2024-2025学年新教材高中数学第六章计数原理六二项式定理课时素养评价含解析新人教A版选择性必修第三册

PAGE六二项式定理(25分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.QUOTE·2n+QUOTE·2n-1+…+QUOTE·2n-k+…+QUOTE等于()A.2nB.2n-1C.3n【解析】选C.原式=(2+1)n=3n.2.(2024·全国卷Ⅰ)QUOTE(1+x)6绽开式中x2的系数为()A.15 B.20 C.30 D.35【解析】选C.QUOTE(1+x)6绽开式中含x2的项为1·QUOTEx2+QUOTE·QUOTEx4=30x2,故x2的系数为30.【类题·通】对于两个二项式乘积的问题,用第一个二项式中的每项乘以其次个二项式的每项,分析含x2的项共有几项,进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清晰构成这一项的详细状况,尤其是两个二项绽开式中的r不同.3.在(QUOTE+QUOTE)12的绽开式中,含x的正整数次幂的项共有()A.4项B.3项C.2项D.1项【解析】选B.(QUOTE+QUOTE)12的绽开式的通项为Tr+1=QUOTE(QUOTE)12-r(QUOTE)r=QUOTE(0≤r≤12),6-QUOTE(0≤r≤12)为正整数,有3项,即r=0,r=6,r=12.4.(2024·广州高二检测)若QUOTE的绽开式中常数项等于-20,则a=()A.QUOTE B.-QUOTE C.1 D.-1【解析】选C.QUOTE的绽开式的通项公式为Tk+1=QUOTE(ax)6-kQUOTE=(-1)ka6-kQUOTEx6-2k.当k=3时,常数项为(-1)3a3QUOTE=-20,解得a=1.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2024·全国Ⅲ卷)QUOTE的绽开式中常数项是________(用数字作答).

【解析】因为Tr+1=QUOTEx2(6-r)2rx-r=2rQUOTEx12-3r,由12-3r=0,得r=4,所以QUOTE的绽开式中常数项是:QUOTE·24=QUOTE·16=15×16=240,故常数项为240.答案:2406.(2024·天津高二检测)QUOTE的绽开式中,QUOTE项的系数为________.

【解析】因为二项式绽开式的通项公式为Tk+1=QUOTE(2QUOTE)6-kQUOTE=QUOTE(-1)k×26-k×x3-k;令3-k=-1,所以k=4;故绽开式中含QUOTE项的系数为QUOTE×22=60.答案:60三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知在QUOTE的绽开式中,第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是14∶3.(1)求n;(2)求绽开式中全部的有理项.【解析】(1)依题意有QUOTE∶QUOTE=14∶3,化简,得(n-2)(n-3)=56,解得n=10或n=-5(不合题意,舍去),所以n的值为10.(2)通项公式为Tk+1=QUOTE·(-1)kQUOTE=(-1)kQUOTE·QUOTE,由题意得QUOTE解得k=2,5,8,所以第3项、第6项与第9项为有理项,它们分别为QUOTEx2,QUOTE,QUOTEx-2.8.设f(x)=(1+x)m+(1+x)n的绽开式中含x项的系数是19(m,n∈N*).(1)求f(x)的绽开式中含x2项的系数的最小值.(2)当f(x)的绽开式中含x2项的系数取最小值时,求f(x)的绽开式中含x7项的系数.【解析】(1)由题设知m+n=19,所以m=19-n,含x2项的系数为QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=n2-19n+171=(n-QUOTE)2+QUOTE.因为n∈N*,所以当n=9或n=10时,x2项的系数的最小值为QUOTE+QUOTE=81.(2)当n=9,m=10或n=10,m=9时,x2项的系数取最小值,此时x7项的系数为QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=156.(15分钟·30分)1.(5分)(2024·昆明高二检测)QUOTE的绽开式中,常数项为()A.1 B.3 C.4 D.13【解析】选D.由于QUOTE表示4个因式QUOTE的乘积,故绽开式中的常数项可能有以下几种状况:①全部的因式都取1;②有2个因式取QUOTE,一个因式取1,一个因式取QUOTE;故绽开式中的常数项为1+QUOTE×QUOTE=13.2.(5分)(多选题)若QUOTE的绽开式中存在常数项,则n的取值可以是()A.3B.4C.5D.6【解析】选BD.QUOTE的绽开式中通项公式:Tk+1=QUOTE·xn-k·QUOTE=QUOTE·(-1)k·xn-2k.因为存在常数,所以n-2k=0,即n=2k,n,k∈N*.则n的值可以是4,6.3.(5分)(2024·天津高二检测)将(3+x)n的绽开式根据x的升幂排列,若倒数第三项的系数是90,则n的值是________.

【解析】将(3+x)n的绽开式根据x的升幂排列,则倒数第三项的系数是QUOTE·32=90,求得n=5(负值舍去).答案:54.(5分)(2024·浙江高考)在二项式(QUOTE+x)9的绽开式中,常数项是________,系数为有理数的项的个数是________.

