激光原理第四章

第四章激光器的工作特性

在速率方程及据此导出的激光工作物质增益饱和的基础上讨论激光器的振荡条件、激光形成过程、模竞争效应、激光输出功率或能量、弛豫振荡效应等基本特性。激光线宽及频率牵引也是激光器的重要特性，对它们的严格理论分析必须运用量子理论及半经典理论。本章仅作简单介绍，而不涉及严格的理论分析。

表示能级E3向E2能级无辐射跃迁的量子效率表示能级E2向基态跃迁的荧光效率结论：当t＝t0时,n2(t)达到最大值,当t>t0时,因自发辐射而指数衰减。

在整个激励持续期间n2(t)处在不断增长的非稳定状态

脉冲激光器中，脉冲泵浦持续时间短，尚未达到新的平衡之前，过程就结束了，所以在整个脉冲工作过程中，各能级的粒子数及腔内光子数均处于剧烈变化中，系统处于非稳态。连续激光器中各能级粒子数及腔内辐射处于稳定状态。非稳态系统打破原有热平衡状态到达新的稳态过程的阶段。若泵浦脉冲长脉冲，脉冲激光器也达到稳定状态。长脉冲激光器也可看成连续激光器。脉冲激光器和连续激光器既有差别又有联系。激励脉冲波形及高能级集居数随时间的变化情况4．1激光器的振荡阈值

一、阈值反转集居数密度

如果谐振腔内工作物质的某对能级处于集居数反转状态，则频率处在它的谱线宽度内的微弱光信号会因增益而不断增强。另一方面，谐振腔中存在的各种损耗，又使光信号不断衰减。能否产生振荡，取决于增益与损耗的大小。下面由速率方程出发推导激光器自激振荡的阈值条件

对光子数密度速率方程作修正。设谐振腔中光束体积为VR，工作物质中的光束体积为Va。谐振腔中折射率均匀分布，则谐振腔中第l个模式的光子数的变化速率应表示为

假设光束直径沿腔长均匀分布，则上式可化简为

腔内辐射场由起始的微弱的自发辐射场增长为足够强的受激辐射场。

不同模式具有不同的散射截面，阈值不同。频率为v0的模式阈值最低

二、阈值增益系数

不同纵横具有相同的

，因而具有相同的阈值gt。不同的横模具有不同的衍射损耗，因而有不同的阈值，高次横模的阈值比基模大。

三、连续或长脉冲激光器的阈值泵浦功率

1．四能级激光器：

四能级系统中，激光下能级E1是激发态，其无辐射跃迁几率S10很大，因而

E2能级集居数密度的阈值为

当E2能级上集居数密度n2稳定于n2t时，单位时间内在单位体积中有n2t／

2

s个粒子自E2能级跃迁到E1能级。为使n2稳定于n2t，单位时间内在单位体积中必须有n2t／

2

s个粒子自E3能级跃迁到E2能级。因此在单位时间内单位体积中必须有n2t／

2

s个粒子自E0能级跃迂到E3能级。激光器的阈值泵浦功率以Ppt表示:

2.三能级激光器

在典型三能级系统红宝石中

四、短脉冲激光器的阈值泵浦能量

若光泵激励时间很短，不考虑E2能级的自发辐射和无辐射跃迁的影响。要使E2能级增加一个粒子，只须吸收1／

1个泵浦光子。因此，当单位体积中吸收的泵浦光子数大于n2t／

1时，就能产生激光。由此可见，四能级系统须吸收的光泵能量的阈值为

三能级系统须吸收的光泵能量的阈值为

对于脉冲宽度t0可与

相比拟的情况，泵浦能量的阈值不能用一个简单的解析式表示。但可以用数字计算的办法求出EPt的值。实验说明，当固体激光器的氖灯储能电容越大因而光泵脉冲持续时间t0增长时，光泵的阈值能量也增大。这是由于t0越长自发辐射的损耗越严重所致。图激光器起振模谱的形成（a)增益曲线(b)谐振腔模谱（c)激光器的起振模谱

