河北省邯郸市大名县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷含答案及解析

高二月考试题一、单选题1.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（）A. B.C. D.2.若圆C：的半径为1，则实数（）A. B. C. D.3.圆关于直线对称的圆的标准方程是（）A. B.C. D.4.已知，，则点B到直线AC的距离为（）A. B. C.2 D.35.已知曲线，则的最大值，最小值分别为（）A＋2，－2 B.＋2，C.，－2 D.，6.过点引圆：切线，切点为A，则PA的最小值为（）A.4 B.5 C.6 D.77.如图所示，在平行六面体中，，，，，，则的长为（）A. B. C. D.8.已知棱长为2的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、多选题9.下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有（）A.平面直角坐标系中任意一条直线都有倾斜角B.平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率C.若，则D.若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为10.若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，11.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面，，，，则下列结论正确的有（）A.四面体鳖臑B.阳马的体积为C.若，则D.到平面的距离为三、填空题12.若是直线的一个法向量，则直线的斜率为__________，倾斜角的大小为______．13.已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为______.14.已知，若点在线段AB上，则的取值范围是_______.四、解答题15.如图，在四棱锥中，底面为正方形、平面分别为棱的中点（1）证明：平面;（2）若，求直线与平面所成角的正弦值16.已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直.（1）求直线的方程；（2）若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程.17.如图，在正四棱柱中，，点分别在棱上，．（1）判断与平面的位置关系并证明；（2）求平面与平面夹角余弦值．18.已知点和直线.点B是点A关于直线l的对称点.（1）求点B的坐标；（2）O为坐标原点，且点P满足.若点P的轨迹与直线有公共点，求m的取值范围.19.空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系．如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴，轴，轴）正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作．（1）若，求的斜坐标；（2）在平行六面体中，，建立“空间斜坐标系”如下图所示．①若，求向量的斜坐标；②若，且，求．

高二月考试题一、单选题1.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征，点关于轴的对称点的坐标为只须将纵坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标.【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为：，所以点关于轴的对称点的坐标为：.故选：B.2.若圆C：的半径为1，则实数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将圆的一般方程转化为圆的标准方程即可求解.【详解】由，得，所以圆C的圆心为，半径为，因为圆C：的半径为1，所以，解得，故实数.故选：D.3.圆关于直线对称的圆的标准方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据圆的标准方程得到圆的圆心和半径，求出圆心关于直线的对称点，进而写出圆的标准方程.【详解】因为圆的圆心为，半径为，且关于直线对称的点为，所以所求圆的圆心为、半径为，即所求圆的标准方程为.故选：D.4.已知，，则点B到直线AC的距离为（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】由坐标运算求出，，，进而求出，再求得在方向上的投影，然后即可求出点B到直线AC的距离.【详解】因，，所以，，，，所以在方向上的投影为，，所以点B到直线AC的距离为.故选：C.5.已知曲线，则的最大值，最小值分别为（）A.＋2，－2 B.＋2，C.，－2 D.，【答案】C【解析】【分析】由题意可得曲线表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，表示半圆上的动点与点的距离，作出图象，结合图象求解即可．【详解】由，可知，，且有，表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，如图所示：又因为表示半圆上的动点与点的距离，又因为，所以的最小值为，当动点与图中点重合时，取最大值，故选：C．6.过点引圆：的切线，切点为A，则PA的最小值为（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】A【解析】【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，由圆切线的性质及两点距离公式可得，即可求PA的最小值.【详解】由题设，的标准方程为，故圆心为，半径为3，∴由切线的性质知：，∴当时，.故选：A7.如图所示，在平行六面体中，，，，，，则的长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量线性运算，利用向量表示，再根据向量的模的性质，数量积的运算律求，由此可得结论.【详解】因为，所以，所以，又，，，，，所以所以.故选：C.8.已知棱长为2的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出点，可知，所以表示点与点之间距离的平方，分析求解即可.【详解】以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设点，所以，，所以，因为表示点与点之间距离的平方，所以当点的坐标为时，取得最大值为，当与点重合时，取得最小值，所以的取值范围为：.故选：A.二、多选题9.下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有（）A.