【解析】绽开式通项是:Tr+1=QUOTE(QUOTE)9-rxr,所以常数项是T1=QUOTE(QUOTE)9=16QUOTE,若系数为有理数,则9-r为偶数,所以r为奇数,所以r可取1,3,5,7,9.答案:16QUOTE55.(10分)已知f(x)=(1+x)m,g(x)=(1+2x)n(m,n∈N*).(1)若m=3,n=4,求f(x)g(x)的绽开式含x2的项.(2)令h(x)=f(x)+g(x),h(x)的绽开式中x的项的系数为12,那么当m,n为何值时,含x2的项的系数取得最小值?【解析】(1)当m=3,n=4时,f(x)g(x)=(1+x)3(1+2x)4.(1+x)3绽开式的通项为QUOTExr,(1+2x)4绽开式的通项为QUOTE(2x)r,f(x)g(x)的绽开式含x2的项为1×QUOTE(2x)2+QUOTEx×QUOTE(2x)+QUOTEx2×1=51x2.(2)h(x)=f(x)+g(x)=(1+x)m+(1+2x)n.因为h(x)的绽开式中x的项的系数为12,所以QUOTE+2QUOTE=12,即m+2n=12,所以m=12-2n.x2的系数为QUOTE+4QUOTE=QUOTE+4QUOTE=QUOTE(12-2n)(11-2n)+2n(n-1)=4n2-25n+66=4QUOTE+QUOTE,n∈N*,所以n=3,m=6时,x2的项的系数取得最小值.1.若(x+a)2QUOTE的绽开式中常数项为-1,则a的值为________.

【解析】由于(x+a)2=x2+2ax+a2,而QUOTE的绽开式通项为Tk+1=(-1)kQUOTE·xk-5,其中k=0,1,2…,5.于是QUOTE的绽开式中x-2的系数为(-1)3QUOTE=-10,x-1项的系数为(-1)4QUOTE=5,常数项为-1,因此(x+a)2QUOTE的绽开式中常数项为1×(-10)+2a×5+a2×(-1)=-a2+10a-10,依题意-a2+10a-10=-1,解得a2-10a+9=0,即a=1或a=9.答案:1或92.设QUOTE=a0+a1x+a2x2+…+arxr+…+anxn,其中q∈R,n∈N*.(1)当q=1时,化简:QUOTE.(2)当q=n时,记An=QUOTE,Bn=QUOTEar,试比较An与Bn的大小.【解题指南】(1)当q=1时,ar=QUOTE·QUOTE,从而得到结果.(2)当q=n时,由二项式定理可得An=nn+1,Bn=QUOTE,猜想、归纳,用数学归纳法加以证明即可.【解析】(1)当q=1时,ar=QUOTE,由于QUOTE=QUOTE·QUOTE=QUOTE=QUOTE·QUOTE=QUOTE·QUOTE,其中r=0,1,2,…,n.所以原式=QUOTE(QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE)=QUOTE.(2)当q=n时,ar=QUOTEnn-r,所以a0=nn,a1=nn,所以An=nn+1,令x=1,得Bn=QUOTE,当n=1,2时,nn+1<QUOTE;当n≥3时,nn+1>QUOTE,即n>QUOTE.下面先用数学归纳法证明:当n≥3时,n>QUOTE,……(☆)①当n=3时,3>QUOTE=QUOTE,(☆)式成立;②设n=k≥3时,(☆)式成立,即k>QUOTE,则n=k+1时,(☆)式右边=QUOTE=QUOTE<QUOTE<QUOTE·k=QUOTE+k<k+1.也就是说,当n=k+1,(☆)式也成立.综合①②知,当n≥3时,n>QUOTE.所以,当n=1,2时,An<Bn;当n≥3时,An>Bn.【一题多解】当q=n时,ar=QUOTEnn-r,所以a0=nn,a1=nn,所以An=nn+1,令x=1,得Bn=QUOTE,要比较An与Bn的大小,即可比较QUOTE与QUOTE的大小,设fQUOTE=QUOTE,则f′QUOTE=QUOTE,由f′QUOTE>0,得0<x<e,所以fQUOTE在QUOTE上递增,由f′QUOTE<0,得x>e,所以fQUOTE在QUOTE上递减,所以当n=1,2时,QUOTE<QUOTE,An<Bn.当n≥3时,QUOTE>QUOTE,即QUOTElnn>nlnQUOTE,即lnnn+1>lnQUOTE,即An>Bn,综上所述,当n=1,2时,An<Bn;当n≥3时,An>Bn.【一题多解】当q=n时,ar=QUOTEnn-r,所以a0=nn,a1=nn,所以An=nn+1,令x=1,得Bn=QUOTE,当n=1,2时,nn+1<QUOTE;当n≥3时,nn+1>QUOTE.下面用数学归纳法证明:nn+1>QUOTE,n≥3,n∈N*,……(*)①当n=3时,33+1=81,QUOTE=64,因为81>64,所以(*)式成立;②设n=k≥3时,(*