数学高考科学复习创新方案-数学第3讲-导数与函数的极值、最值-课堂学习课件

第3讲导数与函数的极值、最值第四章导数及其应用1基础知识整合PARTONE都小f′(x)<0f′(x)＞0都大f′(x)＞0f′(x)＜0连续不断极值端点处的函数值f(a)，f(b)最大最小1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．2．若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则该极值点一定是函数的最值点．3．极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．1．(2021·衡水模拟)下列四个函数中，在x＝0处取得极值的是(

)①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x.A．①②

B．②③

C．③④

D．①③解析①y′＝3x2≥0恒成立，所以函数在R上单调递增，无极值点．②y′＝2x，当x>0时，函数单调递增；当x<0时，函数单调递减，且y′|x＝0＝0，②符合．③结合该函数图象可知函数在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减，③符合．④y＝2x在R上单调递增，无极值点．故选B.答案解析2．设函数f(x)＝xex，则(

)A．1为f(x)的极大值点B．1为f(x)的极小值点C．－1为f(x)的极大值点D．－1为f(x)的极小值点解析f′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex.令f′(x)＝0，则x＝－1.当x<－1时，f′(x)<0，当x>－1时，f′(x)>0，所以－1为f(x)的极小值点．答案解析3．函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为(

)A．1－e B．－1C．－e D．0答案解析答案解析答案4解析f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2，3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0,2)上是减函数，在(2,3]上是增函数．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.答案解析答案解析2核心考向突破PARTTWO多角度探究突破例1

(2021·南昌摸底考试)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(

)A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)

答案考向一导数与函数的极值解析由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．故选D.解析由图象判断函数y＝f(x)的极值要抓住的两点(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点．(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点．1.(多选)(2021·石家庄检测)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则(

)A．－3是函数y＝f(x)的极值点B．－1是函数y＝f(x)的极小值点C．y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增D．－2是函数y＝f(x)的极大值点答案解析由函数y＝f′(x)的图象可知，f′(－3)＝0，当x∈(－∞，－3)时，f′(x)<0，当x∈(－3,1)时，f′(x)≥0，所以函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3,1)上单调递增，故C正确；－3是函数y＝f(x)的极小值点，故A正确；因为函数y＝f(x)在(－3,1)上单调递增，所以－1不是函数y＝f(x)的极小值点，－2也不是函数y＝f(x)的极大值点，故B，D错误．故选AC．解析答案解析答案解析运用导数求函数f(x)极值的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧导数值的符号；(5)求出极值．2.若函数f(x)＝(1－x)(x2＋ax＋b)的图象关于点(－2,0)对称，x1，x2分别是f(x)的极大值点与极小值点，则x2－x1＝________.答案解析答案－7角度已知函数的极值求参数的值或取值范围例3

(1)(2021·河北九校联考)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.答案解析答案(1，＋∞)答案解析解析已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．答案解析解析若函数f(x)在R上无极值，则f′(x)＝x2－2mx＋m在R上无变号零点，故Δ＝4m2－4m≤0，解得0≤m≤1.故选D.答案解析例4已知函数g(x)＝alnx＋x2－(a＋2)x(a∈R)．(1)若a＝1，求g(x)在区间[1，e]上的最大值；(2)求g(x)在区间[1，e]上的最小值h(a)．考向二导数与函数的最值解解解求函数f(x)在[a，b]上的最值的方法(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或单调递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．(2)若函数在区间[a，b]上有极值，则先求出函数在[a，b]上的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．解(1)∵f(x)＝excosx－x，∴f(0)＝1，f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，∴f′(0)＝0，∴曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.解解例5某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．考向三生活中的优化问题解解利用导数解决生活中优化问题的方法求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，则该极值点就是最值点．解解解考向四极值与最值的综合应用解解解(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论．(3)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象得到函数的最值．解解解解3课时作业PARTTHREE答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析6．(2021·铁岭一模)若a∈R，“a>3”是“函数f(x)＝(x－a)ex在(0，＋∞)上有极值”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析由题意，函数f(x)＝(x－a)ex，则f′(x)＝(x－a＋1)ex，令f′(x)＝0，可得x＝a－1，当x<a－1时，f′(x)<0；当x>a－1时，f′(x)>0，所以函数f(x)在x＝a－1处取得极小值，若函数f(x)在(0，＋∞)上有极值，则a－1>0，解得a>1.因此“a>3”是“函数f(x)＝(x－a)ex在(0，＋∞)上有极值”的充分不必要条件．故选A．答案解析答案解析答案解析二、多项选择题9．(2021·潮州二模)已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是(

)A．f(a)<f(b)<f(c)B．f(e)<f(d)<f(c)C．x＝c时，f(x)取得最大值D．x＝d时，f(x)取得最小值答案解析结合导函数的图象，可知f(x)在(－∞，c]上单调递增，在(c，e)上单调递减，在[e，＋∞)上单调递增．对于A，因为a<b<c，由f(x)的单调性可知f(a)<f(b)<f(c)，故A正确；对于B，因为c<d<e，由f(x)的单调性可知f(c)>f(d)>f(e)，故B正确；对于C，当x＝c时，f(x)取得极大值，但不一定是最大值，故C错误；对于D，由B可知，f(d)不是f(x)的最小值，故D错误．故选AB.解析答案解析答案解析答案解析答案18三、填空题13．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)＝________.答案解析答案(－∞，－1)14．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________.解析由y′＝ex＋a＝0得x＝ln(－a)(a<0)，显然x＝ln(－a)为函数的极小值点，又ln(－a)>0，∴－a>1，即a<－1.答案解析答案(－1,2]15．函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12