平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角B.平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率C.若，则D.若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为【答案】AD【解析】【分析】根据直线倾斜角、斜率的概念可判断ABD选项的正误，根据两直线平行与倾斜角的关系可判断C选项的正误.【详解】对于A选项，平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，A对；对于B选项，平面直角坐标系中倾斜角为的直线没有斜率，B错；对于C选项，当、都与轴垂直时，、的斜率都不存在，但，C错；对于D选项，若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，D对.故选：AD.10.若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】ABD【解析】【分析】根据空间向量基底的概念可得解.【详解】由已知，，不共面，则，，不共面，A选项正确；设，即方程无解，所以，，不共面，B选项正确；设，即，解得：，即，所以，，共面，C选项错误；设，显然三个向量不共面，D选项正确；故选：ABD.11.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面，，，，则下列结论正确的有（）A.四面体是鳖臑B.阳马的体积为C.若，则D.到平面的距离为【答案】BCD【解析】【分析】由△不是直角三角形否定选项A；求得阳马的体积判断选项B；以为基底表示向量进而判断选项C；求得到平面的距离判断选项D.【详解】A错，连接AC，则△中，，则△不是直角三角形，则四面体不是鳖臑；B对，.C对，D对，设到平面的距离为d，又，由，得，则到平面的距离为故选：BCD三、填空题12.若是直线的一个法向量，则直线的斜率为__________，倾斜角的大小为______．【答案】①.②.【解析】【分析】由直线的法向量得到直线斜率，进而得到倾斜角.【详解】由题意知，向量是直线的一个法向量，可得斜率为，设直线的倾斜角为，可得，可得则直线的倾斜角的大小为.故答案为：；.13.已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为______.【答案】【解析】【分析】由二级结论：若点在圆外，过点引圆的两条切线，切点为，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程为：（圆的方程为），代入即可的直线的方程【详解】由题意，切点弦所在直线的方程为：，化简得：.故答案为：.14.已知，若点在线段AB上，则的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】设，利用斜率计算公式可得：，．再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．【详解】设，则，，点是线段上的任意一点，的取值范围是,，故答案为：,四、解答题15.如图，在四棱锥中，底面为正方形、平面分别为棱的中点（1）证明：平面;（2）若，求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由题意易知，根据线面平行的判定定理证明即可；（2）由题意，两两垂直，所以建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，再通过空间角的向量求解即可.【小问1详解】分别为的中点，为正方形，,平面平面，平面.【小问2详解】由题知平面建立如图所示的空间直角坐标系，，则，，，，设平面的一个法向量为n=则，令则，设直线与平面所成的角为，，所以直线与平面所成角的正弦值为.16.已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直.（1）求直线的方程；（2）若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意求出两直线的交点，再求出所求直线的斜率，用点斜式写出直线的方程；（2）根据题意求出圆的半径，由圆心写出圆的标准方程．【小问1详解】由已知得解得，∴两直线交点为.设直线的斜率为，∵直线与垂直，∴，∵直线过点，∴直线的方程为，即.【小问2详解】设圆半径为，依题意，得圆心到直线的距离为，则由垂径定理得，∴，∴圆的标准方程为.17.如图，在正四棱柱中，，点分别在棱上，．（1）判断与平面的位置关系并证明；（2）求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）平面，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）平面，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，计算可得，可证结论；（2）求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用向量的夹角公式可求得平面与平面夹角的余弦值．【小问1详解】平面．理由如下：以所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，由，，所以，所以是共面向量．因为平面，平面，故平面．【小问2详解】设平面的一个法向量为，则，不妨令，得，则平面的一个法向量为．又平面的一个法向量为，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为．18.已知点和直线.点B是点A关于直线l的对称点.（1）求点B的坐标；（2）O为坐标原点，且点P满足.若点P的轨迹与直线有公共点，求m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）点B与点A关于直线对称，则直线直线，且线段AB的中点在直线上，两个方程联立可求出点的坐标；（2）利用关系式可以得出点轨迹方程，根据点的轨迹与直线有公共点，知圆心到直线的距离小于等于半径，解不等式即可.【小问1详解】设，，因为点B与点A关于直线的对称，则有线段AB的中点在直线上，即①，又直线直线，且直线的斜率为，则①，联立①①式子解得，故点B的坐标【小问2详解】设，由，则，故，化简得，所以点的轨迹是圆，其方程为，圆心坐标，半径.又因为直线与圆有公共点，利用圆心到直线距离小于等于半径，则，解得.故的取值范围为.19.空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系．如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴，轴，轴）正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，