(l)三能级系统所需的阈值能量比四能级大得多。连续工作时所需阈值功率太大，三能级系统的红宝石激光器一般只能以脉冲方式工作。

(2)三能级系统激光器中光腔损耗的大小对光泵阈值能量（功率)的影响不大。而在四能级系统中，阈值能量(功率)正比于光腔的损耗。但当损耗很大时，同样会影响三能级激光器的阈值能量(功率)。

(3)四能级的阈值能量(功率)反比于发射截面，发射截面又反比于荧光谱线宽度

F，所以阈值能量(功率)正比于

F。如：Nd：YAG的

F即比Nd玻璃小得多，其量子效率又比Nd玻璃高得多，所以Nd：YAG激光器的阈值能量(功率)较Nd玻璃激光器低得多，可以连续工作，而Nd玻璃激光器一般只能脉冲工作。

4.2激光器的振荡模式

一、均匀加宽激光器中的模竞争

1．增益曲线均匀饱和引起的自选模作用

结论：在均匀加宽激光器中，几个满足阈值条件的纵模在振荡过程中互相竞争，结果总是靠近中心额率v0的一个纵模得胜，形成稳定振荡，其他纵模都被抑制而熄灭。一般情况下，均匀加宽稳态激光器的输出应是单纵模的，单纵横的频率总是在谱线中心频率附近。

2．空间烧孔引起多横振荡均匀加宽稳态激光器应为单纵模输出。但实际上，当激发较强时，往往出现多纵模振荡。激发越强，振荡模式越多。

当频率为vq的纵模形成稳定振荡时，腔内形成一个驻波场，波腹处光强最大，波节处光强最小。实际上轴向各点的反转集居数密度和增益系数是不相同的，波腹处增益系数(反转集居效密度)最小，波节处增益系数(反转集居数密度)最大。这一现象称作增益的空间烧孔效应。

如果激活粒子的空间转移很迅速，空间烧孔便无法形成。以均勾加宽为主的高气压气体激光器可获得单纵横振荡。在固体工作物质中，激活粒子被束缚在晶格上，借助粒子和晶品格的能量交换完成激发态的空间转移，激发态在空间转移半个波长所需的时间远远大于激光形成所需的时间，所以空间烧孔不能消除。

如不采取特殊措施，以均匀加宽为主的固体激光器一般为多纵模振荡。在含光陷离器的环形行波腔内，光强沿轴向均匀分布，因而消除了空间烧孔，可以得到单纵模振荡

激光器中，除了存在轴向空间烧孔外，由于横截面上光场分布的不均匀性，还存在着横向的空间烧孔。由于横向空间烧孔的尺度较大，激活粒子的空间转移过程不能消除横向空间烧孔。不同横模的光场分布不同，它们分别使用不同空间的激活粒子，因此当激励足够强时，可能形成多横模振荡。

二、非均匀加宽激光器的多纵模振荡

在非均匀加宽激光器中，假设有多个纵模满足振荡条件，由于某一纵模光强的增加，并不会使整个增益曲线均匀下降，而只是在增益曲线上造成对称的两个烧孔，所以只要纵模间隔足够大，各纵模基本上互不相关，所有小信号增益系数大于gt的纵模都能稳定振荡。在非均匀加宽激光器中，一般都是多纵模振荡。当外界激发增强时。小信号增益系数增加，满足振荡条件的纵模个数增多因g而激光器的振荡模式数目增加。图非均匀加宽激光器的增益曲线和振荡模谱

在非均匀加宽激光器中也存在模竞争现象。当两模形成的两个烧孔重合．也就是说，它们共用同一种表观中心频率的激活粒子，因而产生模竞争，此时模的输出功率会有无规起伏。此外，当相邻纵模所形成的烧孔重叠时，相邻纵模因共用一部分激活粒子而产生相互竞争。4.3输出功率与能量一、连续或长脉冲激光器的输出功率

