=挛.

AE63

试卷解析：

解：（1）证明：・・・/月修/力给60°,旌1,柩2,

，△心"是以/秘〃为直角的汽△,

又'・""〃"，：,EAA,AB,

又〃J_平面力筋，：.EALPA,

・•・加i_L平面均4；

（2）如图所示,连结PE,过A点作AH_LPE于H点.

'：CDLEA,CDLPA,

・・・W_L平面为£

又lAHu平面PAE,・・・/H_LC〃

乂AHIPE,PECCD;E,PEuF、面PCD,CDu'F面PCD,

平面比"

・•・/力力为直线AE与平面夕⑶所成角.

在Rt△用肝，・・・川=2,AE=6,

PA22y/3

tanZ4EP=

TT国二亍

考点三：空间向量与立体几何

一、单选题

1.（2022•上海•统考模拟预测）如图，正方体ABCO-ABCQ中，JZ是A。的中点，则（）

A.百线MB与直线与。相交，百线/WBu平面A8G

B.直线MB与直线0c平行，宜线M3_L平面AC。

C.直线A®与直线〃异面，直线MZ?J_平面A/K"由

D.直线M8与直线A。垂直，直线M6〃平面

【答案】D

【分析】根据题意可知，以〃点为坐标原点，建立空间直角坐标系，用空间向量来研究直线和平面、直线和直线

的位置关系较为简单，用向量的共线定理证明两直线是否平行或异面，根据直线的方向向量与平面的法向量垂直

或平行，得出直.线与平面是否平行或垂宜，再对选项进行逐一分析判断即可得出结论.

【详解】解：因为人BCQ-AAG。是正方体，不妨设棱长为2,以妫坐标原点，建立如图所示空间直角坐标

则0(000),D.(0,0,2),4(2,0,0),A(2,0,2),B(2,2,0),(2,2,2),C(0,2,0),C,(0,2,2),

又,妫4。的中点，故可得M4=(l,2,-1),陋=(-2,0,-2),

设平面的法向量为〃=(x,y,z),

n-AD=0f2x=0.

则，即.3八，不妨取y=-1,故可得〃=(O,Tl).

/?DC,=0[2y+2z=0

设平面BQC的法向量为m=(x,)，,z)

m-B.D.=0[-2x-2y=0、

则，即'c'，，不妨取y=i，故可得利=zTLI.

|mD,C=0[2y-2z=0

对A：因为BD〃旦。，BDBM=B,故BM,BQ不相交，故错误；

对B：M3=(l,2,—1),D,C=(0,2,-2),不存在非零实数4,使得"8二2〃。，

故MB,不平行，故错误；

对C：A/Z?=(l,2,-1),平面AQC出的法向量为〃=(0,-1/)，

不存在非零实数4,使得MB=4〃，故.物与平面4。。心不垂直，故错误；

对D：=人。=(-2,0,-2),则加84。=-2+2=0,故直线物与垂直；

又MB“〃=T+2-l=0,故跖与平面8QC平行，故正确；

故选：I).

2.(2022•上海嘉定•校