如果一个激光器的小信号增益系数恰好等于阈值，激光输出是非常微弱的。实际的激光器总是工作在阈值水平以上，腔内光强不断增加。那么，光强是否会无限增加呢?实验表明．在一定的激发速率下，即当g0(v)一定时，激光器的输出功率保持恒定，当外界激发作用增强时，输出功率随之上升，但在一个新的水平上保持恒定。

如果腔内某一振荡模式的频率为vq．开始时，腔内光强逐渐增加。同时，由于饱和效应，增益系数将随之减少，直到增益和损耗达到平衡，光强才不再增加。这时，激光器建立了稳定工作状态

当外界激发作用增强时，小信号增益系数g0(v)增大，必须增加光强到一个更大的值才能建立起稳定工作状态，因此激光器的输出功率增加。但是不管激发强或弱，稳态工作时激光器的大信号增益系数总是等于gt。可以确定稳态工作时的腔内光强。

1．均匀加宽单模激光器

驻波型激光器中，腔内存在着沿腔轴方向传播的光I＋和反方向传播的光I－。若谐振腔由一面全反射镜和一面透射率为T的输出反射镜组成

图驻波型激光器腔内光强示意图

如果T<<1，则稳定工作时增益系数也很小，这时可近似认为I+＝I－，腔内平均光强激光束的有效截面面积为A，则激光器的输出功率为a为往返指数净损耗因子，通常a<<1

式中PP及Ppt分别为工作物质吸收的泵浦功率及阈值泵浦功率，S为工作物质横截面面积，

0＝T/2

输出功率正比于饱和光强Is,并随激发参数的增加而增加。输出功率随Pp线性增加，它是由超过阈值那部分泵浦功率转换而来的。增加泵浦功率(即提高小信号增益系数)及工作物质长度或降低损耗都将使输出功率提高。饱和光强大的工作物质可产生较大的输出功率。对于放电激励的气体激光器，无论均匀加宽还是非均匀加宽，gm与pp并不成正比。存在一个使gm最大的最佳放大电流jm,输出功率最大。

输出功率还和输出反射镜的透射率T有关。当T增大时，一方面提高了透射光的比例，有利于提高输出功率，同R时却又使阈值增加，从而导致腔内光强的下降。因此存在一个使输出功率达到极大值的最佳透射率T。透射率T<<1时，令dP／dt＝0，可求出Tm为可求出输出镜具有最佳透射率时的输出功率Pm为最佳透射率和2gml输出功率和透射率

2．非均匀加宽单模激光器

和均匀加宽激光器不同的是，当振荡模频率vq

v0时，I＋和I－两束光在增益曲线上分别烧两个孔。对每一个孔起饱和作用的分别是I＋或I－

，而不是两者的和。因此振荡模的增益系数激光器稳态工作时单模输出功率为

当vq=v0时，I+和I-同时在增益曲线上中心频率处烧一个孔，烧孔深度取决于腔内平均光强

因此vq=v0时的输出功率较小，单模输出功率P和单模频率vq的关系曲线。在vq=v0处曲线有一凹陷。称作兰姆凹陷。解释：当vq=v1时，gi0(v1)=gt,输出功率P＝0,当vq=v2时,激光振荡将在增益曲线的v2及v2’＝2v0-v2处造成两个凹陷，也就是说，速度vz＝

c(v0-v2)/v0的两部分粒子对频率v2的激光有贡献。激光功率P2正比于这两个凹陷面积之和。

当vq=v3时，由于烧孔面积增大，所以功率P3比P2大。当频率vq接近v0时，两个烧孔部分重叠，烧孔面积的和可能小于vq=v3时两个烧孔面积的和，因此P＜P3。当vq=v0时，两个烧孔完全重合，此时只有vz＝0附近的原子对激光有贡献。虽然它对应着最大的小信号增益，但由于对激光作贡献的反转集居数减少了，即烧孔面积减少了，所以输出功率P0下降到某一极小值。

兰姆凹陷的宽度大致等于烧孔的宽度

运用半经典理论，可以得出兰姆凹陷的定量关系。凹陷的深度和激发参量gml/

成正比

3．多模激光器

在非均匀加宽激光器中，每个模式各自消耗表现中心频率与其频率相应的激活粒子。如果模间隔足够大，各个模式相互独立，分别计算每个纵模的输出功率，总的输出功率应是各模输出功率之和。

在均匀加宽激光器中，由于各模式相互影响，所以必须由多模速率方程求出输出功率。在矩形线型函数及各模损耗相同的简化假设下，多模速率方程可证明其输出功率与单模情况相同。

二、短脉冲激光器的输出能量

在短脉冲激光器中，工作物质吸收的泵源能量为Ep，则有Ep

1/hp个粒子从基态经E3能级跃迁到E2能级上去。如果Ep

1/hp>n2tV，则增益大于损耗，腔内受激辐射光强不断增加，n2将因受激辐射而不断减少，当n2减少到n2t时，受激辐射光强便开始迅速衰减直至熄灭。E2能级剩余的n2t个粒子通过自发辐射而返回基态腔内光能部分变为无用损耗，部分经输出反射镜输出脉冲红宝石激光器的输出能量和光泵输入电能EP的关系4.4驰豫振荡大量实验表明，一般固体脉冲激光器所输出的并不是一个平滑的光脉冲，而是一群宽度只有微秒量级的短脉冲序列，即所谓‘尖峰”序列。激励越强，则短脉冲之间的时间间隔越小。人们把上述现象称作弛豫振荡效应或尖峰振荡效应。

红宝石单模激光器的输出波形

(a)泵浦能量低于阈值时示波器上看到的荧光波形。(b)为泵浦能量高于阀值时的激光波形。

解释：第一阶段(t1-t2)：泵浦激励使

n增加，当t=t1时,n达到阈值nt，开始产生激光。当t>t1时n＞nt，所以激光器内光子数密度急剧增加。与此同时，受激辐射特使n减小。但在此阶段，泵浦激励使n增加的速率仍超过受激辐射使n减少的速率，所以n仍继续增加。第二阶段(t2一t3)：随着光子数密度N的增加，受激辐射使

n减少的速率也不断增加。到时刻t2，受激辐射使

n减少的速率恰好等于泵浦激励使

n增加的速率。以后

n开始减少。但由于

n仍大于

nt，所以腔内光子数仍继续增加。

第三阶段(t3-t4)：当t＝t3时

n=

nt,t＞t3后．由于n仍大于0，仍有受激辐射产生，这就使n继续减小。但因n<

nt，增益小于损耗，所以腔内光子数急剧减少。第四阶段（t4-t5）：随着腔内光子数密度N的减少，受激辐射使

n减少的速率逐渐变小，至t4时刻，泵浦激励使

n增加的速率恰好等于受激辐射使

n减少的速率，此后

n又重新增加。至t5时刻

n达到阈值

nt

。于是又产生第二个尖峰。在整个脉冲激励时间内，这种过程反复发生，形成一个尖峰序列。泵浦功率越大，尖峰形成越快，因而尖峰的时间间隔越小。

图

腔内光子数密度及反转集居数密度随时间的变化

4．5单模激光器的线宽极限

在腔内工作物质增益为零的无源腔中

有源腔中的光子寿命

激光器稳态工作时，净损耗为0，激光器的净损耗以及单纵模的线宽似乎应等于零，但这只是对激光器内物理过程的一种理想化的近似描述。这种理想情况的物理图象是：腔内的受激辐射能量补充了损耗的能量，而且由于受激辐射产生的光波与原来的光波具有相同的相位，二者相干叠加使腔内光波的振幅始终保持恒定，因而输出激光在理想情况下为一无限长的波列，其线宽应等于零。

实际的单纵模激光器的线宽也不会等于零。在分析激光器振荡过程时，忽略了自发辐射的存在，由于和受激辐射相比自发辐射的贡献极其微弱，因而在讨论阈值及输出功率等问题时可以忽略不计，但在考虑线宽问题时必须考虑自发辐射的影响

式中第二项为自发辐射项，al为分配